珠海中考-少先队工作计划

复变函数的极限
于秀芝
(渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国 )

摘要：这是一篇讨论复变函数极限的论文，把我们所熟悉的数学 分析中实变函数极限的定义、
定理、性质，推广到复变函数中，并加以证明。但是实变函数极限的定义、 定理、性质，并不完
全适用于复变函数。例如：复变函数的极限没有保序性、正性，复变函数没有左、右 极限等等。
同时，复变函数极限的定义与数学分析中的二元函数极限的定义相似，故它又具有二元函数的 某
些性质。本篇论文由四个方面组成。首先，我们讨论的是复变函数在某个定点时极限的定义，即
描述性极限的定义和表达式极限的定义。其次，我们讨论的是复变函数极限的定理，如Heine定
理 、Cauchy 准则、复合函数极限的定理等等，并给出了详细的证明。再次，我们讨论的是复变
函数 极限的性质，即唯一性、绝对值的极限、局部有界性、四则运算法则等等，同时，我们也给
了详细的证明 。最后，我们讨论的是复变函数在无穷远点的极限。在这方面，我们将极限从有限
的定点逐渐引入到无穷 远点，进而给出了函数在无穷远点处极限的定义、运算法则、定理，并给
予了相应的应用。

关键词：Heine 定理 Cauchy 准则 极限 复数列
Complex variable function limit
Yu Xiuzhi
(Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China)

Abstract：This is a discussion about complex variable function limit paper. It promotes the definition,
theorem, nature of the real variable function limit to the complex variable function limit and performs to
prove it .But the definition, the theorem, the nature of the real variable function limit
aren’t completely suitable for the complex example, complex variable
function limit doesn’t have order nature,positive nature , and complex variable function doesn’t have
left limit and right limit , and so on . Simultaneously,the definition of the complex variable function
limit and the definition of the dual function limit of mathematica lanalysis is it also has
some natures of dual function paper has four ,We discuss the defination of the
complex variable function in some apex time , namely the definition of description limit and the
definition of expression ,we discuss the theorem of the complex variable function
example ,Heine theorem, Cauchy criterion,the theorem of composite function limit,and so on. And it
has produced the detailed proof. Once more,we discuss the nature of the complex variable function limit.
Namely unique nature , absolute value limit nature ,partially having nature, mathematical operations
principle nature ,and so on . At the same time, we have also gave the detailed proof. Finally ,we discuss
the complex variable function limit in the infinite point. In this aspect, we gradually introduce the limit
from the limited fixed point to the infinite point, and then we have produced the definition and the
theorem of limit in the infinite point . And we have gave the corresponding application.


Key words: Heine theorem Cauchy criterion Limit Duplicate sequence

1

一、复变函数极限的定义
1．定义
定义

：设< br>f
在点
z
0
的去心邻域内有定义，当z趋于
z
0时 ，
f(z)
的极限
为
w
0
, 或是
lim f(z)w
0
,指的是
wf(z)
可以任意接近
w
0< br>，只要我们选的点z
zz
0
足够地接近
z
0
，而不 等于它。
定义Ⅱ：
limf(z)w
0
，表明对每一个正实数

，都存在一个正实数

，
zz
0
使得当：0<
 zz
0

<

时，有|
f(z)

f (z
0
)
|<

.
2．几何意义
从几何意义上 来说，这个定义指的是：
w
0
的每一个

邻域|
ww0
|

,
有
z
0
的一个去心邻域0<
| z-z
0

<

,使得其中的每一个z的像
w
位于
w
0
的

邻
域中。








注意：即使我们要考虑去心邻域0<
zz
0

<

的所有的点，也并不要
求它们的 像要添满整个邻域
ww
0

<

中。
例如： 如果
f(z)
为常数
w
0
，那么z的像，总是整个邻域的中心点，< br>
2

一旦

被找到，那么它还可以由更小的正实数代 替，比如说

。
定义Ⅱ要求
f
定义在
z
0< br>的去心邻域内，当
z
0
是
f(z)
的定义域内的一个内
点时，这样的去心邻域当然总是存在的，我们可以通过如下的方式来把极
限的定义拓宽到当
z
0
是边界点的时候，只要让不等式中的z同时在区域内，
而且在去心邻域内。
例1 我们将要证明:如果
f(z)
=在开圆
z
内，那么
limf(z)
。
z1
证明：点1位于
f
的定义域的 边界上，观察到当在区域
z1
时，有
i
f(z)

