西安三本院校-中国民航大学招生

..

绝密★启用前
2018
年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．
作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．
考试结束后
，
将本试卷和答题卡一并交回
。

一、选择题：本题共
12
小题，每小题
5
分，共
60
分， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1.
A.

B. C. D.
【答案】
D
【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.
详解：选D.
点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.
2.
已知集合
A.
9
B.
8
C.
5
D.
4
【答案】
A
【解析】分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.
详解：
当
当
当
时，
时，
时，
；
；
；
，
，则中元素的个数为
所以共有9个，选A.
点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.
;..

..
3.
函数的图像大致为

A.
A
B.
B
C.
C
D.
D
【答案】
B
【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.
详解：
舍去D;
，
所以舍去C；因此选B.
点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（ 1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数
的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性， 判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象
的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复 ．
4.
已知向量
，
满足
，
，则
为奇函数，舍去A,
A.
4
B.
3
C.
2
D.
0
【答案】
B
【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.
详解：因为
所以选B.
点睛：向量加减乘：

5.
双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
;..

..
A.
【答案】
A
B. C. D.

【解析】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a, b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.
详解：
因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.
点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.
6.
在
A.
中，
B.
，
C.
，
D.

，则
【答案】
A
【解析】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.
详解：因为
所以

，选A.
点睛：解三角形问题，多为边和角的求 值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角
之间的关系，从而达到解决问题的目的 .
7.
为计算，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入

A.
B.
;..

..
C.
D.


【答案】
B
【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项.
详解：由
中应填入，选B.
得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减. 因此在空白框
点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关 概念，包括选择
结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通 过循环规律，明
确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.




8.
我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫 猜想是“每个大于
2
的
偶数可以表示为两个素数的和”，如
等于
30
的概率是
A. B. C. D.

【答案】
C
【解析】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于 30的取法，最后根据古典概型概
率公式求概率.
详解：不超过30的素数有2，3，5，7 ，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共
有种方法，因为
，选C.
，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种
．在不超过
30< br>的素数中，随机选取两个不同的数，其和
方法，故概率为
点睛：古典概型中基本事件数的 探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事
件的探求.对于基本 事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素
基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条
件较多且元素数目较多的题目.
9.
在长方体中，
，
，则异面直线与所成角的余弦值为
;..

..
A. B. C. D.
【答案】
C

【解析】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用 向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与
线线角相等或互补关系求结果.
详解：以D为坐标 原点，DA,DC,DD
1
为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则
所以,
,
因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.
点睛：利用法向量求解空间线面 角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标
系；第二，破“求坐标关”，准 确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第
四，破“应用公式关”.
10.
若在是减函数，则的最大值是
A. B. C. D.

【答案】
A
【解析】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值
详解：因为
所以由
因此
点睛：函数
(1). (2)周期
得
，

，从而的最大值为，选A.
的性质：
(3)由 求对称轴， (4)由
求增区间;
由
11.
已知
A.
是定义域为
求减区间.
的奇函数，满足．若，则
B.
0
C.
2
D.
50
【答案】
C
【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.
详解：因为
;..
是定义域为的奇函数，且，

..
所以
因此
因为，所以
，从而
,
，
，
，选C.
点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性 进行变换，将所求函
数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
12.
已知
，
是椭圆
上，为等腰三角形，
的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率 为的直线
，则的离心率为
A. B. C. D.

【答案】
D
【解析】分析：先根据条件得PF
2
=2c,再利用正 弦定理得a,c关系，即得离心率.
详解：因为
由斜率为得，
为等腰三角形，，所以 PF
2
=F
1
F
2
=2c,
，
由正弦定理得,
所以，选D.
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题 其关键就是确立一个关于
的关系消掉得到
点的坐标的范围等.
二、填空题：本题共< br>4
小题，每小题
5
分，共
20
分。
13.
曲线
【答案】

在点处的切线方程为__________
． 的关系式，而建立关于
的方程或不等式，再根据
的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线 的几何性质、
【解析】分析：先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.
详解：
点睛：求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的 切线中，点P不一
;..

..
定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.
14.
若满足约束条件

则的最大值为__________
．
【答案】
9
【解析】分析：先作可行域，再平移直线，确定目标函数最大值的取法.
详解：作可行域，则直线过点A(5,4)时取最大值9.

点睛：线性规划的实质 是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行
域；二，画目标函数 所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般
情况下，目标函数的 最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
15.
已知
【答案】

再根据两角和正弦公式化简求结果.
，
，

，
，则__________
．
【解析】分析：先根据条件解出
详 解：因为
所以
因此
点睛：三角函数求值的三种类型
，
(1)给角求 值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.
;..

