幼儿园教育叙事案例-加拿大驻华大使馆

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1.极限存在条件
xx
0
limf(x)A f(x
0
)f(x
0
)A


2. 法则1(夹逼法则) 若在同一极限过程中,三个函数
f
1
(x)
、
f
2
(x)
及
f(x)
有如下关系:
f(x
1
)f(x)f(x
2
)
且
limf(x
1
) limf(x
2
)A
则
limf(x)A

3.

法则2(单调有界法则) 单调有界数列一定有极限
4.无穷小定理
limf(x)Alim[f(x)A]0
以~-A为无穷小，则以A为极限。
性质1 有限个无穷小的代数和或乘积还是无穷小
性质2 有界变量或常数与无穷小的乘积是无穷小.
性质3 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
5.高阶同低阶无穷小， 假设

,

是同一变化过程中的两个无穷小,且

0.< br>
(1)如果lim

0,就说

是比

较高阶的无穷小,记作

o(

)



,就说

是比

较低阶的无穷小,或者说


(2)如果lim

是比

较高阶的无穷小;
(3)如果lim

C(C0),就说

与

是同阶 的无穷小;
C=1时，为等价无穷小。


C(C0,k0),就说

是

的k阶的


k
(4)如果lim
无穷小
6.
若limf(x)A,limg(x)B,则有

(1)lim[f(x)g( x)]limf(x)limg(x)AB
(2)lim[f(x)g(x)]limf( x)g(x)AB
(3)lim
f(x)limf(x)A
(B0)g(x)limg(x)B

推论
若limf(x)存在,而c为常数,则
limcf(x)climf(x)
若limf(x)存在,而n为正整数,则
lim[f(x)]
n
[limf( x)]
n

limx1
1x1x1
lim
x2< br>2
例题
lim
2

lim
2

< br>x2
limx1
x2
x1
x2
x13
x 2
7.
所以当a
0
0,b
0
0,m和n为非负整数时有

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
a
0

b
,当nm,
0
a
0
x
m
a
1
x
m1


a
m


lim

0,当nm,

x
bx
n
bx
n1


b
01n

,当nm,

< br>
8.例题
求limx(x2x)

limx(x2x)< br>lim
xx
22
x(x
2
2x)(x
2
2x)
x2x
2
x

lim
2x
x
2
2x
x
lim
x
2
= 1
2
1
2
1
x
9.两个重要的极限
lim
sinx
1
x0
x
1
limxsin
=1
x
x
例题
求lim

sinmxsinmxmsinmxnx

lim

lim
x0
sinnx
x0
sinnx
x0
nmxsinn x
msinmxnxm
limlim

x0
sinnxnx0
mxn
111sint
求limxsin

令t,则当x时,t0.所以limxsinlim1

xxt 0
xxxt

1
lim(1)
x
e
x< br>x
lim(1x)e

x0
x
2
x
1
x
2

2
(
x
)(3x)
2

2
6
2
3x
2
3x
lim[(1)]e< br>6
例题
求lim(1)

lim(1)
lim [(1)]
xx
xx
xx
xx
1
< br>2
x
2
2

x1
x
x1
x2
x
)]
2
(1)

例题2
求lim()

lim()lim(1)
lim

[ (1
x
x
x1
x
x1
x
x 1
x1x1

e
2
1e
2

11
(1)
x
lim(1)
x
e
x

x
x
解法2
lim
1
e
2

x
11
(1)
x
lim[(1)
x
]< br>1
e
x
xx
10.函数在一点连续的充分必要条件是
(1)f(x)在点x
0
处有定义;
(2)limf(x)存在;(3)limf(x )f(x
0
).

xx
0
xx
0
11.
函数f(x)在x
0< br>处连续是函数f(x)在x
0
处既左连续又右连续.

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12.

满足下列三个条件之一的点
x
0
为函数
f(x)
的间断点.
xx
0
xx
0
xx
0
(1)f(x)在点x
0
没有定义;
(2)limf(x)不存在;(3)limf(x)存在,但limf (x)f(x
0
).

