非主流爱情个性签名-落日的幻觉

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数学高考与高考解题

罗增儒（1945—），男，广东惠州 人，1962年就读中山大学，毕业后长期当矿山职工和子弟
学校教师．现为陕西师范大学数学系教授， 课程与教学论（数学）博士生导师，享受国务院的政
府特殊津贴，著有《数学解题学引论》、《数学竞赛 导论》、《中学数学课例分析》、《怎样解答高考
数学题》、《怎样解答中考数学题》、《数学的领悟》 、《直觉探索方法》、《零距离数学交流》、《中学
数学解题的理论与实践》等书300万字，发表文章 300多篇．从1980年开始，几十年如一日研究
高考、竞赛的解题与命题，项目《着眼数学素质 服 务基础教育——数学高考解题理论的建设》曾
获省级优秀教学成果奖，项目《奥林匹克数学学科建设》曾 获国家级优秀教学成果奖．

0 数学高考
0.1 数学高考的全程工作 < br>从1977年恢复高考，历史走过了波澜壮阔的30多个春秋，环绕着高考工作的文化积累正在
考 试学、人才学和数学等维度形成学术成果．我期待着数学高考学的诞生．数学高考的全程工作
有4个基本 问题:
（1）掌握数学知识问题 —— 怎样复习．（教育学）
（2）提高解题能力问题 —— 怎样解题．（数学）
（3）运用考试技术问题 —— 怎样答题．（考试学）
（4）科学填报志愿问题 —— 怎样选择．（运筹学）
其中，最核心的是解题，搞好复习是 为解题积聚力量，运用考试技术是为解题作充分的发挥，
分段得分技术是解题策略的运用．解题能力是数 学高考的核心竞争力．

0.2 数学高考命题的风格
高考命题一直在“稳中求进，稳中求变、稳中求新”，探索 公平选拔、为素质教育服务的
道路，已形成了一些稳定性的风格和值得注意的导向.
（1）在 全面考查“基础知识、基本技能、基本方法”的基础上，更突出数学思想方法的考查，
突出数学与现实生 活的联系.

全面覆盖了中学数学教材中的理科15个、文科13个知识模块，知识点的覆盖 面达60%（约
涉及70～80个知识点）；同时，试卷突出学科的核心内容，集合与函数、立体几何、 解析几何、
数列、不等式、导数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例，整体结构合理，也达到了必 要
的考查深度；此外，在模块单一型试题为主体的基础上还会进行知识之间的交叉、渗透和综合． 试卷在全面覆盖基础知识的同时，会注重能力的考查，特别是逻辑思维能力，运算能力和空
间想象能 力．至于实践能力和创新意识方面则是努力体现．（五个能力）
在数学思想方法方面，七个基本数学思 想在试卷中都会涉及，其中，函数与方程的数学思想
方法、数形结合的数学思想方法、化归与转化的数学 思想方法会体现得较为突出．中学阶段基本
数学思想方法主要“有用字母表示数的基本思想方法”，“集 合与对应的基本思想方法”，以及
●函数与方程的基本数学思想．（通过函数题，综合题）
●数形结合的基本数学思想．（通过函数题，解析几何综合题，构造图形等）

2
●分类与整合的基本数学思想．（通过综合题，排列组合题，参数讨论题）
●化归与转化的基本数学思想．（通过综合题）
●特殊与一般的基本数学思想．（通过综合题）
●有限与无限的基本数学思想．（通过极限、微积分函数题）
●或然与必然的基本数学思想．（通过概率、统计题）
主要解题方法（待定系数法、换元法、 配方法、反证法、代入法、消元法、数学归纳法）会
有不同程度的体现．

（2）在 主体上考查中学数学的同时，会体现进一步学习高等数学的需要.特别是一些有挑战
性的压轴题，尤其各 省独立命题之后，更是“注重理论数学，检测考生后继学习的潜能”（有人看
到了高考与竞赛的相互渗透 ）.
（3）新课程理念的渗透.虽然新世纪课程改革刚刚起步（高中教材才开始试用），但其三维目< br>标和十个基本理念会开始渗透（课程改革改到哪里，高考改革也改到哪里）.如，命题范围拓展了，
出现人文关怀，体现“情感、态度、价值观”课程目标.
（4）在命题技术上，可以看到：
①以教材为依据，又不拘泥于教材.
②在知识交汇处设计命题.
③能力立意.改变了过去的知识立意.
④减少题量，降低难度，增加学生分析思考的时间.
⑤对三类题型设计了两个从易到难的三个小高潮.
⑥变小量难题把关为全卷把关.
⑦试题切入容易深入难（阶梯题）.
⑧避免死记硬背的内容和繁琐的运算（试卷提供难记易忘的公式）.
⑨文理分卷，难度有区别（姐妹题）.

