中国母亲节-浙江省计算机二级成绩查询

第一部分 多变量微分学
一、多元函数极限论
1.

多元函数极限的定义：
（1）邻域型定义：设函数
f(P)
的定义域为D
，
P
0
是
D
的聚点，如果存在常数
A
，对于
任意给定的正数

，总存在正数

，使得当点
P DU

(P
0
)
时，都有
f(P)A
，
那么就称常数
A
为函数
f(P)
当
PP
0
时的极限，记作
limf(P)A.

PP
0

（2）距离型定义：设函数
f(P)
的定义域为
D
，
P
0
是
D
的聚点，如果存在常数
A
，对于
任意给定的正数

，总存在正数

，使得当点
PD
，且
0

(P,P
0
)

时，都有
f(P)A
，那么就称常数
A
为函数
f(P)
当
PP
0
时的极限，记作
limf(P)A.

PP
0
注：①这里给出的 是数学分析中国际通用的定义，已自然排除了
P
0
邻域内的无定义点；
②极 限存在的充要条件：点
P
在定义域内以任何方式或途径趋近于
P
0
时 ，
f(P)
都有极限；
③除洛必达法则、单调有界原理、穷举法之外，可照搬一元函 数求极限的性质和方法，常用
的有：等价无穷小替换、无穷小×有界量=无穷小、夹挤准则等；
④若已知
limf(P)
存在，则可以取一条特殊路径确定出极限值；相反，如果发现点P
以不
PP
0
同的方式或途径于
P
0
时，< br>f(P)
区域不同的值，则可断定
limf(P)
不存在.
PP< br>0
⑤二元函数的极限记为
（x,y)(x
0
,y
0
)
limf(x,y)A
或
limf(x,y)A
.
xx
0
yy
0
2. 多元函数的连续性：设函数
f(P )
的定义域为
D
，
P
0
是
D
的聚点，如果
P
0
D
，且有
PP
0
limf(P)f(P
0
)
，则称
f(P)
在
P
0
处连续；如果
f(P)
在区域
E
的每一点处都连续，则
称
f(P)
在区域
E
上连续.
注：①如果
limf(P)f(P
0
)
，只称“不连续”，而不讨论间断点类型；
PP
0
②在有界闭区域上 的连续函数拥有和一元函数类似的性质，如有界性定理、一致连续性定理、
最大值最小值定理、介值定理 等.
3.二重极限与累次极限
累次极限与二重极限的存在性之间没有任何必然的联系，但若 某个累次极限和二重极限
都存在，则它们一定相等；反之，若两个累次极限存在而不相等，则二重极限一 定不存在，
又若两个累次极限存在且相等，称累次极限可以交换求极限的顺序.

二、偏导数、全微分
1.偏导数、全微分的相关理论问题 （以二元函数为例讨论）
（1）偏导数的存在性：讨论对某个变量的偏导数，则将其他变量当作常数.
f(x,y
0
)f(x
0
,y
0
)
< br>f(x
0
,y)f(x
0
,y
0
)
limf
x
'(x
0
,y
0
)
；
l imf
y
'(x
0
,y
0
)
.
xx
0
yy
0
xx
0
yy
0
（2）可微 性：记
zf(x
0
x,y
0
y)f(x
0< br>,y
0
)
，则仅当
lim
x0
y0
z (AxBy)
(x)(y)
22
0
时，
f(x,y )
在
(x
0
,y
0
)
处可微，否则不可微.其中< br>Af
x
'(x
0
,y
0
)
，
B f
y
'(x
0
,y
0
)
.
注：等价于< br>zAxByo

(x)
2
(y)
2


即
f(x
0
x,y
0
y)f(x
0
,y
0
)(AxBy)o
又即

( x)
2
(y)
2


f(x,y)f(x
0
,y
0
)

f
x
'(x
0
,y
0
)(xx
0
)f
y
'(x
0
,y< br>0
)(yy
0
)

o(xx
0
)2
(yy
0
)
2
记
dzAxBy


zz
dxdy
为全微分
f(x,y)
在
(x,y)
处的全微分.
xy
中值定理推广为：
zf
x
'(x

1
x,yy)xf
y
'(x,y< br>
2
y)y,0

1
,

2
1.