跳跃间断点
如果f(x)在点x
0
处左,右极限都存在,
但lim

f(x)lim

f (x),则称点x
0
为函数f(x)的跳跃间

xx
0
xx
0
断点.
可去间断点
如果f(x )在点x
0
处的极限存在,
但limf(x)Af(x
0
),或 f(x)在点x
0
处无定义,则

xx
0
称点x
0
为函数f(x)的可去间断点.
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点为 左右极限都存在
第二类间断点 左右极限至少有一个是不存在的
第二类间断点中包括 无穷间断点（有一段的极限为正或负无穷）
震荡间断点（
limsin
x0
1
）
x
1ln(1x)
13.例题
求lim
ln1(x)
x
.

原式lim
x0
x0
x
lne
=1
14.（最值定理）若函数
yf(x)
闭区间
[a,b]
上连续 ，则
yf(x)
在闭区间
[a,b]

上必有最大值和最小值．
（有界性定理） 若函数
yf(x)
闭区间
[a,b]
上连续，则其在闭区间上必有界
（介值定理） 若函数
yf(x)
闭区间
[a,b]
上连续，则 对介于
f(a)
和
f(b)
之间的任何
数C，至少存在一个

(a,b)
，使得
f(

)c
根的存在定理 两侧异号 至少有一根。
''
15.函数在一点可导的充分必要条件为：
f

(x
0
)f

(x
0
)

16.可导的函数一定是连续的 连续不一定可导
17.
导数

(C)

0. 常数的导数是零.

(x
n
)

nx
n1
.

(sinx)

cosx

(cosx)

sinx

(log
a
x )


11
t)

cs
2
cx.
(tanx)

se
2
cx.

x)



(cox

(ln
xlnax
(secx)

secxtanx

(csxc)

cscxcoxt.

(a
x
)

a
x
lna

(e
x
)

e
x

(arcsinx)



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1
1x
2

.

(arccox)s
1
1x
2


.

(arctxa)n
1
;

1x
2

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(cotx)


1
.
反函数的导数等于直接函数导数的倒数
1x
2
(1)[u(x)v(x) ]

u

(x)v

(x);

(2 )[u(x)v(x)]

u

(x)v(x)u(x)v

(x);
(3)[
u(x)u

(x)v(x)u(x)v

(x)
]


v(x)v
2
(x)
( v(x)0)

u
2

u
n

(2)(Cu)

Cu


(1)(u
1
u
2
u
n
)

u
1< br>
u
2
u
n
u
1
u
2

u
n


u
1
u
2
 u
n


(3)(u
1
u
2
un
)

u
1
因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导 ，乘以中间变量对自变量求导.(锁链法则)
y

f

(u)< br>

(v)


(x)

x
2
y
2
隐函数求导法则 两边对X求导 例题 已知函数y是由椭圆方程
2

2
1
所确定的 求
y


ab
方程两边分别关于x求导,由复合函数求导法则和四则 运算法则有
2x2y

2
y

0
解得
2
ab
b
2
x
y
y


2 例题2
e
y
xye

e
y
y

yxy


y


y

ay
ex
对数求导法 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数.
例题
y
3
(x1)(x2)
(x3)(x4)

1
lny[ln(x1)ln(x2)ln(x3)ln(x4)]

3

111111
y

()
y3x1x 2x3x4
y


1(x1)(x2)1111
3
()

3(x3)(x4)x1x2x3x4
(n)
高 阶导数
ysinx

ysin(xn)

(coxs)
(n)
cosx(n)

22



18.
函数f(x)在点x
0
可微的充要条件是函数 f(x)在点x
0
处
可导,且Af

(x
0
).
Af

(x
0
).
即
可导可微.
19.