2
izi
=


22
z1
=
2
iz
2
i
2< br>因此，对于这样的z和任意的正实数

，我们可以得到，当
0z12 
时 ，有
i
f(z)

2
因此，当

是等于或者小于

的正实数时，在
0z1
中的任意点 都满
足定义Ⅱ中的条件，如下图所示：


3

如 果
z
0
是
f
的定义域的内点，定义

中的极限存在 ，定义Ⅱ中的第二
个不等式应该对去心邻域
0zz
0

内 的所有的点z都成立。
所以，符号
zz
0
表示z允许以任意的方式趋近于
z
0
，而不是以某一
特定的方向趋近于
z
0
。
下面的例子要强调这一点 。
例2 如果
f(Z)
Z
，则极限
limf(Z)
不存在。
Z0

Z0
证明：<反证法> 如果极限
limf(Z)< br>存在，则可以使点
Z(x,y)
以任意的
方式趋于原点，而极限值是唯一的， 但是
Z(x,0)
是实数轴上的非零点，则
此时
f(Z)
xi0
1

xi0
0iy
1
。
0iy
且当
Z( 0,y)
是虚轴上的非零点,则此时
f(Z)
于是，让Z沿实数轴趋于原点时，我们 发现极限值为1；
另一方向，让Z沿虚轴趋于原点时，我们发现极限值为-1。
但是，由复 变函数极限值的唯一性知，函数
f(z)
的极限是不存在的。（该
函数沿实数轴和虚轴 趋于原点的图象，为下图所示）


4

二、复变函数的定理
z
0
x
0
iy< br>0
，
w
0
u
0
iv
0
， 定理1 设
f(z)u(x,y)iv(x,y)
，那么
limf(z)w< br>0
,
zz
0
当且仅当
(x,y)(x
0
,y
0
)
limu(x,y)u
0
且
(x,y)(x< br>0
,y
0
)
limv(x,y)v
0
。
(x,y)(x
0
,y
0
)
证明：（充分性）假如< br>(x,y)(x
0
,y
0
)
limu(x,y)u
0
且
limv(x,y)v
0
成立，那么
f(z)
的极 限存在。设极限值为
w
0
u
0
iv
0
，即
limf(z)w
0
u
0
iv
0
。
zz
0
由
(x,y)(x
0
,y
0
)
limu(x,y)u
0
知道，对任意的正实数

，都存在正实数

1
，使得
当
0(xx
0
)
2
( yy
0
)
2

1
时，有:
uu
0


（1）
2
对上述的

，由
(x,y)(x
0
,y
0
)
limv(x,y)v
0
知，存在< br>
2
>0，使得当
0(xx
0
)
2
 (yy
0
)
2

2
时，有:
vv
0


（2）
2
令

取

1
和

2< br>中较小的数，由
(uiv)(u
0
iv
0


=
uu
0
)i(vv
0




uu
0

+
vv
0


和

(xx
0
)
2(yy
0
)
2

=
(xx
0
)i(yy
0
)

=

(xiy)(x
0
iy
0
)

由（1）（2）所述， 有

(uiv)(u
0
iv
0
)



成立，只要
0


(xiy) (x
0
iy
0
)


即可.

