高等数学定理及性质集锦
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专升本高数定理及性质集锦
1、数列极限的存在准则
定理1
（两面夹准则）若数列{x
n
},{y
n
},{z
n
}满足
以下条件：
（1）， （2）， 则
定理2
若数列{x
n
}单调有界，则它必有极限。
2、数列极限的四则运算定理
（1）
（2）
（3）当时，
推论 ：（1）
（2） ，（3）
3、当x→x
0
时，函数f（x）的极限等于A的必要充分条件是
这就是说：如果当x→x
0
时，函数f（x）的极限等于A，则必定有左、右极限都等于A。
反之，如果左、右极限都等于A，则必有
4、函数极限的定理
。
定理1 （惟一性定理）如果存在，则极限值必定惟一。
定理2
（两面夹定理）设函数在点的某个邻域内（可除外）
满足条件：
（1）
5、无穷小量的基本性质
，（2），则有。
性质1
有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；
性质2
有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的
乘积是无穷小量。
性质3 有限个无穷小量的乘积是无穷小量。
性质4
无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。
6、等价无穷小量代换定理：
如果当时，均为无穷小量，又有且
存在，则。
7、重要极限Ⅰ
8、
重要极限Ⅱ是指下面的公式：
9、 （2） （3）
10、函数在一点处连续的性质
由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法则，可以得到下列连续函
数的性质。
定理1
（四则运算）设函数f（x），g（x）在x
0
处均连续，则
（1）f（x）±g（x） 在x
0
处连续 ，
（2）f（x）·g（x）在x
0
处连续
（3）若g（x
0
）≠0，则在x
0
处连续。
定理2
（复合函数的连续性）设函数u=g（x）在x= x
0
处连续，y=f（u）在u
0
=g（x
0
）
处连续，则复合函数y=f[g（x）]在x=
x
0
处连续。
定理3 （反函数的连续性）设函数y=f（x）在某区间上连续，且
严格单调增加（或严
格单调减少），则它的反函数x=f
-1
（y）也在对应区间上连
续，且严格单调增加（或严格单
调减少）
11、闭区间上连续函数的性质
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x），有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。
定理1 （有界性定理）
如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）必在[a，b]
上有界。
定理2 （最大值和最小值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则在这个区
间上一定存
在最大值和最小值。
定理3 （介值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且其最
大值和最小值分
别为M和m，则对于介于m和M之间的任何实数C，在[a，b]上至少存在一个ξ，使
得
f（ξ）=C.
12、零点定理 如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（
a）与f（b）异号，则在[a，
b]内至少存在一个点ξ，使得f（ξ）=0.
13、初等函数的连续性
定理 初等函数在其定义的区间内连续。
利用初
等函数连续性的结论可知：如果f（x）是初等函数，且x
0
是定义区间内的点，
则
f（x）在x
0
处连续
也就是说，求初等函数在定义区间内某点处的极限值，只要算出函数在该点的函数值即
可。
14、可导与连续的关系
定理
如果函数y=f（x）在点x
0
处可导，则它在x
0
处必定连续。
15、由上一个定理可知：若函数f（x）在x
0
不连续，则f（x）在x
0
处必定不可导。
16、导数的计算
a、导数的四则运算法则
设u=u（x），v=v（x）均为x的可导函数，则有
（1）（u±v）'=u'±v'
（2）（u·v）'=u'·v+u·v'
（3）（cu）'=c·u'
（4）
（5）
（6）（u·v·w）'=u'·v·w+u·v'·w+u·v·w'
b、复合函数求导法则
如果u=φ（x）在点x处可导，而y=f（u）在相应的点
u=φ（x）处可导，则复合函数
y=f[φ（x）]在点x处可导，且其导数为
同理，如果y=f（u），u=φ（v），v=ψ（x），则复合函数y=f[φ（ψ（x））]的导数为
c、反函数求导法则
如果x=φ（y）为单调可导函数，则其反函数y=f（x）的导数
17、微分的计算
dy=f′(x)dx
求微分dy只要求出导数f′(x)再乘以dx，所以我们前面学过的求导
基本公式与求导法则
完全适用于微分的计算。于是有下列的微分公式及微分法则：
（1）d（c）=0（c为常数）
（2）（为任意实数）
（6）d（e
x
）=e
x
dx
（7）d（sin
x）=cos xdx
（8）d（cos x）=-sin xdx
（17）d（c·u）=cdu
18、微分形式不变性
设函数y=f(u)，则不论u是自变量还是中间变量，函数的微分dy总可表示为
dy=f′(u)du
19、常用的换元类型有：
被积函数类型
所用代换
代换名称
正弦代换
正切代换
正割代换
根式代换
R(x,x
2
a
2
)
20、定积分的基本性质
xasect
t
n
axb
（1）。（k为常数）。
（2）。
（3）。
（4）如果f（x）在区间[a, b]上总有f（x）≤g（x），则。
（5）
（6）设M和m分别为f（x）在区间[a,
b]上的最大值和最小值，则有
（7）积分中值定理 如果f（x）在区间[a,
b]上连续，则在区间[a, b]上至少存在一点，
使得
21、变上限定积分求导定理
1.变上限定积分定义:：定义积分上限x为变量
时的定积分
变上限定积分是积分上限x的函数，记作
2.变上限定积分求导定理
定理 如果函数f（x）在区间[a, b]上连续，则有
，一般有
称为变上限定积分。
推论 ①， ②
③
22、计算定积分
1.牛顿——莱布尼茨公式
如果f(x)在区间[a,b]上的连续，且，则有
推论： (1)若f(x)为奇函数，则
(2)若f(x)为偶函数，则
2、定积分的分部积分法
23、定积分的应用
1.计算平面图形的面积
(1)X型：曲
线y=f(x)，y=g(x)(f(x)≥g(x))和直线x=a,x=b(a≤b)所围成的平面图形的面
积A
为。
(2)Y型：曲线和直线y=c,y=d(c≤d)，所围成的平
面图形的面积A为
2.旋转体的体积
。
(1)X型 由连续曲线y=f(x)(f(x)≥0)和直线x=a,x=b(a
(2)Y型 由连续曲线
绕y轴旋转一
周所形成的旋转体的体积
和直线y=c,y=d(c
24、全微分
25、二元隐函数
设三元方程F(x,y,z)=0确定
隐函数z=z(x,y)，如果F(x,y,z)对x,y,z存在连续偏导数，且
，则z对x、y的偏
导数为
。