基本初等函数的微分公式
d(arcta nx)
1
dx
1x
2
d(arccotx)
1dx

1x
2
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d(C)0
d(sinx)cosxdx
d(tanx)secxdx
d(a< br>x
)a
x
lnadx
1
d(log
a
x) dx
xlna
1
d(arcsinx)dx
2
1x
2 0.
2
d(x

)

x

1
dx
d(cosx)sinxdx
d(cotx)cscxdx
d(e
x
)e
x
dx
1
d(lnx)dx
x
d(a rccosx)
1
1x
2
2

d(secx)secxtanxdxd(cscx)cscxcotxdx

dx

函数和、差、积、商的微分法则
d(uv)dudv
d(uv)vduudv
例题
设ye
13x
d(Cu)Cduuvduudv

d()
vv
2
cosx,求dy.

dycosx d(e
13x
)e
13x
d(coxs)


(e
13x
)

3e
13x
(cosx)

sinx


dy
cos
x
(3
e
13x
)
dx

e
13 x
(sin
x
)
dx

e
13x
(3cosxsinx)dx

微分形式不变性 微分形式始终为
dyf

(x)dx

21.

Lagrange中值定理 如果函数
f(x)
在闭区间
[a,b]
上连续,在开区间
(a,b)
上可导,则
在
(a,b)
内至少存在 一点 ,使下面等式成立
f(b)f(a)f

(

)(ba)

推论
如果对于任意x(a,b),有f(x)0,则
f(x)c
(c为常数 )

'
x(a,b),有f(x)g

(x),则
f( x)g(x)c
(c为常数)

如果对于任意
例题 证明
arcsinxarccosx
'

2
xnarccox s

设f(x)arcsi

f

(x)1
1x
2
(
1
1x
2
)0
f(x)C

又f(0)arcsi0narcco0s

22
0
22.
型及型未定式解法:洛必达法则

0
0

2



即C

inarccoxs

arcsx

2

如果函数
f(x)
与
g(x)
满足下列三个条件 0／0 ∞／∞，导数都存在且
g

(x)0
，
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lim
f

(x)
存在或者无穷大

g(x)
f(x)f

(x)
lim

g(x)g

(x)
则当
xx
0
或
x则有
lim
0,,0
0
,1

,
0
型未定式解法

0
111100

或00.


00000
0
0


0ln0
111
lnx

取对数


xxx
1



ln1
0.
例题
求lim(x)

limxlime

xxx

0




0l n
1
11
limlnx
1lnx
x

limln xlimlim0


lim(
x
)
x
 e
x
x
e
0

1

xx
x
x
x
x
1
e
x
e
x
.
洛必达不能求解 洛必达法则不是万能的
求lim
x
x
ee
x
e
x
e
x
1 e
2x
lim
x
lim1
(两边同乘以
e
 x
)
x2x
x
ee
x
1e
23.可导函数的的极值点必定是驻点,但函数的驻点不一定是极值点（驻点为可导但是导数值.
为0的 点） 函数的不可导点,也可能是函数的极值点.
判断是否为极值点要计算驻点两侧倒数的符号是否不同
求驻点处的二阶导数 若二阶导数为正值 则为极小值 负值 则为极大值 为零则不能判断
24.二阶导数为正值则为凹的 负值则为凸的 分界点为拐点 在拐点处二阶导数为零或二
阶导数不存在
函数作图 求定义域 函数的奇偶性和周期性 求一阶和二阶导数 讨论极值点和拐点 渐近
线 列表
25.

kf(x)dxk

f(x)dx

[f(x)g(x)]dx

f(x)dx

g(x) dx


基本积分公式
x

1
(1)

xdxC(

1);

(2)

1
4
x
x
eC

(5)edx

dx

x
lnxC
3
a
x

adx
lna
C

x
xdx
sin
xdx
cosxC

(6)

sin
xC


cos
(7)
(9)

sec
2
x
tanxC

(8)
tC


cscx
cox
2
1

1x
2
dx
arctanxCarccotxC< br>
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(10)

1
1x
2
dx
arcsinxCarccosxC

26.第一类换元法(凑微分法)
设f(u)具有原函数F(u),u

(x)可导
则有

f[

(x)]


( x)dx[

f(u)du]
凑微分的集中常见形式
u

(x)
F[

(x)]C

xdxln(csxccoxt)C


secxdx
ln(secxtanx)C

csc
f(x
n1
)d(x
n1
)
f(x)

2.

dx2

f(x)d(x)

n 1
x
1.

f(x
n1
)xdx

n
1
f()
f(lnx)
x
dxf(
1
)d(< br>1
)
、
3.

dx

f(lnx)d(lnx)

4 .

