黑帮小说-太上感应篇原文

2017年全国硕士研究生入学统一考试
数学（一）试题
一、选择题：1～ 8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题目要求的．请将所 选项前的字母填在答题纸指定位置上．
．．．

1cosx
,x0
（1）若函数
f(x)

在
x0
处连续，则
ax

b,x0

(A)
ab
【答案】A
【详解】由
lim

x0
1
．
2
(B)
ab
1
．
2
(C)
ab0
． (D)
ab2
．
1
1cosx1
b
,得
ab
.
2ax2a
（2）设函数
f

x

可导，且
f( x)f'(x)0
则
(A)
f

1

f

1

． (B)
f

1

f

1

．
(C)
f

1

f

1

．
【答案】C
(D)
f

1

f

1

. f
2
(x)
]

0
,从而
f
2(x)
单调递增,
f
2
(1)f
2
(1)
. 【详解】
f(x)f

(x)[
2
（3）函数
f(x ,y,z)xyz
在点
(1,2,0)
处沿着向量
n(1,2,2)< br>的方向导数为
(A)
12
．
【答案】D
(B)
6
． (C)
4
． (D)
2
．
22【详解】方向余弦
cos


12
2
,cos

cos


,偏导数
f
x

2xy ,f
y

x,f
z

2z
,代入
33
cos

f
x

cos

f
y

cos

f
z

即可.










数学（一）试题 第1页（共10页）

（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲 在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲
线
vv
1
(t)
(单位：ms)，虚线表示乙的速度曲线
vv
2
(t)
(单位：m s)，三块阴影部分面积
的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)， 则

(A)
t
0
10
．

【答案】C
【详解】在
t
0
25
时,乙比甲多跑
10
m,而最开始的时候甲在乙前方
10
m处.
（5）设
α为
n
维单位列向量，
E
为
n
阶单位矩阵，则
(A)
Eαα
不可逆．
(C)
E2αα
不可逆．
【答案】A
【详解】可设


,则
 
的特征值为
1,0,,0
,从而
E

的特征值为< br>T
T
T
T
T
(B)
15t
0
20
． (C)
t
0
25
． (D)
t
0
25
．
(B)
Eαα
不可逆．
(D)
E2αα
不可逆．
T
T
0,1,,1
,因此
E

T
不可逆.

200

210
1


2
（6）设有矩阵
A

021

，
B

020

，
C



001

001

2< br>

(A)
A
与
C
相似，
B
与
C
相似． (B)
A
与
C
相似，
B
与
C
不相似．
(C)
A
与
C
不相似，
B
与
C
相似． (D)
A
与
C
不相似，
B
与
C
不相似．
【答案】B
【详解】
A,B
的特征值为
2,2,1
,但< br>A
有三个线性无关的特征向量,而
B
只有两个,所以
A
可对角 化,
B
则不行.

.（7）设
A,B
为随机事件，若< br>0P(A)1
，
0P(B)1
，则
P(A|B)P(B|A )
的充分
必要条件
(A)
P(B|A)P(B|A)
．
(C)
P(B|A)P(B|A)
．
(B)
P(B|A)P(B|A)
．
(D)
P(B|A)P(B|A)
．
数学（一）试题 第2页（共10页）

【答案】A
【详解】由
P(A|B)P(A|B)
得P(AB)P(AB)P(A)P(AB)
,即

P(B)P(B)1P( B)
P(AB)>P(A)P(B)
;
由
P(B|A)P(B|A)也可得
P(AB)>P(A)P(B)
.
1
n
（8）设
X
1
,X
2
,,X
n
(n…2)
为来自总体< br>N(

,1)
的简单随机样本，记
X

X
i
，则下
n
i1
列结论不正确的是
(A)

(X
i1
n
n
i


)
2
服从

2
分布 ． (B)
2(X
n
X
1
)
2
服从

分布．
2
(C)

