祝福的成语-沈阳市人事局

高数定理证明
1 极限与连续
1.1 预备知识
1.1.1 确界存在定理：若非空数集
DR
有上（下）界，则D必存在上（下）确界。
1.2 数列极限
1.2.1 唯一性：若数列

x
n

收敛，则

x
n

的极限是唯一的。
1.2.2 有界性：若数列

x
n

收敛，则

x
n
必有界。
1.2.3 保号性：若
limx
n
A
，则
A0
，则
NZ

，使得当
nN
时，有
x
n

n
A
0
。
2
1.2.4 归 并性：数列

x
n

收敛于A的充分必要条件是

x
n

的任一子列也收敛于A。
1.2.5 设
limx
n
A,limy
n
B
，则：
n n
（1）
lim(x
n
y
n
)limx
n
limy
n
AB
；
nnn
（2）< br>lim(x
n
y
n
)limx
n
limy
n
AB
；
nnn
（3）
lim
limx
n
A
x
n
n



（这里Blimy
n
0
）。
n
n
ylimy< br>n
B
n
n
1.2.6 夹逼准则：如果数列

x
n

,

y
n

,

z
n

满足：
NZ

，使得当
nN
时 ，有
y
n
≤x
n
≤z
n
，且
limyn
limz
n
A
，则
limx
n
A。
nnn
1.2.7 单调有界原理：单调有界数列必有极限。
1.2.8 柯西收敛准则：数列

x
n

收敛的充分必要 条件是：对
ε0
，
N
0
Z

，只
要
m,nN
0
时，就有
x
m
x
n
ε
。
或者说：对
ε0
，
N
0
Z

，只要
nN
0
时，
x
np
x
nε
对所有的
pZ

成立。
函数极限的性质和运算法则
1.3.1 （极限唯一性）如果
limf(x)
存在，则极限唯一。
xx
0
1.3
1.3.2 （函数局部有界性）若极限
limf (x)
存在，则在点
x
0
的某个去心邻域
U(x
0
,δ)
xx
0
内，函数
f(x)
有界，即有正数
δ
和
M
使得：
f(x)≤M,xU(x
0
,δ)
。
1.3.3 （函数局部保号性）
（1）若极限
limf(x)A0(A0)
，则存在
x
0
的某去心邻域
U(x
0
,δ)
，当
xx
0

xU(x
0
,δ)
时有< br>f(x)0(f(x)0)
；
（2）若
f(x)≥0(f(x)≤0)< br>，且
limf(x)A
，则必有
A≥0(A≤0)
。
xx
0
1.3.4 设
limf(x)A,limg(x)B
，则有：
xx
0
x x
0
（1）
lim[f(x)g(x)]
存在且
lim[f(x )g(x)]limf(x)limg(x)AB
；
xx
0
x x
0
xx
0
xx
0
（2）
lim[f(x) g(x)]
存在且
lim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)AB
；
xx
0
xx
0
xx
0
xx
0
limf(x)
f(x)
xx
0
A
（3）若
l img(x)B0
则
lim
。
xx
0
g(x)
xx
0
limg(x)B
xx
0
（4）
lim [cf(x)]climf(x)
（c为常数）
xx
0
xx
0
（5）
lim[f(x)]

limf(x)


xx
0

xx
0

n
n（6）设
P(x),Q(x)
均为多项式，且
Q(x
0
)0< br>，则
lim
xx
0
P(x)
P(x
0
)< br>
。
Q(x)Q(x
0
)
1.3.5 设
lim< br>φ
(
t
)
x
0
，
limf(x)A，且在
t
0
的某个去心邻域内有
φ(t)x
0
，则< br>tt
0
xx
0
limf(φ(t))A
。
tt
0
1.4 函数极限存在条件
1.4.1 （归结定理）设
yf(x)
在
x
0
的某个去心邻域
U(x
0
)< br>内有定义，则极限
xx
0
limf(x)A
的充分必要条件是：对 于任何含于
U(x
0
)
且以
x
0
为极限的数列limf(x
n
)A
。

x
n

，都有
n
1.4.2 （夹逼准则） 如果函数
f(x)
，
g(x)
，
h(x)
满足下列条件：
（1）当
xU(x
0
)
时有
g(x)
≤
f(x)
≤
h(x)
；
（2）当
xx
0
时，有
g(x)A
，
h(x)A
。
两个重要极限：
1
sinx