2

xx
x
x
5.

f(s inx)cosxdx

f(sinx)d(sinx)

6.

f(e
x
)e
x
dx

f(e
x)de
x

7.

f(tanx)sec
2
x dx

f(tanx)dtanx

8.

27.第二类换元积分法
f(arctxa)n

d x

f(arctxa)nd(arctxa)n
2
1x
f(x)dx

f[

(t)]


(t) dt
（根式代换）

6t
5
1
dt

d x


32
3
t(1t)
x(1x)
例题 求

1
65
dx.
xtdx6tdt
令
3
x(1x)
6t
2
t
2
t
2
1 1
1


dt6dt6dt
6dt6dt
6(t arctant)C

222
2


1t1t 1t
1t
6(
6
xarctan
6
x)C

三角代换的形式
(1)
t;

(2)a
2
x
2

xasin
t;

a
2
x
2

xatan
(3)x
2
a
2

xasect.
倒数代换
x
1
也为常用的形式
u
28.分部积分法
udvuvvdu


（1）v要容易求得；
使用时应注意的问题
（2）vdu要比udv容易积出.

x
2
dv
例题

xarctanxdx.
令
uarctanx,
xd xd
2
x
2
x
2
x
2
x
21
arctanxd(arctanx)arctanx
xarctanxdx

2

21x
2
dx


22
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

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x
2
x
2
1
11
arctanx


 (1
arctanx(xarctanx)C

)dx
222
21x
2
例题2
lnx

x
dx.

ux

dx2udu

lnx

x
dx2

lnudu
2(ulnu

du)

2u(lnu1)C
2x(lnx1)C

29.有理函数的积分 待定系数法
分母中若有因式
(xa)
，则分解后为
的常数
分母中有
(xpxq)
分解后为
2
2k
k
A
k
A
1
A
2




A
1
,A< br>2
,

,A
k
待定
(xa)
k
( xa)
k1
xa
M
k
xN
k
M
1
xN
1
M
2
xN
2




2k2k12
(xpxq)(xpxq)xpxq
其中p4q0

M
i
,N
i
待定的常数
例题
2x2

x
2
6x13
dx.
分母实数范围内不能因式分解 则用凑分法
d(x
2
6x13)dx
2 x22x64
dx4
dxdx

(x3)
2
2
2


x
2
6x13

x
2
6x13

x
2
6x13
ln(x
2
6x13)2arctan
30.定积分
x3
C
2

a
b
a
f(x)dxlim

f(
i
)x
i


0
i1
n相关性质
b

b
kf(x)dxk

f(x)dx< br> k为常数
a
b
b

[f(x)g(x)]dx

aa
f(x)dx

g(x)dx

a
b

b
a
f(x)dx

f(x)dx
f(x)dx
ac
cb
.
[a,b]
上
f(x)g(x)


b
a
f(x)dx

g(x)dx

a
b
设M及m分别是函数
f(x)
在区间
[a,b]
上的最 大值及最小值,则
m(ba)

f(x)dxM(ba)

a
b
定积分中值定理

b
a
f(x)dx
f(

)(ba)(a

b)

积分上限函数
G(x)

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
x
a
f(t)dt
x[a,b]
有
G

(x)[

f(t)dt]

f(x)
(ax b)

a
x

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x
3
t1t1
dt
求导数 先化为积分上限函数
y

dt
例题
y

3
33
x1
2t2t
1
u
t1t1dydydud< br>3
3
dt(dt)(x)

