河南职业技术学院地址-报道范文

三、解答题
1．（2010甘肃兰州）（本题满分6分）小明家的房前有一块矩形的空 地，空地上有三棵树A、
B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．
（1） （本小题满分4分）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留
作图痕迹）．
（2）（本小题满分2分））若△ABC中AB=8米，AC=6米，∠BAC=
90
，试求 小明家圆形

花坛的面积．








【答案】(1)（本小题满分4分）
用尺规作出两边的垂直平分线
作出圆 ⊙O即为所求做的花园的位置.（图略）
（2）（本小题满分2分）
解：∵∠BAC=
90

,AB=8米,AC=6米, ∴BC=10米
∴ △ABC外接圆的半径为5米 ∴小明家圆形花坛的面积为2
5

平方米

2．（2010江苏南通）（本小题满分8分）
如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足P是OB的中点，
CD＝6 cm，求直径AB的长．
A
O
·
D
P
C
B
（第20题）

【答案】方法一：连结OC，BC，则OC=OB
∵PC垂直平分OB，∴OC=BC.∴OC=OB=BC.∴△BOC为等边三角形.
∴∠BOC=60° 由垂径定理，CP=
1
2
CD=3cm
在Rt△BOC中，
CP
OP
=tan∠COP=
3

∴OP=
3
cm.
∴AB=2OB=4OP=4
3
cm.
方法二：
.

解：连OC，设OP为
x，则OC为2
x
，直径AB为4
x
，
在Rt△COP中，OC
2
OP
2
PC
2

22
即< br>
2x

x3
，解得
x
2
3

所以直径AB为
43
cm.
3．（2010山东济宁）如图，
AD
为
ABC
外接圆的直径，
ADBC
，垂足为点
F
，
ABC
的平分线交
AD
于点
E
，连接
BD< br>，
CD
.
(1) 求证：
BDCD
；
(2) 请判断
B
，
E
，
C
三点是否在以
D
为圆心 ，以
DB
为半径的圆上？并说明理由.
A

E

B

F

C

D

(第20题)

【答案】
（1）证明：∵
AD
为直径，
ADBC
，
»
CD
»
.∴
BDCD
. ·∴
BD
················································· ······ 3分
（2）答：
B
，
E
，
C
三点 在以
D
为圆心，以
DB
为半径的圆上. ························ 4分
»
CD
»
，∴
BADCBD
. 理由：由（1）知 ：
BD
∵
DBECBDCBE
，
DEBBAD ABE
，
CBEABE
，
∴
DBEDEB
.∴
DBDE
. ··········· ··············································· 6分
由（1）知：
BDCD
.∴
DBDEDC
.
∴B
，
E
，
C
三点在以
D
为圆心，以
D B
为半径的圆上. ··························· 7分
4 ．（2010浙江嘉兴）如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形
沿PQ排 成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个
△A
1
B
1
C< br>1
的顶点
A
1
与点P
重合，第二个
△A
2< br>B
2
C
2
的顶点
A
2
是
B
1
C
1
与PQ的交点，…，最后一个
△A
n
B
n< br>C
n
的顶

点
B
n
、
C
n
在圆上．







B
1
B
2
P(A
1
)
A
2
P(A
1
)
P(A
1
)
C
1
C
2

A
n
B
n
Q
C
n
（第23题） B
1
B
1
C
1
A
2
C
1Q
（第23题 图1）
B
2
Q
C
2
（第23题 图2）
（1）如图1，当
n1
时，求正三角形的边长
a
1
；
（2）如图2，当
n2
时，求正三角形的边长
a
2
；
（3）如题图，求正三角形的边长
a
n
（用含n的代数式表示）．
【答案】
（1）设
PQ
与
B
1
C
1交于点D，连结
OB
1
，
P(A
1
)
OB
1
D
Q
（第23题 图1）
C
1
则
ODA
1
DOA
1

3
a
1
1< br>，
2
2
在
Rt△OB
1
D
中，
O B
1
B
1
D
2
OD
2
，
1 3
即
1
2
(a
1
)
2
(a
1
1)
2
，
22
解得
a
1
3
． …4分
（2）设PQ
与
B
2
C
2
交于点E，连结
OB
2
，
则
OE2A
1
A
2
OA
13a
2
1
，
在
Rt△OB
2
E
中
OB
2
B
2
E
2
OE
2
，
2
P(A
1
)
B
1
A
2
O
C
1
B
2
E
Q
C
2
（第23题 图2）

