实数的连续性公理证明确界存在定理
银行业从业资格考试报名-卫视电影台
实数的连续性公理证明确界存在定理
定理一 实数基本定理（戴德金实数连续性定理
）实数系R按戴德金连续性准这是连续的，
即对R的任意分划A|B，都存在唯一的实数r，它大于或等
于下类A的每一实数。小于或等
于上类B中的每一个实数。
定理二
单调有界有极限 单调上升（下降）有上（下）界的数列必有极限存在。
定理三
确界定理 在实数系R内，非空的有上（下）界的数集必有上（下）确界存在。
定理四
区间套定理 设 是一个区间套，则必有唯一的实数r，使得r包含在所有的区间套
里，即 。
定理五 Borel有限覆盖定理 实数闭区间 的任一个覆盖E，必存在有限的子覆盖。
定理六 Bolzano-Weierstrass紧致性定理
有界数列必有收敛子数列。
定理七 Cauchy收敛原理 在实数系中，数列
有极限存在的充分必要条件是：任给 >0，
存在N，当n>N，m>N时，有 。
定理一 — 三是对实数连续性的描述，定理四 — 定理六是对实数闭区间的紧致性的描
述，定理七是对实数完备性的描述。上述七个定理都描述了实数的连续性（或称完备性），
它们都是等价的。下面给出其等价性的证明：
定理一 定理二：设数列 单调上升有上界。令B是 全体上界组成的集合，即
B= ，而A=RB,则A|B是实数的一个分划。事实上，由 有上界知B不
空。又 单调上升，故 ，即A不空。由A=RB知A、B不漏。又 ，
则 ，使
，即A、B不乱。故A|B是实数的一个分划。根据实数基本定理，
存在唯一的
使得对任意 ，任意 ，有 。下证 。事实上，
对 ，由于 ，知 ，使得 。又
单调上升。故当n>N时，
有 。注意到 ，便有 。故当n>N时有
，于是 。这就证明了 。若 单调下降有下界，
则令 ，则
就单调上升有上界，从而有极限。设极限为r，则
。定理二证完。
定理二 定理三：只需证明在实数系R内，非空的有上界的数集必有上确界存在。设数集
X非空，且有上界。则 ，使得对 ，有 。又 R是全序集， 对 ，
与 有且只有一个成立。故 ,有 与 有且只有一个成
立。故r是X的上界与r不是X的上界有且只有一个成立。 X有上界， 实数是X的
上界。若不存在实数不是X的上界，则由上知， 实数都是X的上界，这显然与X非空矛
盾。故 ，使得 不是X的上界， 是X的上界。则 使得 。
用 的中点
二等分 ，如果 是X的上界，则取
；如果 不是X的上界，则取 。继续用
二等分 ，如果 是X的上界，则取 ；如果
不是X的上界，则取
。如此继续下去，便得到两串序列
。其中 都不是X的上界且单调上升有上界（例如 ），
都是X的上界且
单调下降有下界（例如 ）。并且 （当 时）。由 单调上升
有上界知有 存在，使得 。下证 。①事实上 ， 对
， ，当 时有 。又
都不是X上界 对每一个 ，
，使得 。故对 ， ，使得 。②若
，使得 ，则由 知 。故
，使得 。又 都是X的上界，故对 有 。而 ，
故 ，这是不可能的。故对 ，有 。综上①、②即有 。即X
有上确界存在。
定理三
定理四：由条件知集合 非空，且有上界（例如 ）。故由确
界定理知A有上确界，记为
。则对 ，有 。同理可知集合
有下确界，记为 。则对 ，有 。又 ，
由上可知 。 两边取极限，令 有 。又显然 。否则
由于 是A的上确界，则
，使得 ；同理 ，使得 ，则有
。又由区间套的构造可知，对
，记k=max（n,m），则有
。故有 ，矛盾。故必有 。故 ，记为r。则对 ，
有 。下证具有这一性质的点是唯一的。用反证法，如果还有另一 ，使得
。由于 对一切n成立，故 ,令
，得 ，与
矛盾。故这样的r是唯一的，即存在唯一的实数r，使得r
