节日送礼-澳大利亚大选

1.极限存在条件
xx
0
limf(x)Af(x
0
)f(x
0
)A


2. 法则1(夹逼法则) 若在同一极限过程中,三个函数
f
1
(x)
、
f
2
(x)
及
f(x)
有如下关系:
f(x
1
)f(x) f(x
2
)
且
limf(x
1
)limf(x
2
)A
则
limf(x)A

3.

法则2(单调有界法则) 单调有界数列一定有极限
4.无穷小定理
limf(x)Alim[f(x)A]0
以~-A为无穷小，则以A为极限。
性质1 有限个无穷小的代数和或乘积还是无穷小
性质2 有界变量或常数与无穷小的乘积是无穷小.
性质3 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
5.高阶同低阶无穷小， 假设

,

是同一变化过程中的两个无穷小,且

0.< br>
(1)如果lim

0,就说

是比

较高阶的无穷小,记作

o(

)


(2 )如果lim

,就说

是比

较低阶的无穷小,或者 说



是比

较高阶的无穷小;
(3)如果li m

C(C0),就说

与

是同阶的无穷小;
C=1时，为等价无穷小。

(4)如果lim
无穷小

C(C0,k0),就说

是

的k阶的


k
6.
若limf(x)A,limg(x)B,则有
< br>(1)lim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)AB
(2)lim [f(x)g(x)]limf(x)g(x)AB
f(x)limf(x)A
(3 )lim(B0)
g(x)limg(x)B

推论
若limf(x)存在,而c为常数,则
limcf(x)climf(x)
若limf(x)存在,而n为正整数,则
lim[f(x)]
n
[limf( x)]
n

limx1
1x1x1


lim
x2
2
例题
lim
2

lim
2
x2
x1
x2
x1
x2
limx1
3
x2
7.
所以当a
0
0,b
0
0,m和n为非负整数时有


a
0

b
,当nm,
0
a
0
x
m
a
1
x
m1

a
m


lim

0,当nm,
x
bx
n
bx
n1


b
01n

,当nm,



8.例题
求lim x(x2x)

limx(x2x)
lim
x
x 
2
2
x(x
2
2x)(x
2
2x)x2x
2
x

lim
x
2x
x
2
2x
lim
x
2
=1
2
1
2
1
x
9.两个重要的极限
limsinx
1
x0
x
limxsin
x
1
=1
x
例题
求lim

sinmxsinmxmsinmxnx
lim

lim

x0
sinnx
x0
sinnx
x0
nmxsinn x
msinmxnxm
limlim

x0
sinnxnx0
mxn
111sint
求limxsin

令t,则当x时,t0.所以limxsinlim1

xxt 0
xxxt

1
lim(1)
x
e
x< br>x
lim(1x)e

x0
1
x
2
3 x
2
3x
2

2
(
x
)(3x)
2

2
6
lim[(1)]e
6
例题
求lim(1)

lim(1)
lim[(1)]
xx
xx
xx
xx
x1

x1
x
x1
x
2
x
2
2
2
2
< br>)

lim()lim(1)
lim

[(1
例题2
求lim(
)](1)


x
x1
x
x1
x
x
x1
x1x1

x< br>2
x
e
2
1e
2

11
(1)
x
lim(1)
x
e
x

xx
解法2
lim
1
e
2

x< br>11
(1)
x
lim[(1)
x
]
1
e
x
xx
10.函数在一点连续的充分必要条件是
(1)f(x)在 点x
0
处有定义;
(2)limf(x)存在;(3)limf(x)f(x
0
).

xx
0
xx
0
11.
函 数f(x)在x
0
处连续是函数f(x)在x
0
处既左连续又右连续.

12.

满足下列三个条件之一的点
x
0
为函数
f(x)
的间断点.
xx
0
xx
0
xx
0
(1)f(x)在点x
0
没有定义;
(2)limf(x)不存在;(3)limf(x)存在,但limf (x)f(x
0
).

