怀集教育信息网-曾子杀猪读后感

数列的极限、数学归纳法
一、知识要点
（一） 数列的极限
1. 定义：对于无穷数列{a
n
}，若存在一个常数A，无论预选指定多么小的正数
，都能在数
列中找到一项a
N
，使得当n>N时，|an-A|<
恒成立，则称常数A为数列{a
n
}的极限，记作
n
lima
n
A
.
n
n
2.运算法则：若
liman
、
limb
n
存在，则有

lim(a
n
b
n
)lima
n
limb
n
；
lim(a
n
b
n
)lima
n
limb
n

nnnnnn
lima
n
a
nn
lim

(limb
n
0)

n< br>blimb
n
n
n
n

0(a1)

3.两种基本类型的极限：<1> S=
lima
n


1

(a1)
n 

不存在(a1或a1)

<2>设
f(n)
、< br>g(n)
分别是关于n的一元多项式，次数分别是p、q，最高次项系数分别为
a
p
、

0(pq)

f(n)

a
p
b
p
且
g(n)0(nN)
,则
lim
< br>(pq)

n
g(n)b

q

不存 在(pq)

4.无穷递缩等比数列的所有项和公式：
S
a
1< br> （|q|<1）
1q
n
无穷数列{a
n
}的所有项 和：
SlimS
n
（当
limS
n
存在时）
n
（二）数学归纳法
数学归纳法是证明与自然数n有关命题的一种常用方法，其证题步骤为：
①验证命题对于第一个自然数
nn
0
成立。
②假设命题对n=k(k≥
n
0
)时成立,证明n=k+1时命题也成立.
则由①②,对于一切n≥
n
0
的自然数,命题都成立。
二、例题（数学的极限）

3n
2
2n1
例1.（1）
lim
= ;
n
n
2
1
（2）数列{a
n
}和{b< br>n
}都是公差不为0的等差数列，且
lim
a
n
aa
2
La
n
=3,则
lim
1
= n
n
b
nb
n
2n
1a
n1（3）
lim
(a>1)=
n
2a< br>n
（4）
lim(
n
1
n1
2
2
3
n1
2

L

2n1
n1
2
)
=
（5）
lim(n2nn)
= n
（6）等比数列{a
n
}的公比为
q
=─13,则
lim
••
a
1
a
2
a
n
= ;
n
aaa
242n
例2．将无限循环小数
0.12
；1.32
12
••
化为分数.
n
2
1
anb)1
,求实数
a,
b的值; 例3．已知
lim(
n
n1
例4．数列{a
n
},{ b
n
}满足
lim
(2a
n
+b
n
)=1 ,
lim
(a
n
─2b
n
)=1,试判断数列{a
n
},{b
n
}的极限是否
n
n
存在，说明理由 并求
lim
(
a
n
b
n
)的值.
n
例5．设首项为a，公差为d的等差数列前n项的和为A
n
,又首项为a,公比为r的等比数列
前n项和为G
n
,其中a≠0,|r|<1.令 S
n
=G
1
+G
2
+…+G
n
,若有lim(
n
A
n
n
S
n
)
=a ,求r的值.
S
n
S
n1
例6．设首项为1，公比为q(q>0 )的等比数列的前n项之和为S
n
,又设T
n
=
求
limT
n
.
n
(n1,2,L)
,
例7．{a
n
}的相邻两项a
n
,a
n+1
是方程x─c
n
x+
()
n
=0的两根，又a
1
=2,求无穷等比c
1
,c
2
,…
2
1
3
c
n
, …的各项和.

