应用等阶无穷小性质，求极限lim
1
n
x0
arctan(1x)arctan(1x)
．

x
求极限lim

(1ax)1
　(n为自然数)．a0．

x0
x
设当xx
0
时，

(x)与

(x)是等价无穷小，f(x)f(x)

(x)
且lima1，limA，

xx
0

(x)
xx
0
g(x)
f(x)

(x)
证明：limA．
xx
0
g(x)

设当xx
0
时，

(x)，

(x)是无穷小< br>且

(x)

(x)0
证明：e

(x )
e

(x)
~

(x)

(x)．


若当xx
0
时，

(x)与
1
(x)是等价无穷小，

(x)是比

(x)高阶的无穷小．
则当xx
0
时，

(x)

(x)与

1
(x)

(x)是
否也是等价无穷小？为什么？


设当xx
0
时，

(x)、

(x) 是无穷小，
且

(x)

(x)0.
证明：ln

1

(x)

ln

1
(x)

　　　与

(x)

(x)是等价无穷小．


设当xx
0
时，f(x)是比g(x)高阶的无穷小．
证明：当xx
0
时，f(x)g(x)与g(x)是等价无穷小．


若xx
0
时，(x)与
1
(x)是等价无穷小，
( x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价
无穷小。试判定：
吗？为什么？

(x)(x)与
1
(x)(x)也是等价无穷小

< br>
sinx

x
x
(A)1　(B)　(C)0　(D )不存在但不是无穷大

lim
　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

1
limxsin之值
x
x
(A)1　(B)0　(C) 　(D)不存在但不是无穷大
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

已知lim
x0
AtanxB(1cosx)
Cln(12x)D(1e
x
2
)
1　(其中A、B、C、D是 非0常数)

则它们之间的关系为
(A)B2D　(B)B2D　(C)A2 C　(C)A2C
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
x
n1
设limx0及lima存在，试证明：a1．

设
x1
计 算极限
lim(1x)(1x)(1x)

(1x)

n 
n
n
x
n
n
242
n
x
3
(a
2
1)xa

lim(cos
x
c os
x

cos
x
)


计算极限
lim
计算极限lim　(a0)

x0
< br>xa
2
2
2
2
n


n
x
2
a
2

a
n

满足 a
n
0及lim设有数列
n
a
n1
r (0r1)，试证明lima
n
0．

n
a
n< br>n
设有数列

a
n

满足a
n
0且lim
n
a
n
r， (0r1)，试按极限定义证明：
lima
n
0．

n< br>设limf(x)A　(A0)，试用语言证明lim
xx
0
x x
0
f(x)A．

试问：当x0时，

(x)xx
0
xx
0
1
x
2
sin，是不是无穷 小？

x
设limf(x)A，limg(x)B，且AB,试证明：必存在x
0
的某去心邻域，使得
在该邻域为f(x)g(x)．

ln(1
3
x2)
11
计算极限lim．

设f(x)xsin，试研究极限lim

2
3
x2
x 0
f(x)
arcsin(3x4x4)
x

设数列的通项为 x
n

则当n时，x
n
是
(A)无穷大量
(B )无穷小量
n1(1)
n
n
2
，
n

(C)有界变量，但不是无穷小
(D)无界变量，但不是无穷大
　　　　　　　 　　　　答（　　）

以下极限式正确的是
11
(A)lim(1)
x
e　(B)lim(1)
x
e
1
x0x0xx

1
x
1
(C)lim(1)e
1
　(D)lim(1)
x
0
xx
xx
　　　　　　　 　　　　　　　　　答（　　）
设x
1
10，x
n1
6x< br>n
　(n1，2，)，求limx
n
．

n


e
ax
1
，当x0

设f(x)

x
，且limf(x)A
x0

b，　　当x0

则a，b，A之间的关系为
(A)a，b可取任意实 数，A1
(B)a，b可取任意实数，Ab
(C)a，b可取任意实数，Aa
( D)a可取任意实数且Aba

答：( )

ln(1ax)设f(x)d


x
，当x0
，且lim

x
f(x)A，

b　　，　 当x0
0
则a，b，A之间的关系为
(A)a，b可取任意实数，Aa

(B)a，b可取任意实数，Ab
(C)a可取任意实数且abA
(D)a，b 可取任意实数，而A仅取Alna
答：（


1cosax
设 f(x)