（3）偏导数的连续性：讨论偏导连续性，先用定义求
f
x
'(x
0
,y
0
)
和
f
y
'(x
0
,y
0
)
，用公式
求
f
x
'(x,y)
和
f
y
'(x,y)
，判断
limf
x
' (x,y)f
x
'(x
0
,y
0
)
和
l imf
y
'(x,y)f
y
'(x
0
,y
0)
xx
0
yy
0
xx
0
yy
0
是否都成立，如果都成立则偏导数连续.
④逻辑关系：
连续
偏导连续

可微

偏导存在
极限存在

2.多元函数微分法：
（1）链式求导法则：
①从题目中的复合关系画出从起始变量经过中间变量到终变量的复合结构图；
②求偏导就是“ 走路”的过程，有几条路，等号后就有几项；每条路上有几段，每项中就会
有几部分相乘（注意：偏导写 偏微分符号“

”， 不偏则写微分符号“
d
”）；
③严格遵守用位置表示偏导数的规则，注意避免符号混乱和歧义；
④对于求高阶偏导数的问题 ，不论对谁求导，也不论求了几阶导，求导后的新函数仍具有与
原来函数相同的复合结构（注意若偏导连 续则相等，要合并同类项）.

（2）全微分形式不变性：仅一阶全微分可以使用，高阶全微分不再成立.
（3）隐函数存在性及求导法则：
①一个方程的情形（以三个变量为例）：设
F(x ,y,z)
在点
(x
0
,y
0
,z
0
)< br>某邻域内偏导连续，
且
F(x
0
,y
0
,z
0
)0
，
F
z
'(x
0
,y
0
,z
0
)0
，则方程
F(x,y,z)0
在点
(x0
,y
0
,z
0
)
内某邻
域内可唯一确定单值 函数
zz(x,y)
，这个函数在
(x
0
,y
0
)
的某邻域内具有连续的偏导数，
且
F
y
'
F'
 z
z
.结论不难推广到一般情形.

x
，

xF
z
'
yF
z
'
②方程组的情形：一般地，设方程 组
F
i
(x
1
,x
2
,

,x< br>n
;u
1
,u
2
,

,u
m
)

0(i

1,2,

m)
可确
定< br>m
个
n
元函数
u
i
u
i
(x1
,x
2
,,x
n
)
.当雅可比行列式
 F
1
u
1
F
2
(F
1
,F
2
,

,F
m
)
J
u
1
 (u
1
,u
2
,

,u
m
)
< br>F
m
u
1
F
1
u
2
F< br>2
u
2

F
m
u
1
F1
u
m
F
1

u
m
0


F
1

u
m

u
i
(F
1
,F
2
,

,F
m
)< br>J


时，可以确定其中
J
由将
J
分母中 的第
i
个元素替换成
x
j

，
(u
1
,u
2
,

,u
m
)
x
jJ
得到.（雅可比行列式在横向上改变各自变量，纵向上改变各函数名称）
注：①求导前 应事先判断，
a
个变元，
b
个方程可确定
b
个
(b a)
元函数；
②有些比较简单的问题不必使用此通法，可以考虑利用全微分形式不变性.
③经验结论：由
u

