怀若竹虚临江水-初三学习计划作文

第六章 极限理论
§6.1随机变量序列的收敛性
§6.1.1以概率1收敛
设

X
n

是随机变 量序列，若存在随机变量
X
，使得
PlimX
n
X1
， 则称随机变量序
n

列

X
n

以 概率1收敛于
X
，即

X
n

几乎处处收敛于X

§6.1.2依概率收敛
设

X
n
< br>是随机变量序列，若存在随机变量
X
，对于任意

0
，有< br>limPX
n
X

0
，
n
< br>则称随机变量序列

X
n

依概率收敛于
X

§6.1.3依分布收敛
设随机变量
X,X
1
,X
2,
的分布函数分别为
F

x

,F
1

x

,F
2

x

,
，如 果对
F

x

的每个连续
点
x
都有
limF
n

x

F

x

，则称分布函数列

F
n

x

弱收敛于分布函 数
F

x

，

X
n

依分布
n
收敛于
X

§6.1.4三种收敛的关系
以概率1收敛

依概率收敛

依分布收敛
§6.2特征函数
§6.2.1特征函数定义
设
X
是一个随机变 量，


t

Ee
1.离散型随机变量的特征函数 设离散型随机变量
X
的分布律为
p
k
P

X x
k

k1,2,

，则
X
的特征函数为


t

称为随机变量
X
的特征函 数
itX


t



e
it x
p
k

t


k

k1
2.连续型随机变量的特征函数
设连续型随机变量X
的密度函数为
p

x

，则
X
的特 征函数为


t



e
itx
p

x

dx

t




3.常用分布的特征函数
1 6

（1 ）单点分布
P

Xc

1
的特征函数为

t

e

itc
（2）
01
分 布
X~B

1,p

的特征函数为


t

pe

1p


it
（3）二项 分布
X~B

n,p

的特征函数为


t

pe
it


1p


（4）泊松分布
X~P



的特征函数为

< br>t

e


e
it

n
1


e
ibt
e
iat
（5）均匀分布< br>X~U

a,b

的特征函数为


t


it

ba

均匀分布< br>X~U

a,a

的特征函数为


t< br>

2
sinat

at


2< br>t
2

（6）正态分布
X~N


,


的特征函数为


t

exp

i

t


2

标准正 态分布
X~N

0,1

的特征函数为


t

e

t
2
2


it< br>
（7）指数分布
X~E



的特征函数为


t



1





§6.2.2特征函数的性质
1.

< br>t




0

1

2 .


t




t


3.若
YaXb
，其中
a,b
为常数，则

Y

t

e

X

at
< br>
ibt
1
4.若
X,Y
相互独立，则

XY

t



X

t

Y

t


l

k
kk
5.若
EX
存在，


t

为< br>X
的特征函数，则


0

iEX
1kl




§6.2.3特征函数唯一决定分布函数
1.随机变量
X
的特征函数


t

一致连续
2.随机变量X
的特征函数


t

非负定
3.设随机变 量
X
的分布函数为
F

x

，特征函数为


t

，则对
F

x

的任意 两个连续点
1

x
1
x
2
，有
F

x
2

F

x
1
lim
T
2

e
itx
1
e
itx
2

T
it


t

dt

T

4.设连续型随机变量
X
的密度函数为p

x

，特征函数为


t
，如果



t

dt
，则

2 6

1

p

x


2




e
itx


t

dt

5.随机变量
X
的分布函 数
F

x

由其特征函数


t

唯一决定
§6.2.4分布函数的再生性
1.二项分布
设
X~B

n,p

与
Y~B

m,p
< br>相互独立，则
XY~B

mn,p


2.正态分布
设
X~N

X
,

X< br>与
Y~N

Y
,

Y
相互独立，则
XY~N

X


Y
,

X


Y

3.泊松分布
设
X~P

< br>1

与
Y~P


2

相互独立， 则
XY~P


1


2


4.