跳跃间断点
如果f(x)在点x
0
处左,右极限都存在,
但lim

f(x)lim

f (x),则称点x
0
为函数f(x)的跳跃间

xx
0
xx
0
断点.
可去间断点
如果f(x )在点x
0
处的极限存在,
但limf(x)Af(x
0
),或 f(x)在点x
0
处无定义,则

xx
0
称点x
0
为函数f(x)的可去间断点.
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点为 左右极限都存在
第二类间断点 左右极限至少有一个是不存在的
第二类间断点中包括 无穷间断点（有一段的极限为正或负无穷）
震荡间断点（
limsin
x0
1
）
x
1
ln(1x)
ln1(x)
x
.
原式lim
13.例题
求lim
x0
x0
x
l ne
=1
14.（最值定理）若函数
yf(x)
闭区间
[a, b]
上连续，则
yf(x)
在闭区间
[a,b]

上必有最大值和最小值．
（有界性定理） 若函数
yf(x)
闭区间
[a,b]
上连续，则其在闭区间上必有界
（介值定理） 若函数
yf(x)
闭区间
[a,b]
上连续，则 对介于
f(a)
和
f(b)
之间的任何
数C，至少存在一个

(a,b)
，使得
f(

)c
根的存在定理 两侧异号 至少有一根。
15.函数在一点可导的充分必要条件为：
f

'
(x
0
)f

'
(x
0
)

16.可导的函数一定是连续的 连续不一定可导
17.
导数

(C)

0. 常数的导数是零.

(x
n
)

nx
n1
.

(sinx)

cosx

(cosx)

sinx

(log
a
x)


11
22

(lnx)



(coxt)

cscx.

(taxn)

secx.

xlnax
(secx)

secxtanx

(csxc)

cscxcoxt.

(a
x
)

a
x
lna

(e
x
)

e
x

(arcsinx)



1
1x
2
.

(arccxo)

s
1
1x
2
)


.

(arctaxn
1
;

1x
2

(cotx)


1
.
反函数的导数等于直接函数导数的倒数
1x
2

(1)[u(x) v(x)]

u

(x)v

(x);
(2 )[u(x)v(x)]

u

(x)v(x)u(x)v

(x);
(3)[
u(x)u

(x)v(x)u(x)v

(x)
]


v(x)v
2
(x)
( v(x)0)

u
2

u
n

(2)(Cu)

Cu


(1)(u
1
u
2
u
n
)

u
1< br>
u
2
u
n
u
1
u
2

u
n


u
1
u
2
 u
n


(3)(u
1
u
2
un
)

u
1
因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导 ，乘以中间变量对自变量求导.(锁链法则)
y

f

(u)< br>

(v)


(x)

x
2
y
2
隐函数求导法则 两边对X求导 例题 已知函数y是由椭圆方程
2

2
1
所确定的 求
y


ab
方程两边分别关于x求导,由复合函数求导法则和四则 运算法则有
2x2y

2
y

0
解得
2
ab
y
b
2
x

y


2
例题2
e
y
xye

e
y
y

yxy


y


y
ex
ay
对数求导法 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数.
例题
y
3
(x1)(x2)
(x3)(x4)

1
lny[ln(x1)ln(x2)ln(x3)ln(x4)]

3

111111
y

()
y3x1x 2x3x4
y


1(x1)(x2)1111
3
()

3(x3)(x4)x1x2x3x4
(n)
高 阶导数
ysinx

ysin(xn)

(cosx)
(n)
cosx(n)

22


18.
函数f(x)在点x
0
可微的充 要条件是函数f(x)在点x
0
处

可导,且Af

(x
0
).
Af

(x
0
).

1
dx

1x
2
即
可导可微.
19.

