2019年上海高考数学第一轮复习 第25讲 数列的极限
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第25讲 数列的极限
[基础篇]
一、数列极限的概念:
(1)有穷数列一定不存在极限,无穷数列不一定有极限
(2)数列是否有极限与数列前面的有限项无关
(3)如果一个数列有极限,那么它的极限是一个确定的常数
二、数列极限的运算:
(1)3个常见的数列极限是:
lim
n
cc
;
lim1
q
n
n
0
;
lim0
,
q1
n
n
(2)只有当数列极限都存在时才能对数列极限之间进行运算
(3)仅限定在有限个极限间的四则运算,不能推广到无限个极限间做运算
三、无穷等比数列的各项和:
(1)使用的条件:若公比为
q
,则
q
的范围是
0q1
(2)常见的应用:循环小数化分数,几何应用
[技能篇]
例题1 下列命题正确的是
A.若
lim
n
(a
n
b
n
)0<
br>,则
lim
n
a
n
0
且
lim
n
b
n
0
;
B.无穷数列
a
n
有极限,则
lim
n
a
n
lim
n
a
n1
;
C.若
lim
n<
br>a
n
存在,
lim
n
b
n
不存在,则<
br>lim
n
(a
n
b
n
)
不存在;
D. 若两个无穷数列的极限都存在,且
a
n
b
n
,则<
br>lim
n
a
n
lim
n
b
n
。
n
例题2 若
lim
31
n
3
n1
a1
n
3
,则
a
的取值范围______
1
)
(
例题3 求下列极限:
(1)
lim
2n
2
n7
2
; (2)
lim
(
n
2
nn
);
(3)
lim
(
4
22n
+
+…+
).
2
n
5n7
nn
n
2
n
例题4 若
lim
an
2
2n
a
n
2n
1
bn
2
1
,则
b
的值为
1
例题5 数列
a
中
,
a
n
2
1n1000
n
n
n
,则数列
a
n
的极限为
2
n
2
2n
n1001
例题6 若
lim
3
n
3
n1
(a1)
n
1
3
,则实数
a
的取值范围是
n
n
例题7 若
lim
1a
n
2a
存在,则
a
的取值范围是________
例题8 若
lim
n
2
1
n
n1
anb
0
,则
a
=_______,
b
=
_______
例题9 已知无穷等比数列
a
n
<
br>的各项的和是4,则首项
a
1
的取值范围是________
2
n
2
例题10
若数列
a
n
的通项公式是
a
n
3
n
2
n
1
3
n
2
n
n
2
,
n1,2<
br>,…,则
lim
a
1
a
2
a
n
n
A.
1119
1725
B.
C.
D.
2424
2424
2x
(x0)
2
1x
n
例题11 如图所示:矩形
A
n
B
n
P
n
Q
n
的一边
A
n
B
n
在<
br>x
轴上,另两个顶点
P
n
,Q
n
在函数
f(
x)
*
的图像上(其中点
B
n
的坐标为
n,0
(n2,nN)
),矩形
A
n
B
n
P
n
Q
n
的面积记为
S
n
,则
limS<
br>n
=
y
P
n
1
Q
n
O
A
n
1
B
n
x
例题12 设
无穷等比数列
a
n
满足
lim(a
1
a
3
a
5
...a
2n1
)
n<
br>8
,求首项
a
1
的取值范围.
3
例题13 以正方形ABCD的四个顶点为圆心,以正方形
的边长a为半径,在正方形内画弧,得四个交点
A
1
,B
1
,C1
,D
1
,再在正方形
A
1
B
1
C<
br>1
D
1
内用同样的方法得到又一个正方形
A
2
B2
C
2
D
2
,这样无限地继续下去,
求所有这些正方形
面积之和(包括正方形ABCD)
3
M
A
N
E
S
2
F
S
1
BHG
C
(1)无
穷个正方形的周长之和;
(2)无穷个正方形的面积之积
例题14 如图,在等腰直角三角形ABC中,已知∠A<
br>90
°,
斜边BC长为
a
,途中排列着的内接正方形的面积分别为<
br>S
1
,S
2
,S
3
求:
4
[竞技篇]
一、填空题:
1、若
lima
n
A
,数列
<
br>b
n
是由
a
n
中
a
1k
,a
2k
,a
3k
,......(kN
)
按照原来的顺序排列而成,则
n
n
limb<
br>n
1
1n1000
n
2
2、数列
a
n
中,
a
n
,则数列
a
n
的极限
2
n
n1001
2
n2nn
3
1n
2
1
)
3
、
lim(
2
n
3nn3n4
4、
lim(
n
1111
...)
144
7710(3n2)(3n1)
n
3
1
anb)0
,
则a,b的值为 5、若
lim(
2
n
3n
n
1a
n
)
(a≠-1) 6、
lim
(
n
1a
n
3
n
1
7、若
lim
n1
,则实数a的取值范围是
n
3
(a1)
n
3
2
a
n
n
2
8、设等
差数列
a
n
的公差为2,前n项和为
S
n,则
lim
n
S
n
5