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第十三章 多元函数的极限和连续性
§1、平面点集

一 邻域、点列的极限
定义1 在平面上固定一点
M
0

x
0
,y
0

，凡是与
M
0
的距离小于
< br>的那些点
M
组成的平面点集，叫做
M
0
的

邻域，记为
O

M
0
,


。
定义2 设
M
n


x
n
,y
n

，
M
0


x
0
,y
0

。如果对
M
0
的任何一个

邻域
O

M
0
,


，总存在正整数
N
，当
nN
时，有
M
n
O

M
0
,


。就称点列

M
n

收敛，并且 收敛于
M
0
，记为
limM
n
M
0
或< br>n

x
n
,y
n



x
0
,y
0

n

。
性质：（ 1）

x
n
,y
n



x0
,y
0

x
n
x
0
,y
n
y
0
。
（2）若

M
n

收敛，则它只有一个极限，即极限是唯一的。
二 开集、闭集、区域
设
E
是一个平面点集。
1． 内点：设
M
0
E
，如果存在
M
0
的一个

邻域
O

M
0
,


，使得
O

M
0< br>,


E
，就称
M
0
是
E
的内点。
2． 外点：设
M
1
E
，如果存在
M
1
的一个

邻域
O

M
1
,


，使得
O

M
1
,


E
，就称
M
1
是
E
的
外点。
3．
边界点：设
M
*
是平面上的一点，它可以属于
E，也可以不属于
E
，如果对
M
*
的任何

邻域
O

M
*
,


，
其中既有E
的点，又有非
E
中的点，就称
M
*
是
E的边界点。
E
的边界点全体叫做
E
的边界。
个人收集整
理 勿做商业用途
4． 开集：如果
E
的点都是
E
的内点，就称
E
是开集。
5．
聚点：设
M
*
是平面上的一点，它可以属于
E
，也可以不属于
E
，如果对
M
*
的任何

邻域< br>O

M
*
,


，
至少含有
E
中一个（不等于
M
*
的）点，就称
M
*
是E
的聚点。
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性质：设
M
0
是
E
的聚点，则在
E
中存在一个点列

M
n
以
M
0
为极限。
6． 闭集：设
E
的所有聚点都在
E
内，就称
E
是闭集。
7．
区域：设
E
是一个开集，并且
E
中任何两点
M
1
和
M
2
之间都可以用有限条直线段所组成的折线连接起
来，而这条折线全部含在
E
中，就称
E
是区域。一个区域加上它的边界就是一 个闭区域。
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做商业用途
三 平面点集的几个基本定理
1 5

1．矩形套定理：设

a
n
x b
n
,c
n
yd
n

是矩形序列，其中每一 个矩形都含在前一个矩形中，并且
b
n
a
n
0
，
d
n
c
n
0
，那么存在唯一的点属于所有的矩形。
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2.致密性定理：如果序列
M
n

x< br>n
,y
n

有界，那么从其中必能选取收敛的子列。
3.有 限覆盖定理：若一开矩形集合






x

,

y


覆盖一有界闭区域。那么从


里，必可选
出有限个开矩形，他们也能覆盖这个区域。
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4．收敛原理：平面点列

M
n
有极限的充分必要条件是：对任何给定的

0
，总存在正整数
N
，当
n,mN
时，有
r

M
n
,M
m



。

§2 多元函数的极限和连续

一 多元函数的概念
不论在数学的理论问题中还是在实际问题中，许多量的变化，不只由一个 因素决定，而是由多个因素决
定。例如平行四边行的面积
A
由它的相邻两边的长
x
和宽
y
以及夹角

所确定,即
Axysin

;圆柱体体积
V
由底半径
r
和高
h
所决定,即< br>V

r
2
h
。这些都是多元函数的例子。
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一般地，有下面定义：
定义1 设
E
是
R
的一个子集，
R
是实数集，
f
是一个规律，如果对
E
中的每一点
(x,y)
，通过规律
f
，
在
R
中有 唯一的一个
u
与此对应，则称
f
是定义在
E
上的一个二元函 数，它在点
(x,y)
的函数值是
u
，并记
此值为
f(x, y)
，即
uf(x,y)
。
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有时， 二元函数可以用空间的一块曲面表示出来，这为研究问题提供了直观想象。例如，二元函数
2
x R
2
x
2
y
2
就是一个上半球面，球心在原点，半径 为
R
，此函数定义域为满足关系式
x
2
y
2
R
2
的
x
，
y
全体，即
D{(x,y)|xy R}
。又如，
Zxy
是马鞍面。
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二 多元函数的极限
定义2 设
E
是
R
的一个开集，
A是一个常数，二元函数
f

