简爱读后感500字-广西大学研究生

第十六章 多元函数的极限与连续
总练习题
1、设E⊂R
2
是有界闭集，d(E)为E的直径. 证明：存在P
1
,P
2
∈E，
使得ρ(P
1
,P
2
)=d(E).
证：由d(E)=
sup
ρ(P,Q)知，对ε
n
=, ∃ Pn
,Q
n
∈E，使d(E)<ρ(P
n
,Q
n
)+.
P,QE
1
n
1
n
{P
n
}, {Q
n
}均为有界闭集E中的点列，从而有收敛子列{Pn
k
},{Qnk
}，
记Pn
k
→P
1
, Qn
k
→P
2
，k→∞. ∵ρ(Pn
k
,Qn
k
)≤d(E)<ρ(Pn
k
,Qn
k
)+
令k→∞得ρ(P
1
,P
2
)≤d(E)≤ρ(P
1
,P
2
)，即d(E)=ρ(P
1
,P
2
).
又∵E为闭集，∴P
1
,P
2
∈E，得证!

2 、设f(x,y)=
x
1
,r=
x
2
y
2
,k>1，D
1
={(x,y)|≤y≤kx}, D
2
={(x,y)|x>0,y>0}.
xy
k
1
，
n
k
分别讨论i=1,2时极限
lim
f(x,y)是否存在，为什 么？
r
(x,y)D
i
解：
lim
f(x,y) 存在；
lim
f(x,y)不存在. 理由如下：
rr
(x, y)D
1
(x,y)D
2
1k
2
(1)当(x,y) ∈D
1
时，|x|≤r=
x
2
y
2
≤
1 k
2
|x|，
k
∴由r→+∞可得x→∞，又|f(x,y)|=|∴
lim
f(x,y)=
lim
f(x,y)=0存在.
r x
(x,y)D
1
(x,y)D
1
1
k
|≤
2
→0, x→∞，
xy
x
(2)对y=, 当x>0时，y>0，∴(x,)∈D
2
，且
当x→∞时，r=
x
2
y
2
=
x
2

k
1
1
→+∞，但f(x,y)==，
2
x
xy
k
k
x
k
x

即极限
lim
f(x,y)与k的取值有关，∴
lim
f(x,y)不存在.
rr
(x,y)D
2
(x,y)D
2

3、设
lim
φ(y)=φ(y
0
)=A,
lim
ψ(x)= ψ(x
0
)=0, 且在(x
0
,y
0
)附近有
yyxx
00
|f(x,y)-φ(y)|≤ψ(x). 证明
yy< br>0
(x,y)(x
0
,y
0
)
lim
f( x,y)=A.
证：∵
lim
φ(y)=φ(y
0
)=A, ∴∀ ε>0，∃δ
1
>0，使得当|y-y
0
|<δ
1
时，就有
|φ(y)-A|<；∵
lim
ψ(x)=ψ(x
0
)=0, ∴对上述ε>0，∃δ
2
>0，
xx
0
ε
2
使 当|x-x
0
|<δ
2
时，就有|ψ(x)|<；又在(x
0
,y
0
)附近有|f(x,y)-φ(y)|≤ψ(x)，
∴∃δ=min{δ< br>1
,δ
2
}，使|y-y
0
|<δ, |x-x
0
|<δ时，|f(x,y)-φ(y)|≤ψ(x)<，
从而有|f(x,y)- A|≤|f(x,y)-φ(y)|+|φ(y)-A|<+=ε. ∴

4、设f在R
2
上连续，α是任一实数，E={(x,y)|f(x,y )>α,(x,y)∈R
2
};
F={(x,y)|f(x,y)≥α,(x,y) ∈R
2
}，证明E是开集，F是闭集.
证：(1)对任一点(x
0
,y
0
)∈E，f(x
0
,y
0
)-α>0. ∵f在R
2
上连续，由保号性知，
存在P
0
(x
0
,y
0
)的某邻域U(P
0
)，使当(x,y)∈U(P
0
)时，f(x,y)-α>0，即
(x,y)∈E, 从而U(P
0
)⊂E, ∴E为开集.
(2)设P
0
(x
0
,y
0
)是F 的任一聚点，则存在F的互异点列{P
n
}，使
P
n
→P
0
, n→∞，由f(P
n
)=f(x
n
,y
n
)≥α, n=1,2,…，且f(x,y)在P
0
连续知，
f(P
0
)=< br>lim
f(P
n
)≥α，即P
0
∈F，∴F为闭集.
n
ε
2
ε
2
ε
2
ε
2
(x ,y)(x
0
,y
0
)
lim
f(x,y)=A.