1
即
1
2
(a
2
)
2< br>(3a
2
1)
2
，
2
解得
a
2

83
． …4分
1 3
（3）设
PQ
与
B
n
C
n
交于点F，连 结
OB
n
，
则
OF
3
na
n
1
，
2
P (A
1
)
B
1
B
2
A
2
C
1
C
O
2
2
在
Rt△OB
n
F
中
OB
n
B
n
F
2
OF
2
，
13
即
1(a
n
)
2
(na
n
1)
2
，
22
2

A
n
解得
a
n

43n
3n1
2
． …4分
B
n
F
Q
C
n
（第23题）
5．（2010 嵊州市）（10分）
（1）请在图①的正方形ABCD内，画出使∠APB＝90°的一个点P，并说明理由。
（ 2）请在图②的正方形ABCD内（含边），画出使∠APB＝60°的所有的点P，并说明理
由。 < br>（3）如图③，现在一块矩形钢板ABCD，AB＝4，BC＝3，工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB和△CP
'
D钢板，且∠APB＝∠CP
'
D＝60 °，请你在图③中画出符合要
求的点P和P
'
。

图① 图② 图③
【答案】(1)如图①，点P为所求
（2）如图②，圆上实线部分弧EF为所求②③
（3）如图③，点
p
、
p
为所求

'

6．（2010浙江金华）如图，AB是⊙O的直径，C是
于点F．
（1）求证：CF﹦BF；
的中点，CE⊥AB于 E，BD交CE
C
D
F
2
O
E
1
（2）若CD ﹦6， AC ﹦8，则⊙O的半径为 ▲ ，
A
CE的长是 ▲ ．



【答案】解：(1) 证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB﹦90°
又∵CE⊥AB， ∴∠CEB﹦90°
∴∠2﹦90°－∠A﹦∠1
又∵C是弧BD的中点，∴∠1﹦∠A


∴∠1﹦∠2,
∴ CF﹦BF
﹒

C
D
2
F
O
E
1

B

A
B


24

5
(2) ⊙O的半径为5 ， CE的长是
7．（2010 四川南充）如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC， OE＝
1
BC．
2
（1）求∠BAC的度数．
（2）将△ACD 沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于
点H．求证：四边形 AFHG是正方形．
（3）若BD＝6，CD＝4，求AD的长．
A A
G
B
O
F
E
D
H
C

G
B
O
F
E
D
H
C

【答案】（1）解：连结OB和OC．
A
G
B
O
F
E
D
H
C

∵ OE⊥BC，∴ BE＝CE．
∵ OE＝
1
BC，∴ ∠BOC＝90°，∴ ∠BAC＝45°．
2
（2）证明：∵ AD⊥BC，∴ ∠ADB＝∠ADC＝90°．
由折叠可知，AG＝AF＝AD，∠AGH＝∠AFH＝90°，
∠BAG＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD，
∴ ∠BAG＋∠CAF＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝45°．
∴ ∠GAF＝∠BAG＋∠CAF＋∠BAC＝90°．
∴ 四边形AFHG是正方形．
（3）解：由（2）得，∠BHC＝90°，GH＝HF＝AD，GB＝BD＝6，CF＝CD＝4．
设AD的长为x，则 BH＝GH－GB＝x－6，CH＝HF－CF＝x－4．
在Rt△BCH中，BH
2
＋CH
2
＝BC
2
，∴ （x－6）
2
＋（x－4）
2
＝10
2
．
解得，x
1
=12，x
2
＝－2（不合题意，舍去）．
∴ AD＝12．
8．（2010福建福州）如图， AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝
∠C．
（1）求证：CB∥PD；
3
（2）若BC＝3，sinP＝，求⊙O的直径．
5