..
16.
已知圆锥的顶点为，母线
面 积为
【答案】
，
所成角的余弦值为
，
与圆锥底面所成角为
4 5°
，若的
，则该圆锥的侧面积为__________
．

【解 析】分析：先根据三角形面积公式求出母线长，再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据
圆锥侧面 积公式求结果.


因为与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为


因此圆锥的侧面积为
点睛：本题考查线面角，圆锥的侧面积，三角形面积等知识点， 考查学生空间想象与运算能力
三、解答题：共
70
分。解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤。第
17～21
题为必考题，每个试题
考生都必须作答。第
22 、23
为选考题
，
考生根据要求作答。
（一）必考题：共
60
分。
17.
记为等差数列
（1
）求
的前项和，已知
，．
的通项公式；
（2
）求，并求的最小值．
2
【答案】（
1
）
a
n
=2n–9
，（2）
S
n
=n
–8n
，最小值为
–16．
【解析】分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项 公式得结果，（2）根据
等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为 正整数求函数最值.
详解：
（1
）设
{a
n
}
的 公差为
d
，由题意得
3a
1
+3d=–15．
由
a
1
=–7
得
d=2．
所以
{an
}
的通项公式为
a
n
=2n–9．
（2
） 由（
1
）得
S
n
=n
2
–8n=（n–4）
2
–16．
所以当
n=4
时，
S
n
取得最小值 ，最小值为
–16．
点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注 意其定义域为正整数集这一限制
条件.
18.
下图是某地区
2000年至
2016
年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．
;..

..


为了预测该地区
2018
年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据
2000
年至
2016
年的数据（时间变量的值依次为
年的数据（时间变量的值依次为
）建立模型①
：
．
；根据
2010
年至
2016
）建立模型②
：
（1
）分别利用这两个模型，求该地区
2018
年的环境基础设施投资额的预测值；
（2
）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
【答案】（< br>1
）利用模型①预测值为
226.1
，利用模型②预测值为
256.5
，（2）利用模型②得到的预测值更可
靠．
【解析】分析：（1）两个回归直线方程 中无参数，所以分别求自变量为2018时所对应的函数值，就得结果，
（2）根据折线图知2000到 2009，与2010到2016是两个有明显区别的直线，且2010到2016的增幅明显
高于20 00到2009，也高于模型1的增幅，因此所以用模型2更能较好得到2018的预测.
详解：（1
）利用模型①，该地区
2018
年的环境基础设施投资额的预测值为
=–30.4+13.5×19=226.1
（亿元）．
利用模型②，该地区
2018
年的环境基础设施投资额的预测值为
=99+17.5×9=256.5
（亿元）．
（2
）利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
（i
）从折 线图可以看出，
2000
年至
2016
年的数据对应的点没有随机散布在直线
y=–30.4+13.5t
上下，这说
明利用
2000
年至
2016
年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．
201 0
年相对
2009
年的环境基础设施投资额有明显增加，
2010
年 至
2016
年的数据对应的点位于一条直线的附近，
这说明从
2010
年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用
2010
年至
2016
年的数据建立
的线性模型
=99+17.5t
可以较好地描述
201 0
年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得
;..

..
到的预测值更可靠．
（ii
）从计算结果看，相对于
2016
年的环境基础设施投资额
220
亿元，由模型①得到的预测值
226.1
亿元的
增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型 ②得到的预测值更可靠．
以上给出了
2
种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．
点 睛：若已知回归直线方程，则可以直接将数值代入求得特定要求下的预测值；若回归直线方程有待定参
数 ，则根据回归直线方程恒过点
19.
设抛物线
（1
）求的方程；
（2
）求过点
，
且与的准线相切的圆的方程．
【答案】
(1) y=x–1,(2)
【解析】分析：(1)根据抛物线定义得
或
．
，再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入
求参数.
的直线与交于
，
两点，
．
的焦点为，过且斜率为
求出斜率 ，即得直线的方程；（2）先求AB中垂线方程，即得圆心坐标关系，再根据圆心到准线距离等于半
径得 等量关系，解方程组可得圆心坐标以及半径，最后写出圆的标准方程.
详解：
（1
） 由题意得
F（1，0），l
的方程为
y=k（x–1）（k>0）．
设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
）．
由得
．
，
故
．
所以
．
由题设知
，
解得
k=–1
（舍去），
k=1．
因此
l
的方程为
y=x–1．
（2
）由（
1）得
AB
的中点坐标为（
3，2
），所以
AB
的垂直平 分线方程为
，
即
．
设所求圆的圆心坐标为（
x
0
，y
0
），则
解得或
因此所求圆的方程为
;..