的复合函数
ux< br>
33
1
dxdudxdu
2t2t
视为
y

u
1
3x
2
(1x
3
)
< br>
2x
t
例题2
[

2
edt]


[

2< br>edt]

[

2
edt]

[

edt]

[

edt]

[

edt]


xxxaaa
x
3
t
2
x
3
t
2
a
t
2
x
3
t
2
x
2
t
2
x
3
2
 e
x
4
(x)

e
x
(x
3
)

2xe
x
3x
2
e
x

2
6
46
微积分基本定理

b
a
b
f(x)dxF(x)F(b)F(a)

a
f(x)dx
f[

(t)]


(t)dt



b
定积分的换元法
例题

a

1
0x(x
2
1)
3
dx
设
x
2
1t

x0
t1;
x1t2

所以有

2< br>1
0
x(x
2
1)
3
dx
1
1
2
1
2
3
1
4
2
15
32
(x1)d(x1)
tdtt



0
1
2
28
1
8
不换新变量 就不要改变积分上下限

1
0
1
15
1
12
1
x(x1)dx

(x1)
3
d(x
2
1)
(x
2
1)
4


2
0
0
88
3
例题2

1
0
x
2
1x
2
dx.
设
xsint,dxcostdt

x0
t0;
x1
t


2


1

0
x
2
22
1xdx


2
sint1sintcotsdt

0
2


2
0
1


1

11
222
2
sintcostdt

sin2tdt

< br>2
(1cos4t)dt(tsin4t)
2


4< br>0
8
0
84
0
16

定积分的分部积分法< br>b
b
udvuv

vdu


a
a
a
b
x
1
x
例题

xedx.


xedx

xde
0
1
x
1< br>00
xe
x
1
0


edxee0
1
xx
1
0
e(e1)1

e
e
1
e
lnxdxxlnxxdxex1


1

1
11
x
e
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31.用定积分求面积 和 旋转体的体积
旋转体的体积
V

V


[f(x)]
a
d
c
b
2
dx


y
2< br>dx
（绕x轴形成的）
a
b

d
c
[

(y)]
2
dy



x
2
dx
(绕y轴形成的)
x
2
例题
y

x0

y1
绕y轴形成的体积
4
用公式
< br>
b
a
11
1
x
2
dy
V


x
2
dy


4ydy< br>2

y
2
2


00
0
32.无穷区间的广义积分


a
f(x)dx
lim
b
b
a

b
f(x)dx

b
b
极限存在 则为广义积分存在或收敛 极限不存在 则为广义积分不存在或发散
相应的有形式

b

f(x)dx
lim
a 
a

f(x)dx



f(x)dxlim
a
a

f(x)dx

牛顿公式


a
f(x)dxlimF(b)F(a)F(x)
b< br>
a




f(x)dxF(x)0

F(x)

0


b

f(x)dxF(b)limF(a)F(x)
a
b


例题
(3)



dx
.
< br>2
1x




b
0
d xdxdx


（原函数为正切函数）
222

 0
1x1x1x
b
无界函数的广义积分
a
f(x)dxlim



0
b
c
a
f(x)dx

c

1
a

b
a< br>f(x)dx

f(x)dx

f(x)dx
lim< br>

a
c

1
0
f(x)dxlim< br>


2
0
b
c

2
f(x)dx

b
a
(

1
0,
2
0)
若
limf(x)
只有当上式右端两个极限都存在时 则称

f(x)dx
收敛
xc
否则为发散。
例题 求

1
dx
1x
2
0
.


lim

x1
1

1
1x
2

x1
是无穷间断点

1
dx
1x
2
0
lim



0
dx
1x2
0
lim

arcsinx

0
1< br>
0
lim


arcsin(1

) 0



0

2

计算

1
1
dx
.
？
2
x< br>222
33.平面的一般方程
AxByCzD0
圆柱面
xyR

x
2
y
2
椭圆抛物面
zxy
双曲抛物面
z
2

2
(a0,b0)

ab
22
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222
圆锥面
zxy
（二元函数的图像通常为一张曲面）
34.二元函数的相关定义及性质同一元函数相近
35.偏导数同全微分
f
x

