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函数与极限测试题（二）
一. 选择题
1.设
F(x)
是 连续函数
f(x)
的一个原函数，
MN
表示“M的充分必要条件是N”，则 必
有( ).
（A）
F(x)
是偶函数

f(x)
)是奇函数. （B）
F(x)
是奇函数

f(x)
是偶函数.
（C）
F(x)
是周期函数

f(x)
是周期函数. （D）
F(x)
是单调函数

f(x)
是单调函数
2．设函数
f(x)
1
x
,
则( )
e
x1
1
（A）
x0
，
x
（B）
x0
，
x
1
都是
f(x)
1
都是< br>f(x)
的第一类间断点.
的第二类间断点
（C）
x0
是
f(x)
的第一类间断点，
x1
是
f(x)
的第二类 间断点.
（D）
x0
是
f(x)
的第二类间断点，
x
3．设
f

x


x1
x
1
是
f(x)
的第一类间断点.
1
，则
f[
，x0、，
1
f(x)
]
( )
1
1
A）
1x
B）
1x
4．下列各式正确的是 ( )
C）
X
D）
x

(1+ )(1+ )
e

xx
11
limelim
C） D）
(1)(1)
e

xx
A）
lim
x0

1
x
1
B）
lim
x0
1< br>x

xx
xx
5．已知
lim(
x< br>xa
xa
)
x
9
，则a( )。
A.1； B.

； C.
ln3
； D.
2ln3
。
6．极限：< br>lim(
x
x1
x1
)
x

( )
2
A.1； B.

； C.
e
7．极限：
lim
； D.
e
。
2
x
x
3

2
=（ ）
x
3
A.1； B.

； C.0； D.2．

8．极限：
lim
x0
x11
x
=（ ）
A.0； B.

； C
1
； D.2．
2
9. 极限：
lim(x
2
xx)
=（ ）
x

A.0； B.

； C.2； D.
1
．
2
sinx
10．极限:
lim
tanx
=（ ）
3
x
0
sin
2
x
A.0； B.

； C.

二. 填空题
11．极限
limxsin
x
1
16
； D.16．
2x
x1
2
= ； 12.
lim
arctanx
= ；
x0
x
13. 若
yf(x)
在点
x
0
连续，则
lim[f(x)f( x

)]
= ；
xx

14.
lim
sin5x
x
x0

； 15.
lim(1
n
2
n
)
n

；
16. 若函数
y
x1
x3x2
2
2
，则它的间断点是
17. 绝对值函数

x,x0;

f(x)x

0,x0;

x,x0.


x

其定义域是 ，值域是 。

1,x0;

18.符号函数
f(x)sgnx

0,x0;
其定义域是 ，值域是三个点的集合 。

1,x0.

19无穷小量是 。
20. 函数
yf(x)
在点
x
0
连续，要求函数< br>yf(x)
满足的三个条件是 。
三. 计算题
21. 求
lim(
x0
1x
1e
x

1
x
).
； 22.设
f(e
x1
)3x2,求
f(x)
(其中
x0
)；
x5
23.求
lim
(3x)
x2
x2
； 24.求
lim
(
x
x1
x1
)
； x
25.求
lim
sinx
2
2
x0
tan 2x(x3x)
； 26. 已知
lim(
x
xaxa
)
x
9
，求
a
的值；

1
27. 计算极限
lim(123)
n
；2 8.求
f

x


n
nn
x2x1
lg

52x

它的定义域。
29. 判断下列函数是否为同一函数：
g

x

=1
；⑴
f(x)=sin
2
x＋cos
2
x
与

⑵
f(x)
x
2
1
x1
与
g(x)x1
；
⑶
f(x)

x1
与
g(x)x1
； ⑷
f

x



2

x1
2
与
g(x)x1
；
⑸
yax
2
与
sat
2
。
30. 已知函数
f(x)x
2
1
， 求
f

x1< br>
、f(f(x))、f

f

3

2< br>
；
12

n
n
23
23n
nn
n
31. 求
lim
3n5n1
6n4 n7
n1
2
2
n
； 32. 求
lim
n
2
；
33. 求
lim(
n
n)
； 34. 求
lim
n
。
35. 判断下列函数在指定点的是否存在极限

sinx,x0

x1,x2

⑴
y

，
x2
； ⑵
y

1
，
x0
。

x,x2

x,x0

3
36.求
lim
1
x 3
x3
； 37. 求
lim
x3
x9
2
；
2xx1
xx 1
3
32
x3
38.求
lim
1x1
x< br>x0
； 39.求当x→∞时，下列函数的极限
y
2
。
40. 求当
x 
时，函数
y
sin3x
x
2xx1
xx13
的极限。
1cosx
x
2
41.求
lim
x0
； 42.求
lim
n3
；
x0
1

43.求
lim

1

n
n

1
1

； 44.求
lim

1
n
n

x
2n
；
1

)
； 46.求
lim

1

； 45.求
lim(1
x
x
kx
x

x
47.求
lim
1kx

x
。
x0
1


sinx
,x0

48. 研究函数
f(x)
< br>x
在点
x
0
=0
处的连续性。

1,x0

49. 指出函数
f(x)
1
x 1
在点
x=1
处是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。