(x,y,z),v

(x,y, z),F(u,v)0
确定的隐函数
zz(x,y)
，

2< br>z
A
求
2
时，有
x
(F
2
')< br>2

2
u
2
v

u


F
1
'
2
F
2
'
2
0
；
xx

x

2

2
z
Auu
2
u
2
v
求时，有
F
1
'F
2
'0
；
2
xy
xyxy
(F
2
')
xy
A

2
z
求
2
时，有
(F
2
')
2
y
2

u


2
u
2
v


y


F
1
'
y
2
F
2
'
y
2
0
，

2
2
其中
A
(F
2
')F
11
2F
1
'F
2
'F
12
(F
1
')F
22
.（F(x,y)0
的曲率：
A
2
1

(F')(F< br>2
')
3
2
2

）

三、多元微分学的几何学应用（以下的讨论主要为了计算，条件未必严格）

xx

t


1.曲线的切线和法平面：设曲线
l:

yy

t

在
P
0
处
x'

t
0

，y'

t
0
，z'

t
0

都存在且不为0，

zz

t


则曲线
l
在
P
0
处的：
（1）切线方程为
xx
0
yy
0
z z
0
：

x'

t
0

y '

t
0

z'

t
0

（2）法平面方程为
x'

t
0

(xx
0< br>)y'

t
0

(yy
0
)z'
t
0

(zz
0
)0
.
注： 若曲线以



F(x,y,z)0

F
y'F
z
'
F
z
'F
x
'
F
x
'F
y
'


形式给出，切向量为

，， ，

.
G'G'G'G'
G
x
'
x
< br>z
G
z
'
y


G(x,y,z)0
y

2.曲面的切平面与法线：设曲面

由方程
F( x,y,z)0
确定，
F(x,y,z)
在点
P
0
(x< br>0
,y
0
,z
0
)
处可微，且
F
x
'，F
y
'，F
z
'
不为0，则曲面

在
P
0
处的：
（1）切平面方程为
F
x
'(xx
0
)F
y
'(yy
0
)F
z
'(z z
0
)0
（导数已经代入
P
0
坐标）；
（2 ）法线方程为
xx
0
yy
0
zz
0
. 
F
x
'F
y
'F
z
'
注：二元函 数在某点处的全微分等于其在这点处切平面竖坐标的增量.
3.方向导数：
（1）定义式：
u
l

P
0
lim
PP
0
f(P)f(P
0
)

PP
0
（2）若函数
f (x,y,z)
在点
P
0
处可微，那么
f(x,y,z)
在 点
P
0
处沿所有方向的方向导数存
在，且
f
l

P
0

fff
cos

cos

cos

，其中
cos

,cos

,cos

为
l
的方向余弦.
xyz
注：沿所有 方向的方向导数存在不能推出可微，偏导数存在不能推出各方向导数存在.
4.梯度：
（1）计算：
grad

u=
u
u
u
i+j+k
；
x
y
x
（2）
grad

u
是u(P)
在点
P
的变化量最大的方向，其模等于这个最大变化率；
（3）梯度的运算法则和一元函数的求导法则相似；
（4）方向导数等于梯度在该方向上的投影.

四、极值与最值问题
1.二元函数的非条件极值问题
（1）极值的必要条件：对偏导数存在的函数
f(x ,y)
，在
M(x
0
,y
0
)
处有极值的必要条件
是
f(x
0
,y
0
)f(x
0
,y< br>0
)
0
.（可推广到三元及以上）
xy
（2）极值 的充分条件：设
M(x
0
,y
0
)
为函数
f(x, y)
的驻点，且
f(x,y)
在
(x
0
,y
0)
处连续，
记
Af
xx
(x
0
,y
0
),Bf
xy
(x
0
,y
0
),CAf< br>yy
(x
0
,y
0
),BAC
，则：
①
0
时，
(x
0
,y
0
)
是极值点 ，当
A0
时，
f(x
0
,y
0
)
为极小 值；当
A0
时，
f(x
0
,y
0
)
为极 大值；
②
0
时，
(x
0
,y
0
)< br>不是极值点；
③
0
时，此法失效，另谋它法.
注：本方法不可 推广到三元及以上，三元及以上的充分条件中，要求黑塞矩阵正定或负定.
（本知识不做要求，在出题人 手下不会出现三元以上的极值判断问题）
2.条件极值与拉格朗日乘数法
（1）一般情况下 的拉格朗日乘数法：求函数
uf(x
1
,x
2
,,x
n
)
在条件