0.3 数学高考复习的组织工作
（1）指导思想
（2）高考复课的阶段安排
（3）数学复习题的编拟
（4）数学模拟考试的组织与讲评
（5）数学高考临场的策略

0.4 数学高考的研究工作
（1）高考数学的特征
（2）数学高考解题的特点
（3）数学高考选择题的求解
（4）数学高考填空题的求解
（5）数学高考解答题的求解
（6）数学高考解题的错误分析（解对了也会有策略性错误）
（7）高考数学命题的研究

3
（8）数学高考试卷的构成
（9）数学高考的题型
（10）数学高考设问的研究
（11）数学高考难度的研究
（12）数学高考赋分的研究
（13）„„

0.5 高考临场的基本建议
（1）保持内紧外松的临战状态.
（2）使用适应高考的答题策略.
（3）运用应对选拔的考试技术.
高考答题的技术
●提前进入角色.
●迅速摸清“题情”.
●执行“三个循环”.
●做到“四先四后”.
●答题“一慢一快”.
●立足中下题目，力争高上水平.
●立足一次成功，重视复查环节.
●内紧外松.

0.6高考填报志愿.
●升学优先.
●就业优先.
●专业优先.
●成本优先.
●地区优先.
●几项兼顾.
●家长决定.

1
解答高考数学题的必要基础
1-1 明确解题过程
1-1-1 数学解题的一般程序 （波利亚：《怎样解题》）
⑪弄清题意
主要是弄清条件是什么?结论是什么?各有几个?如何建立条件与结论之间的逻辑联系?
例1 已知三个方程
x
2
mx40,

x2

m1

x160,

2
x
2
2mx3m100

4
中至少有一个方程有实根，求实数
m
的取值范围．
解法1 若正面求解， 三个方程至少有一个方程有实根，将出现7种可能，情况复杂，但其
反面则只有一种情况：三个方程都没 有实根，问题变得极为简单．有


1
m
2
44

m4

m4

0,

2




2
4

m1

4164

m5

m3

0,< br>

2
4m4

3m10

4< br>
m5

m2

0,
3



4m4,

即

3m5,


2m5,

得
2m4
．
再求补集，得三个方程至少有一个方程有实根时实数
m
的取值范围为
(,2][4,)
．
评析 这个解法思路是可行的，答案是 正确的，但由“7种可能，情况复杂”，得出“正面求
解，情况复杂”却是认识的封闭和逻辑的混乱．“ 三个方程至少有一个方程有实根时实数
m
的取
值范围”就是三个集合
A1


m:
1
m
2
440

,

A
2
m:
2
4

m1

4160,


2
< br>A
3


m:
3
4m
2
4< br>
3m10

0

,
的并集，其求解并不比解法 1复杂．
解法2 “三个方程至少有一个方程有实根”就是第一个方程有实根、或第二个方程有实根 、
或第三个方程有实根，得


1
m
2440m
2
或4m

4

,
①
或

2
4

m1
4160m3或m5,
②
或

3
4m
2
4

3m10

0m2或m5,
③
求①、②、③的并集，可得三个方程至少有一个方程有实根时实数
m
的取值范围为
(,2][4,)
．
评析 由上面的两个解法可以看到
（1 ）问题表征影响解题方向与解题长度．将“三个方程至少有一个方程有实根”表征为7种可
能：某个方程 有实根3种可能、某两个方程有实根3种可能、三个方程都有实根1种可能，接下
来还有7种情况的合并 ，书写量确实较大；解法1只看到这一思路“情况复杂”，没有看透复杂的