M

f(x,y)
在点< br>M
0

x
0
,y
0

E
附近有定
2
222
义．如果


0
，


0
，当
0r

M,M
0



时，有
f(M)A

，就称
A
是二元函数 在
M
0
点的
极限。记为
limf

M
< br>A
或
f

M

A

MM0

。
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MM
0
定义的等价叙述1 设
E
是
R
的一个开集 ，
A
是一个常数，二元函数
f

M

f(x,y )
在点
M
0

x
0
,y
0
E
2
附近有定义．如果


0
，


0
，当
0

xx
0



yy
0

2 5
22


时， 有
f(x,y)A

，就称
A
是

二元函 数在
M
0
点的极限。记为
limf

M

A
或
f

M

A

MM
0

。
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MM
0
定义的等价叙述2 设
E
是
R
2
的一个开集，
A
是一个常数，二元函数
f

M

 f(x,y)
在点
M
0

x
0
,y
0
E
附近有定义．如果


0
，


0
，当
0xx
0


,0yy0


且

x,y



x
0
,y
0

时，有
f(x,y)A

，就称
A
是二元函数在
M
0
点的极限。记为
limf

M

A
或
f

M

A< br>
MM
0

。
MM
0
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注：（1）和一元函数的情形一样，如果
limf(M)A
，则当< br>M
以任何点列及任何方式趋于
M
0
时，
f(M)
M M
0
的极限是
A
；反之，
M
以任何方式及任何点列趋于M
0
时，
f(M)
的极限是
A
。但若
M
在某一点列或沿某
一曲线
M
0
时，
f(M)
的极限为< br>A
，还不能肯定
f(M)
在
M
0
的极限是
A
。所以说，这里的“”或“”
要比一元函数的情形复杂得多，下面举例说明。
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例：设二元函数
f(x,y)
xy
，讨论在点
(0,0)
的的二重极限。
x
2
y
2
x
2< br>y
例：设二元函数
f(x,y)
2
，讨论在点
(0,0)< br>的二重极限是否存在。
xy
2


0,
例：f(x,y)



1,
x
2
y或y0
其它
，讨论该函数的二重极限是否存在。
二元函数的极限较之一元函数的极限而言， 要复杂得多，特别是自变量的变化趋势，较之一元函数要复
杂。
例：
lim
xy
。
x
x
2
xy y
2
y
sinxy
2222222(xy)
②
lim(xy)ln(xy)
③
lim(xy)e

x0x
x0
x
y0y
y0
例：①
lim
cos
2

sin
2

x
2y
2
0?
（注意：例：求
f(x,y)
3
在（０， ０）点的极限，若用极坐标替换则为
limr
33
3
r0
cos< br>
sin

xy
cos
3

sin< br>3

在


7

时为０，此时无界）。 < br>4
x
2
y
例：（极坐标法再举例）：设二元函数
f(x,y) 
2
，讨论在点
(0,0)
的二重极限．
xy
2
证明二元极限不存在的方法．
基本思想：根据重极限定义，若重极 限存在，则它沿任何路径的极限都应存在且相等，故若１）某个特殊路
径的极限不存在；或２）某两个特 殊路径的极限不等；３）或用极坐标法，说明极限与辐角有关．
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3 5

例：
f(x,y)
xy
在
(0 ,0)
的二重极限不存在．
22
xy
三 二元函数的连续性
定义3 设
f

M

在
M
0
点 有定义，如果
limf(M)f(M
0
)
，则称
f
M

在
M
0
点连续．
MM
0
“< br>


语言”描述：


0,

0,当0
M,M
0



，有
f(M)f(M
0
)