(第19题)
»
BD
»
， ∴ ∠C＝∠P． 【答案】解：（1）证明：∵
BD
又∵ ∠1＝∠C， ∴ ∠1＝∠P．

∴ CB∥PD．
（2）连接AC．
∵ AB为0D的直径， ∴ ∠ACB=90°．
»
BD
»
又∵ CD⊥AB， ∴
BC
∴ ∠A＝∠P， ∴ sinA＝sinP．
BC
在Rt△ABC中， sinA＝，
AB
3BC3
∵ sinP＝， ∴ ＝．
5AB5
又∵ BC＝3， ∴ AB＝5．
即⊙O的直径为5．
9．（2010邵阳）阅读下列材料，然后解答问题。
经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫作这个正四边形的外接圆。圆心是正四边形的
对称中心 ，这个正四边形叫作这个圆的内接正四边形。
如图（十三），已知正四边形ABCD的外接圆⊙O，⊙ O的面积为S
1
，
正四边形ABCD
的面积为S
2
，以圆心 O为顶点作∠MON，使∠MON=90°，将∠MON绕点O旋转，
OM
、
ON分别 与⊙O相交于点E
、
F，分别与正四边形ABCD的边相交于点G
、
H。设< br>»
及正四边形ABCD的边围成的图形（图中阴影部分）的面积为S OE
、
O F、
EF
（1）当OM经过点A时（如图①），则S
、
S
1
、
S
2
之间的关系为：S＝ （用
含S
1
、
S
2
的代数式表示）；
（2）当O M
⊥
AB时（如图②），点G为垂足，则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理
由。
（3）当
∠
MON旋转到任意位置时（如图③，）则（1）中的结论仍然成立吗？请说 明理
由．

图（十三）
【答案】解：（1）
S
1
S
2

4

（2）成立。理由：连OB，可证图中的两个阴影部分的面积之和等于图①的阴影部分的 面
积
（3）成立。过点
O
分别作
AB、B
C的垂线交AB、BC
于点
P、Q
，交圆于点
X、Y
，可证直角三
角形
OPG
全等于直角三角形
OQH
，可说明两阴影部分面积之和等于图①的 阴影部分面积．
10．（2010年上海）机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图5 所示，“海宝”
从圆心O出发，先沿北偏西67.4°方向行走13米至点A处，再沿正南方向行走14 米至
点B处，最后沿正东方向行走至点C处，点B、C都在圆O上.（1）求弦BC的长；（2）
求圆O的半径长.
（本题参考数据：sin 67.4° =
N
A
北
12512
，cos 67.4° = ，tan 67.4° = ）
13135
67.4
O
B
南
S
C
图5

12
AH
=,
13
AO
【答案】(1)过A作AH垂直NS于点H，∴∠AHO=90°, sin 67.4° =
∵OA=13米,∴AH=12米,∵AB∥OS,记BC与OS交于点D，
∴AH=BD=12米,∵OS⊥BC于点D，∴BD=CD=12米,∴BC=24米.
（2）由（1）可得OH=5米，∵AB=14米，∴HD=9米，联接OB，
∵∠ODB= 90°,∴OB=
9
2
12
2
15

11．（2010 广东珠海）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6,AC＝4,D是AB边上一点， P是优弧
BAC的中点，连结PA、PB、PC、PD.
(1)当BD的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；
（2）若cos∠PCB=
5
，求PA的长.
5

【答案】解：（1）当BD＝AC＝4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形
∵P是优弧BAC的中点 ∴弧PB＝弧PC
∴PB＝PC
∵BD＝AC＝4 ∠PBD=∠PCA

∴△PBD≌△PCA
∴PA=PD 即△PAD是以AD为底边的等腰三角形
（2）由（1）可知，当BD＝4时，PD＝PA，AD＝AB-BD＝6-4＝2
过点P作PE⊥AD于E，则AE＝
∵∠PCB=∠PAD
∴cos∠PAD=cos∠PCB=
1
AD=1
2
AE5


PA5
∴PA=
5

12．（2010湖北荆门）如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动
点P ，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C
作CP的垂线C D交PB的延长线于D点．
（1）求证：A
C·CD=PC·BC
；
（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；
（3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求出这个最大面积S。


C
D
A
O
B
P

。。
【答案】（ 1）由题意，AB是⊙O的直径；∴∠ACB=90，∵CD⊥CP，∴∠PCD=90
。
∴ ∠ACP+∠BCD=∠PCB+∠DCB=90，∴∠ACP=∠DCB，又∵∠CBP=∠D+∠DCB，∠ CBP=
∠ABP+∠ABC，∴∠ABC=∠APC，∴∠APC＝∠D，∴△PCA∽△DCB；∴
第23题图
CACP
，

CBCD

∴A
C·CD=PC·BC

。
（2）当P运动到AB弧的中点时, 连接AP，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=90，又∵P
是弧AB的中点，∴弧PA=弧PB，∴A P=BP，∴∠PAB=∠PBA=45
.
,又AB=5，∴PA=
52
，< br>2
32
，
2
过A作AM⊥CP，垂足为M，在Rt△AMC中，∠AC M=45 ，∴∠CAM=45，∴AM=CM=