5
原因，其提出的“反面求解”思路虽然可行，但未必就比“正面求解”的解法2平坦；所以，我
们从这 三个思路中看到了问题表征对解题方向与解题长度的影响．
（2）知识影响解题．其实，由集合运算的 性质
A
1
A
2
A
3
A
1
 A
2
A
3
知，解法1与解
法2是等价的，解法1的作者要是调动起 了这一知识，就不至于对“正面求解”一概得出消极的
结论．
（3）反思有助于理解． 如果 对列举“7种可能”的思路作反思就会看到，这种先分后合的
步骤，其实已使得后4种情况的书写成为简 单重复或多余回路；同样，如果对解法1作反思，也
有机会发现“反面求解”其实有“正面求解”的等价 思路．
例2 满足条件
{1,2}M{1,2,3}
的所有集合
M
的个数是
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
审题：
M
是
{1,2,3}
的子集，
3M
，得
（1）正面：
{1,2,3}
中含有3的子集个数.
（2）反面：
{1,2,3}
中不含3的子集个数.
⑫拟定计划
探索解题思路的发现过程，波利亚的建议是分两步走：
●努力在已知与未知之间找出直接的联系(模式识别等)；
●如果找不出直接的联系，就对原 来的问题作出某些必要的变更或修改，引进辅助问题，为
此，波利亚又进一步建议：看着未知数，回到定 义去，重新表述问题，考虑相关问题，分解或重
新组合，特殊化，一般化，类比等，积极诱发念头，努力 变化问题．这实际上是阐述和应用解题
策略，并进行资源的提取与分配，基础是“过去的经验和已有的知 识”．
⑬实现计划，
是思路打通之后具体实施信息资源的逻辑配置．
⑭回顾 < br>“回顾”是最容易被忽视的阶段．波利亚解题表中的“回顾”并不完全是常规解题中的“检
验”（ 正确性的保证，解题的必要步骤），主要是有分析地领会所得的解法，它包含着把“问题及
其解法”(认 知)作为对象进行自觉反思的元认知意图．
●在内容上，弄清用到了哪些知识？哪些方法？
●在组织上，弄清先用 哪些知识（方法）？后用 哪些知识（方法）？哪个与哪个作了配合？
组成一个怎样的逻辑结构？（临场可能就来不及回顾了）

1-1-2 数学解题的信息过程
（1）有用捕捉．即通过观察从理解题意中捕 捉有用的信息，主要是弄清条件是什么?结论是
什么?各有几个?如何建立条件与结论之间的逻辑联系? 捕捉有用的符号信息和形象信息．知识经验
是有用捕捉的基础．
（2）有关提取．即在“有用 捕捉”的刺激下，通过联想而从解题者头脑中提取出解题依据与
解题方法．良好的认知构结和机智的策略 选择是连续提取、不断捕捉的基础．
（3）有效组合．将上述两组信息资源，加工配置成一个和谐的逻 辑结构．逻辑思维能力是有
效组合的基础．其基本要求应能说服自己、说服朋友、说服论敌．

6

图1
例3 [1993.（23）]设
f

x

4< br>x
2
x1
4
x
-2
x+1
(x≥0)， 则
f
1

x

= .
①
解说 从题目中可得两个信息：
（1）是
f

x

表达式；
（2）是反函数f
1

x

的自变量的取值为0.
从记忆储存中提取函数与反函数的关系作为解题的依据：
f
1
(0)xf(x)0
， ①
得
42
xx1
0
.
再从“原课本P60例1”的回忆中，得出指数方程的解

x1
， ②
再一次应用函数与反函数的关系：

f(1)0f
1
(0)1
. ③
解题的信息过程如下图，有5条信息组成的一个和谐的逻辑结构：









从题意
中捕捉
有用信
息
从记忆储存中提取有关信息
信息1:f
1
(0)x
信息2：课本
P60例1
信 息3:f(1)0
f
1
f(x)0
信息1：反函数
(0) 1

f
1
(x)
的自变量为
0
f(x)0

4
x
2
x1
0

f
1
(0)1


xx1

7





图2
x1

请注意,其中
x0
的条件保证了反函数的存在性,否则
f(x)4
x2
x1
在R上没有反函数．

1-1-3 数学解题的心理机制
解题的心理过程是在问题的条件及结论的启发下，激活记忆网络中的一些知识点， 然后沿接线向外
扩散，依次激活新的有关知识，同时，要对被激活的知识进行筛选、组织、评价、再认识 和转换，使之
协调起来，直到条件与结论之间的线索接通，建立起逻辑演绎关系．（扩散——激活）