。
如果
f
在开集E
内每一点连续，则称
f
在
E
内连续，或称
f
是
E
内的连续函数。
例：求函数
utanx
2
y
2
的不连续点。
四 有界闭区域上连续函数的性质
有界性定理 若
f

x,y< br>
再有界闭区域
D
上连续，则它在
D
上有界。
一致连续性定理 若
f

x,y

再有界闭区域
D
上连续，则它在
D
上一致连续。
最大值最小值定理 若
f
x,y

再有界闭区域
D
上连续，则它在
D
上必有最大值和最小值。
n
P
0
和
P
1
是
D
内任意两点，
f
是
D
内的连续函数，零点存在定理 设
D
是
R
中的一个区域，如果
f(P
0
)0
，< br>



f(P
1
)0，则在
D
内任何一条连结
P
0
,P
1
的折线上 ，至少存在一点
P
s
，使
f(P
s
)0
。
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用途
五 二重极限和二次极限
在极限
lim f(x,y)
中，两个自变量同时以任何方式趋于
x
0
,y
0
，这种极限也叫做重极限（二重极限）．此
xx
0
yy
0
外， 我们还要讨论当
x,y
先后相继地趋于
x
0
与
y
0
时
f(x,y)
的极限．这种极限称为累次极限（二次极限），
其定义如下：
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若对任一固定的
y
，当
xx
0
时，
f(x,y)
的极限存在：
limf(x,y)

(y)
,而

(y)
在
yy
0
时的
x x
0
极限也存在并等于
A
，亦即
lim
yy
0

(y)A
，那么称
A
为
f(x,y)
先对x
，再对
y
的二次极限，记为
yy
0
xx
0
limlimf(x,y)A
．
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xx< br>0
yy
0
同样可定义先
y
后
x
的二次极限 ：
limlimf(x,y)
．
上述两类极限统称为累次极限。
注意：二次极限（累次极限）与二重极限（重极限）没有什么必然的联系。
例：（二重极限存在，但两个二次极限不存在）．设
11

xsinys inx0,y0

yx
f(x,y)



0x0ory0

4 5

由
f(x,y)xy
得
limf(x,y)0
（两边夹）;由
limsin
x0
y0
y0
1
不存 在知
f(x,y)
的累次极限不存在。
y
例：（两个二次极限存在且相等，但二重极限不存在）。设
f(x,y)
xy
，
(x,y)(0,0)

22< br>xy
y0x0
由
limlimf(x,y)limlimf(x,y) 0
知两个二次极限存在且相等。但由前面知
limf(x,y)
不存在。
x0y0
x0
y0
例：（两个二次极限存在，但不相等）。设
x
2
y
2
，
(x,y)(0,0)

f(x,y)
22
xy
则
limlimf(x,y)1
，
limlimf(x,y)1
;
limlimf(x,y)limlimf(x,y)
（不可交换）
x0y 0y0x0x0y0y0x0
上面诸例说明：二次极限存在与否和二重极限存在与否，二者 之间没有一定的关系。但在某些条件下，它们
之间会有一些联系。
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定理1 设（1）二重极限
limf(x,y)A
；（2）
y,yy< br>0
，
limf(x,y)

(y)
。则
xx< br>0
yy
0
xx
0
yy
0
lim

(y)limlimf(x,y)A
。
yy
0
xx< br>0
（定理1说明：在重极限与一个累次极限都存在时，它们必相等。但并不意味着另一累次极限存 在）。
推论1 设（1）
limf(x,y)A
；（2）
y,y y
0
，
limf(x,y)
存在；（3）
x,xx
0< br>，
limf(x,y)
xx
0
yy
0
xx0
yy
0
存在；则
limlimf(x,y)
，
li mlimf(x,y)
都存在，并且等于二重极限
limf(x,y)
。
y y
0
xx
0
xx
0
yy
0
xx
0
yy
0
推论2 若累次极限
limlimf(x,y)
与
limlimf(x,y)
存在但不相等，则重极限
limf(x,y)
必不存在（可
xx
0
yy
0
yy
0
xx< br>0
xx
0
yy
0
用于否定重极限的存在性）。
例：求函数
f

x,y


x
2
y
2
xy

xy

22
2
在

0,0

的二次极限和二重极限。
5 5