2
分布
设
X~


n

与
Y~


m

相互独立，则
XY~


nm


222

2
2


22

§6.3大数定理
设
X
k

是随机变量序列，数学期望
E

X< br>k

k1,2,

存在，若对于任意

0< br>,有

1
n

1
n
limP

X
k


E

X
k



1
，则称随机变量序列

X
k

服从大数定理
n
n
k1

n
k1< br>

1


DX


i

n

1
n

n
1

i1

利用契比雪夫不等式，有
1limP


X
k

E

X
k



1
n
n
k1

2

n
k 1


1


D


X
i

n
i1

即当
n
时，有
0
，则随机变量序列

X

2
k

服从大数定理
§6.3.1契比雪夫大数定理
若随机变量
X
1
, X
2
,,X
n
,
满足以下两个条件，则称随机变量序列

X
k

服从大数定理
（1）随机变量
X
1,X
2
,,X
n
,
两两不相关
（2）
D

X
i

c
，即方差有界
3 6


1


1
D


X
i

n
i1

n
2
lim
证明：由于
lim
2
n

n 

1


DX


DX
< br>i


i
c
n
1

0
恒 成
i1
lim
2
0
，而

i
2
n
n


2

立

1


D


X
i

n

0
则有

i1

2
1

1

契比雪夫大数定理说明，当
n
足够大时，只要满足定理条件，

X
i


E

X
i


n
i1
n
i1
§6.3.2辛钦大数定理
若随机变量
X
1
,X
2
,,X
n
,
满足以下两个 条件，则称随机变量序列

X
k

服从大数定理
（1）随 机变量
X
1
,X
2
,,X
n
,
独立同 分布
（2）数学期望
E

X
i


< br>
i1,2,

，即数学期望存在
1
n
证明： 设

X
k

独立同分布，其相同的特征函数记为


t

，记
Y
n


X
k

n
k1
由于

E

X
k



0



'


t
n
，因而


t




0




0

t


t


'


t


t

1


则

Yn

t






< br>
1i






n

n



n



t< br>
1


i

t
对于任意t
，有
lim

Y
n

t

lim

1i





e
nn
n

n


由 于
e
i

t
n
n
是退化分布
P

X


1
的特征函数，故有
limPY
n



1

n

§6.3.3伯努利大数定理
设
n
A
是
n
重伯努利试验中事件
A
出现的次数，
p
是事件
A
在每次试验中出现的概率，则对
任意

0
，有
limP

n

n
A

p

< br>1


n

1

n

， 若满足
lim
2
D


X
i

 0
，则对任意

0
，有
n
n

i 1

§6.3.4马尔可夫大数定理
对随机变量序列

X
n

4 6


1
n

1
n
limP


X
k


E

X
k




1

n
n
k1

n
k 1

§6.4中心极限定理
§6.4.1中心极限定理
设
< br>X
k

为相互独立的随机变量序列，数学期望
E

X
k



k
和方差
D

X
k



k
都存在，令
2

n

XEX


kk


k1
，若对于一切实数
x
，有
limPY
*
x
1
Y
n
*

k1
n
n
n
2


D


X
k


k1< br>
n


x

e

t
2
2

dt

x

，
则称随机变量序 列

X
k

服从中心极限定理
§6.4.2独立同分布的中心极限定理
2
设随机变量序列

X< br>n

独立同分布，且
E

X
i



，
D

X
i



 0

i1,2,

，若记
n

n
< br>X
i
E


X
i


X
i
n



i1


i1

Y
n
*

i1
n
n


D


X
i


i1

n
1
则对于任意实数
x
，有
limF
n

x

limPY
n
*
x
nn
2



x

e

t
2< br>2
dt

x


§6.4.3De Moivre-Laplace中心极限定理
设随机变量
Z
n
~B

n,p

n1,2,

，则对于任意实数
x
，有
t


Z
n
np

x
1

2
limP

x



edt

x



n

np< br>
1p

2



2
泊松定理
拉普拉斯定理








二项分布收敛于泊松分布
二项分布收敛于正态分布
收敛条件：
np


收敛条件：
np

5 6

6 6