5

2

2

这就是说，函数
f( z)
的极限存在。
（必要性）假使函数
f(z)
的极限存在 ，即
limf(z)
=
w
0
.
zz
0
由此 ，对于每一个正实数

，都存在一个正实数

，使得

(uiv)(u
0
iv
0
)
<

（3）
成立，只需
0


(xiy)(x
0
iy
0
)


（4）
但是
uu
0


uu
0
)i(vv0
)

(uiv)(u
0
iv
0
) 


vv
0


uu
0
)i(vv
0
)

(uiv)(u
0
iv
0
)

并且
(xiy)(x
0
iy
0
)


(xx
0
)i(yy
0
)


(xx
0
)
2
(yy
0
)
2
因此，由不等式（3）（4）可知
uu0



，
vv
0



0

(xx
2
0
)(yy
0
)< br>2



.
这样就得到了
(x,y)
lim
(x
u(x,y)



u
0
，
limv(x,y)

v0
0
,y
0
)(x,y)(x
.
0
,y
0
)
例3 求数列 {
Z
1i
n
}= {
[
2
]
n
}的极限。
解：
lim[
1i
n
2
]
n

=
lim[
2
n
2
.(cos
< br>4
isin

4
)]
n

= < br>lim(
2
n
2
)
n
.(cos
n
4
isin
n

4
)

=
lim(
2
n
n

n
2
).co s
4
ilim(
2
n
2
)
n
.si n
n

4


=
0


6
成立，只需

定理2（复合函数的极限） 设 limf(u)w
0
，
limg(z)u
0
，且存在
z
0
uuzz
00
的一个空心邻域有定义，当
z
在此 邻域内时，有
g(z)u
0
,则
zz
0
limf(g(z))w
0
.
证明：对于任给的


0 ，由
limf(u)w
0
可知，存在
0
，使得：
uu
0
当
0uu
0

时，恒有
f(u)w
0

。
再由
g(z)
的假设 ，知存在

，使得当
0zz
0

时，恒有< br>0g(z)u
0

。
因此就有
f(g(z))w
0

.
根据复变函数极限的定义有
zz
0
limf(g(z))w
0
.
定理3（Heine定理） 设函数
f(z)
在点
z
0
的一个空心邻域内有定义，
则
z
limf(z)w
0
的充分必要条件是：对任何复数列{
z< br>n
}，
z
n
z
0
(n)
且
 z
0
z
n
z
0
(n1,2)
恒有

limf(z
n
)w
0
.
n
证明：（必要性）因为
z
limf(z)w
0
，故对于任意的
 0
，都存在
0
，
z
0
使得当
0zz
0

时，有
f(z)w
0

。
又因为
z
n< br>z
0
(n)
，故对于上述
0
，存在N
0
，使得当
nN

时，就有
zz
n

。
由已知又有
z
n
z
0
(n1,2)
，故当
nN
时，有
0zz
0

。
于是，当
nN
时，就有
f(z
n
)w
0

。
故得
limf(z
n
)w
0
。
n

7

（充分性）：<反证法>若
limf(z)w
0
，则由极限的否定表述知，存在
zz
0

0
0
，使得 对任何
0
，都存在
z

，使得 当
0z

z
0

时,有
f(z

)w
0


。
依次取

n

，
n1,2
则有数列{z
n
}
，使得当
0z
n
z
0

时，有
f(z
n
)w
0

0
。
1
n
1
n
这表明
{z
n
}
满 足条件
z
n
z
0
(n)
，且
z
n< br>z
0
,(
n1,2
)，但
limf(z
n
)

n


w
0
，与充分性的假设矛盾。
从而有
z
limf(z)
=
w
0
。
z
0
推论： 设{
z
1n
}和{
z
2n
}为异于
z
0
，但又趋于
z
0
的数列，满足：
limf(z
1n
)

limf(z
2n
)
，则
limf(z)
不存在。
n
n
zz
0
定理4（Cauchy准则） 复变函数< br>f(z)
在点
z
0
处有极限的充分必要条
件是：对任何给定的
0
，都存在
0
，使得
f(z
1
)f(z
2
)
<