1

,x0
50. 指出函数
f(x)
< br>x
在点
x=0
处是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。

0,x0


x
2
,x0
51. 指出函数
f(x)

在点
x=0
处是否间断，如果间断，指出是哪 类间断点。

1,x0
52.求
lim
ln(1x)
x
；
x0

x
2
1


；
l imlnx
53.求

x1
x1

54. 试证 方程
2x
3
－3x
2
＋2x－3＝0
在区间[1，2]至少 有一根。
55. 求
lim
tanxsinx
。
sin
3
2
x
x
0
56. 试证正弦函数
ysinx
在区间 (-∞， +∞) 内连续。

x，x0

x，x0
57. 函数
f
< br>x


l
x
l


；在点
x0
处是否连续？
58. 函数

xsin
1
，x0
x

f(x)


0，
x0

；是否在点
x0
连续？
a
x
1
. 59. 求极限
lim
x
0
x
函数与极限测试题答案（二）
一.选择题
1.A 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.
【详解】 方法一：任一原函数可表示为
F(x)
x

0
f(t)dtC
，且
F

(x)f(x).

当为偶 函数时，有
F(x)F(x)
，于是
F

(x)(1) F

(x)
，即
f(x)f(x)
，也
即
f(x)f(x)
，可见为奇函数；反过来，若为奇函数，则

f(t)dt< br>为偶函数，从而
0
x

F(x)

x
0
f(t)dtC
为偶函数，可见(A)为正确选项.
【评注】 函数与其原函数的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考与其原函
数的有界性之间有何关系?
2. D【分析】 显然
x0
，
x1
为间断点，其分类主要考虑左右极限.
【详解】 由于函数在
x0
，
x1
点处无定义，因此是间断点.且
limf(x)
，
x0
所以
x0
为第二类间断点；

limf(x)0
，
limf(x)1
，所以
x 1
为第一类间断点，故应选(D).
x1

x1

【评注】 应特别注意：
lim
x1
x

x1

，
lim

x 1
x
x1
x
.
从而
lim

e
x1

，
x1
x
x1
lim

e
x1
0.

3 - 8 CACCAC
8.∵
x
→∞时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。先恒等变形，将函数“有理化”：
原式 =
lim
(x11)(x11)
lim
x0
x
0
x(x11)
1
x
11
< br>1
2
. （有理化法）
9 -10 DC
10.解：原式
lim
x
0
tanx(1cosx)
(2x)
3
x
lim
x
0
1
2
x< br>1
2

3
8
x
16
.
注 等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限，不能在代数和的情形中使用。如上例
xx
0
. 中若对分子的每项作等价替换，则原式
lim
3
x0
(
2
x)
二.填空题
11. 2； 12. 1； 13.0； 14.5； 15.
e
18.
(,)

{1,0,1}
；
19.在某一极限过程中，以0为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量
xx
0
时极限
x
lim
f(x)
存在；③极限值与函数值相20.①函 数
y=f

x

在点
x
0
处有定义；②< br>
x
0
2
2
；17.
(,)

[0,)
； ； 16.
x1、
等，即
x
limx
0
f(x)f(x
0
)
。
三. 计算题
21.【分析】

型未定式，一般先通分，再用洛比达法则.
【详解】
lim(
x0
1x
1e
x

1
x
)lim
xx1e
x(1e
x
2 x
x0
)
=
lim
xx1e
x
2
2x

x0

=
lim
12xe
2x
x
x0
=
lim
2e
2< br>x
x0

3
2
.

1
6
22.
f

x

3lnx1,x0
； 23.
e
3
； 24.
e
2
； 25.； 26.
ln3
；27. 3
28. 解：由
x＋20
解得
x2
；由
x－10
解得
x1
；由
52x0< br>解得
x2.5
；
所以函数的定义域为或表示为

2,1



1,2.5

。
｛｜x2.5>x2且x1｝
29. ⑴、⑸是同一函数，因为定义域和对应法则都相同 ，表示变量的字母可以不同。⑵⑶不
是同一函数，因为它们的定义域不相同。⑷不是同一函数，因为它们 对应的函数值不相同，
即对应法则不同。
30.解：
f

