庐山县-干部作风心得体会

非线性系统分析习题

第2章
2-1 电路如题图2-1所示，若
i
1
 2tanh
u
1
，

2

i
2

i
2
，
q
3
ln
u
3
，试讨论 对下列各组
变量：（1）
i
2
和
u
3
；（2）i
2
和
q
3
；（3）

2
和
u
3
；（4）

2
和
q
3
；是否存在标准 形式的状态方程？若
存在，请导出该状态方程。
32

题图 2-1

i
2
和
u
3
存在标准状态方程
di
2
i
1

2
(u
s
tan
1
(
2
)u
3
)
dt
3i
2
2 i
2
2
du
3
i
2
u
3
dt< br>
2-2 题图2-2所示电路，非线性电阻的特性为：
i
R< br>2

u
R
2
3
u
R
2
， 试导出电路的状态方程。
2

题图 2-2
du
C1
1 1
i
s
i
L
dtC
1
C
1

du
C2
11
2
i
L
(u
C2
3u
C2
)

dtC
2
C
2
diL
1
R
1
u
C1
u
C2

2
i
L
dtLLL
2-3 试确定下列函数是否满足全局Lipschitz条件
（1）
f(x)[x
1x
1
x
2
（2）
f(x)[x
1
e
x
2
2
2
2x
1
x
2
2
]
T
可能不满足
x
2
e
x
1
]
T
满足
2

2-4 Van der pol方程可以用状态方程描述为

1
x
2

x


< br>2

2
x
1


(x
1
1)x
2

x
试证明，任取初始条件
x
10
， x
20
，对于某些充分小的

，状态方程在
[0
2-5 考虑标量微分方程

]
上有唯一解。

tan(x(t)),xx(0)x
0

)
上具有唯一解。 试证明微分方程对于任意
x
0
，在区间
[0,
2-6 已知非线性系统的状态方程为

dx
1


3

x

x

dt

12

1< br>

dx

3


t

2


x

x
4tanh
x
3
te
2
t

22

1


d t

试判断该状态方程是否有唯一解。
当
t
0
0,tt
0
时有唯一解
2-7 试求下列电路状态方程的平衡点。

dx

dx
22
< br>ax

cxy

y

xx

y< br>

dt

dt
（1）

（0，0） （2）

（0，0）

dy

by

dxy

dy

x

yx
2

y
2


dt

dt
< br>dx

y


dt
（3）

（0，0）；（1，0）；（-1，0）

dy

x

x
3


dt

dx
sin
y


dt
（4）

（1，k

);(1,k

)

dy

x
2
1


dt
k0,1,2,


dx
x
< br>y

e
1

bb

dt
（5）

(0,0)；
(,);
dd

dy

by

dy
3


dt
(
bb
,)
dd
b
0,d0

d

第3章
3-1 分别取

0.5
，
< br>2
，用等倾线法绘出范德坡方程的轨线。设初值为：

(0)3
;（2）
x
(0)0,
x

(0)1
;(3)
x
(0)2.3,
x

(0)3
。 （1）
x
(0)3,
x

(0)3
的轨线。 3-2 用liénard作图法绘出

0.5
时，范德坡方程初值为
x
( 0)3,
x
3-3 试证明在
m


时，范德坡方程的等倾线包含3个分支。
3-4 试确定下列线性微分方程组奇点的类型，并定性作出相图。

dx

dt


21

x

（1）



； 稳定结点
dy

2 3

y



dt


d x



32

x

（2）

dt



；鞍点
dy
2

y

2


dt


dx



21

x

（3）

dt



； 不稳定结点
dy

23

y



dt


dx



10

x

（4）

dt



； 稳定结点


03

y


dy


dt


dx


dt
< br>
20

x

（5）



； 鞍点
dy

03

y



dt


dx



42

x

（6）

dt



； 非初等奇点，轨线趋于奇线
dy

21

y



dt


dx



21

x

（7）

dt



； 非初等奇点，轨线平行于奇线
dy

42

y


dt



dx

< br>
20

x

（8）

dt
< br>

； 不稳定结点
dy

03

y



dt


dx


01

x

（9）

dt



; 中心
dy

20

y



dt


dx


dt


13

x

(10)



