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2010年考研数学一真题
一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。下列每题 给出的四
个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）
(1)极限
(A)1 (B)
(C) (D)
【考点】C。
【解析】
【方法一】
这是一个“”型极限

【方法二】
原式
而


则
【方法三】



(等价无穷小代换)

对于“
若
则
由于
”型极限可利用基本结论：
,,且
,求极限





则
【方法四】


综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷
小量的比较，极限的四则运算，两个重要 极限
(2)设函数
,则
由方程确定，其中为可微函数，且
。
(A) (B)
(C) (D)
【答案】B。
【解析】

因为 ,

所以
综上所述，本题正确答案是(B)。
【考点】高等数学—多元函数微分学—多元函数的偏导数和全微
分
(3)设为正整数，则反常积分的收敛性

(A)仅与的取值有关 (B)仅与的取值有关
(C)与的取值都有关 (D)与的取值都无关
【答案】D。
【解析】
本题主要考察反常积分的敛散性，题中的被积函数分别在
和时无界

在反常积分
由于，
中，被积函数只在时无界。

已知反常积分收敛，则也收敛。
在反常积分

中，被积函数只在时无界，由于
(洛必达法则)
且反常积分
综上所述，无论
收敛，所以收敛
收敛。 取任何正整数，反常积分
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分
(4)
(A)
(C)
(D)
【答案】D。

(B)

【解析】
因为



综上所述，本题正确答案是C。


【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概
念、性质、计算和应用
(5)设为矩阵，为
,则
(A)秩
(C)秩
【答案】A。
【解析】
因为
又因
为阶单位矩阵，知
,故

秩
秩
(B)秩
(D)秩
秩
秩


矩阵，为阶单位矩阵，若

另一方面，为矩阵，为矩阵，又有

可得秩秩
综上所述，本题正确答案是A。
【考点】线性代数—矩阵—矩阵的秩

(6)设为4阶实对称矩阵，且
于
，若的秩为3，则相似
(A) (B)
(C)
【答案】D。
【解析】
由知
(D)
，那么对于

推出来
所以的特征值只能是
再由是实对称矩阵必有
可知D正确

，而是的特征值，那么由,
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】线性代数—特征值与特征向量—实对称矩阵的特征值、
特征向量及其相似对角矩阵
(7)设随机变量的分布函数
(A)0 (B)
(C) (D)
,则

【答案】C。
【解析】

综上所述，本题正确答案是C。
【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—随机变量分布
函数的概念及其性质
(8)设为标准正太分布的概率密度，为上均匀分布
得概率密度，若

为概率密度，则
(A)
(C)
应满足


(B)
(D)
【答案】A。
【解析】
根据密度函数的性质

为标准正态分布的概率密度，其对称中心在处，故

为上均匀分布的概率密度函数，即


所以,可得
综上所述，本题正确答案是A。
【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—连续型随机 变
量的概率密度，常见随机变量的分布
二、填空题（914小题，每小题4分，共24分。）
(9)设
【答案】。
【解析】
【方法一】
，则 。



则
【方法二】
由参数方程求导公式知，
，

代入上式可得
【方法三】
由得，，则
。



当时，则

综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—一元函数微分学—基本初等函数的导数，复
合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法
(10)
【答案】
【解析】
令,则
。
。

综上所述，本题正确答案是。


【考点】高等数学—一元函数积分学—基 本积分公式，不定积分
和定积分的换元积分法与分部积分法
(11)已知曲线的方程为
，则曲线积分
【答案】。
【解析】
如图所示,其中
,
所以


综上所述，本题正确答案是。











起点是
。
终点是






-1 O 1

【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲线积分的概念、性
质及计算
(12)设
【答案】。
【解析】
，则的形心坐标 。



综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的
概念、性质、计算和应用
(13)设，若由

生成的向量空间的维数为，则
【答案】6。
【解析】
。
生成的向量空间的维数为，所以可知，

所以可得
综上所述，本题正确答案是。
【考点】线性代数—向量—向量组的秩，向 量组的秩与矩阵的秩
之间的关系，向量空间及其相关概念
(14)设随机变量的概率分布为
。
【答案】。
【解析】
泊松分布的概率分布为
随机变量的概率分布为
对比可以看出
所以而



