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《高等数学》教案
第一讲 函数与极限

1.函数的定义 设有两个变量x，y。对任意的x∈D，存在一定规律f，使得y有唯一确
定的值与之对应，则y叫x的函数。记作y=f(x)，x∈D。其中x叫自变量，y叫因变量。
函数两要素：对应法则、定义域，而函数的值域一般称为派生要素。
例1：设f(x+1)=2x
2
+3x-1，求f(x).
解：设x+1= t得x=t-1，则f(t)=2(t-1)
2
+3(t-1)-1=2t
2
-t-2
∴f(x)=2x
2
– x – 2
定义域：使函数有意义的自变量的集合。因此，求函数定义域需注意以下几点：
①分母不等于0 ②偶次根式被开方数大于或等于0 ③对数的真数大于0
例2 求函数y=
x
2
—x
－
6
+arcsin
2x
－
1
的定义域.
7
解：要使函数有定义，即有：
x
2
x60
x3或x2
2x1




3x2或3x4

||1
3x4
7
于是，所求函数的定义域是：[-3，-2]

[3，4] .
例3 判断以下函数是否是同一函数，为什么？
（1）y=lnx
2
与y=2lnx (2)ω=
u
与y=
x

解 （1）中两函数的 定义域不同，因此不是相同的函数.
（2）中两函数的 对应法则和定义域均相同，因此是同一函数.
2. 初等函数
（1）基本初等函数
常数函数：y=c(c为常数) 幂函数： y=
x
（

为常数）
指数函数：y=
a
(a>0，a

1，a为常数)
对数函 数：y=
log
a
x
(a>0，a

1，a为常数)
三角函数：y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx y=secx y=cscx
反三角函数：y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx
（2）复合函数 设
yf(u),其
u

(x)
中，且

(x)
的值全部或部 分落在
f(u)
的定
义域内，则称
yf[

(x)]为
x
的复合函数，而
u
称为中间变量.
x


sinx

0，例4：若y=
u
，u = sinx，则其复合而 成的函数为y=
sinx
，要求u必须

0，
x

[2k

，

+2k

]
例5：分析下列复合函数的结构
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（1）y=
cot
x
sin
（2）y=
e
2
x
2
1

解：（1）y=
u
，u=cosv，v=
x

2
u
（2）y=
e
，u=sinv，v=
t
，t=x
2
+1
例6：设f(x)=
x
g(x)=
2
x
求f[g(x)] g[f(x)]
解：f[g(x)]=f(
2
x
)= (
2
x
)
2
=4
x
g[f(x)]=g(
x
)=2
3. 极限

（1）定义 函数y=f(x)，当自变量x无限接近于某个目标时（一个数x
0
，或+

或—

），
因变量y无限接近于一个确定的常数A，则称函数f(x)以A为极限。
定理1 函数
f(x)
当
xx
0
时的极限存在的充分 必要条件是，
f(x)
当
xx
0
时的
左右极限都存在并且 相等.即
limf(x)A
lim

f(x)lim
< br>f(x)A

xx
0
xx
0
xx
0
2
x
2
2

例7：判断下列函数在指定点的是否存在极限

sinx,x0


x1,x2
y

1
y

x,x0< br>
x,x2

3

⑴ （当
x2
时） ⑵ （当
x0
时）
解：⑴ ∵
x2

limy2,lim

y3
x2
，
x2

limylim

y
x2

∴ 函数在指定点的极限不存在。
1
lim

ysin00, lim

y00
limylimy

x0
3x0

⑵ ∵
x0
，
x0

∴ 函数在指定点的极限
limy
=0
x0
4.无穷小量与无穷大量
极限为0的量称为无穷小量，简称无穷小；若
limf(x)
（或
limf(x )
）,则
xx
0
x
称
f(x)
为当xx
0
（或
x0
）时的无穷大量,简称无穷大。
例如：
limsinx0
，所以，当x→0时，sin x 是无穷小量。
同样，当x→0时
x
(

>0)，1-cosx，arcsinx 等都是无穷小量。
当x→+∞时，
lim
无穷小量的性质：
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
11
0
，所以{}是无穷小量.
n
nn