不稳定焦点
dy
31

y



dt

3-5 试求下列各非线性状态方程平衡点处的线性化系统，并决定该平衡点的类型。

dx

x

xy


dt（1）

平衡点（0，0）

dy

y

xy


dt

dx
x


dt
鞍点

dy

y


dt


dx
y


dt
中心、焦点或中心焦点之一


dy
x


d t

dx
22

y

xx

y


dt
（2）

平衡点（0，0）

dy

x

yx
2

y
2
< br>
dt


dx

dx

yy



dt

dt
（3）

平衡点（0，0），

鞍点

dy

x

x
3

dy
x< br>


dt

dt

dx
y


dt
（1，0），（-1，0）

中心、焦点或中心焦点之一

dy
x


dt

dx
x

y

dx

e
1
xy



dt

dt
（4）

平衡点（0，0）

不稳定退化结点
dy

dy

y

y
2

y



dt< br>
dt
3-6 考察下列非线性系统是否存在极限环，如存在极限环，通过极坐标变换来判断极限环的稳定性。


1
x
2
x
1
(1x
1
2
x
2
2
)



r(1r
2
)

x

r
（1）



，存在稳定的极限环
r1

22


2
x
1
x
2
(1x
1
x
2)




1

x
1

22

xxx(1xx)sin()
2112
22

1
xx1

12
（2）

1
x

2
x
1
x
2
(1x
1< br>2
x
2
2
)sin(
2
)
2
< br>x
1
x
2
1


1

r(1r
2
)sin
2
r
存在半稳定的极限环
r1

1
1x
1
x
2
2
,
（3）
x

2
x
1
不存在极限环
x
< br>
1
x
2
cos(x
1
),
（4）
x


2
sinx
1

x
不存在

第4章
4-1 试对二阶自治系统的各类平衡点，按Lyapunov稳定性的定义对平衡点的稳定性类型进行分类。
4-2 试判断下面的每一个函数是否为：（1）局部正定函数；（2）正定函数；（3）半正定函数 ；（4）不
定函数。
（1）
V(x
1
,x
2
) x
1
x
2
； 正定函数
（2）
V(x
1,x
2
)2x
1
x
1
x
2
；局部 正定函数（
2x
2
2
）
（3）
V(x
1< br>,x
2
)sin(x
1
x
2
)
； 局部正定函数
（0x
1
x
2


）
2222
42
222
2x
1
2
x
2
2< br>（4）
V(x
1
,x
2
)
；正定函数
1 +x
1
2
（5）
V(x
1
,x
2
)x< br>2
e
1
2
x

半正定函数
4-3 试讨论下列系统原点的稳定性，指出它们是否稳定；如果稳定，是否全局的。

1
 x
1
x
1
x
2
,
（1）
x

2
x
2
；局部渐近稳定
x
22

1
x
2
x
1
(1x
1
x
2
),
（2）
x
22
V(x
1
,x
2
)x
1
x
2
）

2
x
1
x
2
(1x
1
2
x
2
2
)
；局部渐近稳定（设
x

x

-xxxsin(x)cos( 3x)
；不稳定，利用首次近似 （3）

x

1
 x
1
2x
1
sint,
（4）
x
4-4 考虑系统
2
57282

2
x
2
(1t)
;
x

1
x
1
2x
2
,

x

2
2x
1
x
2
x
23

x
22
预选V函数为
V(x
1
,x
2
)x
1
x
2
,证明平衡点（0,0）是不稳定的。
4-5 某非线性电路的状态方程为
3

1
x
1
x
1

xx
2
,

2
3x
1
x
2

x
（1） 求系统的所有平衡点；（0,0），（2,6）（-2，-6）
（2） 通过平衡点处的线性化系统研究所有平衡点处的局部稳定性；（0,0）不稳定；（2,6），稳定；
（ -2，-6）；稳定
（3） 利用二次Lyapunov函数，估计每个渐近稳定的平衡点的吸引域， 并尽可能极大化吸引域（提
示：对每个渐近稳定的平衡点，将坐标原点平移到平衡点处，然后进行分析） ；
（4） 绘出系统的相轨迹和前列分析对比。
4-6 试证明：如果存在对称矩阵P和Q使得

APPA2

PQ

则A的所有特征值的实部均小于


。
4-7 考虑一个二阶系统 < br>T

x

1
3x
1
x
2
2
-sat(2x
2
u)




xsinxxu
12

2
其中sat函数定义为



sat(

)


< br>sign(

)

1

1

当
u0
时，试采用平衡点（0,0）处的线性化系统证明系统是局部不稳定的；
4-8 通信网络锁相环回路方程可描述为

y


y[abcos(y)]csiny(

)

，试导出状态方程； （1） 取
x
1
=y,x
2
y
x
2
2
（2） 设
c0
，取预选Lya punov函数为
V(x
1
,x
2
)c(1cosx
1
)
，证明：
2
如果
ab0
，平衡点（0,0）是稳 定的；如果
ab0
，平衡点（0,0）是渐近稳定的（提示：应用
Lasalle 定理）