(X
i1
i
X)
2
服从

2
分布． (D)
n(X

)
服从

分布．
22
【答案】B
nn
X
i


22【详解】
~N(0,1)

(X
i


)~< br>
(n),

(X
i
X)
2
~

2
(n1)
;
1
i1i1
(X
n
X
1
)
2
1
22
X~N(

,),n( X

)~

(1);
X
n
X
1
~N(0,2),~

2
(1)
.
n
2

二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上．
．．．
（9）已知函数
f(x)
【答案】0
【详解】
f (x)
1
,
f
(3)
(0)
．
2
1x
1
24
1xx

(1x 1)
,没有三次项.
2
1x
（10）微分方程
y

2y

3y0
的通解为 ．
x
【答案】
ye(C
1
cos2xC
2
sin2x)
x
2
【详解】特征方程
r2r30
得
r 12i
,因此
ye(C
1
cos2xC
2
sin2x )
.




数学（一）试题 第3页（共10页）

（11）若曲线积分
．
【答案】
1

xdxaydy
22
D(x,y)x y1
内与路径无关，则
a
在区域

L
x
2< br>y
2
1

【详解】有题意可得

QP
,解得
a1
.
xx
n1
（12）幂级数

(1)
n1
nx
n1
在(-1,1)内的和函数< br>S(x)
．
【答案】
1

( x1)
2
【详解】

(1)
n1

n1< br>nx
n1


[(x)
n
]


n1

1
.
2
(x1)

10 1


（13）
A

112

，
1
，

2
，

3
是3维线性无关的 列向量，则

A

1
,A

2
,A

3

的秩

011


为 ．
【答案】2
【详解】
r(A

1
,A
2
,A

3
)r(A)2

（14）设随即变量< br>X
的分布函数
F(x)0.5(x)0.5(
布函数，则
EX 
．
【答案】2
【详解】
EX














x4
)
，其中
(x)
为标准正 态分
2



xf(x)dx


0
x[0,5

(x)
0.5x4

()]dx2
.
22
数学（一）试题 第4页（共10页）

三、解答题 ：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答
案写在答题纸指定位 置上．
．．．
（15）（本题满分10分）．
dy
设函数
f(u ,v)
具有2阶连续偏导数，
yf(e,cosx),
求
dx
x< br>d
2
y
,
2
x0
dx
.
x0
【答案】
yf(e
x
,cosx)

d y
f
1
'
e
x
f
2
'
sin x,
dx
dy
x0f
1
'
(1,1)
dx< br>
2

dy
''x''x'x''x'''
fefsin xefe(fefsinx)sinxfcosx
1112121222
2
d x
d
2
y
''
x0f
11
(1,1)f1
'
(1,1)f
2
'
(1,1)
2
dx< br>

（16）（本题满分10分）．
求
lim
kk
ln(1)
.
n
n
2
n

【答案】
lim
kk
ln(1)
2
n
n
k1
n
122 nn

1
lim

2
ln(1)
2
ln(1)...
2
ln(1)

n
nnnnnn< br>
1

1122nn

lim

ln( 1)ln(1)...ln(1)

n
nnnnnnn

11
1


xln(1x)dx

ln(1 x)dx
2
00
2
1
1
1
2
11
2
xln(1x)

x

dx
0
0
21x2
11
1
x
2
11
ln2
dx
0
221x
1
111
1
ln2[

(x1)dx

dx]
0
1x22
0
11< br>111
2
ln2[(xx)ln(1x)]
00
2221111
ln2(1ln2)
2224



数学（一）试题 第5页（共10页）

（17）（本题满分10分）．
已知函数
y(x)
由方程
x
3
y
3
3x3y20
确定，求
y(x)
的极值 .
【答案】
x
3
y
3
3x3y20
①，
方程①两边对
x
求导得：
3x
2
3y
2
y
'
33y
'
0
②，
令
y
'
0
，得
3x
2
3,x1
.
当
x1
时
y1
，当
x1< br>时
y0
.
方程②两边再对
x
求导 ：
6x6y(y
'
)
2
3y
2
y
''
3y
''
0
，
令
y
'
0
，
6x(3y
2
1)y
''
0
，
3
''
，当
x1
，
y0
时
y 6
.
2
所以当
x1
时函数有极大值，极大值为1 ，当
x1
时函数有极小值，极小值为0.
当
x1
，
y1
时
y
''