基本初等函数的微分公式
d(arctanx)
1
dx
1x< br>2
d(arccotx)

d(C)0
d(sinx)c osxdx
d(tanx)secxdx
2
d(x

)

x

1
dx
d(cosx)sinxdx
d(co tx)cscxdx
2

d(secx)secxtanxdxd(cscx) cscxcotxdx
d(a
x
)a
x
lnadx
1
d(log
a
x)dx
xlna
1
d(arcsinx) dx
2
1x
20.
d(e
x
)e
x
dx
1
d(lnx)dx
x
d(arccosx)
1
1x
2

dx

函数和、差、积、商的微分法则
d(u v)dudv
d(uv)vduudv
d(Cu)Cdu
uvduud v

d()
vv
2
例题
设ye
13x
cosx,求dy.

dycosxd(e
13x
)e
13x
d(coxs)


(e
13x
)

3e
13x
(cosx)

sinx


dy
cos
x
(3
e
13x
)
dx

e
13 x
(sin
x
)
dx

e
13x
(3cosxsinx)dx

微分形式不变性 微分形式始终为
dyf

(x)dx

21.

Lagrange中值定理 如果函数
f(x)
在闭区间
[a,b]
上连续,在开区间
(a,b)
上可导,则
在
(a,b)
内至少存在 一点 ,使下面等式成立
f(b)f(a)f

(

)(ba)

推论
如果对于任意x(a,b),有f
'
(x)0,则
f(x)c
(c为常数)


如果对于任x意
)
< br>(a,b),有f
'
(x)g

(x),则
f(x)g (x)c
(c为常数
例题 证明
arcsinxarccosx

2

设f(x)arcsixnarccox

s

f

(x)
0
1
1x
2
(
1
1 x
2
inarcc0o

s
)0
f(x)C

又f(0)arcs0

222
0
22.
型及型未定式解法:洛必达法则

0



即C

narccoxs

arcsix

2

如果函数
f(x)
与
g(x)
满足下列三个条件 0／0 ∞／∞，导数都存在且
g

(x)0
，

lim
f

(x)
存在或者无穷大

g(x)
f(x)f

(x)

lim
g(x)g

(x)
则当
xx
0
或
x则有
lim
0,,0
0
,1

,
0
型未定式解法

0
111100
或00.



00000
0
0


0ln0
111
lnx

取对数


xxx1



ln1
0.
例题
求lim(x)

limxlime

xxx 

0




0ln
1
11
limlnx
1lnx
x
x

limlnx limlim0


lim(
x
)
x
e< br>x
e
0

1

x
x
x
x
x
x
1
e
x
e
x< br>.
洛必达不能求解 洛必达法则不是万能的
求lim
x
x< br>ee
x
e
x
e
x
1e
2xlim
xx
lim1
(两边同乘以
e
x
) < br>2x
x
ee
x
1e
23.可导函数的的极 值点必定是驻点,但函数的驻点不一定是极值点（驻点为可导但是导数值.
为0的点） 函数的不可导点,也可能是函数的极值点.
判断是否为极值点要计算驻点两侧倒数的符号是否不同
求驻点处的二阶导数 若二阶导数为正值 则为极小值 负值 则为极大值 为零则不能判断
24.二阶导数为正值则为凹的 负值则为凸的 分界点为拐点 在拐点处二阶导数为零或二
阶导数不存在
函数作图 求定义域 函数的奇偶性和周期性 求一阶和二阶导数 讨论极值点和拐点 渐近
线 列表
25.

kf(x)dxk

f(x)dx


[ f(x)g(x)]dx

f(x)dx

g(x)dx


基本积分公式
x

1
(1)

xd xC(

1);

(2)

1
4
dx

x
lnxC
3
a
x

adx
lna
C

x

edx
e

sec
2
x
x
C

(5)

cosxdx
sinxC

(6)

sinxdx
cosxC


cscx
cotxC

2
(7)x
tanxC

(8)
(9)
1< br>
1x
2
dx
arctanxCarccotxC

(10)

1
1x
2
dx< br>arcsinxCarccosxC

26.第一类换元法(凑微分法) 设f(u)具有原函数F(u),u

(x)可导
则有

f[

(x)]


(x)dx[

f(u)du]
凑微分的集中常见形式
u

(x)
F[

(x)]C


secxdx
ln(secxtanx)C


cscxdxln(csxccotx)C

1.

f(x
n1
)xdx

n
f(x
n1
)d (x
n1
)
f(x)

2.

dx2

f(x)d(x)

n1x
1
f()
f(lnx)
x
dxf(
1
) d(
1
)
、
3.

dx

f(lnx)d(lnx)

4 .

