注意:
xy0
, 但可无限趋近于0
xyxyxy
lim
x0
xy
k
yxx
3342
x(xx)x(xx)x(xx)
lim
k

x0
x(xx)
kk42k
xxx0(x)
lim
k

x0
x
453k
取k = 3, 则极限为
1
.
讨论: k < 3或k > 3?
xyxyxy
lim
0
xy
故
x
不存在．
y0

3x2y
例3．
x
y
342< br>lim
x
x
lim
x
yx
3x2y
0

x
分子阶数低于分母则极限为0, 若
则极限不为0.
与
3x2y
同阶,
讨论: 令
3x2yx
可行否? (何为可行?)

1 满足原题条件 2 使原题简单化
x
y
1
(
2
lim
x3x)
x
3x2y
1


3x2y
不存在． 于是
x
y
lim
x
更简单的方式: 令
3x2y0

注1：(1) 讨论多元极限时, 先沿特殊路径猜测极限
(着重分析分子分母阶的比较).
(2) 若极限为0, 通常取绝对值, 便于缩放.
(3) 若猜测极限不存在, 通常取特殊路径:
① 使分母趋向于0
② 使分子、分母同阶.
注2: 极限式作为已知条件时公选结论:
(1)
f(x,y)
lim
x
0
g(x,y)
存在, 设
x
yy
0
x
且
x
yy
limg(x,y) 0
0
0
, 则必有
xx
0
yy
0
limf(x,y)0

进一步, 若
f(x,y)
连续, 则必有
f(x
0
,y
0
)0

x
(2) 若
x
yy
limf(x,y)A
0
0
, 则
f(x,y)A(0)

二、多元函数偏导数、全微分
（一）多元函数偏导数、微分定义的正确运用
1. 偏导数
f(x,y
0
)f(x
0
,y
0
)
f
x

( x
0
,y
0
)lim
xx
0
(1) 定义:
xx
0
(2) 公式:
f
x

(x
0
,y
0
)

f(x,y
0
)

xx

0

2. 全微分
(1) 定义:
uAxByo((x)(y))

(2) 已知可偏导证明可微:

x0

y0
22
lim
f(x

x,y

y)f(x,y)f
x

(x,y)
xf
y

(x,y)

y
(

x)(

y)
22
0

特别地, 若
f(x
0
x,y
0
y)f(x
0
,y
0
)o((x)(y))
,
22

f(x,y)f( x,y)0;du0
x00y00
则必有
(x
0
,y
0
)
(3) 偏导函数连续则可微
注: (1) 在求证某特定点可微的题型中常可推知:
f(x
0
,y0
)0,f
x

(x
0
,y
0
) f
y

(x
0
,y
0
)0

从而问题转化为证明


x0

y0
l im
f(x

x,y

y)
(

x) (

y)
22
0

(2) 进一步, 特定点通常可转化为(0,0)点, 从而问题
转化为证明
lim
x0
y0
f(x,y)
x
2
y
2
0

f (x,y)3x4y
lim2
22
0
xy
例1．设
x
，且f (x, y)在(0, 0)
y0
点连续, 则
2f
x

(0,0)f
y

(0,0)
______．
思路:
1F(x,y)f(x,y)3x4y

2F(0,0)0
?



3F(x,y)F(0,0)o(xy)
?

(0,0)f
x

(0,0)30,F
y

(0,0 )f
y

(0,0)40

4F
x


22

f(x,y)|xy|

(x,y)
例2. 设, 其中

(x, y)在点(0, 0)
的一个邻域内连续, 证明: f(x, y)在(0, 0)点可微的充
分必要条件是:

(0,0)0.

明显结论:

1º
f(x,y)
在点(0, 0)的一个邻域内连续且
f(0,0)0
.
2º
f(x,0)f(0, 0)|x|(x,0)
f
x

(0,0)limlim(0,0 )

x0x0
xx
|y|(x,0)
f
y

(0,0)lim(0,0)

y0
y
3º可微则偏导存在
证明：必要性: 若f可微则偏导存在 < br>|x|(x,0)|x|(x,0)
lim(0,0)lim(0,0)
=0

x0x0
xx
充分性:

(0,0) 0f
x

(0,0)0,f
y

(0,0)0.
f(x,y)f(0,0)f
x

(0,0)xf
y< br>
(0,0)y
x
2
y
2

|xy|< br>
(x,y)
x
2
y
2
.