i
(x
1
,x
2
, ,x
n
)
下
的条件极值
(i1,2,m,mn)
，可 以从函数
2
F(x
1
,,x
n
,

1
,,

n
)f(x
1
,x
2
,,x
n
)


i

i
(x
1
,x
2
,,x
n
)

i1
m
的驻点中得到可能的条件极值的极值点.
步骤：
①构造辅助函数；（注意：变量均为独立变量）
②求各变量的一阶导并令其为零，联立得到方程组；
③解方程组得到所有驻点.（解无定法，尽量利用观察法）
（2）对“条件极值”的解读：
事实上，只利用拉格朗日乘数法求条件极值无异于掩耳盗铃.由于对于多元函数，构造
拉格朗日 函数后会出现至少三个变量，在数学上欲判断求得的驻点是否是极值点需要利用三
阶以上的黑塞矩阵.而 出题人为了回避这一知识点，通常以实际问题的形式来考察拉格朗日
乘数法.由于在实际问题的背景下必 存在最值，可以认为“所得即所求”，但是实际上求出的
并不是真正的条件极值，而是在条件下的最值. 所以，出题人通常在题目中会以“最值”来
代替极值进行考察.

五、习题

2
u
2
u

y

1.已知方程
2

2
0
有
u< br>

形式的解，求出此解.
xy

x
2.已知二元函数
zf(x,y)
可微，两个偏增量：

x
z (23x
2
y
2
)x3xy
2
x
2y
2
x
3
,


y
z2x3
yyx
3
y
2
.
且
f(0,0)1 ,
求
f(x,y).


2
z
3.设
F( xyz,xyz)0
确定
zz(x,y)
，其中
F
有二 阶连续偏导数，求
.

xy
222
4.已知函数
zf (x,y)
可微，且有
zz
z
0，
y0.
现在 将
x
作为满足方程
(xz)
x
xy
y,z
的函数，求
x
.

y
5.设
yf(x,t),
t
是由方程
F(x,y,t)0
确定的
x
,
y
的函数，其中
F
和
f
均有一阶连续的
偏导数，求
dy
.

dx
6.设
x

(u,v),y
(u,v),zf(u,v),
z
是
x
,
y
的二元函 数，求
z
z
.
及
x
y
7.求函数
we
的方向导数.
8.求gra d[
c
·
r+
2y
ln(xz
2
)
在 点
(e
2
,1,e)
处沿曲面
xe
uv
,y e
uv
,ze
uv
的法线向量
1
ln(c
·< br>r)],
其中
c
为常向量，
r
为向径，且
c
·
r >0.

2
'
9.设二元函数
f
在
P
0
(x
0
,y
0
)
点某邻域内偏导数
f
x
'
和
f
y
都有界，证明:
f
在此邻域内 连续.
10.设
f
x
'
(x
0
,y
0< br>)
存在，
f
y
(x,y)
在
(x
0
,y
0
)
处连续，证明：
f(x,y)
在
(x
0< br>,y
0
)
处可微.
'

x
3
y
3
，(x,y)(0,0)

11.证明：函数
f(x,y)< br>
x
2
y
2
在原点处偏导数存在但不可微.
< br>0，(x,y)(0,0)

12.设
zz(x,y)
是由方程< br>2
x

y

其中

有连续的二阶导函数，证 明：



确定的二元函数，
zz


2
z
2
z


2
z




.

xy
x
2
y
2


13.证明：曲面
e
2xz
f(
y2z)
是柱面，其中
f
可微.

第二部分 多变量积分学
一、各类积分的计算公式及意义
（一）二重积分
1.计算公式
①直角坐标系下的二重积分：
②极坐标系下的二重积分：

f

x,y

dxdy

dx

D
a
b
by
2
(x)
y
1
(x)
f

x,y

dy

dy

c
dx
2(y)
x
1
(y)
f

x,y

dx


D
f

x,y

dxdy

d




r
2
(

)
r
1
(

)
f

rcos

,rsin


rdr

rdr

a< br>
2
(r)

1
(r)
f

rco s

,rsin


d

.