图3


1-2 夯实解题基础
冒着过于简单化的风险，解题可以理解 为“把知识内容连接成一个逻辑链条”，因此，解题首
先要有知识基础和组织知识内容的思维能力，同时 在调动和配置知识内容时还需要经验与良好的
心理．所以，尽管解题的成功取决于我们尚未彻底弄清的多 种因素，但最基本的应有：解题的知
识因素，解题的能力因素，解题的经验因素和解题的情感因素，这也 就是我们常说的解题基本功．
值得注意的是，解题不仅是知识的使用而且也是知识的理解，不仅是能力 的运用而且也是能
力的培养，不仅是经验的呈现而且也是经验的积累，不仅是情感的表现而且也是情感的 养成．一
句话，解题不仅仅是基本功的简单体现，而且更是基本功的继续学习（庸者重在输出，智者重在
输入），同样是“天天画蛋”，有的人“熟而生厌”、“熟而生笨”，而达芬奇却画出个国际大师．

1-2-1解题的知识因素（认知结构）
人的思维依赖于必要的知识和经验，数学 知识正是数学解题思维活动的出发点与凭借．丰富
的知识并加以优化的结构能为题意的本质理解与思路的 迅速寻找创造成功的条件．既然，解题就

8
是把知识内容连接成一个逻辑链条，那么，没有知识内容那来的知识逻辑链！
解题研究的一代 宗师波利亚说过：“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资
本”．每一个希望提高解题效 率、获得解题成功的人，都必须下决心，在“知识丰富”与“结构良
好”两方面花大力气，所以我们建议 在第一阶段复习要做到“四过关”：
●能准确理解书中的任一概念；
●能独立证明书中的每一定理；
●能熟练求解书中的所有例题；
●能历数书中各单元的作业类型.
测试（形成良好的认知结构，思维路线图）
例4-1 闭上眼睛，你能回忆几条数学定理，说出几个数学名词？越多越好！
例4-2 当我说“函数”时，你能想起相关的多少个概念和定理？越多越好！
例4-3 说出一条会证的定理。
例4-4 说出一道会做的题目。
对于学好数学来说，记住知识还不是最难的（连记都不想记 谈不上学好），还要通过解题去深
入理解、疏通联系、优化结构．所以，有人说：数学不是教会的，而是 学会或做会的．

1-2-2解题的能力因素（思维能力）
思维是人脑对客观现 实概括的和间接的反映．数学解题中既有逻辑思维又有非逻辑思维，其
主要成分是3种基本的数学能力：
●运算能力
●逻辑思维能力
●空间想象能力。
核心是能否掌握正确的思 维方法，并表现于发现问题、分析问题、解决问题的敏税、洞察力
与整体把握．其基本要求包括： （1）掌握数学中各种常用的思维方法．（如观察、试验、归纳、演绎、类比、猜想、分析、综
合、 抽象、概括等）
（2）掌握科学的解题程序．（如弄清题意、拟定计划、执行计划、回顾）
（3）掌握解题的基本策略，能“因题制宜”地选择对口的解题思路，使用有效的解题方法、
调动精明的 解题技巧．
（4）具有敏锐的直觉．应该明白，我们的数学解题活动是在纵横交错的数学关系中进行的 ，
在这个过程中，我们从一种可能性过渡到另一种可能性时，并非对每一个数学细节都洞察无遗，
并非总能借助于“三段论”的桥梁，而是在短时间内朦胧地插上幻想的翅膀、直接飞翔到最近的
可能性 上，从而达到对某种数学对象的本质领悟．
例5 方程未知数范围扩大是方程产生增根的（ ）．
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）既不充分也不必要条件 （D）充分必要条件
讲解 这道题目不考具体的解方程 知识，而是以方程为载体考思维能力，包括构造反例的能
力．据2008年9月高一学生64人的测试， 四个选项都有人选，比例最大的是（B）必要而不充分
条件：
A B C D
未选