x1< br>


x1

1x2x
；
f
2
2
2

f

x


＝f

x1

＝

x1

1＝x 2x
；
2242
f

f

3

2

＝f

3
3n
6n
2
12
＝f

10

＝99
。
3n
2
2
2
5n1
n
lim
n
4n7< br>n
2
2
31.解：
n
lim

5n 1
4n7
3
6
5
n
4
n


1
n
7

n
2
2
lim
n 
6n
2

n
lim35lim
1
n
1
n
n
lim
1
n
2
n< br>n
lim64lim
n
7lim
1
n
2

300
600

1
2
；
n
n(n1)
32. 解：
lim
12
n
n
2
n
lim
n
2
2n
(
lim
nn
2n
2
2
n

1
2
；
33 .解：
lim(
n
n 1n)lim
n1n)(
n1
n1
n
n)
n
；
1

lim
1
n1n
n
lim
n
n1
n
1
n
n
n
lim
1
n
lim1
nlim
n1
n
0

34.解：
n
lim< br>
23
23
n
nn
n
2
n
2
n
()1lim()lim1
01
n
3
n 
3
lim1

n
2
n
2n
01
()1lim()lim1
n
3
n< br>3
x2
x2

35.解：⑴因为
x2
lim

y2,lim

y3
，limylimy
；所以函数在指定点的
x2


极限 不存在。⑵ 因为
lim

ysin00,lim

y
x0x0
1
3
00
，
lim

yli m

y
；所
x0x0
以函数在指定点的极限
limy 0
。
x0
36.
lim
1
x3
lim1
x3
x3
limxlim3
x3x3

1
33

1
6
；
37.
lim
x3< br>x9
2
x3
lim
x3
x3

x 3

x3

lim
1
x3
x3

1
6
；
38.
lim
1x1
x
3
3
x0
lim
(1x1)(1x1)
x(1x1 )
1
2
lim
x
x0
lim
1x
x(1x1)
x0
lim
1
1x1
x0

1
2
；
1
x
1
x
2
39.
lim
2x
x
x
2


x
x1
1
x

1
x
3
3
lim2lim
1
x
1
x
2

< br>xx
lim
1
3
200
x
2
1
100
x
lim1lim
xx
lim
x
x
3
2
40.
lim
2x
x
3
2
x1
x1
x
lim
x
1
x
1
x
2


1
x1
x
3

x
1
23
2lim
1
x


x
lim
1
x
1
2
x
l im
1
x
1
3
x

000
10 0
0

lim
32
x
xx
sin3xs in3x
lim33
41.
lim
x0x0
x3x< br>xx
lim1lim
x

2
2sinsin
1cosx
2

1

lim
2


1
lim
42.
lim

2
x 0x0x0
xx
2

2
x

2
4()

22

x
2
lim(1
1
n1
n
43. 原式=
n
)
)
n
lim( 1
n
3
nn



e
1


1



2
e
44. 原式
lim


1




lim

1


e

nn
1
n


n







22
1
kxkx
1
1
kk


1


1



45. 原式
lim


1




lim

1


e
k

xx
kx


kx







x


1

46. 原式
lim


1


x
x






k
1
x

1




lim

1


x
x





1
e

1
1

k
47. 原式
lim

1kx

kx
e

 

x0

48.解
limf(x)lim
xx< br>0
sinx
x
x0
1而f(x
0
)f(0) 1


limf
x0
x()f

(0函)数在x处连0续。
49. 间断，函数在
x＝1
处无定义且左右极限不存在，第二类间断点
50. 间断，函数在
x＝0
处左右极限不存在，第二类间断点
51. 间断，
li mf(x)0
但
f

0

＝1
，两者不相等，第 一类间断点
x0
52. 解：
lim
ln(1x)
x
1
x0x0
1
x0
limln(1x)
x
ln lim(1x)
x
lne1


x
2
1

limlnx

53. 解：

lim


x1

lnx


200

x1x1

x1

54. 证明：设
f(x)＝2x
3
－3x
2
＋2x－3
，则在[1，2]上连续，
f

1

＝-20，f

2

＝50

根据零点定理，必存在一点

(1，2)
使
f(

)＝0
，则
x＝

就是方程的根。
x
lim
x
0
55. 原式
lim
x
0
tanx(1cosx)
(2x)
3
1
2
x< br>1
2

3
8
x
16
x

56. 证明：
x(，)
，任给
y sinx(x )sxin
x
2sin
2
一个增量
x
，对应的有函 数
y
的增量
)
x
xcos(
.
2
∵
0
x
y2sin
x
2x
22
， 由夹逼准则知，
y（
，再由
x
的任意性知
0x0）
正弦函数
y sinx
在其定义域
(，)
上处处连续，即它是连续函数。
57. 解：注意
f
(
x
)是分段函数，且点
x
0
两侧
f
表达式不一致。
f

0  0


lim(x)0
， 解法1：

x
0

lim

x0
， ∴
limf(x)0
.
 f

0  0


x
0
x
0
又
f

0

0
， ∴ 函数
f

x

lxl
在点
x0
处连续（图1—19）。
解法2 ∵
lim

f(x)lim

(x)0f(0)
， ∴ 函数在点
x0
左连续；
x
0
x
0

f(x)lim

x0f(0)
， ∴ 函数在点
x0
右连续，所以函数在点
x0
连续。又∵
x
lim



x
00
58 证 虽然
f(x)
是分段函数，但点
x0
两侧函数表达式一致。
M0
∵
limf(x)

limxsin
1
 
0

f(0)
，∴
f(
x
)
在点
x0
处连续。
x
xx
00
59. 解：令
a
x
–1 t
，则
x log
a

1t

，当
x0
时，
t0
，
∴ 原式
lim

t0
t

lim
log
a
(t1)
t
0
1
log
a
(t1)
1
t

1< br>lna
.
log
a
e
e
x
1
1
，这表明
x0
时，
xe
x
1
. 特别地，
lim
x
0
x