(x
0
,y
0
)lim
x0
f (x
0
x,y
0
)f(x
0
,y
0
)

x
f
y

(x
0
,y
0< br>)lim
y0
f(x
0
,y
0
y)f( x
0
,y
0
)

y


z< br>

2
z


z


2
z

(x,y)


(x,y)

 
二阶偏导数

2
f
yy


2f
xx

x

x

x
y

y

y


z

2
z


z


2
z

(x,y),


(x,y)
（混合偏导数）
fxy





yx
f
y x
y

x

xy
x

y
混合偏导数并不都是都相等的.

2
z
2
z
定理 如果
zf(x,y)
得两个二阶混合偏导数在区域D内连续，那么有该区域
xyyx
内这两个二阶混合偏 导数必相等。
全微分
dzAxBy

如果函数
zf(x ,y)
在点
P(x,y)
处可微分，则该函数在该点处的偏导数必存在。且函数在该点处的全微分为
dz
zz
xy

xy
一元函数在某点的导数存=微分存在 多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在
有偏导数存在且连续，全微分才存在
偏导数在某点连续 则在该点处可微(可微的充分条件)
若函数在某点可微分 则在该点偏导数必定存在(可微的必要条件)
例题
zarctan
zyzx ydxxdy
y

2
dz
的全微分
x xy
2
yx
2
y
2
x
2
y
2
x
36.
u

(x,y)v

(x,y )(x,y)
点偏导数存在，
zf(u,v)
在对应点
(u,v)
可微，则复合
函数在
(x,y)
存在对x y的偏导数。
zzuzv
zzuzv



xuxvx
yuyvy
例题
zulnv

u
2
x
z
z

v3x2y
求
y
x
y
1u
2
2x3x
2
zz uzv
2ulnv3
2
ln(3x2y)
2
 

yvyy(3x2y)
xuxvx
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xu
2
2x
2
2x
2< br>z
z
u
z
v
2ulnv(
2
)(2)
2
ln(3x2y)
2


 
yvyy(3x2y)
y
u
y
v
y
中间变量既有一元函数又有二元函数的情形
zf(u,x,y)u

(x,y)
即
zf[u(x,y),x,y]
则有
zfuf
,

xuxx
zfuf
z
z
.
例题
zu
2
3xy,u2xy
求
yuyyx
y
zfuf
2u23y
4(2xy) 3y8x7y

xuxx
zfuf
2u1 3x
2(2xy)3x7x2y

yuyy
中间变量均为一元函数
设
zf(u,v)
可微且有
uu(x),vv(x)
有
zf[u(x),v(x)]
为x的一元函数
有
dzzduzdv
dz
u2v3

例题
ze

usinx

vx
求
dx udxvdx
dx
3
dzzduzdv

e
u 2v
cosx2e
u2v
3x
2
e
sinx2 x
(cosx6x
2
)

dxudxvdx
有
37.隐函数微分法
一元隐函数求导 设
F(x,y)0
确定的一元隐函数为
yf(x)
则有
F[x,f(x)]0

则有
F

dy
FFdyF

x

0
若
0
则有
dxF
z

x ydxy
y
例题
yxex0
所确定的函数
yy(x)的导数
则有
F(x,y)yxex0

y
dy
.

dx
F
F
1xe
y
0

e
y
1,
y
x
dye
y
1e
y< br>1

所以有
dx1xe
y
1xe
y
二元隐函数的求导方法
F(x ,y,z)0
所确定的函数为
zf(x,y)
（二元隐函数）
F[x,y,z(x,y)]0

两侧分别求导
FFzFFzF
0,0
若
0
则有
xzxyzyy
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F
y

