7.叙述
f
在
D
上一致连续的定义．
f
在
D
上一致连续


0,



,P,QD
只要

(P,Q)

，就有
f(P)f(Q)

.

8.叙述
f
在
D
上不一致连续的定义．
f
在D
上不一致连续


0
0,

,P< br>
,Q

D
尽管

(P

,Q< br>
)

，但有
f(P

)f(Q
)

0
.

二 疑难问题与注意事项
1.
{(x,y)|0xx
0


,0yy
0

}
表示空心邻域吗？
答：不是．
{(x,y)|xx
0< br>

,yy
0


,(x,y)(x
0
,y
0
)}
只是
{(x,y)|xx
0


,yy
0


}
去
掉一点
(x0
,y
0
)
，而
{(x,y)|0xx
0


,0yy
0


}
是
{(x,y )|xx
0


,yy
0


}去
掉了两条线段，
{(x,y)|xx
0
,y
0
< br>
yy
0


}
，
{(x,y)|y y
0
,x
0


xx
0


}
．







2.
E
的界点是
E
的聚点吗？
答：不一定，
E
的界点还可能是
E
的孤立点．

3.
E
的聚点一定属于
E
吗？
答：不一定，例如，D{(x,y)|1xy4}
，满足
xy4
的一切点也是
D
的
聚点，但它们都不属于
D
．
注
E
的内点，孤 立点一定属于
E
，
E
的聚点，界点可能属于
E
，也可能不属 于
E
，
E
的外点一定不属于
E
．
4.区域上每一点都是聚点吗？
答 区域上每一点都是聚点，因为区域是连通的开集，既然连 通，就能保证，区域上每
2222

一点的邻域有无穷多个点．
22
5.
x
1
x
2
，
（x
1
-x
2
）(y
1
y
2
)
，
x
1
x
2
y
1
y
2
之间有什么关系？
22
答：
x
1
x
2
或y
1
y
2
（x
1
-x
2
）(y
1
y
2
)x
1
x
2
y
1
y
2
．

6.用方形邻域证明
答：证明
(x,y)(x
0
,y
0
)
limf(x,y)A.
的思路是什么？
(x,y) (x
0
,y
0
)
limf(x,y)A.
怎么证呢？- -----关键也是找

.
（用方形邻域的思路


0 ,

0,
当
xx
0


，
yy
0


，
(x,y)(x
0
,y
0
)
，有
f(x,y)A

.）
当
(x,y )(x
0
,y
0
)
，有
(x,y)(x
0,y
0
)
，把
f(x,y)A
化简为下述形式:
f (x,y)A


x,y

xx
0



x,y

yy
0
（注意一定要出现
xx
0
，
yy
0
）.然后
将


x ,y

,


x,y

适当放大，有时先要限定< br>xx
0


1
，
yy
0

1
,估算得


x,y

M
< br>,

f(x,y)AMxx
0
Nyy
0
这 个形式）
x,

y
,则（最综化简到
N
；
< br>
0
，要使
f(x,y)A
，只要
Mxx
0
Nyy
0


MN


，即 要


，取
min(
，于是


0,

0,
当
xx
0


，yy
0


，

1
,)
MNM N
(x,y)(x
0
,y
0
)
，有
f(x,y) A

.
7. 证明判断二元函数
f

x,y

在
(x,y)(0,0)
时二重极限不存在？
答：1）当动点
(x,y)
沿着直线
ymx
而趋于定点
(0,0)
时，若
有关，则二重极限
2）令
(x,y)(0,0)
ymx
l imf(x,y)
值与
m
(x,y)(0,0)
limf(x,y)
不存在．
f(rcos

,rsin

)
与

有关，则二重极限
xrcos

，
yrsin

，
lim
r0
(x,y)(0,0)
limf(x,y)
不存 在．
limf(x,y)
存在． 注意 若
limf(rcos

,rsin

)
与

无关，则二重极限
r0
(x ,y)(0,0)
3）找自变量的两种变化趋势，使两种方式下极限不同．
4）证明两个累次极限存在但不相等．
8. 当动点
(x,y)
沿着直线< br>ymx
而趋于定点
(0,0)
时，若
关，能说明二重极限
( x,y)(0,0)
ymx
limf(x,y)
值与
m< br>无
(x,y)(0,0)
limf(x,y)
存在吗？

