末路狂花影评-中学生励志演讲稿

第二章函数的 敛散性与极限
第一节 数列的极限
极限的概念是高等数学最 基本的一个概念，以后将介绍的导数，定积
分等重要的概念都是建立在极限概念之上的。先介绍数列（特 殊函数）极
限的概念。

一、实例
具体分析某一数列的视角有多个，但数列一般项的变化趋势无疑是最
值得重视的。
高中数学都是通过实例引入数列极限概念的。观察下列数列：
n
2
，
(1)
{
n
n
}：
1
，

递增
无限接近于1
,；
1
23
n
1
1
(2)
{
1
}：1,
1
,,
1
,
；
递减
无限接近于0
n
23
n
（3）
{

1

n
n
1
n
}：1,
1
, ,

1

1
,
交错无限接近于0
n
23
n
n
无限增大时,以上数列与某一常数无限接近。
(4)
{(1)}:
(5)
{2}:
n
1,1,1,1,;
交错
nn
2,4,8,,2.
无限增大
n
（6）
{2}:2,4,8,,2.
无限
递减

n
无限增大时以上数列无上述变化趋势。
将数列的这一变化趋势用普通语言描述出来就是中学所介绍的极限的
直观描述性定义

二、概念
1.定性定义
：对于数列{
x
n
}，如果存在一个常数a

，当n无限增大时
(记为
n
)，
x
n
与常数a 无限接近（就把常数a叫做数列{
x
n
}的极限。
记作
lim
x
n
= a；有时也可记做：
x
n

a（
n
）.
n 
这个定义无疑是正确的。但缺乏数学形式的精确的、量化的刻画，比
如：什么叫n无限增大时
x
n
与常数a
无限接近
？所谓“无限接近”即它
们的距离 可以任意的小，用数学语言说就是：
x
n
a
可以任意的小。以数
列 (2)为例：就是当n无限增大时，

{
n
}

的项与0的差的绝对值
x
n
01
1
0
nn
1

11
可以任意的小。 比如， 要使
x
n
0

1
， 即要

， 只要
100
n
100
n100
； < br>要使
x
n
0

1
10
100
，即 要
11
，只要
n10
100
；

100
n
10
容易看出: 要使
x
n
a
任意小，只要项数n充分大。我们引入

表示
任意小的数（应为正数），上面的表述改述为
“
只要
1
n

，即项数
1
n

，就有x
n
 0

1
的这一项后面”. 即在大于

的所有项与0的差的绝对值 都小于
ε
.可更简单地说成“只要项
1
数 ”，如果再把满足不等式
x
n
0

的项数n
n，就有 x
n
0


1
，再让n > N，我们再用宽泛的“存在”取代更明确化,找到正整数N

≥

“找到”，上面的表述就变为：存在正整数N，当n > N时，就有
x
n
0

.
现在我们可以从对实例的分析抽象出一般数列极限的定量性质的定义
了：
2.定量定义
设有数列{
x
n
}与常数
a
，如 果对于任意给定的正数

（无论它多么小），总存在正整数N，使得n > N时，恒有
|
x
n
-
a
|<ε.
则称数列{
x
n
}以常数
a
为极限，记为
n
lim
x
n
=
a
(或
x
n
a
（
n
）).
有极限的数列称为收敛数列；否则称为发散数列。
注 本定义中的“
n
>
N

|
a
n
-
a
|<ε

”给出了数列极限概念的定量
性质的表述。强调：
1 关于ε

：



定义中给定正数ε

的任意小性，表达了 数列的项
x
n
与
极限值
a
可以无限地任意接近，其小性是不 言而喻的，关键是其任意性。 


由于要根据它求N，所以一旦给定，就应暂时视为是不变的，具有确定性。
2 关于N ： （存在不唯一）定义中用“
n
>
N
”刻画n足够大。N
的存在性是保证|
x
n
-
a
|< ε

的条件，是数列{
x
n
}是否以常数
a
为极限 关
键。并且
N
不唯一，存在一个就有无穷多个。  一般ε越小，N就越
大，显然自然数
N
依赖于正数ε

.也可以说N 是ε的函数即
N

N(

)


定义用逻辑符号可简洁地表述为：
ε0
，
N

|
x
n
-
a
|< ε .