在Rt△AMP中，AM
2< br>+AP
2
=PM
2
，∴PM=
22
，∴PC=PM+
32
72
=。由（1）知：
2
2
A
C·CD=PC ·BC

，
3×CD=PC×4，∴CD＝
142

3（3）由（1）知：A
C·CD=PC·BC，所以AC：BC=CP：CD；
所以
CP：CD=3：4，而
△PCD的
1
2
CP
·
CD=
PC
2
，
CP
是圆
O
的弦，当
CP
最长时，△PCD的面积最大，而此
2
3
20
时CP就是圆
O
的直径；所以
CP
=5，∴3：4=5：CD；∴CD=，△PCD的面积等于3
1
12050
CP
·
CD
=
5
=；
2
233
面积等于
C
D
A
O
BP

13．（2010 四川成都）已知：如图，
ABC
内 接于⊙O，
AB
为直径，弦
CEAB
于
连结
BD
并延长交
EC
的延长线于点
G
，连结
AD
，分别交
CE
、
BC
F
，
C
是AD的中点，
于点
P
、
Q
．
（1）求证：
P
是
ACQ
的外心；
（2）若
tanABC
3
,CF8
,求
CQ
的长；
4
2
（3）求证：
(FPPQ)FPgFG
．

【答案】（1）证明：∵C是AD的中点，∴AC=CD，
∴∠CAD=∠ABC
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°。
∴∠CAD+∠AQC=90°
又CE⊥AB，∴∠ABC+∠PCQ=90°
∴∠AQC=∠PCQ
∴在△PCQ中，PC=PQ，
⌒ ⌒
∵CE⊥直径AB，∴AC=AE
⌒ ⌒
∴AE=CD
∴∠CAD=∠ACE。
∴在△APC中，有PA=PC，
∴PA=PC=PQ
∴P是△ACQ的外心。
（2）解：∵CE⊥直径AB于F，
∴在Rt△BCF中 ，由tan∠ABC=
得
BF
CF3

，CF=8，
BF4
432
CF
。
33
40

3< br>∴由勾股定理，得
BCCF
2
BF
2

∵AB是 ⊙O的直径，
∴在Rt△ACB中，由tan∠ABC=
得
AC
AC340


，
BC
BC4
3
3
BC10
。
4
2
易知Rt△ACB∽Rt△QCA，∴
ACCQBC

AC
2
15

。 ∴
CQ
BC2
（3）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°

∴∠DAB+∠ABD=90°
又CF⊥AB，∴∠ABG+∠G=90°
∴∠DAB=∠G；
∴Rt△AFP∽Rt△GFB，
∴
AFFP
，即
AFBFFPFG


FGBF
易知Rt△ACF∽Rt△CBF，
∴
FG
2
AFBF

∴
FC
2
PFFG

由（1），知PC=PQ，∴FP+PQ=FP+PC=FC
∴
(FPPQ)FPgFG
。
14．（2010山东潍坊）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且AC＝CD．
（1）求证：OC∥BD；
（2）若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，试确定四边形OBDC的形状．
2

【答案】（1） ⊙O中，AC＝CD，则∠ABC＝∠DBC，∵OC＝OB， 则∠ABC＝∠OAB，
∴∠OCB＝∠DBC，则OC∥BD；
（2）∵OC∥BD，不妨 设平行线OC与BD之间的距离为h，又S
△
OBC
＝
＝
1
OC×h，S
△
OBC
2
1
OC×h，∵BC将四边形OBDC分成 面积相等的两个三角形，即S
△
OBC
＝ S
△
DBC
，则 OC
2
＝BD，∴四边形OBDC为平行四边形，因为OC＝OB，所以四边形OBDC为菱形 ．
15．（2010广东中山）如图，PA与⊙O相切于A点，弦AB⊥OP，垂足为C，OP与⊙O 相交于
D点，已知OA=2，OP=4．
（1）求∠POA的度数；
（2）计算弦AB的长．

