请示格式范文-全国一本大学排名

第十六章 多元函数的极限与连续

一、证明题
1. 证明: 当且仅当存在各点互不相同的点列{p
n
}

E,p≠p
0
.
lim
P
n
=P
0
时P
0
是E的聚点.
n
2. 证明:闭域必是闭集,举例证明反之不真.
3. 证明:点列{pn
(x
n
,y
n
)}收敛于p
0
(x
0
,y
0
)的充要条件是
lim
x
n
=x
0
和
lim
y
n
=y
0
.
nn
4. 证明: 开集与闭集具有对偶性——若E为开集,则E
c
为闭集;若E为闭集,则E
c
为开集.
5. 证明:
(1) 若F
1
,F
2
为闭集,则F
1
∪f
2
与F
1
∩F
2
都为闭集;
(2) 若E
1
,E
2
为开集,则E
1
∪E
2
与E
1
∩E
2
都 为开集;
(3) 若F为闭集,E为开集,则FF为闭集,EF为开集.
6. 试把闭区域套定理推广为闭集套定理,并证明之.
7. 证明定理16.4(有限覆盖定理):
8. 证明: 若1°
(x,y)(0,0)
limf(x,y)
存在且等于A;
xa
ybxa
2°当y在b的某邻域内时,存在有
limf(x,y)
< br>(y)
,则
limlimf(x,y)A
.
x
2
y
0
. 9. 试应用ε-δ定义证明:
lim
(x,y)(0,0)
x
2
y
2
10. 叙述并证明: 二元函数极限存在的唯一性定理,局部有界性定理与局部保号性定理.
11. 叙述并证明二元连续函数的局部保号性.

x

22
, x y0

p0


22
p
12.设f(x,y )=

xy


0, x
2
y
2
0


试讨论它在(0,0)点的 连续性.
13. 设f(x,y)定义于闭矩形域S=[a,b]×[c,d],若f对y在[c,d ]上处处连续.对x在[a,b]上(且关
于y)为一致连续,证明f在S上处处连续.
14. 证明:若D

R
2
是有界闭域,f为D上连续函数,则f( D)不仅有界(定理16.8)而且是闭区间.
15. 若一元函数

(x)在[a,b]上连续,令
f(x,y)=

( x),(x,y)∈D=[a,b]×(-∞,+∞),试讨论f在D上是否连续?是否一致连续?
16. 设(x,y)=


1
,(x,y)∈D=
0,1



0,1

,证明f在D上不一致连续.
1xy

17. 设f在R
2
上分别对每一自变量x和y是连 续的,并且每当固定x时f对y是单调的,证明
f是R
2
上的二元连续函数.

二、计算题
1.判断下列平面点集,哪些是开集、闭集、有界集或区域？并分别指出它们的聚点与界点。
(1)

a,b



c,d

; (2) {(x,y)|xy≠0};
(3) {(x,y)|xy=0}; (4) {(x,y)|y>x
2
};
(5) {(x,y)|x<2, y<2, x+y>2}; (6) {(x,y)|xy≥0};
(7) {(x,y)|y=sin
1
, x>0};
x
(8) {(x,y)|x
2
+y
2
=1,或y=0, 0≤x≤1};
(9) {(x,y)|x
2
+y
2
≤1,或y=0, 1≤x≤2};
(10) {(x,y)|x,y均为整数}.
2. 试问集合{(x,y )|0<|x-a|<δ,0<|y-b|<δ}与集合{(x,y)||x-a|<δ,|y-b|<δ,(x ,y)≠(a,b)}是否相
同?
3. 求下列各函数的函数值:
2
< br>arctg(xy)

(1)
f(x,y)

,


arctg(xy)

求
f



1313


;
,
2


2

(2)
f(x,y)< br>2xy

y

,求
f

1,
;
x
2
y
2

x

(3) f(x,y)=x
2
+y
2
- xytg
x
, 求f(tx, ty)
y
4. 求下列各函数的定义域,画出定义域的图形,并说明这是何种点集:
x
2
y
2
(1)
f(x,y)
2
;
xy
2
(2)
f(x,y)
1
;
22
2x3y
xy
;
y
2
1
;
(3)
f(x,y)
2
(4)
f(x,y)1-x

(5)
f(x,y)lnxlny

23
(6)
f(x,y)sin(xy)
;
(7) f(x,y)=ln(y-x);
(8)
f(x,y)e
-(x
2
y
2
)
;
(9)
f(x,y,z)
z
;
22
xy1
R
2
x
2
y
2
z
2