2

xx
x
x
5.

f(s inx)cosxdx

f(sinx)d(sinx)

6.

f(e
x
)e
x
dx

f(e
x)de
x

7.

f(tanx)sec
2
x dx

f(tanx)dtanx

8.

27.第二 类换元积分法
f(arctaxn)
dx

f(arctaxn)d(ar ctaxn)

1x
2

f(x)dx

f[

(t)]


(t)dt
（根式代换）
例题 求

1
65
令
xtdx6tdt

dx .
x(1
3
x)

1
6t
5
dx


3
dt

2
3
t(1t)
x(1 x)
1
6t
2
t
2
t
2
11
6dt6dt
6(tarctant)C



dt 6dt6dt
2
222


1t
1t1t1 t
6(
6
xarctan
6
x)C

三角代换的形式
(1)
t;

(2)a
2
x
2

xasin
t;

a
2
x
2

xatan
(3)
t.
倒数代换
x
x
2
a
2

xasec
1
也为常用的形式
u
28.分部积分法
udvuvvdu


（2
；
）vdu要比udv容易积出.

（1）v要容易求得
使用时应注意的问题

x
2
dv
例题

xarctanxdx.
令
uarctanx,
xd xd
2
x
2
x
2
x
2
x
21
xarctanxdx
arctanxd(arctanx)arctanx


2

21x
2
dx

22

11
x
2
x
2
1
)dx
 arctanx


(1
arctanx(xarctanx) C

21x
2
222
例题2
lnx

x
dx.

ux

dx2udu

lnx

x
dx2

lnudu
2(ulnu

du)

2u(lnu1)C
2x(lnx1)C

29.有理函数的积分 待定系数法
分母中若有因式
(xa)
k
，则分解后为
的常数
分母中 有
(x
2
pxq)
k
分解后为
2
A
k
A
1
A
2

A
1
,A
2
,

,A
k
待定



(xa)k
(xa)
k1
xa
M
k
xN
kM
1
xN
1
M
2
xN
2



2k2k12
(xpxq)(xpxq)xpxq
其中
p4q0

M
i
,N
i
待定的常数
例题
2x2

x
2
6x13
dx.
分母实数范围内不能因式分解 则用凑分法
2x22x64
d(x
2
6x13)dx
dxdx
dx4

x
2
6x 13

x
2
6x13

x
2
6x 13

(x3)
2
2
2

ln(x
2
6x13)2arctan
30.定积分
x3
C
2

a
b
a
f(x)dxlim

f(
i
)x
i


0
i1
n相关性质
b

kf(x)dxk

b
a
bb
a
f(x)dx
k为常数
b

[f(x)g(x)] dx


a
f(x)dx


g(x)dx

a
b
a

b
a
f(x)dx

f(x)dx

f(x)dx
ac
cb
.
[a,b]
上
f(x)g(x)


f(x)dx


g(x)dx

a
b
设M及m分别是函数
f(x)
在区间
[a,b]
上的最大值及最小值 ,则
m(ba)

f(x)dxM(ba)

a
b
定积分中值定理

b
a
f(x)dx
f(
< br>)(ba)(a

b)

积分上限函数
G(x)


x
a
f(t)dt
x[a,b]
有
G

(x)[

f(t)dt]

f(x)
(ax b)

a
x

x
3
t1t1
例题
y

3
dt
求导数 先化为积分上限函数
y

dt

33
x1
2 t2t
1
u
t1
t1
dydydud
3
3< br>ux
的复合函数
dt
(dt)(x)