讨论：
|xy|(x,y)
lim0.

x0
22

xy
y0


？
已知
lim(x,y)0.
x0
y0

|xy|
问题转化为
x
2
y
2
是否有界？ < br>|xy|
xy
22

|x|
xy
22

|y|
xy
22
2,

注：“可微”易守难攻—做条件好用, 成结论难证, 在
证明充要性时一般先将其作为条件(先证必要性).

（二）偏导数计算
1. 直接套用公式计算
考查对公式的熟练程度、正确使用符号的能力.
2. 中间变量与自变量交混的复合函数偏导数计算
需分清各级函数中因变量、中间变量、自变量及
个数, 并使用正确的表示式
3. 偏导等式(方程)转化为常微分方程
若已知关于偏导数的等式, 通常首先求出相关
偏导数，代入可得微分方程，再通过求解微分方程，
可求出函数表达式． < br>例1．已知
zx(x
2
y
xy
e
2
x
y)
z
，则
x
(1,0)
= ____．
特定点求偏导数值要先代后算
z

[z(x,0)]
x
x
(1,0)
=
x1
(x)

3
x13

例2．已知函数
f(u,v)
具有二阶连续偏导 数，
f(1,1)2
是
f(u,v)
的极值，
zf(xy,f (x,y))
．求
z
xy
2
(1,1)

类型: 直接计算类; 问题: 符号重叠; 解决方法: 引
入替代符号; 注意: 不可省略f后的变量符号

zf(s,t),sxy,tf(x,y)

z

x
f
s
(s,t)s
x
f
t
(s,t)t
x
f
s
(s,t)f
t
(s,t)f
x
(x,y)

z
< br>xy
[f
s
(s,t)f
t
(s,t)f
x< br>(x,y)]
y


(s,t)s

y
f
st

(s,t)t

y
[f
s

(s,t)]

y
f
ss

(s,t) f
st

(s,t)f
y

(x,y)
f
ss
[f
t

(s,t)f
x

(x,y)]

y
[f
t

(s,t)]
< br>y
f
x

(x,y)f
t

(s,t) [f
x

(x,y)]

y
注意: 由“
f(1,1)2
是
f(u,v)
的极值”可得
f
x

(1,1)f
y

(1,1)0
?
(1,1)f
ss

(2,2)f
t

(2,2 )f
xy

(1,1)
故:
z

xy
(1,1)f
11

(2,2)f
2

(2,2)f
12

(1,1)

即:
z

xy

例
22
zz(x,y)
xyz

(xyz)
所确定3．设是由方程
的函数，其中

具有二阶 导数，且


1
．
(1) 求
dz
；(2)
1

zz

u

u(x,y)

，求
x
． 记
xy

xy

类型: 直接计算, 考察微分形式不变性、隐藏性复合
函数求导
解：(1)方程两边同时求微分:
2 xdx2ydydz


(xyz)(dxdydz)

2y


2x


dzdxdy



1


1
(2)
zz2(xy)
2

u
xy


1< br>,


1
，
u
2

< br>
x(


1)
2


!!!
注意:


是一个交混型复合函数,
(xyz)
是中间
变量,
x,y
是自变量, z是
x,y
的函数.
2[


]

x< br>u

2

x(

1)
2


(xyz)

x

2

(< br>
1)

2


(1z

2


(12x)
x
)

23
．

(

1)(

1)

例4．设
u(x,y)
具有二阶连续偏导数，满足方程

2
u
2
u
0
22

xy
x
(x,2x)x
. 且
u(x,2x)x
，
u

2

(x,2x)
．
xx
求
u

分清各种求导(导数, 偏导数)符号的正确含义: < br>
u(x,2x)u(x,y),u(x,2x)u(x,y)
y2x

xxxxxx
(1)
y2x
(2)
[u(x,y(x) ]

x
u

x
(x,y)u

y(x,y)y

(x)

已知条件:
[u(x,2x)]< br>
x
1,[u

x
(x,2x)]

x< br>2x

1x

[u(x,2x)]
x
u
x
(x,2x)2u
y
(x,2x)1u
y
(x,2 x)
2

[u

x
(x,2x)]
x< br>u
xx
(x,2x)2u
xy
(x,2x)2x

u

xx
(x,2x)2x2u
xy
(x,2x)< br>
(x,2x)2u

yy

(x,2x)x[u
y
(x,2x)]

x
u

yx

(x,2x)x2u

yy

(x,2x)u

yx

u

xy
(x,2x)x2u
xx
(x,2x)
(*)
2
代入(*)式得:

3u

xx
(x,2x)4x

（三）讨论偏导函数与原函数的关系
1．已知偏导函数求原函数

常用结论：
z
zdxC(y)