0
0

n
>
N
时

三、数列极限的几何解释
把数 列{
x
n
}的项都摆在数轴上（图），于是，
x
1
，
x
2
，„，
x
n
，„，
都是数轴上的点。设有一个动点在 数轴上跳动，动点的第一个位置在点
x
1
，
第二个位置在点x
1，„，第
n
个位置在点x
n
，„。
根据
limx
n
=
a
的定义，再由 |
x
n
-
a
|<ε

x
n

U
(a,ε)
，于是我
n
们得到与之等价的说法：“这个动点跳动到第
N
次以后，就跳进了邻域
U
(a,

)
之内，而且永远不跳 出来了”。也就是说，它可以开始时在邻域的
外面跳，也可以跳进这邻域再跳出来，重要的是“它能够跳 进去而永远不
出来”。
更简捷的等价说法是：“这个动点在邻域U

(a,ε)
之外跳动的次数至多
是有限次(N次)”，就是“数列{
x
n
}中至多有有限项不属于点
a
的邻域U

。
(a,ε)
”

x
1
x
3
x
N+1
x
4
x
N
x
2

a-ε a a+ε

图1-8

极限是一类运算。我们已经学过许多运 算，如四则运算，各类函数也
可以认为都是运算。以前学过的各类运算都是由有限个数产生一个数,数列
极限则是由一系列无穷多个数产生一个数的运算。数列的一系列无穷多个
数

x
1
，
x
2
，„ ，
x
n
，„
逐步逼近、近而再近、无限逼近一个常数——它的极限数值；这是一个无
穷的渐变过程。经过一 系列无穷多次量的渐变，达到了质的突变，得到极
限数值。
反过来，用极限这一个数 ，可以近似代替这一系列无穷多个数中除去
有限个之后的所有的数，其近似程度可以达到任意精确的范围 （即

ε>0）
之内。所以，可以说是用一个数——极限数值，把握住了一系列无限多 个
数中除去有限个之后的所有的数，高度实现了由简驭繁的功效。极限问题，
是有限与无限、量 变与质变的辨证统一。

四、用定义证明数列极限例题
例
n

1

143
1 试证明数列
2,,,,

,
n
234
n1
,
的极限为1.
证 ∵ |
x
n
-
a
|=|
n(1)
n1
n
-1|=
1
n
.
1
1
< br>ε>0,要使|
x
n
-1|<ε,只要
1
< ε ，即
n
>

，取自然数
N
为的
n


< br>整数部，即取
N
=[
1

]，则当
n
>N
时，

|
n(1)
n1
n
-1|<ε . ∴
n(1)
n1
lim
.
n
n
注 用数列极限的定义来证明某个数列{
a
n
} 以某个常数
a
为极限时
（或说用数列极限定义来验证已知数列和已知常数的极限关系） ，关键是证
明N的存在性，找到了就证明了存在。通常是从要满足的不等式|
x
n-
a
|<
ε入手,找到n与

的关系,再由此取定一个N， 从而说明了N的存在性。
这种证明采用的是分析的方法，极为严谨。

例2 证明
n
lim
(
1
)
0
(1
n)
2
n
.
0
=
作用？ 更好！
证 ∵
x
n
a
=
(1)
n
(1n)
2111
,

n1
n
(1n)
2
1
1
1
故

ε>0, 要使
x
n
a
，只要
n


，即
n
>

，取
N

=[

]，
则
nN
时，

(1)
n
(1n)
2
0
<ε. 这就是所要证明的。
注 存在一个N就存在无穷多个,而我们只需要找一个就够用。找那个
呢？当然找那个最好找的。其中，放大不等式
1
(1n)
2

1< br>n
是简化证明过程
的关键,这使得N的选取比较容易了。

例3 恒取常值 -7的数列（即
a
n
≡-7）以常数
a
=-7为极限。
证 ∵ε>0,不等式|
x
n
-
a
|≡0 < ε对于任意自然数恒成立，所以，
不论怎样选取自然数
N
（例如取
N
=1），则
n
>
N


|
a
n
-
a
|<ε.
由例3可以得出一般性结论：恒取常值的数列，以这个常值为极限。
例4 设|q|<1，证明
limq
n
0
.
n
证 q

=

0时，结论显然成立。以下设 0<|q|<1.
n
∵
x
n
aq0q

n
故

ε > 0,要使
x
n
a
< br>，只要
q
nlnqln

，即
n
>
ln< br>
lnq
n


，两边取自然对数，得

l n


1
，取
N

=[

]，取
N

，则
nN
，


lnq


n

q0
ε
，∴
lim
qn
0
.
n


五、性质
1、极限的唯一性 数列
{x
n
}
不能收敛与两个不同的极限
证 （反证法）假设同时 有
x
n
a
及
x
n
b
，且
a b
。取


x
ba
2
。
因为
limx
n
a
，故存在正整数
N
1
，使得对于
nN
1
的一切
x
n
，不等式
x
n
a
ba
2
（1）
x
都成立。同理，因为
limx
n
b
，故存在正整数
N
2
，使得对于
nN
2
的一
切
x
n
，不等式
2
都成立 。取
Nmax{N
1
,N
2
}
，则当
nN时，（1）、（2）会同时成立。
x
n
b
ba
（2）
但由（1）有
x
n

ab
2
，由（2）有
x
n

ab
2
，矛盾。
2、 收敛数列的有界性 若数列
{x
n
}
收敛，则
{x
n
}
是有界数列。（或
{x
n
}
一定有界）
有界数列
{x
n
}
如果正数M， n，恒有
x
n
M
.
分析 求证数列{
x
n
}有界，即证明