F

z
z

x



xF
z
yF
z

例题
exyz0
所确定的函数的偏导数
F(x,y,z)exyz

zz
F
x

 yz,F
y

xz,F
z

e
z
 xy0
所以有
F
y

F
x

zyz
zxz

z


z
xF
z

exy
yF
z

exy
38.设函数zf(x,y)
在点
(x
0
,y
0
)
处取得 极值且在改点处两个一阶偏导数都存在 则必有
f
x

(x
0,y
0
)0,
f
y

(x
0
,y< br>0
)0
（极值点也可能不是驻点.）
设函数
zf(x,y)在点
(x
0
,y
0
)
的某临域内连续且有一阶及二阶连 续偏导数。又有

(x
0
,y
0
)Bf
yy< br>
(x
0
,y
0
)C


( x
0
,y
0
)A
f
xy
f
x

(x
0
,y
0
)0
f
y

(x
0
,y
0
)0
令
f
xx
当
BAC0
时 该点为极值点（A<0则为极大值点 A>0则为极小值点）

BAC0
时 不为极值点
BAC0
时 不能确定
39.条件极值
求
zf

x,y

在约束条件
g

x,y

0
下的极值
构造辅助函数(lagrange函数)
F

x,y,


f

x,y



g
x,y

（

为常数）
22
2
F
x

f
x


x,y


g

x

x,y

0

求

F
y

f
y


x,y< br>


g

y

x,y

0
解方程组 若
(x
0
,y
0
,

0
)
为一解 则
(x
0
,y
0
)
是可能的条

F


g

x,y

0
件极值点（用题中所给 条件判定）
40.二重积分

f(x,y)d



f(x,y)dxdy

DD
二重积分的相关性质
kf(x,y)d

k

f(x,y)d

DD< br>

[f(x,y)g(x,y)]d



f(x,y)d



g(x,y)d


D DD

f(x,y)d



f(x,y)d



f(x,y)d

（区域可加性）
DD
1
D
2

1d



d



(

为D的面积)
DD
若D上有
f (x,y)g(x,y),
则有

f(x,y)d



g(x,y)d

.

DD
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m



f(x,y)d
M

（Mm分别为最大值和最小值，

为D的面积) D

f(x,y)d

f(

,

)

（至少存在一点满足此式）
D
二重积分可化为二次定积分计算 < br>
dx


a
b

2
(x)
1
(x)
f(x,y)dy


d
c
dy

2
(y)

1
(y)
f(x,y)dx< br>(x-型先y后x，y-型先x后y)
例题
22
22
yxxy
为区域 求面积
(xy )dxdy

D

yx
2
(0,0),(1,1)< br>（求两曲线的交点）

2

xy

0x1< br>X-型

2

xyx



( x
0
1
2

(x
D
2
y)dxdy< br>

[

2
0x
2
1x
y
3
x
(xy)dy]dx


(xy)
x
2< br>dx

0
3
22
1
2
(x)
3x
6
2
7
2
5
x
5
x
71
6
4
22
xx)dx
(xx)
0

33
715521
35
积分区域是圆域或圆域的一部分时 通常用极坐标积分

f(x,y)dxdy

f(

cos

,

sin

)

d

d


DD
例题
x
e

D
2
y
2
dxdy
区域D
x
2
y2
a
2
,
x0,y0.

有
0



2
，
0

a
所以有
2

e
D
2
x
2
y
2
< br>0
dxdy


2
d


e



d


0
a
2

2


e



d


0
a
2


4


e

d(

)
2

0
a

4
(1e
a
)

41.微分方程 例题 一曲线经过
(1 ,2)
，该曲线上任意一点的切线的斜率为
2x
，求该曲线方
程。 设曲线为
yf(x)

dy
2x
（根据导数的几何意义）即
dy2xdx

dx
22
两边积分
dy2xdx
得
yxC
（C为任意常数）根据点有
yx1

一阶微分方程
y

F(x,y)
或

dy
F(x,y).
高阶微分方程
y
(n)
F(x,y,y

,y(n1)
)

dx
微分方程的实质 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.
42.可分离变量的微分方程
相乘的形式.）
一阶线性微分方程
dy
f(x)g(y)
（等式右端的函数可分解成x的函数与y的函数
dx
dy
P(x)yQ(x)