（１）
x
z
z

dyC(x)

y
 z

z
dxC(y)
（２）
x

x
2

z


2
z
dyC(x)


xxy
2
（３）若
duP(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR (x,y,z)dz
，则
uu
1
(x,y,z)u
2
(x,y,z)u
3
(x,y,z)

其中
u
1
(x,y,z)

P(x,y,z)dx
，
u
2
(x,y ,z)
为

Q(x,y,z)dy
中剔
除与

P( x,y,z)dx
相同的项；
u
3
(x,y,z)
为
R(x,y,z)dz
中剔
除与

P(x,y,z)dx
、
Q(x,y,z)dy
相同的项．
2. 证明函数与某变量有关或无关
要证明函数与某变量无关, 需证明函数对该变量的
偏导为0; 要证明函数只与某变量有关, 需证明函数
对其他变量的偏导为0.
特别地，设
zz(x,y)
在区域
Ｄ
可微，则

< br>z
（１）若
x
0
，则
zf(y)

z
z
0
0
（２）若
x
且
y
， 则
zC

f(x)g(y)
?

2
z0或

2
z
0
z
（３）若
xy
，则
yx
例1．设
u(x,y),v(x,y)
在第一象限有二阶连续 偏导
uvuv
,
数，且
xyyx
．
uu
0
(1) 证明：
x
2
y
2
；
22
(2) 如果
uf(xy)
，其中
f
具有连续二阶导数，
22
f(x)
lim1
且
x1
x1
，求函数
f(t)的表达式．
解: (1) 由二阶偏导数连续可得混合偏导相等.

(2) 直接计算并代入(1)得到关于
f(t)
的等式(方程)
u

x< br>

u

xx

xf

(x
2
y
2
)
xy
22
22222

xf(xy)xf(xy)


223
22
xy
xy
222

f(xy)
x
2
y
2


注意: 要善于利用对称性:


u

yy

f

(x
2
y
2
)
x
2
y
2
y
2
f

(x
2y
2
)y
2
f

(x
2
y
2
)

3
22

22
xy
xy< br>

f


g

u
xx
u
yy
0f0
(简单微分方程

1
)
gt
t
C
1
lnf

lntCf

fC
1
lntC
2

t

f(1)0
f(x)
lim1

x1
x1

f(1)1

z
xy
zf(x,y)
例2．设满足：
xy
，且
2
f(x,0) x
，
f(0,y)y
，则
f(x,y)
__________．
zzy
xyxyg(x)
xyx2
x
xyx y
zf(x,y)

g(x)dxh(y)

0
22
22
22
2
注: 取不定积分或积分下标取任意值上式均成立,
但取0才可进一步求解.
f(x,0)x

g(x)dxh(0)x
0
2
x
2

f(0,y)yh(y)yh(0)0
代入可得:

x
0
g(x)dxx

2

例3． 设
f(x,y)
可微，且满足条件
f(0 ,y)
f
y
(0,y)
coty
，
f

f(x,y)
f(0,)1
f(x,y)
，，求．
x
2
f

?
讨论:
f

f
y
(0,y)
f(0,y)
coty

lnf(0,y )

y
coty


lnf(0,y)lncscyClnsinyC

f(0,y)C1
siny
f
x
(x,y)
f
f(x,y) 1

xf(x,y)
f
x
(x,y)


lnf(x,y)

x
1lnf(x,y)xC
?

f(x,y)
f(x,y)C(y)e
x

f(0 ,y)C
1
sinyC(y)f(x,y)C
1
e
xsiny

例4. 已知函数u=u(x, y, z)可微, 且
du(x2yz)dx(y2xz)dy(z2xy)dz
,
222
则u(x, y, z)=___________
注: 相同函数只取其一.

例5．试证：可微函数
zf(x,y)
是axby
的函数的
zz
ba
充分必要条件是
xy< br>．
分析: “
zf(x,y)
是
axby
的函数”的数学表达方
式?
1 公式法:
zf(x,y)

(axby)

2 描述法:
zf(x,y)
只与
axby
有关
必要性: 若
zf(x,y)

(axby)
则:
zz
a


(axby),b


( axby)

xy
充分性: 首先要将
zf(x,y)
变形 为与
axby
有关
(以
axby
为变量)的函数.

