定义证明二重极限
校园安全小知识-面粉厂实习报告
定义证明二重极限
定义证明二重极限
就是说当
点(x,y)落在以(x0,y0)点附近的一个小圈圈内的时候，
f(x,y)与a的差的绝对值会灰
常灰常的接近。那么就说f(x,y)在
(x0,y0)点的极限为a
关于二重极限的定义，
各类数学教材中有各种不同的表述，归纳
起来主要有以下三种：定义1设函数在点的某一邻域内有定义(
点可以
除外)，如果对于任意给定的正数。，总存在正数，使得对于所论邻域
内适合不等式的一
切点p(x，y)所对应的函数值都满足不等式那末，常
数a就称为函数当时的极限.定义2设函数的定
义域为是平面上一点，
函数在点儿的任一邻域中除见外，总有异于凡的属于d的点，若对于
任意
给定的正数。，总存在正数a，使得对d内适合不等式0<户几卜8
的一切点p，有不等式v(p)一周
<。成立，则称a为函数人p)当p～
p。时的极限.定义3设函数x一人工，”的定义域为d，点产人
工。，
人)是d的聚点，如果对于任意给定的正数。，总存在正数8，使得对
于适合不等式的一
切点p(x，…ed，都有成立，则称a为函数当时的极
限.以上三种定义的差异主要在于对函数的前提
假设不尽相同.定义1
要求人x，…在点p入x。，汕)的某去心邻域内有定义，而定义2允
许
人工，y)在点p。(x。，入)的任一去心邻域内都有使人x，y)无定
义的点，相应地，定义i要求
见的去心邻域内的点p都适合(p)一a
卜
利用极限存在准则证明：
(1)当x趋近于正无穷时，(inxx^2)的极限为0;
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页
(2)证明数列{xn}，其中a>0，xo>0,xn=2,n=1,2
,…收敛，并求
其极限。
1)用夹逼准则:
x大于1时,lnx>0,x^2>0,故lnxx^2>0
且lnx1),lnxx^2<(x-1)x^2.而(x-1)x^2极限为0
故(inxx^2)的极限为0
2)用单调有界数列收敛:
分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a
x0>√a时,xn-x(n-1)=2<0,单调递减
且xn=2>√a,√a为数列下界,则极限存在.
设数列极限为a,xn和x(n-1)极限都为a.
对原始两边求极限得a=2.解得a=√a
同理可求x0<√a时,极限亦为√a
综上,数列极限存在,且为√
(一)时函数的极限：
以时和为例引入.
介绍符号:的意义,的直观意义.
定义(和.)
几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍
几何意义.
例1验证例2验证例3验证证……
(二)时函数的极限：
由考虑时的极限引入.
定义函数极限的“”定义.
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几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4验证例5验证例6验证证由=
为使需有为使需有于是,倘限制,就有
例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:
1.定义：单侧极限的定义及记法.
几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.
例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:
th类似有:例10证明:极限不存在.
例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有
=§2函数极限的性质(3学时)
教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不
等式性质以及有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
教学方法：讲练结合。
一、组织教学：
我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或
简证.
二、讲授新课：
(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
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3.局部保号性:
4.单调性(不等式性质):
th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)
註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.
5.迫敛性:
6.四则运算性质:(只证“+”和“”)
(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：
(注意前四个极限中极限就是函数值)
这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限
作为公式用,我们将陆续证明
这些公式.
利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,
把所求极限化为
基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.
例1(利用极限和)
例2例3註:关于的有理分式当时的极限.