(x,y)
dudv

(u,v)
③二重积分的变量替换：
xy

f

x,y

dxdy

uv

f

x(u,v),y(u,v)

2 .几何意义：
f

x,y

0
时，表示以
z0
为底，以
zf

x,y

为顶的曲顶柱体的体积.

3.物理意义：各点处面密度为
f

x,y

的平面片
D
的质量.
（二）三重积分
1.计算公式
①直角坐标系下的三重积分：
（1）柱型域：
投影穿线法（先一后二法）：
（2）片型域：
定限截面法（先二后一法）：

f

x,y,z

dV


d xdy


V
xy
z
2

x,y

z
1
x,y

f

x,y,z

dz


V
f

x,y,z

dV 

dz

f

x,y,z

dxdy

z
1
D
z
z
2
②柱面坐标系下的三重积分： 
f

x,y,z

dV

f
rcos

,rsin

,z

rdrd< br>
dz


d


VV

r
2
r
1
rdr

z
2

r,


z
1

r,


f

rcos

,rsin

,z

dz
③ 球面坐标系下的三重积分：

V
f

x,y,z
< br>dV

f

rsin

cos
,rsin

sin

,rcos


r2
sin

d

d

dr
V


d




2




1



sin

d
< br>
r
2


,


r
1< br>

,


f

rsin

cos

,rsin

sin

,rcos
< br>
r
2
dr

④三重积分的变量替换：
V
xyz
f

x,y,z

dV
f

x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)

Vuvw
(x,y,z)
dudvdw

(u,v,w)
2. 物理意义：各点处体密度为
f

x,y,z

的几何形体

的质量.

（三）第一型曲线积分：
1.计算公式
①平面曲线的情形：
b

xx

t

,
（1）
C:

atb
则

f
x,y

ds

f

x

t

,y

t

x

2

t< br>
y

2

t

dt.

Ca

yy

t

,
（2）
C:y g

x

,axb
则
（3）
C:rr



,





则
②空间曲线的情形：

C
f

x,y

ds

f

x,g

x

1g'
2

x

dx.

a
b

f
x,y

ds


f

r



cos

,r



s in


C

r
2



r

2



d

.

xx

t

,


C:

yy

t

,atb
:

f
x,y,z

ds

f

x
< br>t

,y

t

,z

t

x

2

t

y

2
t

z'
2

t

dt.

C


zz

t

,
< br>2.几何意义：以
C
为准线，母线平行于
z
轴的柱面介于
z 0
与
zf

x,y

间的面积.
3.物理意义 ：各点处线密度为
f

x,y

（或
f

x,y,z

）的曲线
C
的质量.
（四）第一型曲面积分：
1.计算公式：

f

x,y,z

dS< br>

f

x,y,z

x,y

S
xy

z


z

1




y


dxdy.

x


2
2
2.物理意义：各点处面密度为
f
x,y,z

的曲面
S
的质量.
（五）第二型曲线积分：
1.计算公式：
①平面曲线的情形：
C:


xx

t

,
atb
yy

t

,
b
a

P(x,y) dxQ(x,y)dy

C
P(x(t),y(t))dx(t)Q(x(t) ,y(t))dy(t)


xx

t

,
②空间曲线的情形：
C:

yy

t
< br>,atb


zz

t

,



C
b
P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x ,y,z)dz
P(x(t),y(t),z(t))dx(t)Q(x(t),y(t),z(t ))dy(t)z(x(t),y(t),z(t))dz(t)

a
2.物理意义：力场
F=P(x,y,z)i+ Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k
沿有向曲线
C
所做的功.

（六）第二型曲面积分：
1.计算公式：

P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy
S

z



z








P(x,y,z(x,y))



Q(x,y,z(x,y))R(x,y,z(x,y))

dxdy .

x


y


xy
< br>

2. 物理意义：流速场
v=P(x,y,z)i+ Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k
单位时间通过有向曲面S流向指定
一侧的净通量.
二、各种积分间的联系
1. 第一型曲线积分与第二型曲线积分：

C< br>PdxQdyRdz


Pcos

Qcos

Rcos


ds.