axbyby

zf(x,y)f

,y

a



taxby

令

sy
则

tbs
zg(t,s)f< br>
,s


a



 
tbsbtbstbs

g
s


f

,s


f
1

,s
< br>f
2

,s

0
a

a


s

a



a
由此可 得: z是t的一元函数, 即:
zg(t)g(axby)

f
x

f
y

f
z


例6.
uf(x,y,z)
可微, 且
xyz
, 证明u仅
为
rxyz
的函数.
法一: 将
rx
2
y
2
z
2
作为自变量的坐标为球坐标.
222
uf(x,y,z)
法二: 将变形为
rxyz
的函数
222
rxyzxryz
222
222222
uf(ryz,y,z)
y
u

y
f
1

f
2

f
x

f
y

0
222
x
ryz< br>z
u

f
1

f
3

 f
x

f
z

0
z

22 2
x
ryz
2
y
z

例7．
f (x,y)
满足
f(x,y)f(x,y)f(x,y)
f(x,y)，
xyxy
证明：
f(x,y)g(x)h(y)
．
讨论: (1) 如何证明
f(x,y)g(x)h(y)


(x,y)0

f
xy
(2) 如何将乘法变为加法?

F(x,y)lnf(x,y)
f
x

F
x

(x,y)
f(x,y)

f< br>x

f
y

ff
xy

(x ,y)F
xy
0
2
f(x,y)
F
x
G(x)F
f(x,y)exp

G(x)dxH(y)
0< br>

x
0
G(x)dxH(y)

x
< br>f
0
zf(x,y)
例8．设具有二阶连续偏导，且
y
，证
明：对任意常数C，
f(x,y)C
为一直线的充分必要
22
(f)f2ffff(f)0
． 条件是：
yxxxyxyyyx
关键问题如 何表示“
f(x,y)C
为一直线”
f(x,y)C
为一直线
f(x,y)axbyc

必要性:
f(x,y)axbyc
的所有二阶偏导为0.
充分性： 显然不可能由
(f
y
)f
xx
2f
x
f
y
f
xy
f
yy
(f
x
)0
解出二元 函数
f(x,y)axbyc
.
注意:
f(x,y)C
是隐函数,
22
确定一个一元函数.
关键问题: 一元函数何时表示直线?
ykxby

Cy

0

f
0
f(x,y)C
证明: (
y
)确定了隐函数
yy(x)
．
f
x
< br>y
f
x
f
y
y

(x)0
，
(x)
f

y
f
x
f
y
 y

(x)0
的两边再对x求导得：
2

f
xx
2f
xy
y(x)f
yy
[y(x)]f
y
y

(x)0

f
x
y

(x)
将
f
y
代入上式得：
f
x
(f
x
)
f
xx
2f
xy
f
yy
 f
y
y

(x)0
2

f
y
(f
y
)
2
即：
(f
y
)f
xx
2f
x
f
y
f
xy
f
yy
(fx
)(f
y
)y

(x)0
．
因为
(f
y
)f
xx
2f
x
f
y
f
xy
f
yy
(f
x
)0
，所以
y
(x)0
．
22
223

三、极值、最值
（一）极值、最值的判定、计算
１．极值的判定
判定极值有两类题型:
(1) 极值的充分条件, 偏重于偏导数的计算
(2) 极值的定义(=0, 或无法计算)
通常特定点的函数值为0, 结论大多为非极值.
需寻找过该点的特定直线(或曲线), 转化为一元函数,
说明其正负值均可取到.
2.最值的判定
(1) 若
f(x,y)
在闭区域Ｄ上连续，则
f(x,y)
在Ｄ上取得
最大、最小值.
(2) 若
（

f(x,y)
limf(x,y)
在全平面连续，且极限< br>
x
2
y
2
）存在，则
f(x,y)
在全平面取得最大、
最小值．
(3) 若有界闭区域外的值都大(小)于等于区域内某
点的值,则最小(大)值在区域内取得.

3．已知函数求最值
(1)有界闭区域上函数的最值
内部驻点+条件极值
(2)无界区域或开区域上函数的最值
先讨论内点—极值判定
再讨论边界点：
limf(x,y)

(x,y)C
limf(x,y)

4．条件极值
拉格朗日乘数法
F(x
1
,,x
n
;
1,,
m
)f(x
1
,,x
n
)
< br>
k

k
(x
1
,,x
n
)k1
m

求F的驻点. 注意解方程组的技巧性
5．证明多元函数不等式
证明“不等式
f(x,y,z)g[(x,y,z)]
”等价于证明“在
条件
(x,y,z)a
下,
f(x,y,z)g(a)
”.