（18）（本题满分10分）．
设函数
f(x)
在区间
[0,1]
上具有2阶导数，且
f(1)0
，
lim

x0
f(x)
0
.证明：
x
（I）方程
f(x)0
在区 间
(0,1)
内至少存在一个实根;
（II）方程
f(x)f''(x) [f'(x)]0
在区间
(0,1)
内至少存在两个不同实根.
【答案】
(1)
lim

x0
2
f(x)
0
，由极限的局部保号性，
c(0,

),使得f(c)0
，又
f(1)0,
由零
x
点存在定理知，


(c,1)
，使得，
f(

)0
.

(2)构造
F(x)
lim

x0
f(x)f'
，
xF(0)f (0)f'(0)0
，
F(

)f(

)f'(

)0
，
f(x)f(1)f(0)
0,f'(0)0,
由拉格朗日中值定理知


(0,1),f'(

)0，
x10
使
(
1
)
(0
，
,1)
得
f'

，
0
f'(0)f'(

) 0,
所以由零点定理知


1
(0

,)F(

1
)f(

1
)f'(

1
)0,
所以原方程至少有两个不同实根。




数学（一）试题 第6页（共10页）

（19）（本题满分10分）．
设薄片型物体
S
是圆锥面
zx< br>2
y
2
被
z
2
2x
割下的有限部分，其 上任意一点处的
222
密度为

(x,y,z)9xyz
，记 圆锥面与柱面的交线为C；
（I）求C在
xOy
平面上的投影曲线的方程；
（II）求S的质量M。
22


(x1)
2
y
2
1

zxy
【答案】(1)
C
的方程 为

，投影到
xoy
平面的方程为：


2

z0


z2x
(2)M

u(x, y,z)dS

9x
2
+y
2
z
2
dS92

x
2
+y
2
x
2
+y< br>2
dS


18

2

d< br>


2
2cos

0
8
x+yd xdy18

2

cos
3

d


3
2
22

2
96

2
cos
3

d

96(1)64

0
3
























数学（一）试题 第7页（共10页）

（20）(本题满分11分)．
设
3
矩阵
A(

1
,

2
,

3< br>)
有3个不同的特征值，

3


1
2< br>
2

（I）证明：
r(A)2
;
（II）若< br>


1


2


3< br>，求方程组
Ax

的解.
【答案】


3


1


2
，


1
2

2


3
0,

1





1
,

2
,

3


2

0，故

1< br>0是A的特征值.

1


又
A
有三 个不同的特征值，故

1
0
为单根，且
A
一定能相似对角 化.

A~,

r(A)r()2.
（2）由（1） ，
Ax0
的通解为
k

1,2,1

， T

1


T



< br>1


2


3
，故有


1
,

2
,

3


1



，即A

1,1,1



.

1


Ax

的通解为 k

1,2,1

(1,1,1)
T
(k为任意常数) .

T

















数学（一）试题 第8页（共10页）

（21）（本题满分11分）． 22
设二次型
f(x
1
,x
2
,x
3
)2x
1
x
2
2
ax
3
2x
1< br>x
2
8x
1
x
3
2x
2
x3
在正交变换
xQy
下
22
的标准形为

1
y
1
，求
a
的值及一个正交矩阵
Q
。


2
y
2
14

2

A 111
【答案】二次型的矩阵

，

41a
< br>
22
因为二次型在正交变换下的标准形为

1
y
1
，故
A
有特征值0，


2
y
2A0
，故
a2
.

