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浅谈一题多解培养学生发散思维
摘 要
本文意在明确一题多解中学生思 维能力的发展，从而使教师在
数学解题教学过程中更加重视解题方法对学生思维和发散思维的培
养。本文通过两道典型例题对一题多解型的讲解，通过不同的例题
可以达到对学生思维能力的训练培养的 目的。通过一题多解，可以
开阔学生思路、发散学生思维，让学生学会多角度分析和解决问题；
对一题多解灵活运用，对培养学生发散思维，启发学生独立思考具
有较好的指导意义。
关键词：一题多解 发散思维 思维能力
一题多解对学生思维能力的培养
同一数学问题用不同的数学方法可以达到异曲同工之效，我们
称之为“一题多解”。其特点就是对同一 个问题从不同的角度、不同
的结构形式、不同的思维方式去解答同一个问题。一题多解能快速
整 合所学知识，重要的是培养学生细致的观察力、丰富的联想力和
独立思考、解决问题的能力。
（一）提高分析、解决问题的能力
一题多解，能够使学生开阔思维，把学过的知识和方法融合 在
一起，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生独立思考的
能力。
例1.
甲乙两地相距450千米。客车和货车同时从两地相向而行，客
车行完全程需10小时，货车行 完全程需15小时，相遇时两车各行

- 1 -

多少千米？
解法一：用路程问题的解法。
根据 速度=路程÷时间 可以求出客车的速度为450÷10=45
（千米小时），货车的速 度为450÷15=30（千米小时）。
（1）几小时后两车相遇：450÷（45+30）=6（小时）
（2）相遇时客车行了多少千米：45×6=270(千米)
（3）相遇时货车行了多少千米：30×6=180(千米）
解法二：用比例分配的方法。
两车所需的时间之比是：10:15，根据距离一定，速度与时间成
反比例关系进行解答。
（1）两车所需的时间之比是：10:15=2:3
所以两车速度之比是：3:2
（2）两车运行时间相同，所以路程与速度成正比例，即两车行
驶路程之比是：3:2
3
（3）相遇时客车行了多少千米：450×（ )=270(千米）
5
2
（4）相遇时货车行了多少千米：450×（ )=180(千米）
5
答：相遇时客车行了270千米，货车行了180千米。
解法三：工程问题的方法解决
客车行完全程要10小时，每小时行全程的110
货车行完全程需15小时，每小时行全程的115
相遇时间为：1÷（110＋115）＝6（小时）
6小时客车行了全程的：6×110＝35

- 2 -

所以客车行了：450×35＝270（千米）
所以货车行了：450－270＝180（千米）...
解法一：求出两车相遇时间，进而 求出相遇时两车各自的行驶路程，
这种方法是处理类似行问题最为一般的方法，也是最为普遍的解决方法，是解决更为复杂的工程问题的基础。而解法二是通过对公式
路程=速度×时间的灵活运用，只 需求出两车的速度之比，进而运用
比例对两车各自的行程进行分配，可以说是对公式的升华。解法三用工程问题来解决，直接把路程看做1，通过效率来解决问题。
（二）提高多角度分析能力
一题多解可以培养学生灵活、敏捷的思维能力，让学生学会对
问题 进行多角度、多层次的分析，达到对问题的全面理解，进而迅
速准确的解决问题。
例2.
6人站成一排，若甲不能站排头，乙不能站排尾，则不同的站
法有多少种？
解法二：甲在尾
A
5
5
=120
11
C
4
甲不在未(自然也不在头)
C
4
11< br>C
4
共：
A
5
5
+
C
4
A
4
4
=4

4

24=384
A
4
4
=120+384=504
解法二：分析：设6人为ABCDEF
甲不在A处，如甲占F位，则乙可在ABCDE，5处 任占一位，其
它4人可在余下的4处各占一位，即：5

4

3
2

1=120；如甲
在BCDE，4处任占一位，则乙只能在BCD E除去一位或A共4

- 3 -

处任占一位，其它4人可在余下的4处各占一位，即：4

4

4

3

2

1=384；所以一共有 120+384=504（种）站法。
5

4

3
< br>2

1+4

4

4

3

2

1=504
答：共有504种站法。
解法三：（1）甲站排尾,乙有5种站法
（2）甲站中间的4个空有4种站法,乙除了甲站 的空和排尾还有的
空还有4种站法,共4

4=16种
（3）甲乙共有5+16=21种站法
（4）剩余4人共有4

3

2

1=24种站法
（5）所以共有21

24=504种站法
解法四：所有可能的排法有:
A
6
6
=6!=720
再考虑特殊情况.
甲在排头,乙在排尾的可能减去即可.
(1)甲在排头,乙不在 排尾有4