..
或
点睛：确定圆的方程方法
．
(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心
的值；
②若已知条件没有明确给出 圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于
D
、
E
、
F
的方程组，
进而求出
D
、
E
、
F
的值．
20.
如图，在三棱锥
（1
）证明：
（2
）若点在棱中，
平面
；
为，求与平面所成角的正弦值．
，，
为的中点．
和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出
上，且二面角

【答案】（
1
）见解析（
2
）

【解析】分析 ：(1)根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根
据线 面垂直判定定理得结论，(2)根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解出平面PAM
一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解
得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果.
详解：（
1
）因为
连结
且
由
由
.
因为
，
知
知
.
.
平面
.
的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系
.
，
为
，所以
的中点，所以，且
.
为等腰直角三角形，
（2
）如图，以为坐标原点，
;..

..

由已知得
设
设平面
由
，则
的法向量为
得
.
，可取
.
取平面的法向量
.
，
所以
.
由已知得
.
所以
.
解得（舍去），
.
所以
所以与平面
.
又，所以
.
所成角的正弦值为
.
点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一， 破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标
系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破 “求法向量关”，求出平面的法向量；第
四，破“应用公式关”.
21.
已知函数
（1
）若
（2
）若
．
，证明：当
在
时，
；
只有一个零点，求
．
【答案】（
1
）见解析（
2
）

;..

..

详解：
（1
）当
设函数
当
而
时，
，故当
时，
，则
，所以
时，
．
等价于
．
．
单调递减
．
在
，即
．
（2
）设函数
在
（i
）当
（ii
）当
当< br>所以
故
①若
②若
③若
只有一个零点当且仅当
时，时，
时，
在
；当
单调递减，在
是
，即
，即，即
在
，
，
，
在只有一个零点
．
没有零点；
．
时，
单调递增
．
．
的最小值
．
在
在
没有零点；
只有一个零点；
，所以在有一个零点， ，由于
由（
1
）知，当
故在
在
时，，所以
在有两个零点< br>．
．
．
有一个零点，因此
综上，只有一个零点时，
点睛 ：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
;..

..
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
（二）选考题：共
10
分。请考生在第
22、23
题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。
22. [
选修
4－4
：坐标系与参数方程
]
在直角坐标系中，曲线的参数方程为
（
为参数），直线的参数方程为
（
为参 数）.
（1
）求和的直角坐标方程；

（2
）若曲线截直线所得 线段的中点坐标为
【答案】（
1
）当

【解析】分析：(1)根据同 角三角函数关系将曲线的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线
的参数方程化为直角坐标方 程，此时要注意分
直角坐标方程，根据参数几何意义得
详解：
（1）
曲线的直 角坐标方程为
当
当
时，的直角坐标方程为
时，的直角坐标方程为
．
与两种情况.(2)将直线参数方程代入曲线的
，即得的斜率．
时，的直角坐标方程为
，求的斜率．
，
当时，的直角坐标方程为
．
（
2
）
之间关系，求得
．
，
（2
）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程
．①
因为曲 线截直线所得线段的中点
又由①得，故
在内，所以①有两个解，设为
，
，则< br>，于是直线的斜率
．
．
点睛：直线的参数方程的标准形式的应用
过点
M
0
(
x
0
，
y
0
)，倾斜 角为α的直线
l
的参数方程是
若
M
1
，
M
2
是
l
上的两点，其对应参数分别为
t
1
，
t2
，则
(1)
M
1
，
M
2
两点的坐 标分别是(
x
0
＋
t
1
cos α，
y
0
＋
t
1
sin α)，(
x
0
＋
t
2
cos α，
y
0
＋
t
2
sin α).
(2)|
M
1
M
2
|＝|
t
1
－
t
2< br>|.
(3)若线段
M
1
M
2
的中点
M所对应的参数为
t
，则
t
＝
(4)若
M
0为线段
M
1
M
2
的中点，则
t
1
＋< br>t
2
＝0.
23. [
选修
4－5
：不等式选讲
]

设函数
（1
）当
;..
.(
t
是参数，
t
可正、可负、可为0)
，中点
M
到定点
M
0
的距离|
MM
0
|＝|
t< br>|＝.
．
时，求不等式的解集；

..
（2
）若
【答案】（
1
）
，求的取值范围．
,(2) < br>【解析】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2） 先
化简不等式为
取值范围．
详解：
（1
）当时，
可得
（2）
而
由可得
的解集为
等价于
，且当
或
．
．
时等号成立
．
故等价于
．
．
，再根据绝对值三角不等式得最小值，最后解不等式得的
，所以的取值范围是
点睛：含绝对值不 等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求
解．法一是运用分 类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、
渗透，解题时强 化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．


;..

..

每项建议案实施完毕，实施部门应根据结果写出总结报告，实 事求是的说明产生的经济效益或者其他积极效果，呈报总经办。
总经办应将实施完毕的建议案提交给评 委会进行效果评估，确定奖励登记，对符合条件的项目，应整理材料，上报总经理审批后给建议人颁发奖励。
总经办应做好合理化建议的统计记录及资料归档管理。



;..