如何理解极限的ε-δ定义及应用
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如何理解极限的ε-δ定义及应用
作者：侯林波 赵嘉旭
来源：《科教导刊》2010年第12期
摘要极限的概念和思想方法在高等数学中占有极其重要的地位和作用,可以说它们贯穿于
高等数学的整个
体系,在高等数学中,可连续、可导、可积等概念都是利用极限的-给出的,所以说,
如果理解了极限的
概念,那么在学习高等数学时与之相关的定义和问题就很容易理解和解决
了。在此主要从极限f(x)=
a的定义入手来理解和研究。通过分析和理解我们形成一种基本的认
识:“极限是研究变量的变化过程,
并通过变化的过程来把握变化的结果。”
关键词极限 定义 无限接近
中图分类号:O1文献标识码:A
1 极限的两个定义
1.1 定性定义
定义1当自变量无限接近(无限趋近于
)定点x0时,函数f(x)值无限接近于(任意接近于)定值
a,那么定值a就称作函数f(x)在x
0点的极限,记作f(x)=a。
而极限 f(x)=a的定性定义是一个描述性的
定义,在这里只是用“无限接近(无限趋近于)”这类
朴素的形象的语言,对极限作了定性的描述,这些
在数学中无法进行严格的论证,其中的“无限接
近”或“任意接近于”该怎么来理解,什么程度上的接近
才是“无限接近(无限趋近于)”,对我们来说,
虽然很形象,但又很抽象,感觉上是那么回事,但又无
法具体表达出来。
那么,我们要想理解极限的概念,就要转换思维方式,从距离的角度来考虑。
不妨将
“自变量x无限接近(无限趋近于)定点x0”转化为动点x到定点x0的距离│x-x0│是
一定范围
之内即│x-x0│
1.2 定量定义
定义2设函数f(x)在空心邻域U0(x0):0
│f(x)-a│< (1)
那么常数a就叫做函数f(x)当x→x0时的极限,记作