答：不能，因为所谓二元函数存在极限，是指
(x,y)
以任何方式趋于
(0,0 )
时，函数
动点
(x,y)
沿着直线
ymx
而趋于定点< br>(0,0)
这只是一
f(x,y)
都无限接近于同一个常数，
种方式， 还有其它方式．
9.计算二元函数极限有哪些方法？
1) 利用有界函数与无穷小的乘积是无穷小；
例 求
(x,y)(0,0)
lim(xy)sin
1
．
22xy
1
1
，利用有界函数与无穷小的乘积
22
xy
解 因为
(x,y)(0,0)
lim(xy)0
，而
sin是无穷小，即知
(x,y)(0,0)
lim(xy)sin
1
0
．
22
xy
2）利用变量替换化为已知极限或化为一元函数的极限；
sin(x
2
y
2
)
例
lim
．
22
(x,y)(0,0)
xy
解 利用 变量替换．令
ux
2
y
2
，当
(x,y)(0,0)
时，有
u0
，因此
sin(x
2
y
2
)sinu
limlim1
．
22
(x,y)(0,0)u0< br>xyu
3）利用极坐标变换．令
xrcos

，
y
径关于



0,2


一致成立，则
(x,y)(0,0)
rsin

，如果
f(rcos

,rsin

)
沿径向路
r0
limf(x,y)limf( rcos

,rsin

)
；
x
2
y
例 求
lim
．
(x,y)(0,0)
x
2
y
2
解 利用极坐标变换．令
xrcos
因此
,y)(0,0)
当
(x

，
yrsin

，时，有
r0
，
x
2
yr
3
cos
2

sin

2
limlimlimrcos

sin

0
． 2
(x,y)(0,0)
x
2
y
2
r0r0< br>r
4）利用不等式，使用夹逼准则．
x
2
y
2
lim
例
(x,y)(, )
x
4
y
4


11

x
2
y
2
x
2
y
2
11

2

2
，而
lim

2

2
0
解 因为
0
4
(x,y)(,)
2y2x

xy
4
2x
2
y
2
2y2x

x
2
y
2
lim0
． 因此
(x, y)(,)
x
4
y
4
5）初等变形求极限，如
1
极限，凑

1


e
，
0．

1

例

1


1

(x,y)(,0)

x

lim
x2
xy

x
xy

1

lim< br>
1

解
(x,y)(,0)
x
x
2
xy



1

lim

1

(x,y)(,0)
x




x





e
x
(x,y)(,0)
xy
lim
e
．
10．重极限与累次极限有什么关系？
答：（1）重极限与累次极限没有必然的蕴含关系（除 了若两个累次极限存在但不相等能
推重极限存在）；
（2）若两个重极限与累次极限都存在时，则三者相等；
（3）若重极限和其中一个累次极限 存在时则这两者相等，另一个累次极限可能存在可能
不存在．
（4）两个累次极限可能都存在 ，可能都不存在，可能一个存在一个不存在，都存在时可
能相等，也可能不相等．
11.二元 函数
f

x,y

在

x
0
,y
0

连续，与一元函数
f

x,y
0
< br>在
x
0
连续，一元函数
f

x
0
, y

在
y
0
连续有什么关系？
答






反例 二元函数
f(x,y)


1, xy0,
在原点处显然不连续．但由

0, xy0
f(0,y)f(x,0)0,

因此在原点处
f
对
x
和对
y
分别都连续．
三 典型例题
1．求下列平面点集的内点、边界点、聚点、孤立点形成的集合．


y
2
2
4

； （1）
E


x,y

1x
4

（2）
E
（3）
E


x,y

x,y都是

0,1

中的有理数

；


x,y

x,y都是整数

；
< br>
1

x

（4）
E


x,y

ysin

．

y
2
2
4

， 解：（1）
E
的内点集合是
E


x,y

1x
4


y
2
y
2
22
1或x 4

， 边界点集合是
E


x,y

x
44


y
2
2
4

． 聚点集合是
E


x,y

1x
4
没有孤立点．
（2）
E
没有内点，（因为
E中任意一点的邻域既含有有理数，也含有无理数）；
边界点集合是

0,1



0,1

．聚点集合是

0,1



0,1

，没有孤立点．
（3 ）
E
没有内点，（因为
E
中任意一点的空心邻域当距离很小时，不含整数点）
边界点集合是
E
，没有聚点，孤立点集合是
E
．
（4）
E
没有内点，聚点是
E