例8．在半径为R的圆内作内接正方形，在这个正方形内作内切圆，又在圆内作内接正方形，
如此无限次地作下去，试分别求所有圆的面积总和与所有正方形的面积总和。

例9．如图，B
1，B
2
，…，B
n
,…顺次为曲线y=1x(x>0)上的点，A
1
，A
2
，…，A
n
…顺次为ox
轴上的点，且三角形O B
1
A
1
，三角形A
1
B
2
A
2
，三角形A
n─1
B
n
A
n
为等腰三角形（其中 B
n
为直角),
如果A
n
的坐标为(x
n
,0).
(1)求出A
n
的横坐标的表达式;
(2)求
lim

B
1


二．例题（数学归纳法）
例1．用数学归纳法证明2>n (n∈N,n5),则第一步应验证n=
例2．用数学归纳法证明
1
成立；
2
n(n1)
例3 .是否存在常数a,b,c,使得等式1·2＋2·3＋……＋n(n＋1)＝(an＋bn＋c)
12
222
n2
r
n
a
n
r
n+1
|A
n
A
n1
|
.
n
|A
n1
A
n
|
y

B
2
O

A
1
A
2
B
3
B
n
x

A
n─1
A
n
111
n,(nN,n1)
,第一步验证不等式
232n1
对一切自然数n成立？并证明你的结论.(89年)
例4.已知数列{ a
n
}=
1
S
n
=(n+1)a
n
-n .
例5．证明：
1
n
111

,记S
n
=a
1
+a
2
+a
3
+…+a
n
,用数学归纳法证明
23n
111
n2
(n∈N,n2)
 
n
>
23
2
2
n─1
例6．证明：x─na x+(n─1)a能被(x─a)整除(a≠0).
n2
例7.在1与2之间插入
n
个正数
a
1
,a
2
,a
3
,,a
n
，使这
n2
个数成等比数列；又在1与2之
间插入
n
个正数
b
1
,b
2
,b
3
,,b
n使这
n2
个数成等差数列．记
A
n
a
1
a
2
a
3
a
n
,B
n
b
1b
2
b
3
b
n
．
（Ⅰ）求数列< br>
A
n

和

B
n

的通 项；（Ⅱ）当
n7
时，比较
A
n
与
B
n
的大小，并证明你的结论．

例8．若数列{a
n
}满足对任意的n有 ：S
n
=
的结论.
n(a
1
a
n
)< br>,试问该数列是怎样的数列？并证明你
2
例9．已知数列

b
n

是等差数列，
b
1
1，b
1
b
2
…b
10
145
。

1

b
（Ⅰ）求数列

n

的通项
b
n
；（Ⅱ）设数列
a
n
的通项
a
n
log
a

1

（其中
a0
，

b
n

且
a1
），记
S
n
是数列

an

的前n项和。试比较
S
n
与
log
ab
n1
的大小，并证明你的结论。


练习（数列的极限）
1. 已知{a
n
}是等比数列,如果a
1
＋a
2
＋a
3
＝18,a
2
＋a
3
＋a
4
＝－9 ,S
n
＝a
1
＋a
2
＋……＋a
n
,那< br>么
limS
n
的值等于( )(89年)
n
1
3
(A)8
n
(B)16
1
3
1
4
1
5
(C)32
1
)]
的值等于( )(91年)
n2
(D)48
2.
lim[n(1)(1)(1)(1
(A)0 (B)1 (C)2
n
(D)3
1
,那么a
1
的取值范围是( )(98
a
n
3.在等比数列{a
n
}中,a
1
＞ 1,且前n项和S
n
满足
limS
n

年)
(A)(1,＋∞) (B)(1,4) (C)(1,2) (D)(1,
2
) < br>232
2
3
2
2
n
3
n
 
7.
lim(
)等于 ( )
2n
n
6
66
(A)0 (B)  (C)
3
(D)5
2
（D）2
2n2
8．
lim
(1222)
等于：（A）16 （B）8 （C）4
n
C
1
C
3
C< br>2n1
2n2n2n
9． 已知各项均为正数的等比数列{
a
n}的首项
a
1
=1,公比为
q
,前
n
项和为< br>S
n
,
lim
S
n1
=1,则公
n< br>S
n
比
q
的取值范围是：
（A）.
q
≥1 （B）.0<
q
≤1 （C）.0<
q
<1 （D）.
q
>1


n
2
1n
2
2n
2
n


10.
lim

的值为 ( )

33

n

n
3
nn

(A)0 (B)1 (C)2 (D)不存在
11.已知{a
n
}是公差不为0的等差数列，S
n
是{a
n
}的前n项和，那么
lim
12.已知等差数列{a
n}的公差d＞0，首项a
1
＞0，S
n


i1n
na
n
等于___.
n
S
n
1
,则limS
n
＝______.(93年)
a
i
a
i 1
n
13.如果
lima
n
存在，且
lim
n
a
n
3
4