包含在所有的区间里，即 。
定理四 定理五：用反证法。设E是区间 的一个覆盖，但
没有E的有限子覆盖。
记 ，二等分
，则必有一区间没有E的有限子覆盖（否则把两区间的E
的有限子覆盖的元素合起来构成一新的集合E’,则E’是 的E的有限子覆盖，即 有
E的有限子覆盖与反证假设矛盾），记其为 。二等分 ，则必有一区间没有E
的有限子覆盖，记为 。如此继续下去，得到一组实数的闭区间序列
，满足(i)
；
(ii) 。故 构成一个区间套，且每个 都没有
E的有限子覆盖。则由区间套定理有存在唯一的实数r，使得 。又
由覆盖的定义有
，使得 ，即 。又由上区间套定理的证明
可知 ，其中 。故 ，
使得 ， ，使得 。设 ，则
，即有 覆盖 。这与
没
有E的有限子覆盖的构造矛盾，故 必有E的有限子覆盖。
定理五 定理六：设数列 有界，即实数 a,b，且a
反证法，如果 无收敛子数列，则对 ，使得只有有限
个 。（如果不然，即
，对 ，有 中有无限
个 。选定 ，再选 ，使 。这是办得到的，因
为 包含数列的无限多项。再取 ，使 。如此继续下
去，便得到 的一子数列
。令 ，则有 。
又 ， 与反证假设矛盾）。又以这样的
作为元素组成的集合显然是 的一覆盖，记为E。则由Borel有限覆盖定理知 有E
的有限子覆盖。而E中的每个元素都只包含 的有限项，有限个有限的数相加仍为有限
数，故 只包含 的有限项。这与 矛盾，故 必有收敛子数
列，即有界数列必有收敛子数列。
定理六
定理七：必要性：设在实数系中，数列 有极限存在，则 ， ，
使得只要 ，有 （记
）。因此只要 ，就有
。必要性得证。
充分性：设在实数系中，数列 满足： ， ，当
时，有 ，即 是基本列。先证
是有界的。事实上，取
，则 ，使得当 时，有 。取定一 ，则
有 。取 ，
则有 。这就证明了 是有界的。再证明
有极限存在。由
Bolzano-Weierstrass紧致性定理可知 有子数列
，使得 存在，记为a。下证
。事实上， ，由题设知 ，当 时，有 。
又 ， ，只要 ，就有 。取 ，
则只要 ，选取 ，就有 。这就证
明了 。即 有极限存在。充分性得证。
综上，定理七证完。
定理七 定理一：对任意给定的实数R的分划A|B， A、B非空，
可任取点
。又 分划满足不乱， 。用 的中点 二等分 ，
如果
，则取 ；如果 。则取
。（ 分划满足不漏，
对任意实数，或者属于A，或者属于B。故
或 。）继续用 二等分 ，如果 ，则取
；如果 ，则取 。如此继续下去，
便得到两串序列 。其中
单调上升有上界（例如 ）， 单调下降有
下界（例如 ），并且 （当
时）。下面用柯西收敛原理来证明
存在。事实上如果不然，则 ， ， ，有 。
不妨设 ，由 单调上升有 。 对 上式都成立
（ ）， 取
，并把所得的不等式相加得 。其中
k为不等式的个数。故 ，当
时。而由N的取法可知对每一个
k都有相应的N’与之对应，即有相应的 与之对应。故对
， ，使得
。即 无界，与 有界矛盾。故 存在，记为r。下证对
，有 。这等价于证明对 ，有 。事实上，
，由 知 ，使 。故
。而对 ，由
知 。故 ，使 。从而 ，这就证明了 ，即证明了实
数基本定理。
综上，这就证明了这七个定理是等价的。而从证明过程来看：定理二 定理三的方法
可用于定理二 定理四及定理四 定理三；定理七 定理一的方法可运用于定理七 定
理二，定理二 定理四，定理四 定理一。而这并不构成逻辑循环，因为我们已用十进小
数证明了实数基本定理。而这其实是用无限不循环小数方法来定义无理数。事实上我们还可
以用戴德金分割法、康托基本序列法或魏尔斯特拉斯的单调有界序列法来定义无理数，这都
能构成反映实数本质的实数公理系统。