2
由

EA1
14
1

(

3)(
6)0
得特征值为

2

1
14

1
3,

2
6,

3
0
.
解齐次线性方程组


i
EA

x0< br>，求特征向量.

514

101

1


对

1
3
，
3E A

121



011

,得

1


1

；

41 5

000

1



4 14

101

1


6E A171010


对

2
6
，

,得
2

0

；

414

000

1



< br>214

101

1

对

3
0
，
0EA

111



012

,得

3


2

；

412

000

1


因为

1
,

2
,

3
属于不同特征值，已经正交，只需规范化：
令

1


1
1

1,1,1

T
,

2


2

1

 1,0,1

T
,

3

1

1 ,2,1

T
，


1

2
326
数学（一）试题 第9页（共10页）


1


3

1
所求正交矩阵为
Q


3

1
< br>

3

（22）（本题满分11分）．

12
0
1
2
1


6

2
22
,对应标准形为.
f3y6y
12

6

1


6

设随机变量
X
与< br>Y
相互独立，且
X
的概率分布为
P{X0}P{X2}
1
，
Y
的概
2

2y,0y1
率密度为f(y)


0,其他.

（I）求
P{YEY}

（II）求
ZXY
的概率密度。
【答案】（1）
EY
2
3




yf
Y
(y)dy 

y2ydy
0
1
2
，
3
P< br>
YEY



f
Y
(y)dy

2ydy
（2）
Z
的分布函数为
2
3
0
4
.
9
F
Z
(z)P

Zz

P

XYz,X0

P

XYz,X2

P

X0，Yz

P

X2，Y2z



1

F
Y
(z)F
Y
(z2)

2
1< br>
P

Yz

P

Yz2



2
故
Z
的概率密度函数为

z 0

0,

z,
0z1
0z1

z,

1

f
Z
(z)F
Z

(z)

f(z)f(z2)



0,1z 2


z2,2z3
.
2

z2,2 z3

0,其它



z3

0,< br>





数学（一）试题 第10页（共10页）

（23）（本题满分11分）．
某工程师为了解一台 天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量

是已知的.设n次测量结果
X
1
,X
2
,X
n
相互独立且均服从正态分布< br>N(

,

2
)
.该工
程师记录的是n次测 量的绝对误差
Z
i

X
i


(i

1,2,

,n)
.利用
Z
1
,Z
2
,Z
n
估计

.
（I）求
Z
i
的概率密度；
（II）利用一阶矩求

的矩估计量；
（III）求

的最大似然估计量.
【答案】
Z
1
的分布函数为
F
Z
1
(z)P

Z
1
z

PX
1


zP


X
1





z

，


z0时,F
Z
1
(z)0;< br>
z
z0时,F
Z
1
(z)2

< br>



1.


2
2
e
2

,
2

0,
z
2


(z)

所以
Z
i
的概率密度均为f
Z
(z)F
Z


（2）
EZ
1

z0
其他
2
.


0
令 tz


2
22

2

zedz
2

2

z
2


0
te

t
2
2
2

dt
2


t

e
2



0

2



，

2


令
EZ
1
Z
，即
2

Z
，得

的矩估计量为：
2

2

1n
ˆ


Z
，其中
Z

Z
i
.
2
n
i1
（3）记
Z
1
,Z2
,

,Z
n
的观测值为
z
1
,z< br>2
,

,z
n
，当
z
i
0(i 1,2,,n)
时，
似然函数为
L(

)

f(z;

)

i
i1i1
nn

2
2
e
2

2
n
(2

)< br>2

z
i
2
n

2


e
n

1
2

2

z
i
2
i1
n
，
n1
lnL(

) nln2ln(2

)nln


2
22
< br>
z
i1
n
2
i
，
dlnL(

)n1
n
2
1
n
2
令

3

z
i
0，得

z
i

< br>d

i1
n
i1
1
n
2
ˆ


的最大似然估计量为

Z
i
.

n
i1
数学（一）试题 第11页（共10页）

数学（一）试题 第12页（共10页）