，则
lima
n＝________
n
a2
n
9
n
14.
lim
3
n1
(2)
n
3
n
( 2)
n1
n
＝____________.(86年)
1232n
)
＝____________.(87年)
22 2
n
n
2
1n1n1n1
aa
2
 a
3
a
n
16.已知等比数列{an}的公比q＞1，a
1
＝b(b≠0)，则
lim
1
＝___.
n
aa aa
678n
15.
lim(
a
n
a
 n
17．求
lim
n
= （
a
>0);
n
aa
n
18．数列
0. 18
,
0.0018
,
0.000018
,…的前n项和及各项和S = .
••••••
111

2

n
2
22
19.
lim
.= .
n
111
1
2
(1)
n
< br>n
2
22
1
20.已知数列a
1
,a
2< br>,……a
n
,……的前项和S
n
与a
n
的关系是S< br>n
＝－ba
n
＋1－
与n无关的常数,且b≠－1；
Ⅰ.求a
n
和a
n＋1
的关系式;
Ⅱ.写出用n和b表示a
n
的表达式;
Ⅲ.当0＜b＜1时,求极限
lim
S
n
.(87年)
n
1
,其中b是
(1b)
n

21．在边长为a的正方形ABCD中内依次作内接正 方形A
i
B
i
C
i
D
i
(i=1,2,3 ,…),使内接
正方形与相邻前一个正方形的一边夹角为,求所有正方形的面积之和.








22．已知直线L：x─ ny=0(n∈N),圆M：(x+1)+(y+1)=1,抛物线φ:y=(x─1),又L与M
222

|AB|
2
交于点A、B，L与φ交于点C、D，求
lim
.
n
|CD|
2



23.设a
n
1223n(n1)
(n＝1,2,3… …),b
n

用极限定义证明
limb
n

n
a
n
(n＝1,2,3……),
n(n1)
1
.(85年)
2



练习（数学归纳法）
1．由归纳原理分别探求：
(1)凸n边形的内角和f(n)=
(2)凸n边形的对角线条数f(n)=
(3)平面内n个圆 ，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，则该n个
圆分平面区域数f(n)= .
2．平面上有n条直线，且任何两条不平行，任何三条不过同一点，该n条直线把平面分成
f(n) 个区域，则f(n+1)=f(n)+ .

3．当n为 正奇数时，求证x+y被x+y整除，当第二步假设n=2k─1时命题为真，进而需验
证n= ，命题为真。
4．用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2123…(2n ─1)(n∈N),从“k到k+1”左端
应增乘的代数式为 .
5.用数学归纳法证明：a+(a+1)



6．若a
i
>0(i=1,2,3,…,n),且a
1
+a
2
+…+a
n
=1,证明：a
1
+a
2
+…+a
n




7．已知A
n
=(1+lgx),B
n
=1+ nlgx+
A
N
与B
n
的大小.




8．数列{a
n
}中，
a
1
2,a
n 1





9.试证：不论正数a,b,c是等差数列还是等比数列，当n>1,n∈N且a,b,c互不相等时，
都有a+c>2b.(n∈N).



nnn
n
222
n+12n -1
n
nn
可以被a+a+1整除(n∈N).
2
1
. (n2,n∈N)
n
n(n1)
2
1
lgx,其中n∈N,n 3,
x(,)
,试比较
210
a
n
11
,试证：2a
n
2
.
2a
n
n

< br>10.已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且a
1
=1,S
n
=na
n
(n∈N),
(1) 试求出S
1
,S
2
,S
3
,S
4
,并猜想S
n
的表达式；
(2) 证明你的猜想，并求出a
n
的表达式。






11．已知{a
n
}满足：(n─1)a
n+1
=(n+1)(a
n
─1),a
2
=6,b
n
=n+a
n
(nN).(1)求出b
n
的通项公式，
(2)是否存在非零常数p、q使数列{
若不存在，说明理由.

2
a
n
}成等差数列？若存在，试求出q、q的关系，
pnq