【答案】解：（1）∵PA与⊙O相切于A点，
∴∠PAO=
90
0

在RtΔPAO中，OA=2，OP=4
∴∠POA=
60
0

（2）∵AB⊥OP
∴AC=BC，∠OCA=
90
0

在RtΔAOC中，OA=2，∠AOC=
60
0

∴AC=
3

∴AB=2
3

16．（2010黑 龙江哈尔滨）如图，AB、AC为⊙O的弦，连接CO、BO并延长分别交弦AB、
AC于点E、F，∠ B=∠C。
求证：CE=BF。

【答案】证明：∵OB、OC是⊙O的半径，∴OB=OC
又
BC



BOECOF


EOB
≌
FOC

∴OE=OF ∴CE=BF
17．（2010四川 泸州）(本题满分10分)如图9,在平行四边形ABCD中,E为BC边上的 一点,
且AE与DE分别平分∠BAD和∠ADC.
(1) 求证:AE⊥DE;
(2) 设以AD为直径的半圆交AB于F,连接DF交AE于G,已知CD=5,AE=8,求
FG
的值.
AF

【答案】(1)证明:在平行四边形ABCD中,AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°,
又∵AE、DE平分∠BAD、∠ADC，
∴∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠AED＝90°，
∴AE⊥DE.
(2)解:在平行四边形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=5,AD=BC,
∴∠DAE=∠BEA,
又∵∠DAE=∠BAE,∴∠BEA=∠BAE,
∴BE=AB=5,
同理EC=CD=5,
∴AD=BC=BE+EC=10,
在Rt
V
AED中,
DE =
AD
2
AE
2
=
10
2
8
2
=6,
又∵AD为半圆的直径,∴∠AFD=90°,∴∠AFD=∠AED,
∵∠DAE=∠FAG,∴
V
AFG∽
V
AED,
∴
GFDE63

.
AFAE84
18．（ 2010吉林长春）第16届亚运会将在中国广州举行。小李预定了两种价格的亚运会门
票，其中甲种门 票共花费280元，乙种门票共花费300元，甲种门票比乙种门票多2张，乙
种门票价格是甲种门票价 格的1.5倍，求甲种门票的价格。
【答案】

18．（2010吉林长春）如图 ，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经
过圆心
O
，另一边所在 直线与半圆相交于点
D
、
E
，量出半径
OC
=5cm，弦< br>DE
=8cm。求直尺的
宽。

【答案】

19．（2010湖北宜昌）如图①，P是△ABC边AC上的动点，以P为顶点作矩形PDEF，顶< br>点D,E在边BC上，顶点F在边AB上；△ABC的底边BC及BC上的高的长分别为a , h,且是关于x的一元二次方程
mx
2
nxk0
的两个实数根，设过D ,E,F三点的⊙O的面积
为
S
๏
O
,矩形PDEF的面积为
S
矩形PDEF
。
（1）求证：以a+h为边长的正方形面积与以a、h为边长的矩形面积之比不小于4；
（2 ）求
S
๏
O
S
矩形PDEF
S
๏
O
S
矩形PDEF
的最小值；
（3）当的值最小时，过点A作BC的平行线交直线BP与Q，这时线段AQ的长
与m , n , k的取值是否有关？请说明理由。（11分）



A



F
P



B

C
ED
B

图①

(第23题)
A
（供画图参考）
图②
C

解：解法一：
（1）据题意，∵
a+h
=

nk
,ah
.
mm
n
2
)
2
m

n
················ 1分
k
mk
m
∴所求正方形与矩形的面积之比：
(ah)
ah
2
(

n
2
4mk0,n
24mk,
由
ah
k
知
m,k
同号,
m
······················ 2分
mk0

（说明:此处未得出
mk0
只扣1分, 不再影响下面评分）
n
2
4mk
······················· 3分
4,

mkmk
即正方形与矩形的面积之比不小于4.
（2 ）∵∠
FED
=90º,∴
DF
为⊙
O
的直径.
2
∴⊙
O
的面积为：
S
eO


(
DF
)
2


DF


(EF
2
DE
2
)
． ····· 4分
⊙
244
矩形
PDEF
的面积：
S
矩形PDEF
EFDE
．
eO
∴面积之比：
S
⊙
S
矩形PDEF