例4
例5例6例7
第二篇：证明二重极限不存在
证明二重极限不存在
如何判断二重极限(即二元函数
极限)不存在,是二元函数这一节的
难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在
判
断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。由二重极限的定义知,要
讨论limx→x0y
→y0f(x,y)不存在,通常的方法是:找几条通过(或趋于)
定点(x0,y0)的特殊曲线,如
果动点(x,y)沿这些曲线趋于(x0,y0)
时,f(x,y)趋于不同的值,则可判定二重极限l
imx→x0y→y0f(x,y)不存
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在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧
的,不过不管找哪条曲线,这条
曲线一定要经过(x0,y0),并且定点是这
条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图
方便,对于型如
limx→x0y→y0f(x,y)g(x,y)的极限,在判断其不存在时,不少人
找的曲
线是f(x,y)-g(x,y)=0,这样做就很容易出错。例如,容易知道
limx
→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线x2y-(x2+y2)=0→(0,0)时,所得
的
结论就不同(这时f(x,y)→1)。为什么会出现这种情况呢?仔细分析
一下就不难得到答案
2
若用沿曲线，(，y)一g(，y)=0趋近于(，y0)来讨论，一0g，
y。
。可能会出现错误，只有证明了(，)不是孤立点后才不会出错。
o13a1673-3878(XX)
0l__0l02__02如何判断二重极限(即二元函数极限)
不存在。是二元函数这一节的难点，在
这里笔者对这一问题不打算做
详细的讨论。只是略谈一下在判断二重极限不存在时。一个值得注意
的问题。由二重极限的定义知，要讨论limf(x，y)不存在，通常x—
’10y—’y0的方法
是：找几条通过(或趋于)定点(xo，yo)的特殊曲
线，如果动点(x，y)沿这些曲线趋于(xo
，y。)时，f(x，y)趋于不同
的值，则可判定二重极限limf(x，y)不存在，这一方i—’
10r’y0法
一般人都能掌握，但是在找一些特殊曲线时，是有一定技巧的，不过
不管找哪条
曲线，这条曲线一定要经过(xo，y。)，并且定点是这条曲
线的非孤立点，这一点很容易疏忽大意，
特别是为图方便，对于型如2
的极限，在判卜’iogx，yy—·y0断其不存在时，不少人找的曲线
是
f(x，y)一g(x，y)：0，这样做就很容易出错。
3
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当沿曲线y=-x+x^2趋于(00)时，极限为lim(-x^
2+x^3)x^2=-1;
当沿直线y=x趋于(00)时，极限为limx^22x=0。故极限不存
在。
4
x-y+x^2+y^2
f(x,y)=————————
x+y
它的累次极限存在：
x-y+x^2+y^2
limlim————————=-1
y->0x->0x+y
x-y+x^2+y^2
limlim————————=1
x->0y->0x+y
当沿斜率不同的直线y=mx,(x,y)->(0,0)时，易证
极限不同，所
以它的二重极限不存在。
第三篇：用极限定义证明极限
例1、用数列极限定义证明：limn?2?0 n??n2?7
n?2时n?2(1)2n(2)2nn?22(3)24(4)|2?0|?2?2?2?????
nn?7n?7n?7n?nn?1n?n
2
上面的系列式子要想成立，需要第一
个等号和不等号（1）、
（2）、（3）均成立方可。第一个等号成立的条件是n>2；不等号
（1）成立的条件是2
n4，即n>2；不等号（4）成立的条件是n?[]，故取n=max{7, 2?
44[]}。这样当n>n时，有n>7，n?[]。 ??
4 因为n>7,所以等号第一
个等号、不等式（1）、（2）、（3）
能成立；因为n?[]，所以不等号（3）成立的条件是1??
|不等式（4）能成立，因此当n>n时，上述系列不等式均成立，
亦即当n>n时，
在这个例题中，大量使用了把一个数字放大为n或n?2?0|??。
n2?7n的方法，因此，对于具体的数，．．．．．．．2
可把它放大为（k为大于零的常数）的形
式
．．．．．．kn．．．．．．．．．．．．．．．
n?4?0 n??n2?n?1
n?4n?4n?4时n?n2n2(1)|2?0|?2?2????
n?n?1n?n?1n?n?1n2n
22不等号（1）成立的条件是n?[],故取n=max{4,
[]},则当n>n
时，上面的不等式都成??例2、用数列极限定义证明：lim
立。
注：对于一个由若干项组成的代数式，可放大或缩小为这个代数
式的一部分。
如：
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
．．．．
n2?n?1?n2
n2?n?1?n
n?n?n22
n(n?1)2?n?1
(?1)n
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例3、已知an?，证明数列an的极限是零。 2(n?1)
(?1)n1(1)1(2)
证明：???0(设0???1)，欲使|an?0|?||????成立
22(n?1)(n?1)n?1
11??解得：n??1，由于上述式子中的等式和不等号（1）对于任意
的正整n?1? <
br>1数n都是成立的，因此取n?[?1]，则当n>n时，不等号（2）成
立，进而上述系列等式
由不等式?
和不等式均成立，所以当n>n时，|an?0|??。
在上面的证明中，设定
0???1，而数列极限定义中的?是任意的，
为什么要这样设定？这样设定是否符合数列极限的定义？
在数列极限定义中，n是一个正整数，此题如若不设定0???1，则
n?[?1]就有1 <
br>可能不是正整数，例如若?＝2，则此时n＝－1，故为了符合数列
极限的定义，先设定0???