，

z
1
，
z
2
：
0z
1
z


，
0z
2
z


。
证明：（必要性）设
z
lim
于是，对于任给的
0
，都存在
0
，
f(z)
=
w
0
，
z
0
使得，当0zz


时，就有
f(z)w
0
 
0z
2
z


时，有

。 于是，当
0z
1
z


，
2
 f(z
1
)f(z
2
)


f(z
1
)w
0



f(z
2
)w
0


<+
=

。
（充分性）设{
z
n
}是满足条件z
n
z
0
(
n
)，且
z
nz
0
（
n1,2
）

8

2

2

的任一复数列，对于任给的
0
，按假设存在
0
，使得当
0z
'
z
0

及
0z
''
z
0

时，就有
f(z< br>'
)f(z
''
)
。
对于上述的
0
，因为
z
n
z
0
（
n
），故有
N
，使得当
nN
时，
就有
z
n
z
0

。
又因为
z
n< br>z
0
（
n1,2
），故当
mN
，
n N
时，就有
0z
m
z
0

，
0z
n
z
0

，于是当
mN
，
nN
时，有
f(z
m
)f(z
n
)
。
由Cauchy 收敛准则知{
f(z
n
)
}收敛。
再由Heine定理知，
f(z)
在点
z
0
的极限存在。
三、复变函数极限的性质
1．（唯一性） 当一个函数
f(z)
在一个点
z
0
存在极限，那么函数
f(z)
的极限值是唯一的。
证 明：设
z
limf(z)w
0
，
limf(z)w
，那 么，对于任意的正实数

，存
zzz
00
在正实数
< br>
和


使得：
当
0zz
0


时，有
f(z)w
0

。
当
0zz
0


时，有
f(z)w。

因此，如果
0zz
0

，其中

为


和


当中较小的一个，那么，
我们有
ww
0

= |
[f(z)w
0
]

[f(z)w
1
]
|


f(z)w
0

+
f(z)w
1






=2

。
由 于

可以选得任意小，所以，
w
1
w
0
0。

9

即
w
1
w
0，即
limf(z)w
0
w
1
。
zz
0
故极限是唯一的。
例4 设
f(z)
= +，
z0
，试证明：当
z0
时，
f(z)
的极限不存
在。

=
re
-i

。
证明：设
zre
i

，则
Z



re< br>i

re
i

于是
f(z)
=
i

+
i


rere
=
e
2i

e
2i


=
cos2

。
当

=
0
时，即
z
沿第一象限的角平分线趋于零时，有
limf(z)0
。
z0
当

=时，即
z
沿
yx
这条直线趋于零时，有
z
limf(z)1
。

0
由于
z
以不 同的方式趋于零时，
f(z)
不趋于同一个值，因此，由复变
函数极限值的唯一性知， 该复变函数的极限不存在。
例5 设
f(z)
=
ReZ
，z0
，试证明：当
z0
时，
f(z)
的极限不存在。
Z

4
证明：设
zxiy
，则
x
ReZ
= ，
xiy
Z
当z沿直线
ykx
趋向于零时，有
x

ykx0
xiy
lim

lim
x

x0
xikx
ykx0

1
。
1ik
显然，当
k
取不同值时，
f(z)
趋于不同的值。

10

所以，由复变函数极限值的唯一性知，
lim
z0
ReZ
不存在。
Z
例6 设
f(z)
=[
不存在。
Z

，试证：当
z 0
时，
f(z)
的极限

]

2i
（
z0
）


证明：设
zr(cos

i sin

)
，则
f(z)
=
2rcos

·2irsin


2
2ir
=
sin2

。
于是，
当z 沿着正实数趋向于
0
时，

=
0
，此时，我们得到：
lim

f(z)0
。
z0
当z沿
yx这条直线趋于
0
时，

=，此时，我们得到：
limf(z) 1
。
z0

4
而由复变函数极限值的唯一性知，该极限不存在。
2．（绝对值的极限） 如果
z
lim
|w
0
|
。
f(z)w
0
，则
lim|f(z)|
zz
z
0
0
证明 ：由于
z
limf(z)w
0
，则有
0
，
0
，使得
z:0zz
0

，
z
0
有
f(z)w
0


而

f(z)w
0



f(z)w
0




故
z
limf(z)w
0

。
z< br>0
f(z)w
0
，则复变函数
f(z)
在点
z0
的某一3．（局部有界性） 如果
z
lim
z
0
空心邻域内有界。
f(z)w0
，则由复变函数极限的定义有，