，当

x
2
x0
，且limf(x )A


b，　　　 当x0
x0
则a，b，A 间正确的关系是
(A)a，b可取任意实数A
a
2
B)a，b可取任意实数 A
a
2
(
2

(C)a可取任意实数bA
a
2
(D)a可取任意实数bA
a
2
2
　　　　　　　　 　　　　　答（　　）

设有lim
xx

(x)a，limf (

)A，且在x
0
的某去心邻域
0
ua
内复 合函数f


(x)

有意义。试判定lim
xx
f


(x)

A是否
0
成立。若判定成立请 给出证明；若判定不成立，请举出
例子，并指明应如何加强已知条件可使极限式成立。
）


x
2
2xb
，当x1

设f(x)

x1
　适合limf(x)A
x1

a，　　　　当x1

则以下结果正确的是
(A)仅当a4， b3，A4
(B)仅当a4，A4，b可取任意实数
(C)b3，A4，a可 取任意实数
(D)a，b，A都可能取任意实数
　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）< br>


1bx1
　当x0

设f(x)
　且limf(x)3，则
x
x0

a　　　　　当x 0

(A)b3，a3
(B)b6，a3
(C)b3，a可取任意 实数
(D)b6，a可取任意实数
　　　　　　　　　　　答（　　）
1
3

设(x)(1ax
2
)1，(x)ee
cosx< br>，且当x0时(x)~(x)，试求a值。

设lim(
x
x2a
x
)8，则a____________．

xa

当x0时，在下列无穷小中与x
2
不等价的是
(A)1cos2x　　( B)ln1x
2
(C)1x1x　(D)ee

22xx

2
　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
当x0时，下列无穷小量中，最高阶的无穷小是
(A)ln(x1x
2
)　(B )1x
2
1
(C)tanxsinx　(D)ee
xx
 2

　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
3x
2
54< br>x
n
x
n1


x
2
x n
limsin_____________________

计算极限lim

x
5x3
x1
x
x1
(x1)(
3
x1)(
n
x1)
计算极限 lim

讨论极限limarctan
1
的存在性。

n1
x1
(x1)
x1
x1

当x0时，下列变量中，为无穷大的是
(A)
sinx11

　 (B)lnx　(C)arctan　(D)arccot
xx
x
　　　　　　　　　 　　　　　　　　答（　　）
x1
lim
1
_____________ ___
。
lnx1
n
设a
n
0，且liman
0，试判定下述结论存在一正整数N，使当nN时，恒有
a
n1
a
n
是否成立？

若lima
n
A试讨论lima
n
是否存在？

nn
设有数列

a
n

满足lim( a
n1
a
n
)0，试判定能否由此得出极限lima
n
存在的
nn
结论。

a
n1

an

满足a
n
0；设有数列r，0r1，试证明lima
n
0

n
a
n
设lim
f(x)

存在，limg(x)存在，则limf(x)是否必存在？
xx
0
xx
0
g(x)
f(x)

A0，则是否必有limg(x)0．
xx
0
g(x)
xx
0
若limf(x)0，lim
xx
0
xx
0

当x0时，下列变量中为无穷小量 的是
11
sin
x
2
x
2
(B)ln(x1)< br>(A)
1
(C)
lnx
(D)(1x)
1
x

1
　　　　　　　　　　答（　　）
设xx
0
时，f(x) ，g(x)A(A是常数），试证明lim

xx
0
g(x)

0．
f(x)
f(x)
A，
g(x)

若li mg(x)0，且在x
0
的某去心邻域内g(x)0，lim
xx
0< br>xx
0
则limf(x)必等于0，为什么？
xx
0
< br>若limf(x)A，limg(x)不存在，则limf(x)g(x)
xx
0
xx
0
xx
0
是否必不存在？若肯定不存在，请予证明，若不能
肯定，请举例说明，并指出为何加强假设条件，使
可肯定f(x)g(x)的极限(xx< br>0
时)必不存在。

12n1
nnnn
lim

ee

ee
(A)1　(B)e　 (C)e　(D)e
2

　　　　　　　　　　答（　　）
lim
n 
(12

n12

(n1))____．< br>

x
lim
0
xcos
2
x
2
(A)等于0　 (B)等于2
(C)为无穷大　; (D)不存在，但不是无穷大 .
　　　　　　　　　　　　　　　 答（　　）

设f(x)
1
sin，试判断：
xx
(1)f(x)在(0，1)，内是否有界 ;
(2)当x0时，f(x)是否成为无穷大 .


