生命的感悟-南丁格尔简介

第三章＆2 函数极限的性质 计划课时三节
函数极限与数列极限有相同的性质：
唯一性：若极限
limf(x)
存在，则此极限是唯一的
x

0
证明：令
limf

x

A

limf(x)
=B 下证A=B
xx
0
x

0

limf(x)
=A



0


1
.xu
0

x
0
.

1

有
f

x

A


2
x
0
x

0
limf(x)B

0 ,

2
,xU
0

x
0
,

2

，有
f

x

B
< br>2
。
对上述


，取

min


1,

2

,xU
0

x
0
,


有
ABf

x

BAf

x

f

x
Af

x

B


AB



局部有界性：若
limf(x)
存在，则
f
在
x
0
的某空心邻域
u
0

x
0

内有界
x

0
证明：令
limf(x) A

0,

0
有
xu
0

x,


有
f

x

A< br>

x

0
0
0
取
1
则有
xu

x
1
,

有
f

x

Af

x

A1

即：
f

x

A1

0

f

x

在
u

x
1
,


内有界
A1


局部保号性：若< br>limf

x

A0
（或
0
）；则对 任何正数
rA
（或
rA
）。
xx
0
存在< br>U

x
0

，使得对一切
xU
0
0

x
0

有

f

x

r0
（或
f

x< br>
r0
）
证明：只证
A0
情况，

limf

x



0,

0,xU

x
0
,


，有
f

x

A


xx
0
即：
A

f

x

A


取

rA0

xU

x
0
,


有

f

x

A

A

rA

r< br>
即：
f

x

在
U
0

x
0
,


内函数值均为负值且小 于
r

注意与数列性质的区别：“局部”。
（保不等式性） 设
limf

x

A

limg

x

B
，且在某邻域内
U
0

x
0
,



内有
xx
0
xx
0
f

x

g

x

则
AB
.
证明：
limf
x

A

0,

1
0,xU
0

x
0
,

1

有：
xx
0

f

x

A

即：
A

f

x

A


222

limg

x

B

0,

2
0, xU
0

x
0
,

2


xx
0
取

min


1
,

2
,



,xU
0

x
0
,


有：

A

2
f

x

g

x

2
B

2


A

2
B



AB


即：
AB


迫敛性：设
limf

x

limg

x

A
。且在某
U
x x
0
xx
0
0

x
0
,


内有：
f

x

h

x

g

x

,
则
limh

x

A
。
xx
0
0
证明：取保不等式性中

min


1
,
2
,



,xU

x
0
,




A
< br>2
f

x

h

x

g

x


2
A

2


A

2
h

x

A






h

x

A

即
limf

x

A
.
xx
0
2

四则运算法则：（前提）
li mf

x

,limg

x

都存在，则
fg,fg
当
xx
0
时极
xx
0
xx
0
限存在且：
1）
lim


f

x

g

x



lim f

x

limg

x


x x
0
xx
0
xx
0
2）
lim
< br>
f

x

g

x

< br>
limf

x


limg

x


xx
0
xx
0
xx
0
3）
lim
xx
0

x

g

x

f

xx
0
limf

x

xx
0
limg

x


limg

x

0

xx
0

课本例1、例2、例3
作业：P51,2,3
提示 2，
1cosx1,1sinx1

3，类似于数列收敛四则运算法则证明。

第三章＆3 函数极限存在的条件及两个重要极限 计划课时四节
函数极限与数列极限是分别定义的，形式上似乎没有什么联系，但是本质上 两者
却可以互相转化，海涅定理是沟通函数极限和数列极限之间的桥梁。
归结原 理：
limf