，存在证明：已知
z
lim
z
0

，
z:

0zz
0

，有

11

f(z)w
0
1

f(z)w
0



f(z)w
0


<1
-1

f(z)w
0


1
故有

f(z)

w
0

+1。
即
f(z)
在点
z
0
的某一空心邻域内有界。
4．（四则运算法则） 设
z
limf(z)w
0
，且
limF(z)W
0
，
zzz
00
那么

z
lim[f(z)F(z)]w
0
W
0
（1）
z
0

z
lim[f(z)F(z)]w
0
W
0
（2）
z
0

z
lim[f(z)F(z)]w
0
W
0
（3）
z
0
并且如果
W
0
0
，有

z
lim
z
0
f(z)
w
0

（4）
F(z)W
0
证明：（1）、（2）。
令
f(z)u (x,y)iv(x,y)
，
F(z)U(x,y)iV(x,y)
，则 u(x,y)u

x
lim
x
0

yy
0
f(z)w
0



z
lim

z
0
limv(x,y)v
< br>xx
0


yy
0
U(x,y)U

x
lim
x
0


yy
0
F (z)W
0





z
lim
z
0
V(x,y)V

x
lim
x
0


yy
0

12

根据二元实变函数极限的运算法则，有
(x,y)(x,0
,y
0
)
lim[u(x,y)U(x,y)]uU

[v(x,y)V(x,y)]vV

(x,y)(x
,0
,y
0
)
lim
而

f(z)F(z)



[u(x,y)U(x,y)]i[v(x,y)V(x,y)]

于是，

z
lim[f(z)F(z)]

z
0
=
[u(x,y)U(x,y)]i[v(x,y)V(x,y)]

=
w
0
W
0

证明（3）：令
f(z)
=
u(x,y)iv(x,y)
，
F(z)
=
U(x,y)i V(x,y)
且
z
0
x
0
iy
0
，
w
0
u
0
iv
0
，
W
0U
0
iV
0
，那么，根据已知条件和定理1
有，
当
(x,y)
趋于
(x
0
,y
0
)
时， 相应的函数u, v, U, V 的极限均存在，并且
分别为
u
0
，
v
0
，
U
0
和
V
0
。
所以，乘积
f(z)F(z)
=
(uUvV)i(vUuV)
。
当
(x,y)
趋于
(x
0
,y
0
)
时，其极限的实部和虚部的分量分别为
(u
0
U
0
v
0
V
0
)
和（
v
0
U
0
u
0
V
0
）。
因此，由定理1，当
z
趋于
z
0
时 ，
f(z)F(z)
有极限

(u
0
U
0
v
0
V
0
)i(v
0
U
0
u0
V
0
)

且它等于
w
0
W
0
，即该等式成立。
证明（4）：已知
f(z)
=

f(z)
•F(z)

F(z)
13

由运算法则（3）有
w
0
limf(z)

zz
0



z
lim[
z
0
f(z)
•F(z)]

F(z)
f(z)
•limF(z)

F(z)
zz
0



z
lim
z
0


z
lim
z
0
f(z)
•

W
0

F(z)
又
W
0
0
，故 有
z
lim
z
0
f(z)
w
0

。
F(z)W
0
例7 求多项式
p(z)a
0
a
1
Za
2
Z
2
a
n
z
n
的极限。
解：由极限的定义知

z
limcc
，且
limzz
0
，
zz z
00
这里
z
和
c
是任意的复数，并且由四则运算法则和 数学归纳法知，
zz
0
limz
n
z
0
n
（
n1,2
）
所以，多项式
p(z)a
0
a
1
Za
2
Z
2
a
n
z
n

当
z
趋于
z
0
时的极限是多项式在该点的取值 ，即
z
limp(z)p(z
0
)
。
z
0
例 8 计算下列极限
（1）
（2）
zz2zz2
，
z1
；
2
z1
zi
，
zi
；
z(1z
2
)
（3）
解：
lim
z1
1
，
z
；
2
1z
(z2)(z1)
zz2zz2
lim
=
z1
(z1)(z1)
z
2
1