例1.设
f(x,y)
具有二阶连续偏导数，
g(x,y)f(e,xy)
，
xy22
且
f(x,y)1xyo((x1)y)
，
证明：
g(x,y)
在点
(0,0)
处取得极值，判断此极值是
极大值还是极小值，并求出此极值 ．
明显结论:
1º
f(x,y)
可微?
2º
g(0,0)f(1,0)0
.
3º
f(x,y)f(1,0)(x1)yo((x1)y)

注意: 此写法源于对(x-x
0
), (y-y
0
)或者说对可微的敏
感性.
4º
f
x

(1,0)f
y

(1,0)1
(多元微分的定义及与偏 导间
22
22
的关系)
5º
g(x,y)
的偏导函数带有因子x,y?
g

f
1
2xf
2

,
x
(x,y)ye
g

f
1

xx
(x,y)ye
xyxy
g

y
(x,y)xef
1

2yf
2


xy


x

2f
2< br>
2x

f
2


x



(x,y)xef
1

y
2f
2

2y

f
2


y

g< br>
yy
xy




g

xx
(0,0)2f
y
(1,0)2A

(0,0 )2f
y

(1,0)2C

g

yy< br>
g

f
1

yef
1
xy
(x,y)e
xy

xy


y

2x

f
2


y

0< br>
g
xy
(0,0)ef
x

(1,0)1 B
例2．已知函数
f(x,y)
在点
(0,0)
的某个邻域内连续 ，
0
且
x
y0
lim
f(x,y)xy
(x y)
222
1
，问函数
f(x,y)
在点
(0,0)< br>处
是否取到极值？
抽象函数无法使用判定法则, 需用定义.
f (0, 0)=0, 问题转化为讨论
f(x,y)
的正负号.

f(x,y)A(x,y)
limf(x,y)A


lim(x,y)0

f(x,y)xy
1

( x,y)
222
(xy)
f(x,y)xy(xy)(xy)

(x,y)
222222

f的后两项比第一项高阶, 且第一项在一、三象限为
正，在二、四象限为负, 故f亦可正可负.

f(x ,y)xyf(x,x)x
limlim1
2224
yx
(xy )
x0
4x
x0
f(x,x)x
244
1

(x)f(x,x)x4x0(x)0
4
4x
f(x,y) xyf(x,x)x
2
limlim1
2224
yx
(x y)
x0
4x
x0
f(x,x)x
2

2 44
1

(x)f(x,x)x4x0(x)0
4
4x
2
2
例3. 求证:
xyz

xyz



33

nnn
n
,
x,y,z
是正数,
n
是自然数.
xyz
a
x,y,z
对于任意的,设,则不等式变形为
3
xyz
n
a

3
nnnn
xyz3a
uxyz3a
即:当时,.
nnn
若能说明
3a
为
x
小值,此题得证.
n< br>n
yz
nn
在条件
xyz3a
下的最
nn n
uxy(3axy)
用代入消元法, 得,
求偏导数, 得唯一驻点
xya
.
求出驻点的二阶偏导数，根据极值判定法，可知:
xya
是极小值点,极小值等于
3a
n

因为驻点唯一，所以极小值也是最小值，
故
uxy(3axy)3a

xyz

xyz



即
33

.
nnn
n
nnnn
例4．计算函数< br>zxye
xy
在第一象限（包括坐标原点
对
x,y
求偏 导，得唯一
和正坐标轴）的最大值．
先讨论内点：将
zxye
2
xy
驻点
xy1
，此时
ze
．
再讨论边界点：当
x0
或
y0
时，
z0
．
xy
22
limxye
xy
讨论极限：
< br>()
因为
x0,y0
，故当

时，必有
x y
,
且
xy(xy)
．
xye
zxy e
xy
2
xy
(xy)e
2(xy)
0 (xy)

2
xy1
ze
在取得最大值．
（二）极值、最值的综合应用
需要解决两个问题：目标函数和条件．通过对
实际问题 的解析，设取恰当的变量，建立目标函数；
通过确定变量与已知量间的等量关系，得到条件．

例．从

ABC
内部一点
Ｐ
向三边作三条垂线，求 使三
垂线的乘积最大的点
Ｐ
的位置．
此题的关键是确定
x,y,z
应满足的条件，对于确定的
三角形，其边长、周长、角、面积均为已知量．
解：设P 为

ABC
内一点，P到BC，AC，AB边
上的距离分别为
x,y ,z
．





Ｂ


Ａ

c
y
b
z
Ｐ

x
a
Ｃ

则目标函数为
uxyz

x,y,z
与谁(边长、周长、角、面积)的关系最简单?
1
S(axbycz)
S
设面积为，则
2
问题转化 为求
uxyz
在条件
axbycz2S
下
的条件极值
*