,
,则
综上所述，本题正确答案是。
【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—常见随机变量

的分布； 概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望
(均值)、方差、标准差及其性质
三、解答题：
程或演算步骤。
(15)求微分方程
【解析】
由齐次微分方程的特征方程

所以，齐次微分方程

设微分方程

则


代入原方程，解得

故特解为
所以原方程的通解为

【考点】高等数学—常微分方程—二阶常系 数齐次线性微分方程，
简单的二阶常系数非齐次线性微分方程

的特解为
的通解为
的通解
小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过

< br>(16)求函数
【解析】
函数的定义域为
的单调区间与极值
，


令



由上可知，
区间为
极小值为


，得



极小

,列表如下


极大
和





极小
；

的单调减


的单调增区间为
和,

极大值为

【考点】高等数学—一元函数微分学—基本初等函数的导数，函
数单调性的判别 函数的极值
高等数学—一元函数积分学—基本积分公式，积分上限的函数及
其导数
(17)

(I)比较
明理由；
(II)记
【解析】
(I) 当时，因
与的大小，说
,求极限。
,所以

所以有
(II)【方法一】
由上可知，



所以
由夹逼定理可得
【方法二】
由于为单增函数，则当时，,从而有




又
【方法三】
，由夹逼定理知

已知

因为
上有界，从而存在
则
,且
使得

在上连续，则

在
由及夹逼定理知
【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限存在的两个准则：
单调有界准则和夹逼准则
高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质
(18)求幂级数
【解析】
的收敛域及和函数。


即时，原幂级数绝对收敛
时，级数为< br>原幂级数的收敛域为
又
，由莱布尼茨判别法显然收敛，故
。

令
则
所以
由于
所以
，所以





所以幂级数的收敛域为，和函数为。
【考点】高 等数学—无穷级数—幂级数及其收敛半径、收敛区间
(指开区间)和收敛域，幂级数的和函数，简单幂级 数的和函数的
求法，初等函数的幂级数展开式
(19)设为椭球面
线平面与
上的动点，若在点处的切
面垂直，求点的轨迹,并计算曲面积分
,其中是椭圆球面位于曲线上方 的部
分。
【解析】
求轨迹
令
向量为

由切平面垂直
又已知为椭球面
面，得
上的动点，所以
,故动点的切平面的法

为的轨迹
再计算曲面积分
因为曲线在
又对方程
面的投影为
两边分别对

求导可得

解之得


于是



【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲面积分的概念、性
质及计算
(20)设
同的解
(I)求；
.已知线性方程组存在2个不
(II)求方程组
【解析】
的通解。

(I)因为已知线性方程组

存在2个不同的解，所以
故
知
当

时，

,
显然
当时，
，此时方程组无解，舍去，

因为
即，
(II)
有解，所以
，
，

时，已知


所以的通解为

其中为任意常数。
【考点】线性代数—线性方程组—非齐次线性方程组有解的 充分
必要条件，非齐次线性方程组的通解
(21)已知二次型
,且的第三列为
(I)求矩阵；
(II)证明
【解析】
(I)二次型在正交变换下的标准形为
。
是矩阵在特征
为正定矩阵，其中为3阶单位矩阵。
在正交变换

下的标准形为
，可知二次型矩阵的特征值是
又因为的第三列为
值的特征向量。
，可知
根据实对称矩阵，特征值不同特征向量相互正交，设关于
的特征向量为
则
取
,即

，

(II)由于矩阵的特征值是
因为
,那么的特征值为
正定。
，
的特征值全大于，所以
【考点】线性代数—二次型—二次型及其矩阵表示，二次型的 秩，
二次型的标准形和规范形，二次型及其矩阵的正定性
(22)设二维随机变量的概率密度为

求常数及条件概率密度
【解析】
。


又
即
当

,等价于时，


【考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—二维连续
型随机变 量的概率密度、边缘概率密度和条件密度，常用二维随
机变量的分布
(23)设总体的概率分布为

其中参数






未知，以表示来自总体的简单随机样本（样,试求常数使本容量为）中等于的个数
为的无偏估计量，并求的方差。
【解析】
记
故
,则

要令为的无偏估计量，则有

可得
,此时
此时，,由于

因为，，所以
为的无偏估计量
故

【考点】概率论与数理统计—参数估 计—估计量的评选标准，区
间估计的概念，单个正态总体的均值和方差的区间估计