3
3
1
dxdudxdu
2t
2t
视为< br>y

u
1
3x
2
(1x
3
)


2x
例题2
[
t

2
edt]


[

2
edt]

[

2
edt]

[

edt]

[

edt]

[

edt]


xxxaaa
x
3
 t
2
x
3
t
2
a
t
2
x3
t
2
x
2
t
2
x
3
2
e
x
4
(x)

e
x
(x3
)

2xe
x
3x
2
e
 x

2
6
46
微积分基本定理

b
ab
b
f(x)dxF(x)F(b)F(a)

a
f(x )dx

f[

(t)]


(t)dt



定积分的换元法
例题

a

1< br>0
x(x
2
1)
3
dx
设
x
2
1t

x0
t1;
x1t2

所以有

2< br>1
0
x(x
2
1)
3
dx
1
1
2
1
2
3
1
4
2
15
32
(x1)d(x1)
tdtt



0
1
2
28
1
8
不换新变量 就不要改变积分上下限

1
0
1
15
1
12
1
x(x1)dx

(x1)
3
d(x
2
1)
(x
2
1)
4


2
0
0
88
3
例题2

1
0
x
2
1x
2
dx.
设
xsint,dxcostdt

x0
t0;
x1
t


2


1

0
x
2
22
t1sintcos tdt

1xdx


2
sin
2
0< br>

2
0




1
11 1
sin
2
tcos
2
tdt

2
si n
2
2tdt


2
(1cos4t)dt(tsi n4t)
2


4
0
8
0
84
0
16
b
b
udvuv

vdu

< br>a
a
a
b
x
1
xx
定积分的分部积分法1
1
xx
1
例题

xedx.


xedx

xdexe

edxeee(e1) 1

0
00
0
0
0
1
x
1
e
e
1
e
lnxdxxlnxxdxex1


1

1
11
x
e

31.用定积 分求面积 和 旋转体的体积
旋转体的体积
V

V


[f(x)]dx


ydx
（绕x轴形成的）
aa
d
c
b
2
b
2

d
c

[

(y)]
2
dy



x< br>2
dx
(绕y轴形成的)
x
2
例题
y

x0

y1
绕y轴形成的体积
4
用公式
< br>
b
a
1
1
1
x
2
dy

V


x
2
dy



4ydy
2

y
2
2


0
0
0
32.无穷区间的广义积分


a
f(x)dx< br>lim

f(x)dx

b
a
b
b
极限存在 则为广义积分存在或收敛 极限不存在 则为广义积分不存在或发散
相应的有形式

b

f(x)dx< br>lim

f(x)dx

a
a

b

f(x)dx
lim

f(x)dx

a 
a
b
牛顿公式


a
f(x)dxlim F(b)F(a)F(x)
b
b


a



0

f(x)dxF(x)F(x)
0


b
f(x)dxF(b)limF(a)F(x)
a

例题
(3)



dx
.

2
1x< br>


0
dxdxdx


（ 原函数为正切函数）
222

0
1x1x1x
无界函 数的广义积分

b
a
f(x)dx
lim

< br>
0
b
c
b
a

f(x)dx

c

1
a

b
a
f(x)dx


f(x)dx

f(x)dx
lim


a
c

1
0
f(x)dxlim



2
0
b
c

2
f(x)dx

b
a
(

1
0,

2
0 )
若
limf(x)
只有当上式右端两个极限都存在时 则称

f(x)dx
收敛
xc
否则为发散。
例题 求

1
dx
1x
2
0
.


lim

x1
1

1
1x
2

x1
是无穷间断点

1
dx
1x
2
1
0
lim



0
dx
1x
2
0
limarcsinx


0
1



limarcsin(1

)0



0
2
0
计算

1
dx< br>.
？
2
x
222
33.平面的一般方程
AxBy CzD0
圆柱面
xyR

x
2
y
2
(a0,b0)
椭圆抛物面
zxy
双曲抛物面
z
2

2

ab
22

圆锥面
z
2
x
2
y
2
（二元函数的图像通常为一张曲面）
34.二元函数的相关定义及性质同一元函数相近
35.偏导数同全微分
f
x

(x
0
,y
0
)lim
x0
f (x
0
x,y
0
)f(x
0
,y
0
)

x
f
y

(x
0
,y
0< br>)lim
y0
f(x
0
,y
0
y)f( x
0
,y
0
)

y


z< br>

2
z


z


2
z

(x,y)