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（1）有限个无穷小量的代数和是无穷小量。
（2）无穷小量与有界量之积是无穷小量。
推论1：任一常数与无穷小量之积是无穷小量。
推论2：有限个无穷小量之积是无穷小量。（注：两个无穷小之商未必是无穷小）
5.极限的运算
设
x
在同一变化过程中
limf(x)
（ 此处省略了自变量
x
的变化趋势，下同）及
limg(x)
都存在，则有下列 运算法则：
法则1、
lim
[f(x)

g(x)]=
lim
f(x)


lim
g(x)
法则2、
lim
[f(x)
•
g(x)]=
lim
f(x)
•
lim
g(x)
法则3、
lim
f(x)
limf(x)
=（
lim
g(x)
0）
g(x)
limg(x)
(1)直接代入求值
例8 求
lim
(3x-4x+1)
x2
2
解：
lim
(3x-4x+1)=3
•
2-4
•
2+1=5
x2
22
2x
2
x4
例8 求
lim

x1
3x
2
2
2
lim (2xx4)
2xx4
x1
3
解：
lim
== -
x1
3x
2
2
5
lim(3x
2
2)
2
x1
x
2
7x12
例10 求
lim
2

x4
x5x4
x
2
 7x12
(x3)(x4)
x31
解：
lim
2
=
lim
=
lim
=
x4
x5x4
x4< br>(x1)(x4)
x4
x13
（2）

型

2x
2
x3
例11 求
lim

x
3x
2
x2
13

2
2xx3< br>x
x
=
2
解：
lim
=
lim
x 
3x
2
x2
x
12
3
3
2
x
x

小结：
x
时，型的极限，可用分子分母中x的 最高次幂除之

0
（3）

-

型，型，
0
2
2
例12 求下列函数极限
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1、
lim
（
x1
31
-） 2、
lim
3< br>x0
1x
1x
xcosx
1x1
3、
lim

3
x
x
1x
31
3 (1xx
2
)
解：1、
lim
（-）=
lim

3
2
x1x1
1x
1x
(1x)(1x x)
=
lim
x1
(2x)(1x)
2x
==1
lim
2
2
x1
(1x)(1xx)
1xx< br>2、
lim
x0
1x1
(1x1)(1x1)
=
lim

x0
x
x(1x1)
=
lim< br>x
x(1x1)
x
1x
3
x0
=
l im
x0
1

1x1
2
1
=
3、< br>lim
xcosx
1x
3
x
=
lim
x
•cosx
=0
（4）利用两个重要极限
sinx
=1
x0
x
0sin
特点：①它是“”型 ②
lim1
（三角形

代表同一变量）
0
0
1
例13 求
lim
x•sin

x
x
sin2xsin2x
解：
lim
=
lim
•2
=2
x0x0
x2x
sinx

1 注：
lim
x 
x
sinx1
=
lim
•sinx
=0
lim
xx
xx
1
例14 求
lim
x•sin

x
x
1
sin
1
x
=1 解：
li m
x•sin
=
lim
x
x
x
1
x
sin3x
例15 求
lim

x0
sin4x
sin3xsin3x3x4x3
••
解：
lim
=
lim
[]=
x0
sin4x
x0
3x4xsin4x4
1cosx
例16 求
lim

x0
x
2
1
lim
0
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2sin
2
解：原式=
li m
x0
xx
x
sinsin
2
)
2
•< br>1
]=
1
lim
[
2
]
2
=
1

2
=
lim
[
(
x0
xx
2
2
2
x0
x
2
22
2
0

lim
（1+
x
1
x
） = e
x
x
特点：（１）
lim
(1+无穷小)
无穷大案
，即1

型；
（２）“无穷小”与“无 穷大”的解析式互为倒数，
lim(1

1
x
1
< br>1

)e


推广：①
lim(1x)e
②
lim(1)
x00
e

例17
lim
（1+
x
1
3x
）
2x
3< br>3
1
2x
2
2
解：原式=
lim
[
(1)
]=
e

x
2x
例18
lim
（1+
x
1
3x2
）
2x
3
1111
解：原式=
lim
[（1+）
3x2
•
（1+）
2
]=
lim
（1+）
3x< br>•
lim
（1+）
2
=
e
2

xxx
2x2x2x2x
例19
lim
（1+
x
3
x
）
x
x
•3
1
3
解：原式=
lim
（1+）
3
=
e

x
x
3
（5）利用常用的几个等价无穷小代换：
x
2
当
x0
时，有
sinx
～ x；tanx～x；arcsinx～x；arctanx～x；
1
cosx～；
2
x
ln(1+x) ～x；
e
1
～x；
1x1
～
1
x
。
2
sin3x

x0
sin4x
sin3x3x3
解：
lim
=
lim
=
x0
sin4x
x0
4x4
1cosx
例21 求
lim

x0
x
2
例20 求
lim
x
2
1cosx
2
=
1
解：
lim
=
lim
x0x0
x
2
2
x< br>2
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