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第1章 函数与极限总结
1、极限的概念
（1）数列极限的定义
给定数列{x
n
}，若存在常数a ，对于任意给定的正数

不论它多么小 总存在正整数
N  使得对于n >N 时的一切n 恒有
|x
n
a |<

则称a 是数列{x
n
}的极限 或者称数列{x
n
}收敛于a  记为
n
limx
n
a
或xna (n)
（2）函数极限的定义
设函数f(x)在点x
0
的某一去心邻域内（或当
xM0
）有定义，如果存在常数A
对于任意给定的正数

(不论它多么小) 总存在正数

（或存在X） 使得当x满足不等式
0<|x x
0
|

时（或当
xX
时） 恒有 |f(x)A|


那么常数A就叫做函数f(x)当
xx0
（或
x
）时的极限 记为
xx
0
limf(x)A
或f(x)A(当xx0)（ 或
limf(x)A
）
x
类似的有：如果存在常数A对
< br>
0,

0,
当
x:x
0


xx
0
（
x
0
xx
0


）
时，恒有
f(x)A

，则称
A
为f(x)
当
xx
0
时的左极限（或右极限）记作
xx
0

limf(x)A(或lim

f(x)A)

xx
0
xx
0
xx
0
xx
0
显然 有
limf(x)Alim

f(x)lim

f(x)A )

如果存在常数A对


0,X0,当
xX(或xX)
时，恒有
f(x)A

，
则称
A
为
f(x)
当
x
（或当
x）时的极限
记作
limf(x)A(或limf(x)A)

x x
显然有
limf(x)Alimf(x)limf(x)A)

xxx
2、极限的性质
（1）唯一性
若
lim x
n
a
，
limx
n
b
，则
ab< br>
n
n
若
limf(x)Alimf(x)B
， 则
AB

x
(xx
0
)
x
( xx
0
)
（2）有界性
（i）若
limx
n
a
，则
M0
使得对
nN
n

,恒有
x
n
M

（ii）若
limf( x)A
，则
M0
当
x:0xx
0

< br>时，有
f(x)M

xx
0
（iii）若
lim f(x)A
，则
M0,X0
当
xX
时，有
f(x )M

x
（3）局部保号性
（i）若
limx
n< br>a
且
a0(或a0)
则
NN

，当
nN
时，恒有
x
n
0(或x
n
0)
n
（ii）若
limf(x)A
，且
A0(或A0)
，则


0
当
x:0xx
0

< br>时，有
xx
0
f(x)0(或f(x)0)

3、极限存在的准则
（i）夹逼准则
给定数列
{x
n
},{y
n
}, {z
n
}


若①
n
0
N,
当
nn
0
时有
y
n
x
n
z
n

②
limy
n
limz
n
a
，
nn
则
limx
n
a

n
给定函数
f(x),g(x),h(x)
，
若①当
xU(x
0
,r)
（或
xX
）时，有
g(x)f( x)h(x)

②
limg(x)limh(x)A
，
x 
(xx
0
)
x
(xx
0
)
0< br>则
limf(x)A

x
(xx
0
)
（ii）单调有界准则
给定数列
{x
n
}
，若①对< br>nN

有
x
n
x
n1
(或x
n
x
n1
)
②
M(m)
使对
nN
有
x
n
M(或x
n
m)
则
li mx
n
存在
n
若
f(x)
在点
x
0
的左侧邻域（或右侧邻域）单调有界，则
lim

f(x)
（或
lim

f(x)
）
xx
0
xx
0
存在
4、极限的运算法则
（1）若
limf(x)A
，
limg(x)B

x 
(xx
0
)
x
(xx
0
)
则( i)
lim[f(x)g(x)]AB

x
(xx
0< br>)
(ii)
lim[f(x)g(x)]AB

x
(xx
0
)