14

=
lim
z1
=

lim
zi
(z2)

(z1)
3
2
zi
zi
lim
=
2
zi
z(zi)(zi)
z(1z)
=
lim
zi
1
2
1

z(zi)
= -
t
2
11
lim

lim
= （令）
z
t0
1t
2
z 
1z
2
t
= 0
四、复变函数在无穷远点处的极限
1．把无穷远点

引入复平面，并且 使用与之相关的极限，在很多时
候是很方便的，这样的平面被成为扩充复平面，要观察无穷远点，可以< br>把复平面想象为以原点
z0
为中心的球面，沿赤道的投影平面上的每个
点z
都对应球面上一个点
p
。









15
N
P
Z

点
p
由通过点
z
和北极的直线与球面的交所确定，我们以同 样的方式
可以知道除北极点外，球面上的每一点
p
都对应平面上的一个点
z< br>，让球
面上的北极点
N
对应无穷远点，这样，我们就可以使扩充的复平面和球< br>面上的点之间建立一一的对应关系，这样的球面被成为黎曼球面，对应
的部分则被成为球极投影。
可以看到复平面上，以原点为中心的单位圆的外部与上半球面除去
赤道和北极点的部分 外均相对应，并且对每一个正实数

，在复平面上的
圆周

外的 点，都对应于离北极点很近的点，因此，我们把集合
zz
叫做

的一个

邻域。
约定：当说一个点
z
，我们指的是有限的平面。
现在可以很容易地给出下述式子的含义，其中
z
0
或者
w< br>0
limf(z)w
0
，
zz
0
1

1

取

，或者是它们都取

。
2、定义。
（1）称复变函数
f(z)
在无穷远点附近有定义，如果存在< br>M0
，使得
zM
的点
z
。
f(z)
的定义域包含所有满足

（2）设函数
f(z)
在无穷远点附近有定义，
w
0
C
，如果对任意给定
zM
。则称
z
时
f(z)
以的
0
，都存在M0
，使得
f(z)w
0

，
z:

w
0
为极限，记为
limf(z)w
0
。
z
3．运算法则
f(z)w
0
，
limg(z)v
0
。则 设
z
lim
zz z
00
f(z)g(z)]w
0
v
0
； （1）
z
lim[
z
0
（2）
z
lim[f(z)g(z)]w
0
v
0
；
z
0

16

（3）
lim[f(z)g(z)]w
0
v
0
；
zz
0
（4）
z
lim
z
0
f(z)
w
0

（
v
0
0
）； g(z)v
0
此时的
z
0
，
w
0
可以 同时为

，或者其中之一为无穷。
要求：

+

=

，

+c< br>
c
（
cC
），
cc
(c C,c0)
，

c

=

，
< br>(cC,c)
, =
0
(cC,c)
，
< br>(cC,c)
，

·
cc

c
但 可为

），
cggc(cC,c0)
，
0
；
其中

·

（
cC,c0
，
0< br>,
0
可以应用下面即将谈到的洛必达法则进行计算。
4. 定理及应用。
定理5：如果
z
0
和
w
0
分别是
z
和
w
平面上的点，那么
（1）
z
limf(z)
, 当且仅当
lim
zz
z
0
0
1
0
。
f(z)
（2）
limf(z)w
0
，当且仅当
limf()w
0
。
z0
z
1
z< br>（3）
limf(z)
，当且仅当
lim
z0
z< br>1
0
。
1
f()
z
证明：(1) 由< br>z
limf(z)
知，对于每一个正实数

，都存在一个正实z
0
数

，使得当
0zz
0
< br>时，有
1

f(z)
（4）

这就是说，当点
z
位于点
z
0
的去心邻域
0zz
0

时，点
wf(z)
位于

的
邻域
w
，因为（4）可以被写成：当
0zz
0

时，有

1
0
。
f(z)< br>1

由此，便得到
z
lim
z
0
1
0
。
f(z)