A
4
4
=4

4!=96
( 2)甲不在排头,乙在排尾有4

A
4
4
=4

4 !=96
(3)甲在排头,乙在排尾有
A
4
4
=4!=24
所以甲不能站排头，乙不能站排尾排法有720-96-96-24=504
6!-5!-5!+4!=504
解法五：若甲站排尾,则剩下的五人可以全排列,即5!= 120.甲还可
排在第二.三.四.五.5位,乙可排在第一.二.三.四.五。5位,剩下四人
全排列4！,即4

5

4!=480,

- 4 -

所以答案为120+480=600
A={6个人站一排的站法}，B={甲站排头}，C={乙站排尾}
D={甲不能站排头， 乙不能站排尾}，则A有6!，B，C各有5!，
BC
共有4!
D=A-B-C+
BC
，D共有6!-5!-5!+4!=504。
五种 解法中，第一种解法最为直接，即通过题干的条件一一进行
确定，先确定甲不站排头，再确定乙不站排尾 ，最后再确定其他
人位置，进而得出结果，调理清楚，顺理成章；第二种解法是对
第一种解法的 抽象；第三种解法与前两种从人员分配入手的解法
不同，该解法从位置角度入手，分别确定排头、排尾的 三类站法，
进而相加求出结果；第四种解法采取逆向思维，先不考虑题干具
体要求，求出站法总 数，然后再依据要求一一进行排除；解法五
是用集合的思想入手，找出题目中的限制条件，从而得出结论 。
（三）培养发散思维及联想能力
通过一题多解的训练，可以培养学生的发散性思 维及联想能
力，学会用不同的知识解决同一个问题，达到对多种知识的融会
贯通。
例3.
12

a0,b0,
ab
,求
ab
的最小值。 已知：
解法一：利用不等关系

- 5 -

122
2
ab
∵
a0,b0,
ab
,
121

ab8
ab2
，即
a2,b4
时取“=”号）， ∴(当且仅当
∴
ab
的最小值是8。
解法二：平方法
12
1
a0,b0,
ab
∵，
1214 4448
()
2

2

2
2
22< br>
ababab
(当且仅当
abab
∴1=
ab
121

ab2
，即
a2,b4
时取“=”号）。
∴
ab
的最小值是8。
解法三：利用三角恒等关系换元
12
12
cos
2

sin
2

 1
∵
a0,b0,
ab
,可令
a
，
b
。
∴
a
1
cos
2

，
b
2
sin
2

，
a=2,b= ∴
ab
28
1
12
8
cos
2

sin
2

sin
2
2

(当且仅当 = =
2
，即
ab
4时取“=”号）。
∴
ab
的最小值是8。
解法四：均值换元
12
1
a0,b0,
ab
∵

- 6 -

112111
t,t,其中-《t
22
, 可令
a2b2
8
22
2
∴
ab
1-4t
8
,﹙∵
14t

(0,1]，当
14t
= 1，即
t0,a2,b4
时，取“=”号）
解法五：导数求最值
12
1
a0,b0,
ab
∵,
∴
b
2a
0,a1,
a1

2a
2
ab
a1
。 ∴
2a(a2)
2a< br>2
(a1)
2
(a1)
aa
a1
令ƒ（）=, ∴ƒˊ()=。令ƒˊ(
a
)=0，解得
a21
。
当
a

（1,2）时，ƒˊ(
a
)<0,此时ƒ（
a
）是减函 数，
当
a

（2，+∞）时，ƒˊ(
a
)>0,此时ƒ（
a
）是增函数。
∴当
a1
时，
f(a)
最小值
=
22
2
f(a)
极小值
=ƒ（2）=
2-1
=8。（此时
a 2,b4
)。
五种解法，第一种利用不等关系求解，是解决类似问题最先想到
的方 法，也是最直接的解法；第二种的平方法，目的是通过对已
知条件进行操作使之出现所求的量，进而求解 ；第三、第四种都
属于换元法，通过三角换元和均值换元，将所求的量变形为一元
关系，即2

或t的关系，进而求解；最后一种解法是通过导数求
出函数单调性，进而求出 最值，得出结果。从知识面的角度来讲，
这一道题目的五种解法，至少包含了五方面的知识，这不仅丰富

- 7 -