5、设f在有界开集E上一致连续；证明：
(1)可将f连续延拓到E的边界；(2)f在E上有界.
证：记∂E为E的边界，Ē=E∪∂E，

若P∈∂E，则对任一n，U(P;)∩E≠Ø. 任取P
n
∈U(P;)∩E，则
P
n
→P, n→∞，且P
n
∈E(n=1,2,…). 由f在E上一致连续可知，
∀ε>0, ∃δ>0，当A,B∈E且ρ(A,B)< δ时，|f(A)-f(B)|< ε. 于是
对上述的δ>0，存在N, 当m,n>N时，ρ(P
m
,P
n
)< δ，从而|f(P
m
)-f(P
n
)|<ε.
∴{f(P
n
)}收敛，即
lim
f(P
n
)存在.
n
1
n
1
n
若P
n
,Q
n
∈E (n=1 ,2,…)且
lim
P
n
)=
lim
Q
n
=P，则存在N,使当n>N时，
nn
ρ(P
n
,P)<且ρ(Q
n
,P)<，从而当n>N时，ρ(P
n
,Q
n
)≤ρ(P
n
,P)+ρ(Q
n
,P)<δ，
∴|f(P
n
)-f(Q
n
)|<ε，∴
lim
f(P
n
)=
l im
f(Q
n
).
nn
δ
2
δ
2
∴对每个P∈∂E，存在唯一的实数
lim
f(P
n
)与之对应 . 定义：
n
P
n
P)

limf(P
n
)
，
PE(P
n
E，
n
F(P)=< br>
，则F为定义在Ē上的函数.
f(P)PE

显然F是f到∂E的一个延拓.
(1)设P
0
∈Ē，则P
0
∈E或P
0
∈∂E. 当P
0
∈E时，由E为开集知，
存在U(P
0
)⊂E，于是当P∈ U(P
0
)时，F(P)=f(P). ∵f在P
0
连续，
从而< br>lim
F(P)=
lim
f(P)=f(P
0
)=F(P0
)，∴F在P
0
连续.
PP
0
PP
0
当P
0
∈∂E时，F(P
0
)=
lim
f(Pn
)，其中{P
n
}为E中趋于P
0
的点列，
n
对E中任一趋于P
0
的点列{Q
n
}，有
lim
F (Q
n
)=
lim
f(Q
n
)=
lim
f (P
n
)=F(P
0
)，
PP
0
PP
0
PP
0
由归结原则知存在
lim
F(P)=F(P
0
). ∴F在P
0
连续. ∴F在Ē上连续.
PP
0
(2)∵Ē是有界闭集，且F在Ē上连续，从而F在Ē上有界，
∴F在E上有界，又在E上有F=f，∴f在E上有界.

6、设u=φ(x,y)与v=ψ(x,y)在xy平面中的点集E上一致连续；
φ与ψ把点集E映射为uv平面中的点集D，f(u,v)在D上一致连续,

证明：复合函数f[φ(x,y),ψ(x,y)]在E上一致连续.
证：设P(u
1
,v
1
), Q(u
2
,v
2
)为D上任意两点，由f(u,v)在D上一致连续知，
∀ε>0, ∃δ>0, 只要|u
1
-u
2
|<δ, |v
1
-v
2
|<δ, 就有|f(u
1
,v
1< br>)-f(u
2
,v
2
)|< ε.
又u=φ(x,y)与v=ψ(x,y)在xy平面中的点集E上一致连续；
∴上述δ>0, ∃η>0, 使得当(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
)∈E且|x
1
-x
2
|<η, |y
1
-y
2
|<η时，
就有 |φ(x
1
,y
1
)-φ(x
2
,y
2
)|<δ, |ψ(x
1< br>,y
1
)-ψ(x
2
,y
2
)|<δ, 从而有 < br>|f(φ(x
1
,y
1
),ψ(x
1
,y
1
))-f(φ(x
2
,y
2
), ψ(x
2
,y
2
))|<ε，
即复合函数f[φ(x,y),ψ(x,y)]在E上一致连续.

7、设f(t) 在区间(a,b)内连续可导，函数F(x,y)=
f(x)-f(y)
(x≠y),
x-y
F(x,x)=f’(x)，定义在区域D=(a,b)×(a,b)内，证明：对任何c∈( a,b)有
(x,y)(c,c)
lim
F(x,y)=f’(c).
证：∵f(t)在区间(a,b)内连续可导，∴当(x,y)∈D且x≠y时，
在[x,y]或[y,x]上应用格拉朗日定理知：存在ξ∈[x,y]或[y,x]，使得
F(x,y)=
f(x)-f(y)
=f’(ξ). 又F(x,x)=f’(x)，可见对任意(x,y)∈D，
x-y
总存在ξ∈[x,y]或[y,x]，使得F(x,y)=f’(ξ).
∵( x,y)→(c,c)时，ξ→c，且f’(t)在c处连续，∴
lim
F(x,y)=f’( c).
(x,y)(c,c)