x,y
ysin




1

x



x,y

x0,1y1

，没有
孤 立点，界点是
E


x,y

ysin



1

x



x,y

x0,1y1

．
2． 证明
(x
n
,y
n
)(x
0
,y
0
)(n)xn
x
0
,y
n
y
0
(n)
．
证：（

）由于
(x
n
,y
n
)( x
0
,y
0
)(n)
，即对


0
，
NZ
，当
nN
时
22
有
(x< br>n
x
0
)(y
n
y
0
)

，因此有

|x
n
x
0
|(x
n< br>x
0
)
2
(y
n
y
0
)2


，
|y
n
y
0
|(x< br>n
x
0
)
2
(y
n
y
0)
2


，
即
x
n
x
0
,y
n
y
0
(n)
．

（

）由于
x
n
x
0
,y
n
 y
0
(n)
，即对


0
，
N Z
，当
nN
时有

|x
n
x
0
|
从而有

2
，
|y
n
y
0|

2
，
(x
n
x
0
)
2
(y
n
y
0
)
2
x
n
x
0
y
n
y
0


，
即
(x
n
,y
n
)(x
0
,y
0
)(n)
．
3．（1）举出两个累次极限存在，但不相等的例子．
（2）举出两个累次极限存在，且相等的例子．
（3）举出两个累次极限一个存在一个不存在的例子．
（4）举出两个累次极限都不存在的例子．
解：（1）例如
f(x,y)
xy
在
(0,0)
点的两个累次极限存在，但不相等．
xy
liml im
x0y0
xyxy
lim11
，
limliml im

1

1
．
x0y0x0
xyxy
y0
（2）例如
f(x ,y)
xy
在
(0,0)
点的两个累次极限存在，且相等．
22
xy
limlim
x0y0
xyxy
，
lim0 0limlim0
．
y0x0
x
2
y
2
x
2
y
2
x0
（3）例如
f(x,y)xs in
1
在
(0,0)
点只有一个累次极限存在．
y
< br>1

1

limlim

xsin

不存在，
limlim

xsin

0
．
x0y0y0x0
y

y

（4）例 如
f(x,y)xsin
11
ysin
在
(0,0)
点 两个累次极限都不存在．
yx
注 两个累次极限可能都存在，可能都不存在，可能一个存在 一个不存在，都存在时可
能相等，也可能不相等．
4．试作函数
f

x,y

，使当
x0
，
y0
时
(1)两个累次极限存在而重极限不存在；
(2)两个累次极限不存在而重极限存在；
(3)重极限与累次极限都不存在；
(4)重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在．

解 （1）
f(x,y)
xy
，两个累次极限存在（见上题），但
22
xy
xyk
2
xk
lim

lim
2
，
22222
x0

x,y



0,

0
xyxkx1k
y  kx
因为与
k
有关系，因此重极限不存在．
（2）
f(x,y )xsin
11
ysin
，在
(0,0)
点两个累次极限都不存 在，但重极限存在
yx

11

xsinysin
< br>=0
．

x,y



0,0


yx

lim
（3）
f(x,y)
11
，在
(0,0)
点的两个累次极限，重极限都不存在．

22
xy
（4）
f(x,y)xsin
1
1
或
f(x,y)ysin
．
y
x
1
1
0
，
0
，
y
x
变形：当
x
，
y
时，有
（1）
f(x,y)
11
xy
11

x
2
y
2

xy
；
x
2
y
2
（2）
f(x,y)
11
sinysinx
；
xy
22
（3）
f(x,y)xy
；
（4）
f(x,y)
1
siny
．
x

x

,(x,y)(0,0)