M

，使得
n
要从数列极限 定义入手，寻找合适的常数M.
证 设
limx
n
=
a
，则对于

=1，

N 使得
n

|
x
n
|


M. < br>n
>N

|
x
n
–
a
|<

=1，
由
x
n
x
n
aax
n
aa1a
,
可见
n
>N

|
x
n
| < |
a
| +
1。

令 M = max{
|x
1
|,|x
2
|,

,|x
N
|,|a|
1
},
则
n

|
x
n
|

M .
所以数列{
x
n
}有界。
其逆否命题？ —— 定理的逆否命题
：
无界数列必发散。
其否命题？—— 有界数列未必收敛（即定理1的逆命题不成立），例
n
如通项公式是x
n
= (--1)的数列，是发散的数列，但它是有界的。可见收敛
数列只是有界数列中的一部分（图1—9） ，即数列收敛是其有界的充分条
件；而有界性仅是数列收敛的的必要条件。

图1-9
收敛数列
有界数列

3、收敛数列的保号性 若
limx
n
a
,与
limy
n
b
， 且
ab
，则
xx
NN

,nN,
，
有x
n
y
n
。
证法：df，
NN
,nN,
有
x
n

abab
,y
n

22
4、收敛数列与其子数列间的关系：
若数列
{x
n
}
收敛（于a），则
{x
n
}
的任一子数列也收 敛（于a）。
5、运算性质--四则运算
若
limx
n
a,与
limy
n
b
则：
xx
1）.
lim(x
n
y
n
)limx
n
limy
n
ab

xxx
2）
lim(x
n
.y
n
)limx
n
.limy
n
a.b

xxx
3）
lim
x
n
y
n
n
x

limx
n
x
limy
n
x

a
b
，且
b0
.（问题：若
b0,l im
x
n
y
n
x
存在否？）
六、数列收敛的判别法
1.定义法
2.收敛数列与其子数列间的关系判别法
3.准则1.（两边夹定理）（夹逼定理）
若数列

x
n

,

y
n

,

z
n

满足下列条件：
1）

y
n


< br>x
n



z
n

,(n1,2 ,3,...)

2）
limy
n
a,limz
n
a

xx
则数列

x
n

的极限存在，且
li mx
n
a

x
证 df，
4.准则2—单调有界数列必收敛
重要极限
lim(1
x
1
n
)e,
e2.7045...

n

设
x
n
=
(1
1
n
)
，证明
{x
n
}
单调增加有界
n
首先，由二项式定理，有
x
n
=
(1
1
n
)
=
1
n
类似 的，
x
n1
n1n(n1)1n(n1)(n2)1

2

3


1!n2!n3!n
n(n1)(nn1)1

n

n!n
11112
11(1)(1)(1)

2!n3!nn
112n1
(1)(1)(1)

n!nnn
11112
11(1)(1)(1)

2!n13!n1n1
1
n!
1
n1
2
n 1
n1
n1

(1)(1)(1)



1
(n1)!
(1
1
n1
)(1
2
n 1
)(1
n
n1
)

比较 的展开式，可以看到 除前两项外，的每一项都小于 的对应项，
并且
还多了最后一项，其值大于0，因此 。数列

x
n

单调增加。
其次，将
x
n
的展开式中各项括号内的数用较大的数1代替，得
x
n
〈1+1+
1
2!

1
3!
< br>1
n!
11
1
2

1
2
2< br>
1
2
n1

1
1
n
2
3
1
〈3
n1
1
2

1
1
2
说明数列< br>
x
n

是有界的。
根据极限存在准则2，数列

x
n

极限存在。设为e

5.柯西收敛准则
数列
{x
n
}
收敛


0,N0,mN,nN,x
n
xm



证明：必要性 假设
limx
n
a
。则

x

2
0
，
N
n
>
N
时

|
x
n
-
a
|<

2
.

2
同理
m
>
N
时

|
x
m
-
a
|<.
2
mN,nNx
n
x
m
(x
n
a)(x
m
a)x
n
ax
m
a

2


.
充分性（略）