x

aa
n
,liman
x
0
，极限
limf

x
n
< br>都存在且相等。
x
xx
0
n
证明 ：必要性
limf

x

a

1
0,

1
0,x

x
0
,
< br>1

，有：
xx
0

f

x

a

1



a
n
,lima
n
x
0


2
0,NZ,nN
有：
n

a
n
x
0


2




0,
取

2


1
,NZ

,nN,a
n
x
0

2


1
即
a
n
U
x
0
,

1

有：

f

a
n

a

1
。

a
n
,
极限
limf

x
n

都存在且相等为
a
。
n
定理


0
0,

0,xU

x< br>0
,


有：
f

x

 a

0

取

1
 1,x
1
a
1
U

x
0
,1

有
f

a
1

a

0



2

11

,x
2
aU

x
0
,
22


有
f

a
2

a

0


…… …… …… ……


n

1

,xaUx,
nn

0
n

有
f

a
n
a



0

n
22

1
取
a
n
x
n
,lima
n
x
0
但
limf

a
n

a
，矛盾
n
n
必要性：函数极限

数列极限
充分性：数列极限

函数极限。
归结原理也是判断发散的有利工具；具体做法如下：
找到一个以
x
0
为极限的数列

a
n

，使
limf

a
n

不存在，或找到两个以
x
0
为极限的
n
数列
a
n

,a
n

使
lim fx
n

与
limfx
n

都存在而不相等 < br>nn






例1
其他形式的归结原理


limf

x

Aa
n
,a
n
,lima
n
x
0,limf

x
n

A
nn
xx
0

定理3.9


f

x< br>
Aa
n
,a
n
,lima
n
x
0
,limf

x
n

A

x
lim

nn
x
0

定理3．10 ①
f
在
U


x
0

上为单调有 界函数，则右极限
limf

x

存在
0
xx
0

0
②
f
在
U


x
0

上为单调有 界函数，则左极限
limf

x

存在
xx
0

证明：证明②， 不妨设
f
在
U< br>

x
0

单调减有下界，则由确界原理知
f
在
U


x
0

00
有下确界，令inf
0
xU


x
0

a，下证
lim

f
xx
0

x
< br>a



0

a

a.x

U


x
0

有
f

x


a


0
取
x
0
x

0.xU

x
0,


有
x

xx
0
,f

x
0

f

x

f
x


a


又
xU
x
0

有
a

af

x


a

f

x

a

lim

f

x

a
xx0






重要极限一：
lim

例1 例2
x
sinx
x
x0
1

1

重要极限二：
lim

1

e

x
x

例3 例4

一、无穷小量
定义1：设
f
在某定义
U

x
0
内有定义 若
limf

x

0
则称
0
xx
0
f
为当
xx
0
时的无穷小量 ，记作：
f

x


o

1

xx
0


若函数
g
在 某
U

x
0

内有界、则称
g
为当
xx
0< br>时的有界量
0
1． 两个无穷小量之和、之差、积仍为无穷小量
证明：由极限四则运算可证
2． 无穷小量与有界量乘积为无穷小量
证明：设
f
为当
xx
0
时无穷小量
g
为有界量 界为M
xU

x
0
< br>有
f

x

M



 0,

1
,xU

x
0
,


有
f

x

0

M


对上述

0.



1
有
xU

x,

1

有
f

g0fgf

x

0g

l imfg0
xx
0
M,
M



三种无穷小量（无穷小量比较主要是为了了解各个无穷小量收敛于0
的速度）
设当
xx
0
时
f
与
g
均为无穷小量即：
xx
0
limf

x


f
x x
0
limg

x

0

1. 若< br>lim
xx
0

x

g

x
0
，则称当
xx
0
时
f
为
g< br>的高阶无穷小量或称
g
为
f
的低阶无穷销量。记作：

f

x


O

g

x




xx
0


2. 若
K.L0.xU
0

x
0

有：

K

x

g
x

f
L.

则称
f
与
g
为当
xx
0
时的同阶无穷小量。特别地当：

lim
xx
0

x

g

x< br>
f
c0

时
f
与
g
必为同阶 无穷小量，记作：
f

x

O

g
< br>x




xx
0


证明：不妨设
c0,r

c,
由局部保号性有：



c
2
,

0

x

x
0
,


有


x

c
g

x

f
c
2




c
2


x

g

x

f
3c
2

3c
2

取
K
c
2
.

L
则

K

x

g

x

f
L




f
与
g
为同阶无穷小量。

3. 若
limf

x

g

x

1
，则称
f
与
g
是当
xx
0
时的等价无穷小量
xx
0
记作：
f

x

g

x



xx
0


定理3.12 设函 数
f

x

，
g

x

h

x

，在
U

x
0

有定义。且有：
0

f

x

g

x


xx
0

lim
f

x
g

x

xx
0
1.


i

若
lim
xx
0
f
x

h

x

A,
则
limg

x

h

x

A

xx
0

(ii)
若
lim
h

x

f
xx
0

x

B,
则
lim
h

x

g
x

xx
0
B.

证明：
(i)limg

x

h

x

lim
xx
0
g

x

f

x

x x
0
xx
0
limf

x

h

x

A1A

f

x

g

x


(ii)
lim
h

x

g

x

xx
0
lim
h

x

f

x

xx
0
xx
o
limB1 B

例1． 例2
作业：P66.1.（2）（3）（6）（7）
P67.1.2