(R>r)
(10)
f(x,y,z)
1
xyzr
2222
5. 试求下列极限(包括非正常极限):
x
2
y
2
(1)
lim
;
(x,y)(0,0)
x
2
y
2< br>1x
2
y
2
(2)
lim
;
(x,y)(0,0)
x
2
y
2
(3)
(x ,y)(0,0)
lim
x
2
y
2
1xy122
;
(4)
xy1
;
(x,y)(0,0)
x
4
y
4
lim
1
;
(x,y)(1,2 )
2xy
lim
lim(xy)sin
1
;
22
xy
(5)
(6)
(x,y)(0,0)
si n(x
3
y
3
)1
(7)
lim
;
22
(x,y)(0,0)
xy
6. 讨论下列函数在点(0,0)的重极限与累次极限:
y
2
(1)
f(x,y)
2
;
xy
2

(2)
f(x,y)(xy)sin
11
sin
;
xy
x
2
y
2
(3)
f(x,y)
22
;
xy(xy)
2
x
3
y
3
(4)
f(x,y)
2
;
xy
(5)
f(x,y)ysin
1
;
x
x
2
y
2
(6)
f(x,y)
3
;
xy
3
e
x
e
y
(7)
f(x,y)
.
sinxy
7. 试写出下列类型极限的精确定义:
(1)
(2)
(x,y)(,)
limf(x,y)A
;
(x,y)0,)
limf(x,y)A

8. 试求下列极限:
x
2
y
2
lim
(1)
(x,y)(,)
x
4
y
4
(2)
(x,y)(,)
lim(x
2
y
2
)e
( xy)
;
xsiny

1


lim1
(3)

(x,y)(,)


xy

(4)
;

1


1

(x,y)( ,0)

x

lim
x
2
xy
.
9. 试作一函数f(x,y)使当x→+∞,y→+∞时,
(1) 两个累计极限存在而重极限不存在;
(2)两个累次极限不存在而重极限存在;
(3)重极限与累次极限都不存在;
(4)重极限与一个累次极限存在,另一个累次极限不存在.
10. 讨论下列函数的连续性:
(1) f(x,y)=tg(x
2
+y
2
); (2) f(x,y)=[x+y];


xy

sin, y0,
y
(3)
f(x,y)



0, y0


sinxy
22
, xy0,

22
(4)
f(x,y)

xy


22

0, xy0
(5)
f(x,y)


y, x为有理数,

0, x为无理数;

22222


yln(xy), xy0,
(6)
f(x,y)


22


0, xy0
(7)
f(x,y)
1
;
sinxsiny

x
y
(8)
f(x,y)e
.
三、考研复习题
1. 设E

R< br>2
是有界闭集,d(E)为E的直径,证明:存在p
1
,p
2
∈E,使ρ(p
1
,p
2
)=d(E).
2. 设f(x,y)=
1
1
22
,r=
xy
,k>1,D
1
= {(x,y)|x≤y≤kx},D
2
={(x,y)|x>0,y>0}试分别讨论
k
xy
i=1,2时极限
lim
f(x,y)是否存在?为什么?
r
(x,y)D
1
3. 设
lim

(y )A,lim

(x)0
,且在(x
0
,y
0
)附近有|f(x,y)-|
yy
0
xx
0

(y)| ≤

(x),证明
(x,y)(x
0
,y
0
)< br>lim
f(x,y)=A.
4. 设f是定义在R
2
上的连续函数, α是任一实数,
E={(x,y)|f(x,y)>α,(x,y)∈R
2
}
F={(x,y)|f(x,y)≥α,(x,y)∈R
2
}
5. 设F在有界开集E上一致连续,证明:
(1) 可将f连续延拓到E的边界.
(2) f在E上有界.
6. 设u=

(x,y)与V=

(x,y), 在xy平面中的点集E上一致连续;

与

把点集E映射为uv
平 面中的点集D,f(u,v)在D上一致连续,证明:复合函数f[

(x,y),

(x,y)]在E上一致连续.
7. 设f(t)在区间(a,b)内连续可导,函数f(x,y)=
f(x)f(y)
(x≠y )F(x,x)=
f

(x),定义在区域
xy

D =(a,b)×(a,b)内,证明:对任何C∈(a,b)有


(x,y)(c ,c)
lim
f(x,y)=
f

(c).