(iii)
lim
x
(x x
0
)
f(x)A

（
B0
）
g (x)B
0
（2）设（i）
ug(x)且limg(x)u
0
（ ii）当
xU(x
0
,

)
时
g(x)u0

xx
0
（iii）
limf(u)A

uu
0
则
limf[g(x)]limf(u)A

xx
0
uu
0
5、两个重要极限
（1）
li m
sinx
1
x0
x
sinu(x)
1
< br>u(x)0
u(x)
lim
lim
sinx11
0
，
limxsin1
，
limxsin0

xxx 0
xxx
x
u(x)

1

1

（2）
lim

1

e
lim

1 

u(x)
x
u(x)

x


lim(1x)e
x0
1
x
e;

v (x)0
lim

1v(x)

1
v(x)
 e;

6、无穷小量与无穷大量的概念
（1） 若
lim
x< br>(xx
0
)

(x)0
，即对

0,

0,
当
x:0xx
0

< br>（或
xX
）时有

(x)

，则称当
x x
0
(或x)，

(x)
无穷小量
（2） 若limf(x)
即对
M0,

0(或X0),
当
x:0xx
0


x
(xx
0
)
（或
xX
）时有
f(x)M
则称当
xx
0
(或x)，f(x)
无穷大量
7、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系，无穷小量的运算法则
（1）
limf (x)Af(x)A

(x),其中lim
x
(xx
0
)
x
(xx
0
)

(x)0

（2）
limf(x)0（f(x)0）lim
x
(xx
0
)
x
(xx
0
)
1

f(x)
（3）
limg(x)lim
x
(xx
0
)
x
(xx
0
1
0

g(x)< br>)
（4）
limf(x)且M0,
当
x:0xx
0


（或
xX
）时有
g(x)M
，
x
(xx
0
)
则
lim[f(x)g(x)]

x
(xx
0
)

（5）
limf(x) 0且M0,
当
x:0xx
0


（或
x X
）时有
g(x)M
，
x
(xx
0
)< br>则
lim[f(x)g(x)]0

x
(xx
0< br>)
nn
（6）
limf
k
(x)0(k1,2,L,n)
则
lim
x
(xx
0
)
x
(x x
0
)
k1

f
k
(x)0,lim
x
(xx
0
)
k1

f
k
(x )0,

8、无穷小量的比较
x
(xx
0
)limf(x)0,limg(x)0,lim

(x)0

x 
(xx
0
)
x
(xx
0
)
若（ 1）
lim
小。
（2）
lim
x
(xx
0
)
f(x)
C0,
，则称当
xx
0
(或x )
时，
f(x)
与
g(x)
是同阶无穷
g(x)
x
(xx
0
)
f(x)
1
，则称当
xx
0
(或x)
时，
f(x)
与
g(x)
是等价无 穷小，记作
g(x)
。
f(x):g(x)
（
xx
0< br>(或x)
）
（3）
lim
x
(xx
0)
f(x)
0
，则称当
xx
0
(或x)
时，
f(x)
是
g(x)
是高阶无穷小，记作
g(x)
。
f(x)o(g(x))
（
xx
0
(或x)
）（4）
M0
xU(x
0
,

)
（或< br>xX
），有
（
xx
0
(或x)
）
（5）
lim
0
f(x)
M
，则记
f(x)O(g(x ))
g(x)
x
(xx
0
f(x)
C0(k0 )
，则称当
xx
0
(或x)
时，
f(x)
是

(x)
是k
k
[

(x)]
)
阶无穷小，
9、常用的等价无穷小
当
x0
时，有（1）
sin x~x~arcsinx~tanx~arctanx~ln(1x)~e1,

（2）< br>1cosx~
x
1
2
x.
（3）
a
x1~xlna(0a1),
（4）
(1x)

1~

x

2
10、函数连续的概念
（1） 函数连续的定义
设
yf(x)
在点
x
0
及其邻域
U(x)
内有定 义，若
（i）
limylim[f(x
0
x)f(x
0
)]0

x0x0

或（ii）
limf( x)f(x
0
)

xx
0
或（iii）

0,

0,
当
x:xx
0


时，有
f(x)f(x
0
)

.