设f(x)x cosx，试判断：
(1)f(x)在0，

上是否有界
(2)当x 时，f(x)是否成为无穷大



设(x)
1x
，(x)33
3
x，则当x1时（　　）
1x
(A)(x)与 (x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小
(B)(x)与(x)是等价无穷小 ;
(C)(x)是比(x)高阶的无穷小
(D)(x)是比(x)高阶的无穷小 .
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）


x
3< br>ax
2
x4
设limA，则必有
x1
x1
(A)a2，A5　 (B)a4，A10 ;
(C)a4，A6　 (D)a4，A10 .
　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）


x
2
1
当x1时，f(x)e
x1
(A)等于2　 ; 　(B)等于0
1
x1
的极限

(C)为 　　　(D)不存在但不是无穷大 .
　　　　　　　　　　　　　　 　　答（　　）
设当x0，(x)(1ax
2
)
x
3
2
1和(x)1cosx满足(x)~(x)．试确定a的值。

n

设x
1
1
设lim(3x
2
4x7axb)0 , 试确定a，b之值。
，x
n1
2x
n
3(n1，2 ，)，求limx
n

设x
1
4，x
n 1
2x
n
3　(n1，2，)，求limx
n
．

n
计算极限lim(xxxx)

计算极限lim
x0
x
4tanx4sinx
tanxsinx
ee
研究极限lim
x0
22cosax
(a0)的存在性。

x
2
n


xn

收敛，并求极限limx
n
．设x
1
(0，2) ，x
n1
2x
n
x
n
．(n1，2，

)，试证数列
设x
1
0，x
n1
2x
nx
n
(n1，2，)，试研究极限limx
n
．

n
2

设x
1
2，x
n1
2x
n
x
n
(n1，2，

)，试研究极限limxn
．
n
2

设a
1
，b
1
是两个函数，令a
n1
a
n
b
n
，b
n1

lima
n
存在，limb
n
存在，且lima
n
limb
n
nnbnn
a
n
b
n
， (n1，2，)试证明：
2


xx

x


nn
e
cosx
e
计算极限 lim

xxx

计算极限lim

2
x 
x0

x
n
若limx
n
y
n< br>0，且x
n
0，y
n
0，则能否得出＂limx
n0及limy
n
0至少有一
式成立＂的结论。


设数列

x
n

，y
n

都是无界数列 ，z
n
x
n
y
n
，

z
n
是否也必是无界数列。试判定：
31

计算极限limx

sinln(1)sinln(1)


x
xx


如肯定结论请给出证明，如否定结论则需举出反例。

1
极限 lim(cosx)
x

x0
2
A．0；　B．　　C．1；　D ．e．
　　　　　　　　　　　　答（　　）


1
2
< br>e
x
e
x
极限lim的值为（　　）
x0
x( 1x
2
)
A．0；　B．1；　C．2；　D．3．
　　　　　　　　　　 　　　答（　　）


极限lim
1cos3x
的值为（　　）< br>x0
xsin3x
123
A．0；　B．；　C．；　D．．

632
　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

下列极限中不正确的是< br>x
tan3x3

2
A．lim；　B．lim；
x 0
sin2x
x1
x122

x
2
1ar ctanx
C．lim2；D．lim0．
x1
sin(x1)
x 
x
　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

cos

ln(1xx
2
)ln(1xx
2
)
极限lim2
x0
x
A．0；　B．1；　C．2；　D．3．
　　　　　　　　 　　　　　答（　　）

1
x

极限lim(cosx)
x0
A．0；　B．e；　C．1；　D．e．
　　　　　　　　　　　　　　答（　　）< br>
1
2

1
2

当x0时，与x为等价无穷小量的是
A．sin2x；　 B．ln(1x)；
C．1x1x； D．x(xsinx)．

　　　　　　　　　　　　　　 答（　　）

当x1时，无穷小量
1－x
是无穷小量x1的
12x
A．等价无穷 小量；B．同阶但非等价无穷小量；

C．高阶无穷小量；D．低阶无穷小量．
　　　 　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
当x0时，无穷小量2sinxsin2x与mxn
等价，其中m，n为常数，则数组
（m，n）中m，n的值为