5. 讨 论二元函数
f(x,y)

x
2
y
2
在
(0,0)
点的连续性．

0,(x,y)(0,0),

x

r

cos


lim
解 令
xrcos

，
yrsin

，
lim
< br>(x,y)(0,0)
x
2
y
2
r0
r
2
x

0f

0,0

，因此当

2
，根据无穷小量乘有界量为无穷小量知
lim
(x,y)(0,0)< br>x
2
y
2

f(x,y)
在
(0,0 )
点连续；
当

2
，由极限值与

有关，二重 极限不存在，因此
f(x,y)
在
(0,0)
点不连续；
r

cos


当

2
，由
lim不存在，则二重极限不存在，因此
f(x,y)
在
(0,0)
点不连2
r0
r
续．
6．设
f(x,y)
定义在闭矩形域
S[a,b][c,d].
若
f
对
y
在
[c, d]
上处处连续,对
x
在
[a,b]
(且关于
y
) 为一致连续.证明
f
在
S
上处处连续.
分析：要证
f
在
S
上处处连续，只要证


x
0
,y< br>0

S
，
f
在

x
0
, y
0

连续，即证


，


0
，当
xx
0


，
yy
0


，就有
f(x,y)f(x
0
,y
0
)

，因为条件中有一元函数
连续，因此要出现偏增量，即证

，


0
，当
xx
0


，
yy
0


，
f(x,y)f(x
0
,y)f(x
0
,y)f(x
0
,y
0
)< br>

（因为条件是
f
对
y
在
[c,d]上处处连续,对
x
在
[a,b]
(且关于
y
)为一致连 续，因此插入
f(x
0
,y)
.
证明：因为
f对
y
在
[c,d]
上处处连续，则
f

x0
,y

在
y
0
连续，于是

，


0
，
当
yy
0


，就有
f(x
0
,y)f(x
0
,y
0)

2
.
因为对
x
在
[a,b]< br>(且关于
y
)为一致连续，则有


，


0
，当
xx
0


（对任意
y

就有
f(x,y)f(x
0
,y)

2
.
因此


，


0
，当
xx
0


，
yy
0


，就有
f(x,y)f(x
0
,y)f(x
0
,y)f(x
0
,y
0
)f(x,y)f(x
0
,y)f(x
0< br>,y)f(x
0
,y
0
)

.
7. 设
lim

(y)

(y
0
)A
，
lim

(x)

(x
0
)0
， 且在
(x
0
,y
0
)
附近有
yy
0< br>xx
0
f

x,y



(y) 

(x)
，
证明

x,y



x
0
,y
0

limf(x,y)A
. < br>
x,y



x
0
,y
0

分析：要证
limf(x,y)A
，只要证


0 ,

0,
当
xx
0


，
yy
0


，

(x,y)(x
0
,y
0
)
，有
f(x,y)A

.而
f
x,y

与

(y)
有关系，因此就要插入

(y)
，即证
f(x,y)

(y)

(y)A

.
证 由
lim

(y)

(y
0)A
得，


0,

0,
当
yy
0


，有

(y)A
.
yy
0

2
由
lim

(x )

(x
0
)0
得，


0,< br>
0,
当
xx
0


，有
< br>(x)
xx
0

2
.因为在
(x
0,y
0
)
附近有
f

x,y


(y)

(x)
，于是当
xx
0

，
yy
0


有
f

x,y



(y)
因此


0,

0,
当
xx
0


，
y y
0


有

2
.
f(x,y)< br>
(y)

(y)Af(x,y)

(y)

(y)A

，
因此

x,y



x
0
,y
0

limf(x,y)A
.
8.
f
在
E
上一致连续的充要条件是：对
E
中的每一对点列

P
k

,

Q
k
如果
f

P
k

f

Q
k


lim


P
k
Q,k

0
，便有
lim


0
.
k

k
证 必要性
f
在
E
上一 致连续


0,




,P, QD
只要

(P,Q)

，就有
f(P)f(Q)

.

lim


P
k
,Qk

0
对上述

，
N,kN,有


P
k
,Q
k



，因此f(P
k
)f(Q
k
)

.

k 
f

P
k

f

Q
k

即
lim


0
.
k

充分性 反证法，设
f
在
D
上不一致连续


0
0,

,P

,Q

D
尽管

(P

,Q

)

，但有
f(P

)f(Q

)

0
.

则取


11
,k1,2,,
总有相应的
P
k
、Q
k
D
，虽然

(P
k
,Q
k
)
，但是
kk
f(P
k
)f(Q
k
)

0.

f

P
k

f

Q< br>k


即
lim


P
k
,Q
k

0
，
lim


0
，矛盾.因此
f
在
E
上一致连续.
k

k