9
15人（0．23） 21人（0．33） 19人（0．29） 7人（0．11） 2人（0．03）
事实上，对方程
x10
平方，方程未知 数范围扩大但没有增根．方程未知数范围扩大不
是方程产生增根的充分条件．两边乘以
x2< br>，方程未知数范围没有扩大，但方程

x2

x10
产 生增根
x2
．方程未知数范围扩大不是方程产生增根的必要条件．所以，正确答案应选（C） ，
但正确率只有0．29．而选（B）则是学生中的倾向性错觉．这种错觉有的来自学生自身，有的来< br>自教师的影响．

1-2-3 解题的经验因素（经验题感）
解题具有实践性与探索性的特征，基础知识要通过解题实践来消化，思维素质要通过解题实
践来优化，解 题方法要通过解题实践来强化．在解题实践中，既会有成功又会有失败，这两方面
的积累，都能形成有长 久保留价值或借鉴作用的经验．
（1）解题经验
所谓解题经验，就是某些数学知识、某 些解题方法与某些条件的有序组合，成功是一种有效
的有序组合，失败也向我们从反面提供有效的有序组 合．成功经验所获得的有序组合，就好像是
建筑上的预制构件（或称为思维组块），遇到合适的场合，可 以原封不动地把它用上（模式识别）．一
个人解题所做的脑力工作就在于回忆起经验中用得上的东西，并 且和他的解题思维联系起来．
弗里德曼在《怎样学会解数学题》（
P.73
）中认为 “如果我们着手解答一道习题，那么，第
一件事就想知道：这是道什么题？它是什么形式，属于哪种类型 ？换句话说，就是需要识别给定
习题的类型．”这就需要平时积累经验与类型．怎么积累呢？弗里德曼在 “致读者”中分析学生解
了大量的题但还“不开窍”时指出：“这些学生没有在应有的程度上分析所解的 习题，不能从中分
析出解题的一般方式和方法，解题常常只是为了得个答案”．这就指出了一个途径：通 过解题过程
的分析来积累经验与类型．
波利亚也说：“如果你希望从自己的努力中，取得最大 的收获，就要从已经解决了的问题中找
出那些对处理将来的问题可能有用的特征”（《数学的发现》序言 ）．解题中，“一个好念头的基础
是过去的经验和已有的知识．”（《怎样解题》
P.9
）
（２）题感
解题经验的积累，有利于解题念头的诱发，有助于直觉性题感的形成．题感 指的是人们对问
题的总体性的感受，它是思维定势正迁移的一种潜在表现，实质是一种数学观念、数学意 识，常
体现为解题中的整体把握和成功思路的预感、预测与预见．如像学外语的“语感”，学音乐的“乐
感”．
解题经验就好像是建筑上的预制构件（或称为思维组块），遇到合适的场合，可以原封 不动地
把它用上（模式识别）．解题所做的脑力工作就在于回忆他的经验中用得上的东西，并且和他的解
题思维联系起来．
经验题感的一个重要构成是美感，熟谙数学美，就能以美启真、以美寻真， 能够从题意中领
悟到审美感受，从而随之产生解题的意向．
（3）经验积累的基本途径 中学生的解题积累，基本上就是课本上的学习积累，因此，对课本学习内容进行总结归类是
积累经验 的一个基本途径；分析解题过程是又一个积累经验的重要途径．

10
小经验1：总结每一章的作业，弄清一共有几个主要类型，每一类型各有几种解决的方法．
小经验2：分析解题过程，揭示问题的深层结构.

分析1 由

x
记
f

x


例6 如果
xx
2
1
2

y
x1

y

y1

1x
2
y
2
11
，则
xy0
.
x
2
1y
2
1y
.
x
2
1x
问题转化为
f

x
f

y

xy
.，只需
f

x

的严格单调.
“
f

x

的严格单调”问题的深层结构.

yy1

1
，有

ln
< br>xx1

ln

yy1

0
 ln

xx1

ln

yy1

ln

x1x

ln

y1y

记
f

x

ln

xx 1

，问题转化为
f

x

f

y

xy
.
分析2 由
xx
2
 1
2
2
2
22
22
2
只需
f
< br>x

的严格单调
证明1 由
xx
2
1


yy
2
11
，有

x
2
1xy
2
1y
，
0 xyx
2
1y
2
1
xy

xy



xy

x
2
y2
x
2
1y
2
1
x
2
1y
2
1xy
，
x
2
1y
2
1
2(x
2
1x)
x
2
1y
2
1
相减 2
xy0
.