C
2. 第一型曲面积分与第二型曲面积分：

PdydzQdzdxRdxdy
 

Pcos

Qcos

Rcos


dS.
SS
3. 第二型曲线积分与二重积分（Green公式）：


QP


PdxQdy

C
 

x

y


dxdy.


D

4. 第二型曲面积分与三重积分（Gauss公式）：
< br>P
Q
R


PdydzQdzdxRdxdy< br>

x

y

z


dV.


SV

5. 第二型曲线积分与第二型曲面积分（Stokes公式）：

RQ

QP


PR


PdxQdyRdz dydzdzdx



C


 yz

dxdy.

zxxy


S

三、各种积分的通用性质
1.黎曼积分的性质
1°


f

P



g

P


d





f

P

d
< br>
g

P

d.


1
2°


f

P

d

f

P

d

f

P

d
，其中


1

2< br>
2

，且

1
与

2
无公共内点.
3°若
f

P

g

P

，
P
，则


f

P< br>
d

g

P

d.


若
f

P

g

P< br>
,f

P

g

P

，且
f

P

,g

P

连续，
P
，则

f

P

d

g

P

d.


4°
< br>
f

P

d

f

P

d.


5° 若
f

P

在积分区域

上的最大值为M，最小值为m，则
m


f

P

dM.

6° 若
f

P

在有界闭区域

上连续，则至少有一点
P
，使

2


f

P
dfP

.

3

7° 若
R
关于坐标轴对称，当
f

P

关于垂直该轴的坐标 是奇函数则为0；若
R
关
于坐标平面对称，当
f

P< br>
关于垂直该平面坐标轴的坐标是奇函数时为0.
8° 将坐标轴重新命名，如果积分 区域不变，则被积函数中的
x,y,z
也同样作变化后，积分值
保持不变.
2.第二型积分的性质
1° 设

是与

方向相反的几何 体，则




A(P)d

A(P)d .





2°


A

P



B

P

d


A

P

d


B

P

d.


< br>


3°若

1

2
， 则
A(P)d




1

A(P )d

A(P)d.


2

4°若
e
p
A

P

,
P,
则< br>
A(P)d0.




5°设
P ,
e
p
=

cos

P
，cos
P
，cos

P

，
A

P

=

P(P),Q(P),R(P)

，则



A(P)d


P(P)cos


P
Q(P)cos

P
R(P)cos
P

d

6° 将坐标轴重新命名，如果曲线或曲面的方程 不变，则被积函数中的
x,y,z
也同样作变化后，
积分值保持不变.
四、各种积分的应用
1.形心坐标公式：
x



M

xd

,
y




M

yd

,z




M

zd

.

质心坐标公式：x




M

xd




M

d
,
y



M

yd




M

d
,z




M
zd




M

d
.

2.转动惯量：
I

2

M

d .


Mr

3.旋度：
rot
F(M)=




RQ


PR


QP




i+

z

x

j+


x

y


k
.
yz




4.散度 ：div
F(M)=




PQR



.

xyz

M

五、习题

1.计算< br>2.计算
3.计算
4.计算
5.计算

xa(tsint )
2
其中
D
由横轴和摆线的一拱
(0t2

, a0)
围成.
ydxdy,



ya(1co st)
D

D
1sin
2
(xy)dxdy,
其中
D
:
0x

,0y

.

a
2
x
2
y
2
dxdy,
其中
D
:
x
2
y
2
ay,yx,a0.

x
2
y
2
dxdy,
其中
D
:
0xa,0ya.

