函数的极限及函数的连续性典型例题
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函数的极限及函数的连续性典型例题
一、重点难点分析：
①
此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。
②
要掌握常见的几种函数式变形求极限。
③
函数f(x)在x=x
0
处连续的充要条件是在x=x
0
处左右连续。
。 ④ 计算函数极限的方法，若在x=x
0
处连续，则
⑤
若函数在[a,b]上连续，则它在[a,b]上有最大值，最小值。
二、典型例题
例1．求下列极限
① ②
③ ④
解析：① 。
②。
③。
④
。
例2．已知
，求m,n。
解：由可知x
2
+mx+2含有x+2这个因式，
∴
x=-2是方程x
2
+mx+2=0的根，
∴ m=3代入求得n=-1。
例3．讨论函数的连续性。
解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处函数是连续的，
又
∴
由
从而f(x)在点x=-1处不连续。
∴
f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上连续，x=-1为函数的不连续点。
，
， ∴ f(x)在x=1处连续。
，
例4．已知函数
试讨论a,b为何值时，f(x)在x=0处连续。
, (a,b为常数)。
解析：∵ 且，
∴ ，∴ a=1, b=0。
例5．求下列函数极限
①
②
解析：①
。
②
。
例6．设
解析：∵
要使存在，只需
，
，问常数k为何值时，有存在？
。
，
∴ 2k=1，故
时，存在。
例7．求函数
在x=-1处左右极限，并说明在x=-1处是否有极限？
解析：由
∵
，
，∴ f(x)在x=-1处极限不存在。
，
三、训练题：
1．已知，则
2．的值是_______。
3. 已知，则=______。
4．已知
5．已知
，2a+b=0，求a与b的值。
，求a的值。
参考答案：1. 3 2. 3. 4. a=2, b=-4 5. a=0