1，这样就能保证n是正整数了。
那么对于大于1的?，是否能找到对应的n？能找到。按照上面已<
br>经证明的结论，当?＝0.5时，有对应的n1，当n>n1时，|an?0|＜0.5
成立。因
此，当n＞n1时，对于任意的大于1的?，下列式子成立：
|an?0|＜0.5＜1＜?，亦即对
于所有大于1的?，我们都能找到与
它相对应的n=n1。因此，在数列极限证明中，?可限小。只要对
于较小
的?能找到对应的n，则对于较大的?．．．
就自然能找到对应的n。
第四篇：极限 定义证明
极限定义证明
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趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0
x趋近于负12，2x加1分之1减4x的平方等于2
这两个用函数极限定义怎么证明?
x趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0
证明：对于任意给定的ξ>0，要使不等式
|sinx√x-0|=|sinx√x|<ξ成立，只需要
|sinx√x|^2<ξ^2
,即sinx^2x<ξ^2(∵x→+∞),则
x>sinx^2ξ^2,
∵|sinx|≤1∴只需不等式x>1ξ^2成立，
所以取x=1ξ^2，当x>x时，必有|sinx√x-0|<ξ成立，
同函数极限的定义可得x→+∞时，sinx√x极限为0.
x趋近于负12，2x加1分之1减4x的平方等于2
证明：对于任意给定的ξ>0，要使不等式
|1-4x^22x+1-2|=|1-2x-2|=|-2x-1|=|2x+1|<ξ成立，只
需要0<|x+12|<ξ2成立.所以取δ=ξ2,则当0<|x+12|<δ
时，必有
|1-4x^22x+1-2|=|2x+1|<ξ，
由函数极限的定义可得x→-12时，1-4x^22x+1的极限为2.
注意，用定义证明
x走近于某一常数时的极限时，关键是找出那
个绝对值里面x减去的那个x0.
记g(x)=lim^(1n)，n趋于正无穷;
下面证明limg(x)=max{a1,
...am},x趋于正无穷。把
max{a1,...am}记作a。
不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,m>1;
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那么存在n1,当x>n1,有am<=f1(x)
注意到f2的极限小于等于a，那么存在n2，当x>n2时，0<=f2(x)
同理，存在ni，当x>ni时，0<=fi(x)
取n=max{n1,n2...nm};
那么当x>n,有
(am)^n<=f1(x)^n<=f1(x)^n+...fm(x)^n
所以am<=^(1n)
对n取极限，所以am<=g(x)n时成立;
令x趋于正无穷，
am<=下极限g(x)<=上极限g(x)<=b;
注意这个式子对任意m>1,b>a都成立，中间两个极限都是固定的
数。
令m趋于正无穷，b趋于a;
有a<=下极限g(x)<=上极限g(x)<=a;
这表明limg(x)=a;
证毕;
证明有点古怪是为了把a=0的情况也包含进去。
还有个看起来简单些的方法
记g(x)=lim^(1n)，n趋于正无穷;
g(x)=max{f1(x),....fm(x)};
然后求极限就能得到limg(x)=max{a1,...am}。
其实这个看起来显然，
但对于求极限能放到括号里面，但真要用
极限定义严格说明却和上面的证明差不多。
有种简单点的方法，就是
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m
ax{a,b(请继续关注..)}=|a+b|2+|a-b|2从而为简单代数式。
多个求max
相当于先对f1，f2求max，再对结果和f3求，然后
继续，从而为有限次代数运算式，
故极限可以放进去。
2
一)时函数的极限：
以时和为例引入.
介绍符号:的意义,的直观意义.
定义(和.)
几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍
几何意义.
例1验证例2验证例3验证证……
(二)时函数的极限：
由考虑时的极限引入.
定义函数极限的“”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4验证例5验证例6验证证由=
为使需有为使需有于是,倘限制,就有
例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:
1.定义：单侧极限的定义及记法.
几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.
例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:
th类似有:例10证明:极限不存在.
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例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有
=§2函数极限的性质(3学时)
教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不
等式性质以及有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
教学方法：讲练结合。
一、组织教学：
我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或
简证.
二、讲授新课：
(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性(不等式性质):
th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)
註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.
5.迫敛性:
6.四则运算性质:(只证“+”和“”)
(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：
(注意前四个极限中极限就是函数值)
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这些极限可作为公式用.在计算一些简
单极限时,有五组基本极限
作为公式用,我们将陆续证明这些公式.
利用极限性质，特别是运
算性质求极限的原理是：通过有关性质,
把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极
限.
例1(利用极限和)
例2例3註:关于的有理分式当时的极限.