3

D

D
y

1xf(z)

dV,
其中
V< br>是由不等式组
1x1,x
V
y1,0zx
2
 y
2
所限
定的区域，
f(z)
为任一连续函数.
x
2
y
2
222222
6.计算

其中
V< br>是由不等式组
xyz1,xy(z1)1
所确
dV,
2
z
V
定的空间区域.
7.计算
8.计算

V
V
x
2
y
2
z
2
1dV,
其中
V
是由锥面
zx
2
y
2
和平面
z1
围成的立体.
0，0)
处，底为平面
xyz3
上以
(1，1，1)


(x2y3z)dV,
其中
V
是顶点在
(0，< br>为圆心，1为半径的圆的圆锥体.
8.计算
xds,
其中
l
为双曲线
xy1
上点
(,2)
到
(1,1)
的弧段. < br>l

1
2

x
2
y
2
 z
2
a
2

9.计算

(2yz2zx2x y)ds,
其中
L
是空间圆周

.
3
L

xyza
2


z
x
2
y
2
ds，
z
2
1
的上半部分，10.计算

其中
S
是椭球面点
P(x,y,z)S,

22
(x,y,z)
D
为
S
在点
P
处的切平面，

(x,y,z)
为原点
(0，0，0)
到平面

的距离.
2
11.计算
(x1esinx)dyecosxdx,
其中
l
是由由原点沿
yx
到点
(1,1)
的曲线.
l
222


xyz4x

z0

,12.计算

(yz)dx(zx)dy(xy)dz,
其中
:

22



xy2x

2yy
222222
从
z
轴正向看

取逆时针方向.
13.计算

(xy)dx(xy)dy

xtsint 

,
其中
l
为摆线从
t0
到
t2< br>
的弧段.

22

l
xy

y1cost

14.计算

(2x2x
S
3
e


)dydz(zy
2
6x
2
yz
2
x)dzdxz
2
ydxdy,
其中
S
是由抛物面
1
y,x1,y1
所围成的立体表面的外侧.
2
z 4x
2
y
2
，坐标面
xoz,yoz
及平面
z
15.计算

(x
S
3
y
2
)d ydz(y
3
z
2
)dzdx(z
3
x
2
)dxdy,
其中
S
是由锥面
yx
2
z
2
与半球面
yR
16.计算
R
2
x
2z
2
(R0)
构成的闭曲面的外侧.


x
z

x


22


其中是由
yxz1

f

dzdxzfdxdy,


y

y

y


 

x

x


f

dydz


y

y


和
y9 x
2
z
2
所围立体表面的外侧，

f(u)
是有连续导数的函数.
17.计算


zy 1
2
(8y1)xdydz2(1y)dzdx4yzdxdy,

1y3

绕其中
S
是由



S< br>
x0
y
轴旋转一周所得到的曲面，它的法向量与
y
轴正向 夹角恒大于
18.计算

.

2

S
2
y
x
2
z
2
dzdx,
其中
S
是曲面
yx
2
z
2
及
y1
，
y 2
所围立体表面外侧.

19.求闭曲面
（x
2
y
2
z
2
)
2
a
3
z
所围成的立体体 积.
20.求锥面
yzx
含在圆柱面
xya
内部分的面积.
222222
x
2
1
3x9

旋转形成的旋转曲面 的面积.
lnx(1x2)
绕直线
y
21.求由曲线
L< br>：
y
48
42
x
3
4
2x(0x1 )
绕直线
L
：
yx
旋转形成的旋转曲面的面积. 22.求平面曲 线段
l
：
y
3
3
23.设函数
f(x)
在区间
[0,1]
上连续，并设

1
0
f(x)dxA,
求


1
0
dx

f(x)f(y)dy .
x
1

2222


xyzR

z0

对三个坐标轴转动惯量之和. 24.求线密度为
x
的物质 曲线

22


xyRx
25.设
r=xi+ yj+zk, r=|r|.
（1）求
f(r)
，使div[
f(r)r
]
=0；
（2）求
f(r)
，使div[grad
f (r)
]
=0.
26.设函数
f(x)
在区间
[0,1]
上连续、正值且单调下降，证明：



xf(x)dx

00
1
0
1
xf
2
(x)dx
1
1
f
2
(x)dx
0
f(x)dx

.