则称函数
yf(x)
在点
x
0
处连续
设
yf(x)
在点
(x
0


,x
0
]
内有定义，若
lim

f(x)f(x
0
)
，则 称函数
yf(x)
在点
xx
0
x
0
处左连续，
设
yf(x)
在点
[x
0
,x
0

)
内有定义，若
lim

f(x)f(x
0
)
，则称函数
yf(x)
在点
xx
0
x
0< br>处右连续
若函数
yf(x)
在
(a,b)
内每点都连续， 则称函数
yf(x)
在
(a,b)
内连续
若函数
yf (x)
在
(a,b)
内每点都连续，且
limf(x)f(a)
，
limf(x)f(b)
，则称

xaxb
函数
y f(x)
在
[a,b]
上连续，记作
f(x)C[a,b]

（2） 函数的间断点
设
yf(x)
在点
x
0
的某去心邻域
U(x)
内有定义
若函数
yf(x)
：
（i）在点
x
0
处没有定义
（ii）虽然在
x
0
有定义 但
lim
f(x)不存在
xx
0
o
(3)虽然在
x
0
有定义且
lim
f(x)存在 但
lim
f(x)f(
x
0
)
xx
0xx
0
则函数f(x)在点
x
0
为不连续 而点
x
0
称为函数f(x)的不连续点或间断点。
设点
x
0
为
yf(x)
的间断点，
（1）lim

f(x)lim

f(x)f(x
0
)< br>，则称点
x
0
为
yf(x)
的可去间断点，若（2）
xx
0
xx
0
xx
0

limf(x) lim

f(x)
，则称点
x
0
为
yf(x)< br>的跳跃间断点，
xx
0

可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点
（3）< br>lim

f(x)或lim

f(x)
则称点
x
0
为
yf(x)
的无穷型间断点，
xx
0
xx
0
（4）若
lim

f(x)或lim

f(x)
不存在且都不是无穷大，则称点
x
0
为
yf(x)
的振荡型
xx
0
xx
0

间断点，
无穷间断点和振荡间断点统称为第二类间断点
11、连续函数的运算
（1） 连续函数的四则运算
若函数
f(x)g(x)
在点
x
0
处连续
则
f(x)g(x),f(x)g(x),
（2） 反函数的连续性，
若函数
yf(x)
在区间
I
x
上单调增加（或单调减少）且连续， 则其反函数
xf
其对应的区间
I
y
{yyf(x),xI< br>x
}
上也单调增加（或单调减少）且连续。
（3） 复合函数的连续性
设函数
yf[g(x)]
由函数
yf(u),ug(x)
复合而成，
U(x
0
)D
f
o
g
，
若 （1）
limg(x)u
0
(或limg(x)g(x
0
)u
0
)

xx
0
xx
0
1
f (x)
(g(x
0
)0)
在点
x
0
处也连续 < br>g(x)
(y)
在
（2）
limf(u)f(u
0
)
则
limf[g(x)]f[limg(x)]f(u
0
)

uu
0
xx
0
xx
0
（或
li mf[g(x)]f[limg(x)]f[g(x
0
)]f(u
0
)
）
xx
0
xx
0
（4） 初等函数的连续性
一切初等函数在其定义区间内都是连续的
（5） 闭区间上连续函数的性质
（ i）有界性 若
f(x)C[a,b]
，则
yf(x)
在
[a,b]
上有界
（ii）最大值、最小值定理，若
f(x)C[a,b]
，则
yf(x)
在
[a,b]
上一定有最大值
和最小值
（iii）零点性 若
f(x)C[a,b]
，且
f(a)f(b)0
则至少存在一点

(a,b)
使得
f(

)0

（iv）介值性 若
f(x)C[a,b]
，且
f(a)f (b)
，

是介于
f(a),f(b)
之间的任一值，
则至 少存在一点

(a,b)
使得
f(

)
