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2016考研数学（一）真题完整版
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分 ，下列每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 .
．．．
（1）若反常积分


a
1
x

1x

b
0
dx
收敛，则（ ）

A

a1且b1

B

a1且b1

C

a1且ab1

D

a1且a b1
（2）已知函数
f

x



< br>

2

x1

,x1
，则
f

x

的一个原函数是（ ）


lnx ,x1
2



x1

,x1
< br>B

F

x




< br>x

lnx1

1,x1
2


x1

,x1

A

F
x





x

lnx1

,x1
22

x1,x1x1

,x1





C

F

x




D

F

x




x

lnx1

1,x1< br>
x

lnx1

1,x1

< br>（3）若
y1x
2

2
1x
2
, y

1x
2

1x
2
是微分方程
y

p

x

yq

x
< br>的两
2
个解，则
q

x


（ ）

A

3x

1x
2


B

3x

1x
2


C< br>
x
1x
2

D


x
1x
2


x,x0

（4）已知函数
f
x



111
,x,n1,2,

n

nn1
，则（ ）
（A）
x0
是
f

x

的第一类间断点 （B）
x0
是
f

x

的第二类间断点
（C）
f

x

在
x0
处连续但不可导 （D）
f

x

在
x0
处可导
（5）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（ ）
（A）
A
与
B
相似 （B）
A
与
B
相似
（C）
AA
与
BB
相似 （D）
AA
与
BB
相似
（6）设二次型
f

x
1
,x
2
,x
3

x
1x
2
x
3
4x
1
x
2
4x< br>1
x
3
4x
2
x
3
，则
f

x
1
x,
2
x,
3
222
TT1 1
TT11
2


在
空间直角坐标下表示的二次曲面为 （ ）
（A）单叶双曲面 （B）双叶双曲面 （C）椭球面 （C）柱面

（7）设随机变量
X~N

,


2



0

，记
pP

X




，则（ ）
2
（A）
p
随着

的增加而增加 （B）
p
随着

的增加而增加
（C）
p
随着

的增加而减少 （D）
p
随着

的增加而减少
（8）随机试验
E
有三种两两不相容的结果
A
1
,A
2
,A
3
，且三 种结果发生的概率均为
1
，将
3
试验
E
独立重复做2次，< br>X
表示2次试验中结果
A
1
发生的次数，
Y
表示2次 试验中结果
A
2
发生的次数，则
X
与
Y
的相关系数 为（ ）

二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
．． ．
tln

1tsint

dt

_____ _____
（9）
lim
0
x0
x
1cosx
2

（10）向量场
A

x,y,z



xyz

ixyjzk
的旋度
rotA_______ __

（11）设函数
f

u,v

可微，
zz

x,y

由方程

x1

z yxf

xz,y

确定，则
22
dz
< br>0,1

_________

（12）设函数
f

x

arctanx
x
，且
f''

0

1
，则
a________

2
1a x

10
0

1
（13）行列式
00

432
0
0

____________.
1

1
（14）设
x
1
,x
2
,...,xn
为来自总体
N


,


的简单随 机样本，样本均值
x9.5
，参数

的
2
置信度为0.9 5的双侧置信区间的置信上限为10.8，则

的置信度为0.95的双侧置信区间为
______.
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写 出文字说明、
．．．
证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）已知平面区 域
D


r,


2r2

1cos


,



2






，
2

计算二重积分

xdxdy
.
D
'''
（16）（本题满分10分）设函数
y(x)
满足方程
y2yky0,
其中
0k1
.



证明：反常积分

0

y(x) dx
收敛；




若
y(0)1,y (0)1,
求

0
'

y(x)dx
的值.

（17）（本题满分10分）设函数
f(x,y)
满足
f(x, y)
(2x1)e
2xy
,
且
f(0,y)y1,Lt
x
是从点
(0,0)
到点
(1,t)
的光滑曲线， 计算曲线积分
I(t)

L
t
f(x,y)f(x,y)dxdy
，并
xy
求
I(t)
的最小值
（18 ）设有界区域

由平面
2xy2z2
与三个坐标平面围成，

为

整个表面的外侧，
计算曲面积分
I

< br>x

2
1dydz2ydzdx3zdxdy

（19）（本题满分10分）已知函数
f(x)
可导，且
f(0)1
，
0f'(x)
满足
x
n1
f(x
n
)(n 1,2...)
，证明：
（I）级数
1
，设数列

x< br>n

2

(x
n1

n1
x
n
)
绝对收敛；
（II）
limx
n
存在，且< br>0limx
n
2
.
n
n

1 11

2

a1,B
（20）（本题满分11分）设矩 阵
A2

1

11a

a1

当
a
为何值时，方程
AXB
无解、有唯一解、有无穷多解 ？

2


a


2


011


（21）（本题满分11分）已知矩阵A230



000


（I）求
A


（II）设3阶矩阵
B(

,

2
,

3
)
满足
BBA
，记
B
示为

1
,

2
,

3
的线性组合。
（22）（本题满分11分）设二维随机变量
(X,Y)
在区域
D
上服从 均匀分布，令
2
100
99
(

1
,

2
,

3
)
将

1
,

2
,

3
分别表


x,y

0x1,x
2
yx



1,XY
U


0,XY

（I）写出
(X,Y)
的概率密度；
（II）问
U
与
X
是否相互独立？并说明理由；

（III）求
ZUX
的分布函数
F(z)
.

3x
2
,0x




为未知参数，（2 3）设总体
X
的概率密度为
f

x,





3
，其中



0，
< br>0,其他

X
1
,X
2
,X
3
为来 自总体
X
的简单随机样本，令
Tmax

X
1
, X
2
,X
3

。

（1）求
T
的概率密度
（2）确定
a
，使得
aT
为

的无偏估计


参考答案：