(x,y)

 
二阶偏导数

2
f
yy


2f
xx

x

x

x
y

y

y


z

2
z


z


2
z

(x,y),


(x,y)
（混合偏导数）
f
xy




yx
f
y x
y

x

xy
x

y
混合偏导数并不都是都相等的.

2
z
2
z
定理 如果
zf(x,y)
得两个二阶混合偏导数在区域D内连续，那么有该区域
xyyx
内这两个二阶混合偏 导数必相等。
全微分
dzAxBy

如果函数
zf(x ,y)
在点
P(x,y)
处可微分，则该函数在该点处的偏导数必存在。且函数在该点处的全微分为
dz
zz
xy

xy
一元函数在某点的导数存=微分存在 多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在
有偏导数存在且连续，全微分才存在
偏导数在某点连续 则在该点处可微(可微的充分条件)
若函数在某点可微分 则在该点偏导数必定存在(可微的必要条件)
例题
zarctan
y
z yzxydxxdy

2
dz
的全微分
x< br>xxy
2
yx
2
y
2
x
2
y
2
36.
u

(x,y)v

(x,y )(x,y)
点偏导数存在，
zf(u,v)
在对应点
(u,v)
可微，则复合
函数在
(x,y)
存在对x y的偏导数。
zzuzv
zzuzv



xuxvx
yuyvy
例题
zulnv

u
2
z
zx

v3x2y
求
x
yy
zzuzv
1u
2
2x3x
2

2ulnv3
2
ln(3x2y)
2
xuxv
x
yvyy(3x2y)

z
z
u
z
v
xu
2
2x
2
2x2



2ulnv(
2
)(2) 
2
ln(3x2y)
2
y
u
y
v< br>y
yvyy(3x2y)
中间变量既有一元函数又有二元函数的情形
z f(u,x,y)u

(x,y)
即
zf[u(x,y),x,y]则有
zfuf
,

xuxx
z
z
zfuf

.
例题
zu
2
3xy,u2xy
求 x
y
yuyy
zfuf
2u23y< br>4(2xy)3y8x7y

xuxx
zfuf< br>2u13x
2(2xy)3x7x2y

yuyy
中间变量均为一元函数
设
zf(u,v)
可微且有
uu(x),vv(x)
有
zf[u(x),v(x)]
为x的一元函数
有
dz
dzzduzdv
3
u2v
例题
ze

usinx

vx
求
< br>dx
dxudxvdx
3
dzzduzdv
e
u 2v
cosx2e
u2v
3x
2
e
sinx2 x
(cosx6x
2
)