例4
例5例6例7
2
第五篇：函数极限的定义证明
习题1?3
1. 根据函数极限的定义证明:
(1)lim(3x?1)?8;x?3
(2)lim(5x?2)?12;x?2
x2?4??4;(3)limx??2x?2
1?4x3
(4)lim?2.
x??2x?12
1证明 (1)分析
|(3x?1)?8|?|3x?9|?3|x?3|, 要使
|(3x?1)?8|?? ,
只须|x?3|??.3
1证明 因为?? ?0, ????, 当0?|x?3|??时,
有|(3x?1)?8|?? ,
所以lim(3x?1)?8.x?33
1(2)分析
|(5x?2)?12|?|5x?10|?5|x?2|, 要使|(5x?2)?12|?? ,
只须|x?2|??.5
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1证明 因为?? ?0, ????, 当0?|x?2|??时,
有|(5x?2)?12|?? ,
所以lim(5x?2)?12.x?25
(3)分析
|x?(?2)|??.x2?4x2?4x?4x2?4?(?4)??|x?2|?|x?(?2)
|, 要
使?(?4)??, 只须x?2x?2x?2
x2?4x2?4?(?4)??,
所以lim??4.证明 因为?? ?0, ????, 当
0?|x?(?2)|??时,
有x??2x?2x?2
(4)分析 1?4x3111?4x31?2??,
只须
|x?(?)|??.?2?|1?2x?2|?2|x?(?)|,
要使2x?12x?1222
1?4x3111?4x3
?2??, 所以lim证明
因为?? ?0, ????, 当0?|x?(?)|??时,
有?2.12x?12x?122x??2. 根据函数极限的定义证明:
(1)lim1?x3
2x3
sinxx???1;2(2)limx???x?0.
证明 (1)分析
|x|?1
1?x32x311?x3?x3??22x3?12|x|3,
要使1?x32x3?11??, 只须??,
即322|x|2?.
证明 因为??
?0, ?x?(2)分析
sinxx?0?
12?
, 当|x|?x时,
有1x
1?x32x311?x31???, 所以lim?.
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x??2x322
1x
??, 即x?
sinxx
|sinx|x
?, 要使
sinx
证明
因为???0, ?x?
?2
, 当x?x时, 有
xsinxx
?0??, 只须
?0??, 所以lim
x???
?0.
3. 当x?2时,y?x2?4. 问?等于多少, 使当|x?2|001？
解 由于x?2, |x?2|?0, 不妨设|x?2|?1, 即1?x?3.
要使
|x2?4|?|x?2||x?2|?5|x?2|?0. 001, 只要
|x?2|?
0.001
?0.0002, 取??0. 0002,
则当0?|x?2|??时, 就有|x2?4|?0.
001.5
x2?1x?3
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4. 当x??时, y?
x2?1x2?3
?1, 问x等于多少, 使当|x|>x时, |y?1|<0.01?
解 要使?1?
4x2?3
?0.01, 只|x|?
?3?397,
x?.0.01
5. 证明函数f(x)?|x| 当x?0时极限为零.
x|x|
6. 求f(x)?, ?(x)?当x?0时的左﹑右极限,
.
xx
证明 因为
x
limf(x)?lim?lim1?1,
x?0?x?0?xx?0?x
limf(x)?lim?lim1?1,
x?0?x?0?xx?0?limf(x)?limf(x),??
x?0
x?0
所以极限limf(x)存在.
x?0
因为
lim?(x)?lim??
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x?0并说明它们在
时的极限是否存在
x?0
x?0
|x|?x
?lim??1,?x?0xx|x|x?lim?1,xx?0?x
lim?(x)?lim??
x?0
x?0
lim?(x)?lim?(x),??
x?0
x?0
所以极限lim?(x)不存在.
x?0
7. 证明:
若x???及x???时, 函数f(x)的极限都存在且都等于a,
则limf(x)?a.
x??
证明 因为limf(x)?a, limf(x)?a, 所以??>0,
x???
x???
?x1?0, 使当x??x1时, 有|f(x)?a|??
;?x2?0, 使当x?x2时, 有
|f(x)?a|?? .
取x?max{x1,
x2}, 则当|x|?x时, 有|f(x)?a|?? , 即
limf(x)?a.
x??
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8.
根据极限的定义证明: 函数f(x)当x?x0
时极限存在的充分必
要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.
证明 先证明必要性.
设f(x)?a(x?x0), 则??>0, ???0, 使当
0<|x?x0||f(x)?a|因此当x0??
性. 设f(x0?0)?f(x0?0)?a, 则??>0,??1>0,
使当x0??1
9.
试给出x??时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.
解
x??时函数极限的局部有界性的定理? 如果f(x)当x??时的极
限存在?
则存在x?0及m?0? 使当|x|?x时? |f(x)|?m?
证明
设f(x)?a(x??)? 则对于? ?1? ?x?0? 当|x|?x时?
有
|f(x)?a|?? ?1?
所以|f(x)|?|f(x)?a?a|?|f(x)?a|?|a|?1?|a|?
这就是说存在x?0及m?0? 使当|x|?x时? |f(x)|?m?
其中
m?1?|a|?
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