EF
4DE
(
DE
设
EF
f,

),
DE
EF
S
eO
S
矩形PDEF
⊙
=

4
(f
1

)
f
1
2
11

2
)2f2f

(f)(
< br>
4

fff



1
2

……………………………………………………………6分
(f)........ 5分
42
f
=


1
2
Q(f)0< br>,

f
f
1
，即
f

4(f
1
2

),

22
f
2
O
的最小值为

····· 7分
f1
时（
EF
=
DE
）,
S
e
⊙
S
矩形PDEF
eO
（3）当
S
⊙
的值最小时，这时矩形
PDEF
的四边相等为正方形．

S
矩形PDEF
过
B
点过
BM
⊥
AQ
，
M
为垂足，
BM
交直线
PF
于
N
点，设< br>FP
＝
e
，
∵
BN
∥
FE
，< br>NF
∥
BE
,∴
BN
=
EF
,∴
B N
=
FP
=
e
.
由
BC
∥
MQ
,得：
BM
=
AG
=
h
.
∵
AQ
∥
BC
,
PF
∥
BC
, ∴
AQ
∥
FP
,
∴△
FBP
∽△
ABQ.
······················ 8分
（说明：此处有多种相似关系可用，要同等分步骤评
分）
N
M
A
F
P
Q
O
B
EGDC
（第23题）

∴
FP

BN
,……9分
AQBM
∴
ee

.∴
AQh
……10分
AQh
nn
2
4mk
……11分
AQ
2m
∴线段
AQ
的长与
m
，
n
，
k
的取值有关.
（解题过程叙述基本清楚即可）
解法二：
（1）∵a
，
h
为线段长，即
a
，
h
都大于0，
∴
ah
＞０…………1分（说明:此处未得出
ah0
只扣1分, 再不影响下面评分）
２
∵（
a
-
h
）≥０，当
a
＝
h
时等号成立.
２２
故，（
a-h
）＝（
a
＋
h
）－４
a h
≥０． ··········· 2分
２
∴（
a
＋
h
）≥４
a h
，
∴
(ah)
≥４．（﹡） ···················· 3分
ah
2
(ah)
这就证得≥４．（叙述基本明晰即可） ah
2
（2）设矩形
PDEF
的边
PD
=
x
，
DE
=
y
，则⊙
O
的直径为
x
2
y
2
.
22
xy

S
⊙
O
=

()
2
…………4分,
S
矩形
PDEF
=
xy

2
S
⊙
e

O
S
矩形PDEF
22
=

(xy)

4xy
=


(x
2
2xyy
2)2xy



(xy)
2
4


xy


4


xy

2

····· 6分

(xy)
2
由（1）（*）， .
4
xy


∴


(xy)2
4


xy
S
eO
S
矩形PDEF
⊙


2

(42)
.
2

4
的最小值是

··················· 7分
2
A
F
P
eO< br>（3）当
S
⊙
的值最小时，

S
矩形PDEF
Q
这时矩形
PDEF
的四边相等为正方形.
∴
EF
=
PF
．作
AG
⊥
BC
，
G
为垂足.
∵△
AGB
∽△
FEB
，∴
AB

AG
.……8分
BFEF
B
E
O
GDC
∵△
AQB
∽△
FPB
,
AB

AQ
，……9分
BFPF
（第23题）

∴
AB

AG
=
AQ
．
BFEF
PF
而
EF
=
PF
，∴
AG< br>=
AQ
=
h
, ……………10分
2
∴
AG
=
h
＝
nn4mk
, < br>2m
2
或者
AG
=
h
＝
nn4mk< br> ·················· 11分
2m
∴线段
AQ
的长与
m
，
n
，
k
的取值有关.
20．（201 0福建省南平）如图，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交
⊙O于点D，求四边 形ADBC的面积.
C
A
·
O
D
第21题
B

【答案】解：∵AB是直径， ∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABC中，AB=6， AC= 2，∴BC=AB
2
－AC
2
=6
2
－2
2
= 42
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠DAC=∠BCD
∴
⌒
AD=
⌒
DB， ∴AD=BD
∴在Rt△ABD中，AD=BD=
2
AB=32
2
11
∴四边形ADBC的面积=S△ABC+S△ABD= AC·BC+ AD·BD
22
11
= ×2×42 + ×(32 )
2
=9+42
22
21．（2010广西河池）如图10，
AB
为
eO
的直径，
CD
为弦，且
CDAB
，垂足为
H
．
（1）如果
eO
的半径为4，
CD43
，求
BAC
的度数；
ADB
的中点，连结
OE
，
CE
．求证：
CE
平分
OCD
； （2）若点
E
为
¼
（3）在（1）的条件下，圆周上到直线
AC
距离为3的点有多少个？并说明理由．