dxudxvdx
有
37.隐函数微分法
一元隐函数求导 设
F(x,y)0
确定的一元隐函数为
yf(x)
则有
F[x,f(x)]0

则有
F

FFdy
F
dy
0
若
0
则有

x

xydx
y
dxF
z

dy
.
< br>dx
y
例题
yxex0
所确定的函数
yy(x)的导数
则有
F(x,y)yxe
y
x0

F
F
e
y
1,
1xe
y
0

x
y
dye
y
1e
y
1

所以有
dx1xe
y
1xe
y
二元隐函数的求导方法
F(x,y,z)0
所确定的函数为
zf(x,y)
（二元隐函数） F[x,y,z(x,y)]0

两侧分别求导
FFzFFz
F
0,0
若
0
则有
xzxyzy
y

F< br>y

F

z
z

x



xF
z

yF
z

例题
e
z
xyz0
所确定的函数的偏导数
F(x,y,z)e
z
xyz

F
x

yz,F
y

xz,F
z

e
zxy0
所以有
F
y

F
x

 zyz
zxz


z

z
xFz

exy
yF
z

exy
38.设函 数
zf(x,y)
在点
(x
0
,y
0
)
处取得极值且在改点处两个一阶偏导数都存在 则必有
f
x

(x
0
,y
0
)0,
f
y

(x
0
,y
0
)0
（极值点也可能不是驻点.）
设函数
zf(x,y )
在点
(x
0
,y
0
)
的某临域内连续且有一阶及 二阶连续偏导数。又有

(x
0
,y
0
)A
f
xy

(x
0
,y
0
)B
f
yy

(x
0
,y
0
)C

f
x

(x
0
,y
0
)0
f
y

(x
0
,y
0
)0
令
f
xx
当
BAC0
时 该点为极值点（A<0则为极大值点 A>0则为极小值点）

BAC0
时 不为极值点
BAC0
时 不能确定
39.条件极值
求
zf

x,y

在约束条件
g

x,y

0
下的极值
构造辅助函数(lagrange函数)
F

x,y,


f

x,y



g
x,y

（

为常数）
22
2
F
x

f
x


x,y


g

x

x,y

0

求

F
y

f
y


x,y< br>


g

y

x,y

0
解方程组 若
(x
0
,y
0
,

0
)
为一解 则
(x
0
,y
0
)
是可能的条

F


g

x,y

0
件极值点（用题中所给 条件判定）
40.二重积分

f(x,y)d



f(x,y)dxdy

DD
二重积分的相关性质
kf(x,y)d

k

f(x,y)d

DD< br>

[f(x,y)g(x,y)]d



f(x,y)d



g(x,y)d


D DD

f(x,y)d



f(x,y)d



f(x,y)d

（区域可加性）
DD
1
D
2

1d



d



(

为D的面积)
DD
若D上有
f (x,y)g(x,y),
则有

f(x,y)d



g(x,y)d

.

DD

m



f(x,y)d

M

（Mm分别为最 大值和最小值，

为D的面积)
D

f(x,y)d

f(

,

)

（至少存在一点满足此式）
D
二重积分可化为二次定积分计算

dx


a
b

2
(x)
1
(x)
f(x,y)dy


d
c
dy


2
(y)
1
(y)
f(x,y)dx
(x-型先y后x，y-型先x后y)
例题
22
22
为区域 求面积
yxxy
(xy )dxdy

D

yx
2
(0,0),(1,1)< br>（求两曲线的交点）

2

xy

0x1< br>X-型

2

xyx


(x
D
2
y)dxdy


[

2
0x< br>2
1x
y
3
x
(xy)dy]dx

< br>(xy)
x
2
dx

0
3
22
1
2


(x
0
1
2
75
6
2
2
2
2
x
5
x
7
1
(x)< br>3
x
6
4

xx)dx
(xx)0

35
715521
33
积分区域是圆域或圆域的一部分时 通常用极坐标积分

f(x,y)dxdy

f(

cos

,

sin

)

d

d


DD
例题
x
e

D
2
y
2
dxdy
区域D
x
2
y2
a
2
,
x0,y0.

有
0



2
，
0

a
所以有
2

e
D
2
x
2
y
2
< br>2
0
dxdy


d


e



d


0
a
2

2


e



d


0
a
2


4


e

d(

)
2

0
a

4
(1e
a
)

41.微分方程 例题 一曲线经过
(1 ,2)
，该曲线上任意一点的切线的斜率为
2x
，求该曲线方
程。 设曲线为
yf(x)

dy
2x
（根据导数的几何意义）即
dy2xdx

dx
22
两边积分
dy2xdx
得
yxC
（C为任意常数）根据点有
yx1


一阶微分方程
y

F(x,y)
或
dy
F(x,y).
高阶微分方程
y
(n)
F(x,y,y

,y(n1)
)

dx
微分方程的实质 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.
42.可分离变量的微分方程
相乘的形式.）
一阶线性微分方程
dy
f(x)g(y)
（等式右端的函数可分解成x的函数与y的函数
dx
dy
P(x)yQ(x)