17

（2） 由
limf(z)w
0
知，对于每一个正实数

，都存在一个正实 数

，
z
使得当
z
时，有
1


f(z)w
0

（5）
如果以
1
z
代替
z
，就可以得到以下的结果:
当
0z0
时，有
f(
1
z
)w
0< br>
.
最后，（3）的第一个极限
lim
z
f(z)
可以被解释为：
对于每一个正实数
，都存在一个正实数

，使得当
z
1

时，有
f(z)
1

。
如果以
1
z
代替
z
，就可以得到以下的结果
当< br>0z0
时，有

1

f(
1< br>；
z
)
这就给出了（3）的第二个极限。
例如，据观察 ，由于< br>1
z
lim
z
1
iz3
0
，有
lim
iz3
z1
z1

，
2
由于
i
lim
z
z01

lim
2z
3
z
1
z0
2 z
3



2
有
lim
2zi
z
z1

2
1
更进一步，由于
lim
z
2
1
2z3
z0
2



lim
z0
2z
3

z
3
1


0
有
lim
2z
3
1z
z
2
1
=

。

18

定理6：（洛必达法则型） 设函数
f(z)
与
g(z)< br>在
0zz
0

（

）
内可微 ，且
g
'
(z)0
。如果

limg(z)
，
zz
0


f
'
(z)
f(z)

lim
那么，只要极限
z
l im
存在（或为），则极限也存在（或
z
0
g
'
(z)< br>zz
0
g(z)
f(z)f
'
(z)
lim'
为

），且
z
lim
。
z
0< br>g(z)
zz
0
g(z)
f
'
(z)
A
（有限）证明：设
z
lim
。于是，任给正数
1
，都存 在

1
0
，
z
0
g
'
(z)
使得当：
0zz
0

时恒有


f'(z)
A
（1）
g
'
(z)
记
z
1
z
0


，我们来估计


f(z)f(z
1
)
f(z)
f(z)f(z
1
)
f(z)

+
A
（2）
A



g(z)g(z)g(z
1
)g(z)g(z
1
)
g(z)
对（2）右端的第二项之商应用C auchy中值公式，然后对该项用不
等式（1），我们得到
f
'
()< br>f(z)f(z
1
)
A
的 （3）
A
=

'



g()
g(z)g(z
1
)
其中
z
0
z
1

。为估计（2）的右端的第一项，我们来看
f(z)
f(z)f(z
1
)f(z
1
)


g(z)g(z)g(z)
f(z)f(z
1
)g(z)g(z1
)f(z
1
)

，
g(z)g(z
1
)g(z)g(z)



f(z)
f(z)f(z
1
)


g(z)g(z)g(z
1
)

19

 
f(z
1
)g(z
1
)f(z)f(z
1
)< br>

g(z)g(z)g(z)g(z
1
)
f(z)f (z
1
)
1
[f(z
1
)g(z
1
)

g(z)g(z)g(z
1
)


1
[f(z
1
)(g(z
1
)< br>
g(z)

M
（4）
g(z)
这里我们用到（3）和
1
， 并已令
Mf(z
1
)(g(z
1
)
。由于
zz
0
limg(z)
，故有

2
0
，使当
z
0
zz
2

时，
g(z)
M
。由此以及（2）

（3）（4）即得

f(z)
A2

g(z)
这就证明了
z
lim
z
0
f(z)A
。（
A
为

的证明是类似）
g(z)











20

参考文献：
[1]《复变函数论》（第三版），钟玉泉，高等教育出版社，北京，2004。
[2]《数学分析》（第三版），尹景学，高等教育出版社，北京，2004，5。
[3]《复变函数与积分变换》（第四版），李建林，西北工业大学出版社。
[4]《复变函数与应用》（原书第七版），邓冠铁，机械工业出版社。
[5]《复变函数学习辅导》（第四版），路之阳，西安科技大学出版社。
[6]《复变函数》，杨纶标，科技出版社。

21