A．( 2，3)；　B．(3，2)；　C．(1，3)；　D．(3，1)．
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　答（　　）

1

已知lim(1kx)
x0< br>x
e，则k的值为
1
A．1；　B．1；　C．；　D．2．

2
　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

1
极限lim(1 )
2
的值为
x
2x
A．e；　B．e；　C．e；　D．e14

1
4
x

　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

下列等式成立的是
21
A．lim(1)
2x
e
2
；　B．lim(1)
2x
e
2
；
xx
xx

11
C．lim( 1)
x2
e
2
；D．lim(1)
x1
e2
．
xx
xx
　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）< br>
极限lim(12x)
x0
1
x

1
A．e；　B．；　C．e
2
；　D．e
2
．

e
　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

极限lim(
x1
x4
)的值为（　）
x
x1
A．e
2
； 　B．e
2
；　C．e
4
；　D．e
4
．

　　　　　　　　　　　　　　答（　　）


2x1

极限lim

x

2x1

2x1
的值 是

1
2
A．1；　B．e；　C．e；　D．e
2
．< br>　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

下列极限中存在 的是
x
2
1111
A．lim；　B．lim；C．limxsin；　D ．lim

1
xx0xx0
2
x
1
x
x
x
1e
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　 　）

tanxsinx
的值为
3
x0
x
11
A．0；B．　C．　D．．

b2
　　　　　　　　　　　答（　　）
极限lim

极限lim< br>sinx

x

x

A．1；　B．0；　C． 1；　D．．

　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

已知lim
acosx1
，则a的值为
x0
xsinx2
A．0；　B． 1；　C．2；　D．1．

　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

sinkx
3，则k的值为
x0
x(x2)
3
A．3；　 B．；　C．6；　D．6．

2
　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
已知lim

x2
1
设lim(axb)0，则常数a，b的值所组成的数组(a，b)为
x
x1
A．(1，0)；　B．(0，1)；　C．(1，1)；　D．(1，1) ．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

4x
2
3
设f(x)axb，若limf(x)0，则
x
x1< br>a，b的值，用数组（a，b）可表示为
A．(4，4)；　B．(4，4)；　C．(4， 4)；　D．(4，4)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

x
2
6x8
极限lim
2
的值为
x2
x8x12
A． 0；　B．1；　C．
1
2
；　D．2．

　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

下列极限计算正确的是< br>x
2n
xsinx
A．lim1；　B．lim1；
n1x
2n
x
xsinx

xsinx1
n
C．lim0；　D．lim(1)e
2
．
3
x0n< br>2n
x
　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

x
3
x
2
极限lim(
2
)的值为
x
x1< br>x1
A．0；　B．1；　C．1；　D．．

　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

数列极限lim(
nn
2
nn)的值为
A．0；　B．
1
2
；　C．1 ；　D．不存在．

　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

已知li m
x
2
3xc
x1
x1
1，则C的值为
A．1；　B．1；　C．2；　D．3．

　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

已知lim
x
2
ax6
x1
1x
5，则a的值为
A．7；　B．7　C．2； 　D．2．

　　　　　　　　　　　　　答（　　）


e
x
2， x
设函数f(x)

0

1， x0，则lim

x
f(x)

xcosx，x0
0
A．1；　B．1；　C．0；　D．不存在．
　　　　　　　　　　　　　　　　　答 （　　）

设f(x)

1cosx

，x0

x

x1
，则


，x0
1e
1
x
A．lim
x0
f(x)0；
B．li m
0

f(x)
x
lim
0

f( x)；
x
C．
x
lim
0

f(x)存在，x
lim
0

f(x)不存在；

D．
x< br>lim
0

f(x)不存在，
x
lim
0

f(x)存在．
　　　　　　　　　　　　　　答（　　）


tankx
，x0

设f(x)

x
， 且limf(x)存在，则k的值为

x0

x3，x0
< br>A．1；　B．2；　C．3；　D．4．
　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

下列极限中，不正确的是

A．lim

(x1)4；B．li m

e
x3x0
1
x
0；
1
sin (x1)
1
x
C．lim()0；D．lim0．

x0< br>2
x1
x
　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
f(x)g(x )
0，limc0(k0)．

kk1
x0x0
xx
则当x0，无穷小f(x)与g(x)的关系是
若lim
A．f(x)为g(x)的 高阶无穷小；
B．g(x)为f(x)的高阶无穷小；
C．f(x)为g(x)的同阶无穷小；
D．f(x)与g(x)比较无肯定结论．
　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）当x0时，2sinx(1cosx)与x
2
比较是（　）