C
A
O
H
B
E
D

【答案】解：（1）∵ AB为⊙O的直径，CD⊥AB ∴ CH＝
在Rt△COH中，sin∠COH=
∴ ∠COH=60°
1
CD＝2
3

2
C
3
CH
=
OC
2
A
O
1
∵ OA=OC ∴∠BAC=∠COH=30°
2
H
B
ADB
的中点 ∴OE⊥AB ∴ OE∥CD ∴ ∠
E
（2）∵ 点E是
¼
ECD
D
=
∠OEC 又∵ ∠OEC=∠OCE
∴ ∠OCE=∠DCE
∴ CE平分∠OCD
（3）圆周上到直线
AC
的距离为3的点有2个.
AC
上的点到直线
AC
的最大距离为2，
¼
ADC
上的点到直线AC的最大 因为劣弧
»
ADC
到直线AC距离为3的点有2个. 距离为6，
23 6
，根据圆的轴对称性，
¼
22．（2010广东清远）如下图，在⊙O中，点P在 直径AB上运动，但与A、B两点不重合，
¼
过点P作弦CE⊥AB，在
AB
上任取一点D，直线CD与直线AB交于点F，弦DE交直线
AB于点M，连接CM.
（1）如图10，当点P运动到与O点重合时，求∠FDM的度数.

F
B

F
B

D
C

M
O (P)
E
D
C

O
M
P
A
D
E
C

B

M
P
O
E
A
F
A
图10 图11 图12

（2）如图11、图12，当点P运动到与O点不重合时，求证：FM·OB=DF·MC.

【答案】28. 解：（1）点P与点O重合时，（如图10）

∵CE是直径，∴∠CDE＝90°.…………（1分）
∵∠CDE＋∠FDM＝180°，∴∠FDM＝90°.…………（2分）
（2）当点P在OA上运动时（如图11）

⌒⌒
1
⌒
∵OP⊥CE，∴AC＝AE＝CE，CP＝EP.
2

∴CM＝EM. ∴∠CMP＝∠EMP.
∵∠DMO＝∠EMP， ∴∠CMP＝∠DMO.
∵∠CMP＋∠DMC＝∠DMO＋∠DMC，
∴∠DMF＝∠CMO. …………（3分）
⌒⌒
∵∠D所对的弧是CE，∠COM所对的弧是AC，
∴∠D＝∠COM. …………（4分）
DFFM
∴△DFM∽△OCM. ∴＝
OCMC
∴FM·OC＝DF·MC.
∵OB＝OC， ∴FM·OB＝DF·MC. …………（5分）
当点P在OB上运动时，（如图12）

证法一：连结AC，AE.
⌒⌒
1
⌒
∵OP⊥CE，∴BC＝BE＝CE，CP＝EP.
2
∴CM＝EM， ∴∠CMO＝∠EMO.
∵∠DMF＝∠EMO， ∴∠DMF＝∠CMO.………………（6分）
⌒⌒
∵∠CDE所对的弧是CAE，∠CAE所对的弧是CE.
∴∠CDE＋∠CAE＝180°.
∴∠CDM＋∠FDM＝180°，∴∠FDM＝∠CAE.
⌒⌒
∵∠CAE所对的弧是CE，∠COM所对的弧是BC，
∴∠CAE＝∠COM.
∴∠FDM＝∠COM. ………………（7分）
DFFM
∴△DFM∽△OCM. ∴＝.
OCMC
∴FM·OC＝DF·MC.
∵OB＝OC， ∴FM·OB＝DF·MC. ………………（8分）
证法二：∵OP⊥CE，
⌒⌒
1
⌒⌒⌒
1
⌒
∴BC＝BE＝CE，AC＝AE＝CAE，CP＝EP.
22
∴CM＝EM， ∴∠CMO＝∠EMO.
∵∠DMF＝∠EMO， ∴∠DMF＝∠CMO.………………（6分）

⌒
∵∠CDE所对的弧是CAE，
⌒⌒⌒
∴∠CDE＝CAE度数的一半＝AC的度数＝180°－BC的度数.
⌒⌒
∴∠FDM＝180°－∠CDE＝180°－（180°－BC的度数）＝BC的度数.
⌒
∵∠COM＝BC的度数.
∴∠FDM＝∠COM. ………………（7分）
DFFM
∴△DFM∽△OCM. ∴＝.
OCMC
∴FM·OC＝DF·MC.
∵OB＝OC， ∴FM·OB＝DF·MC. ………………（8分）