当Q(x)0,
为其次的。不衡为零时，为非其次的。
dx
（线性指为微分方程仅有y得一阶导数，且y和y’都是一次幂
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P(x)dx
dy

P(x)y0
的通解为
yCe

dx
P(x)dxP(x)dx
dy
dxC]e


P(x)yQ(x)
的通解为
y[

Q(x)e

dx
P(x)dxP(x)dxP(x)dx< br>Ce

e



Q(x)e

dx

例题 求微分方程
y

ycosxe
sinx
的通解
c osxdx

sinx

cosxdx
dxC


ee
P(x)cosx,
Q(x)e
sinx
ye





e
sinx

e
sinx
e
sinx
dxC
e
si nx

xC

xe
sinx
Ce
sin x

可降解的二阶微分方程

1
y

f(x)
连续两次积分 例题
y

e
2x
cosx
积分一次
y

e
2x
sinxC
1

2
1
2x
积分两次
yecosxC
1
xC
2

4
dp
y

f

x,y



设y

p

x

,< br>则y

p

则原方程为
p

f
x,p

一阶微分方程求解
dx
1dpp
例题< br>y

y

0
求通解
设y

p

x

,
则y

p

原方程化为
p



xdxx
分离变量
dpdx

两边积分
lnplnx lnC或p2C
1
x(C2C
1
)

px
将y

p代入得 y

2C
1
x
所以原方程的通解为
yC
1
x
2
C
2

y

f

y,y



设y

p(y),
则y


dpdpdydpdp
pf

y,p


原方程化为 p
dxdydxdydy
dy
xC
2


< br>y,C
1

设其通解为y

p

y,C
1

分离变量并积分，便得原方程的通解为

y

2
dpp
2
dp
的通解.

设y

p(y),
则y

p

例题
求方程y


代入原方程
P

ydyy
dy
若p0
上式化为
dpdy
dy

C
1
y
得
lnplnylnC
1

即 pC
1
y
 y


py
dx
C
1
x
分离变量并积分< br>lnyC
1
xlnC
2
即
yC
2
e< br>所以解为
yC
2
e
C
1
x

若p0,则立即可得:yC


43.二阶常系数线性微分方程
Ay

By

Cyf(x)

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二阶常系数线性齐次微分方程
Ay

 By

Cy0

定理 若函数
y
1
(x)y< br>2
(x)
是方程
Ay

By

Cy 0
的两个解 则有
yC
1
y
1
(x)C
2y
2
(x)
也为一解（
C
1
C
2
为任 意常数）
若
y
1
(x)y
2
(x)
是方程Ay

By

Cy0
的两个线性无关的特解
y C
1
y
1
(x)C
2
y
2
(x)为通解（
C
1
C
2
为任意常数）线性无关指
y
2
(x)

常数
y
1
(x)
Ay
< br>By

Cy0
的解法
设ye

x
,
代入原方程
(A

2
B

C)e

x
0

e

x
0,

所以 有
A

B

C0
（特征方程）特征根
1,2
2
2
BB
2
4AC


2A
讨论
B4AC0
有两个相异的特征根（前者为﹣后者为﹢）
所以通解为
yC
1
e


1
x
C
2
e

2
x

B
2
4AC0
方程有两个相等的实根 特征根为

1


2


通解为
y(C
1
C
2
x)e


1
x
B
,

2A

B
2
4AC0
方程有一对共轭复根 特征根为

1< br>

i

,

2


 i



通解为
ye(C
1
cos
< br>xC
2
sin

x).


例题 求y

4y

5y0
满足初始条件
y(0)1 y

(0)2
的特解

特征方程为

4

50
两个实数根

1
1,

2
5
通解为
yC
1
e

求导
y

C
1
e



x
2
x
C
2
e
5x

x
1111
5C
2
e
5x
根据条件有
C
1
,C
2

所以特解为
ye
x
e
5x

2222
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