当Q(x)0,
为其次的。不衡为零时，为非其次的。
dx
（线性指为微分方程仅有y得一阶导数，且y和y’都是一次幂

P(x)dx
dy
P(x)y0
的通解为
yCe


dx
P(x)dxP(x)dx
dy
P(x)yQ(x)
的通 解为
y[

Q(x)e


dxC]e
dx
P(x)dxP(x)dxP(x)dx
Ce

e



Q(x)e

dx

例题 求微分方程
y

ycosxe
sinx
的通解
c osxdx

sinx

cosxdx
dxC


ee
P(x)cosx,
Q(x)e
sinx
ye





e
sinx

e
sinx
e
sinx
dxC
e
si nx

xC

xe
sinx
Ce
sin x

可降解的二阶微分方程

y

f(x)
连续两次积分 例题
y

e
2x
cosx
积分一次
y

积分两次
y
1
2x
esinxC
1

2
1
2x
ecosxC
1
xC
2

4
dp
p

则原方程为
p

f

x,p

一阶微分方程求解
y

f

x,y



设y

p

x

,
则y

dx
1dpp
p

原方程化为
p


例题
y

y

0
求通解
设y

p

x

,
则y


xdx x
分离变量
dpdx

两边积分
lnplnxlnC或p2 C
1
x(C2C
1
)

px
将y

p代入得 y

2C
1
x
所以原方程的通解为
yC
1
x
2
C
2

y

f

y,y



设y

p(y),
则y


dpdpdydpdp
p pf

y,p


原方程化为
dxdy dxdydy
设其通解为y

p


y,C
1

分离变量并积分，便得原方程的通解为

dy
xC
2



y,C
1

dp
y

2
dp p
2
例题
求方程y


代入原方程
P

的通解.

设y

p(y),
则y

p

dy
ydyy
若p0
上式化为
dy
dp dy
C
1
y


得
lnplnylnC
1

即 pC
1
y
 y


dx
py
C
1
x
分离变量并积分< br>lnyC
1
xlnC
2
即
yC
2
e< br>所以解为
yC
2
e
C
1
x

若p0,则立即可得:yC


43.二阶常系数线性微分方程
Ay

By

Cyf(x)

二阶 常系数线性齐次微分方程
Ay

By

Cy0

定理 若函数
y
1
(x)y
2
(x)
是方程
Ay

By

Cy0
的两个解 则有
yC1
y
1
(x)C
2
y
2
(x)
也为 一解（
C
1
C
2
为任意常数）
若
y
1
(x)y
2
(x)
是方程
Ay

By

Cy0
的两个线性无关的特解
yC
1
y
1
(x)C
2
y
2
(x)
为通解（
C
1
C
2
为任意常数）线性无关指
y
2
(x)

常数 < br>y
1
(x)
Ay

By

Cy0< br>的解法
设ye

x
,
代入原方程
(A

2
B

C)e

x
0

e

x
0,

BB
2
4AC
所以 有
A

B

C0
（特征方程）特征根
1,2


2A
2
讨论
B4AC0
有两个 相异的特征根（前者为﹣后者为﹢）
所以通解为
yC
1
e
1
x
2
C
2
e

2
x

B
,

2A
B
2
4AC0
方程有两个相等的实根 特征根为

1


2

通解为
y(C
1
C
2
x)e

1
x< br>
B
2
4AC0
方程有一对共轭复根 特征根为
1


i

,

2

< br>i


通解为
ye(C
1
cos
xC
2
sin

x).

例题 求
y

4y

5y0
满足初始条件
y(0)1y

(0)2
的特解
x5x
特征方程为

4

50
两个实数根

1
1,

2
5
通解为
yC
1
eC
2
e

2

x
求导
y

C
1
e


x
1111
5C
2
e
5x
根据条件有
C
1
,C
2

所以特解为
ye
x
e
5x

2222