（1）
lim1
；（2）
lim

1

e
。
x
x0
x

x

x
1.4.3 （ 柯西收敛准则）设函数在
U(x
0
,δ')
内有定义，
limf(x )
存在的充分必要条
xx
0
件是：对
ε0
，
δ(δ')0
，使得
x',x''U(x
0
,δ)
有，< br>|f(x')f(x'')|ε
。
1.5 无穷小与无穷大
1.5.1
limf(x)A
的充分必要条件是：
f(x)Aα(x)
，其中α(x)
在
xx
0
时是
xx
0

无穷小。
1.5.2 （1）有限个无穷小的和仍然是无穷小；
（2）有界函数与无穷小的积仍然是无穷小，从而常数与无穷小之积仍然是
无穷小；
（3）有限个无穷小的积仍然是无穷小；
1.5.3 若
β(x)
和
α(x)0
都是同一个极限过程的无穷小，则在这个极限过程中，有
a~bβαo( α)
。
1.6 函数的连续性与间断点
1.6.1 函数
f(x)
在点
x
0
处连续的充要条件是：
f(x)
在点
x
0
处既左连续又右连续。
1.6.2 （局部有界性）若
f(x)
在
x
0
处连续，则
f(x)
在
x
0
的某邻域
U(x
0
)
有界。
1.6.3 （函数局部保号性）若
f(x)
在
x
0
处连续，且
f(x)0(0)
，则对任何正数< br>r(0,f(x
0
))(r(f(x
0
),0)
存在某< br>U(x
0
)
有
f(x)r0(f(x)r0)
，对< br>xU(x
0
)
。
f(x)
g(x)
均在
x
0
连续，
f(x)g(x)
、1.6.4 若
f(x)
，则
f(x)g(x)
、（要求
g(x
0
)0
）
g(x)
都在
x
0
连续。
1.6.5 （反函数的连续性）如果
yf(x)
在
(a,b)
内严格单调连续，当
x(a,b)时，
yI
，则存在定义在区间
I
上的反函数
yf
 1
(x)
，且反函数也是严格单调
连续的。
1.7 闭区间上连续函数的性质
1.7.1 （最大值最小值定理）闭区间
[a,b]
上的 连续函数
yf(x)
在区间上取得最大
值和最小值。
1.7.2 （有界 性定理）若
f(x)
在
[a,b]
上连续，则
f(x)
在< br>[a,b]
上有界。
1.7.3 （零点定理）设函数
f(x)
在闭 区间
[a,b]
上连续，且
f(a)f(b)0
，则至少
存在一点
ξ(a,b)
，使得
f(ξ)0
。
1.7.4 （介值定理） 设
f(x)
在
[a,b]
上连续，且
f(a)f(b)
， 则对于介于
f(a)
和
f(b)
之间的任意一个数
A
，总存 在
ξ[a,b]
使
f(ξ)A
。
1.8
2
一致连续性
1.8.1 若函数
f(x)
在闭区间
[a,b]上连续，则
f(x)
在
[a,b]
一致连续。
导数与微分
2.1 导数的概念
2.2 函数的求导法则：
2.2.1 导数的四则运算
2.2.2 （反函数的求导法则）设
xφ(y)
单调、可导，且
φ'(y )0
，则反函数
yf(x)
存在且可导，有
1
dy1

，或
f'(x)
。
φ
'(
y
)
dx
dx
dy
2.2.3 （复合函数求导法则）
2.2.4 基本初等函数的求导公式：
(1)
(C)'0

(3)
(log
a
x)'
1

xlna
(2)
(x
n
)'nx
n1

(4)
(lnx)'
1

x

（a
x
)a
x
lna
(5)(6)
(e
x
)'e
x

(7)
(sinx)'cosx

(9)
(tanx)'sec
2
x

(11)
(secx)'secxtanx

(13)
(arcsinx)'
(15)
(arctanx)'
1
1 x
2
(8)
(cosx)'sinx

(10)
(cotx)'csc
2
x

(12)
(cscx)'cscxcotx

(14)
(arccosx)'
(16)
(arccotx)'
1
1x
2
1
1x
2


1

1x
2

'

ch x



e
x
e
x
(17)
(sh x )'

2


e
x
e
x
( 18)
(ch x)'

2


'

sh x


e
x
x)'

e
x
(19 )
(th

'

e
x
e
x


1

(ch x)
2

(20)
(arsh x)'

ln(xx
2
1)

'

1
1x
2

(21)
(arch x)' 

ln(xx
2
1)

'

1x
2
1

(22)
(arth x)'


11

2
ln
1x

'
1x


1x
2

2.2.5