A．冈阶但不等价无穷小； B．等价无穷小；
C．高阶无穷小； D．低阶无穷小．


　　　　　　　　　　　　　　　 答（　　）
当x0时，sinx(1cosx)是x
3
的

A．冈阶无穷小，但不是等价无穷小； B．等价无穷小；
C．高阶无穷小； D．低阶无穷小．

　　　　　　　　　　　　　　　 答（　　）
设有两命题：


x
n

必收敛；命题 a，若数列

x
n

单调且有下界，则
命题b，若数列
x
n

、y
n

、z
n

满足条件：y
n
x
n
z
n
，且

y
n

，z
n

都有收敛，则

x
n

必收敛　　　　数列
则
A．a、b都正确； B．a正确，b不正确；
C．a不正确，b正确； D．a，b都不正确．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 答（　　）

设有两命题：

命题甲：若limf(x)、limg(x)都 不存在，则lim

f(x)g(x)

必不存在；
xx
0
xx
0
xx
0
xx
0
命题乙：若lim f(x)存在，而limg(x)不存在，则limf(x)g(x)必不存在。
xx
0< br>xx
0
则
A．甲、乙都不成立； B．甲成立，乙不成立；
C．甲不成立，乙成立； D．甲、乙都成立。
　　　　　　　　　　　　　　　　　 答（　　）

设有两命题：

命题a：若limf(x)0，limg(x)存在，且g(x
0
)0， 则 lim
xx
0
xx
0
xx
0
xx
0
xx
0
xx
0
f(x)
0；
g(x)
命题b：若limf(x)存在，limg(x)不存在。则lim(f(x)g(x))必不 存在。
则
A．a，b都正确； B．a正确，b不正确；
C．a不正确，b正确； D．a，b都不正确。
　　　　　　　　　　　　　　　　　 答（　　）
若lim,f(x)，limg(x)0，则limf(x)g(x)

xx
9
xx
0
xx
0
A．必为无穷大量 ;　　　B．必为无穷小量
C．必为非零常数 　　　D．极限值不能确定 ．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
设有两个数列

a
n< br>
，b
n

，且lim
n
(b
na
n
)0，则

A．

a
n

，b
n

必都收敛，且极限相等
B．

an

，b
n

必都收敛，但极限未必相等
C．< br>
a
n

收敛，而

b
n

发散

D．

a
n

和

b
n

可能都发散，也可能都收敛．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 答（　　）
下列叙述不正确的是

A．无穷小量与无穷大量的商为无穷小量；
B．无穷小量与有界量的积是无穷小量；
C．无穷大量与有界量的积是无穷大量；

D ．无穷大量与无穷大量的积是无穷大量。
　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
下列叙 述不正确的是

A．无穷大量的倒数是无穷小量；
B．无穷小量的倒数是无穷大量；< br>C．无穷小量与有界量的乘积是无穷小量；

D．无穷大量与无穷大量的乘积是无穷大量 。
　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
若lim
xx
f(x) ，lim
x
g(x)，则下式中必定成立的是

0
x
0
A．lim
xx

f(x)g(x)

　 ;　　B．lim

f(x)g(x)

0
0
x x
0
C．lim
f(x)
xx
g(x)
c0 　　　D．lim
0
xx
kf(x)，(k0) ．
0
　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
设函数f(x)xcos
1
x
，则当x时，f(x)是

A．有界变量；　　　　B．无界，但非无穷大量；
C．无穷小量；　　　　D．无穷大量．

　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

若limf(x) A(A为常数），则当xx
0
时，函数f(x)A是

xx
0
A．无穷大量 　　　　B．无界，但非无穷大量 ;
C．无穷小量 　　　　D．有界，而未必为无穷小量 ．

　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　答（　　）
设函数f(x)xsin
1
，则当x0时 ，f(x)为

x
A．无界变量; 　　　　B．无穷大量;
C．有界，但非无穷小量; 　D．无穷小量．

　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
f(x)在点x
0
处有定义是极限li mf(x)存在的

xx
0
A．必要条件;　　　　B．充分条件;
C．充分必要条件;　　D．既非必要又非充分条件．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）