团员自我评议-人民代表大会制度的组织原则是

二重极限释疑解难
问题1：关于二重极限的定义有以下三种不同的说法，试分析比较它们的差异何
在？
定义1 设函数
zf(x,y)
在点
P
0
(x
0
,y
0
)
的某一邻域内有定义(点
P
0
可以除
外)，如果对于每一个任意给定的正数

，总存在一个正数

，使得 对于适合不
等式
0(xx
0
)
2
(yy
0
)
2



的一切点
P(x,y)
，所对应的函数值
f(x,y)
都满足不等式
|f(x,y)A|

,
那么，常数
A
就称为函数< br>zf(x,y)
当
xx
0
,yy
0
时的极限.
定义2 同定义1，但另加附注如下：
如果函数
zf(x,y)
在点< br>P
0
的任一邻域中除
P
0
外，尚有不属于函数定义域
D
的点，但又总有异于
P
0
的属于
D
的点，那么只要对D
内适合不等式
0|PP
0
|

的一切点
P
，有不等式
|f(P)A|

成立，那么，便称
A
为 函数
f(P)
当
PP
0
时的极限.
定义3 设函数
zf(x,y)
的定义域为
D
，点
P
0
(x0
,y
0
)
是
D
的聚点.如果对
于任意给定的 正数

，总存在正数

，使得对于适合不等式
0|P
0
P|(xx
0
)
2
(yy
0
)
2



的一切点
P(x,y)D
，都有
|f(x,y)A|


成立，那么称
A
为函数
zf(x,y)
当
xx
0
,yy
0
时的极限.
解答：
这三种定义的差异主要在于对函数的前提假设不尽相同.定义1、定义2的主要差异是，前者要求
f(x,y)
在点
P
0
(x
0
,y
0
)
的某去心邻域内有定义，而后者允许
f(x,y)
在点P
0
(x
0
,y
0
)
的任一去心邻域内都有使
f(x,y)
无定义的点.相应地，定义1要求
P
0
的去心邻域内的 点
P
都适合
|f(P)A|

，可见，定义1对函数的要求高，
因而使一些极限无法讨论，限制了极限的应用.至于定义3与定义2本质上是一

样的，不过定义3要事先导入“聚点”概念，这样使极限定义的叙述方便些.例
如,极限
lim
sin(xy)
，函数的定义域为挖掉x轴的区域，按定义1是不存在，而按
x0< br>y
y0
定义2和定义3该极限存在且为零.

问题2：当动点(x,y)
沿着任一直线无限趋近于点
(0,0)
时，函数
f(x,y)
的极限存
在且都等于
A
，能否说函数
f(x,y)
当
(x,y)(0,0)
时，二重极限也等于
A
？
解答：
x< br>2
y
不能.例如函数
f(x,y)
4
，
x
2
y
2
0
，当动点
(x,y)
沿着
y
轴
(x0)
2
xy
无限趋于点
(0,0)
时，有
f

x,y

0
.
lim
x0
y0
当动点

x,y

沿着任意一条直线
ykx
（
k
为任意实数）无限趋近于点

0,0

时，都
有
kx
3
kx
limf(x,y)lim4
lim0
.
x0x0
xk
2
x
2
x0
x
2
k
2
ykx0
但是，当动点< br>(x,y)
沿抛物线
yx
2
无限趋近于点
(0,0)
时，有
x
4
1
limf(x,y)lim
4

. x0x0
xx
4
2
yx
2
0
x2
y
所以，函数
f(x,y)
4
当
(x,y)(0 ,0)
时，极限不存在.
2
yx

问题3：如果引入极坐标xx
0
rcos

,
yy
0
rsin

，且对每一个

值都有
f(x
0
rco
s,y
0
rsin

)A

(1)

lim
r0
其中
A
为一个与

无关的常数，那么是否必有

limf(x,y)A
？ (2)
xx
0
yy
0
解答：

不是必有，且通常没有这结论。就是说，通常不能用变换式
xx
0
yy
0
limf(x,y)limf(x
0
rcos

,y
0
rsin

)

r0
来求二重极限.
因为这里虽说对每个

值(1)式都成立， 但也不外乎说点
(x,y)
沿着任一条直
线趋向于
(x
0
, y
0
)
，并不是
(x,y)
以任何方式趋向于
(x
0
,y
0
)
，即使(1)存在，且为一
个与

无关 的常数
A
，我们还是不能保证(2)式成立.例如极限
xy
3
lim
2

x0
xy
6
y0
不存在，因为当
(x,y)
沿曲线
y
3
kx趋向于
(0,0)
时，
xy
3
kx
2
klim
2
lim
,
62222
x0x0
x yxkx1k
y
3
kx0
结果与
k
有关，但若用变 量代换：
xrcos

，
yrsin

.则有
xy
3
r
4
cos

sin
3

r
2
cos

sin
3

lim
2lim
2
lim0

x0
xy
6
r 0
rcos
2

r
6
sin
6
r0
cos
2

r
4
sin
6

y0
这个结果显然是错误的.

问题4：判定二重极限不存在，有哪些常用方法？
解答：
根据重极限的定义，limf(x,y)
存在，要求点
P(x,y)
以任意方式趋向于点
x x
0
yy
0
P
0
(x
0
,y
0
)
时，
f(x,y)
趋向同一个常数.因此判定二重极限不存在.常用方法有 如下
两种：
1） 选取一种
PP
0
的方式，若
limf(x,y)
不存在，则 PP
0
xx
0
yy
0
limf(x,y)
不存在.
2）
PP
0
找出两种
PP
0
的 方式，分别记为
PP
0
和
PP
0
若
PP0
limf(x,y)A
，
limf(x,y)A
，且
A A
，则

xx
0
yy
0
limf(x, y)
不存在.
现举例如下：
例1
x
2
1
讨论 极限
lim
2
sin
2
.
2
x0
yx y
y0
x
2
11
limsin
解 因
lim
2
sin
2
不存在.
22
x0
y
x0
xy2x
yx0
故原极限不存在.
例2 讨论极限
lim
x0
y0
xy
.
x
2
y
2
xykx
2
k
lim
解 因
lim
2
,
2
x0
xy
2
x0
(1k
2
)x
2
1k
ykx0
其值因k
而异，故原极限不存在.