半路出家的意思-中班上学期班级总结

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案
一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合
题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
．．．
1、设函数
f(x)
在连续，其2阶导函数
f

(x)
的图形如下图所示， 则曲线
yf(x)
的
（-,+）
拐点个数为（）

（A）0 （B）1
（C）2 （D）3
【答案】(C)
【考点】拐点的定义
【难易度】★★
【详解】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶 导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导
数异号，因此，由
f

( x)
的图形可知，曲线
yf(x)
存在两个拐点，故选(C).
2、设
y
则（）
1
2x

1

e

x

e
x
是二阶常系数非齐次线性微分方程y

aybyce
x
的一个特解，
23
< br>（A）
a3,b1,c1.
（B）
a3,b2,c1.

（C）
a3,b2,c1.
（D）
a3,b2,c1.

【答案】(A)
【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法
【难易度】★★
【详解】
1< br>2x
1
x
e,e
为齐次方程的解，所以2、1为特征方程

2
+a

b0
的根，从而
23
a

12

3,b122,
再将特解
yxe
x
代入方程
y3y2yce
x
得：
c1.
< br>3、若级数

a
n
条件收敛，则
x3
与
x 3
依次为幂级数

na
n

x1

的 ：
n1n1

n
（A）收敛点，收敛点 （B）收敛点，发散点
（C）发散点，收敛点 （D）发散点，发散点
【答案】(B)
【考点】级数的敛散性
【难易度】★★★

【详解】因为

a
n1

n
条件收敛，故
x 2
为幂级数

a

x1

n
n1
n
的条件收敛点，进而得

a
n

x1< br>
的收敛半径为1，收敛区间为

0,2

，又由于幂级数逐 项求导不改变收敛区间，故
n1


n

na

x1

n
n1
n
的收敛区间仍为

0 ,2

，因而
x3
与
x3
依次为幂级数
na
n

x1

的收敛
n1

n
点、发散点.
4、设D是第一象限中曲线
2xy1,4xy1
与直线< br>yx,y3x
围成的平面区域，函数
f(x,y)
在D上连续，则


f(x,y)dxdy

D
（A）

< br>d


2
4
1
sin2

1
2sin2

1
sin2

1
2sin2

f(rcos

,rsin

)rdr
（ B）


2
d


4
1
sin2

1
2sin2

f(rcos

,rsin
)rdr



（C）

3
4
d


f(rcos

,rsin

)dr
（D）


3
d


4
1
sin2

1
2sin2

f(r cos

,rsin

)dr

【答案】(D)
【考点】二重积分的极坐标变换
【难易度】★★★
【详解】由
yx得，


2

4
；由
y3x
得，< br>


3

由
2xy1
得，
2r cos

sin

1,r
1

sin2

1

2sin2

由
4xy 1
得，
4rcos

sin

1,r

1
sin2

1
2sin2

2
所以
 
f(x,y)dxdy


d


3
D
4
f(rcos

,rsin

)rdr

111

1


5、设矩阵
A1 2a
，
bd
，若集合
{1,2}
，则线性方程组
Ax b
有无穷多个


14a
2

d
2


解的充分必要条件为
（A）
a,d
（B）
a,d

（C）
a,d
（D）
a,d

【答案】(D)
【考点】非齐次线性方程组的解法
【难易度】★★

1111

11

【详解】< br>
A,b




12ad

< br>11


a1d1



01

14a
2
d
2




00

a1

a2


d1

d2



Axb
有无穷多解
 R(A)R(A,b)3

a1
或
a2
且
d1
或
d2
< br>6、设二次型
f(x
1
,x
2
,x
3
)在正交变换
xPy
下的标准形为
2y
222
1
y< br>2
y
3
，其中
P(e
1
,e
2
,e
3
)
，若
Q(e
1
,e
3
,e
2
)
，则
f(x
1
,x
2
,x
3
)
在正交变换
xQy
下的标准形为
（A）
2y
2 22222
1
y
2
y
3
（B）
2y
1
y
2
y
3

（C）2y
222
1
y
2
y
3
（D）
2y
222
1
y
2
y
3

【答案】(A)
【考点】二次型
【难易度】★★

2
【详解】由
xPy
，故
fx
T
Axy
T
(P
T
AP)y2y
222
T

0
1
y< br>2
y
3
且：
PAP

01


00


100

QP


0 01


200



PC,Q
TAQC
T
(P
T
AP)C


010< br>


010





001


所以
fx
T
Axy
T
( Q
T
AA)y2y
222
1
y
2
y
3
，故选(A)
7、若
A,B
为任意两个随机事件，则
（A）
P(AB)P(A)P(B)
（B）
P(AB)P(A)P(B)

（C）
P(AB)
P(A)P(B)P(A)
2
（D）
P(AB)
P(B)
2

0

0

1




【答案】(C)
【考点】
【难易度】★★
【详解】

故选

8、设随机变量
X,Y
不相关，且
EX 2,EY1,DX3,
则
E


X

XY 2





（A）-3 （B）3 （C）-5 （D）5
【答案】(D)
【考点】
【难易度】★★★
【详解】
22

E

XXY2EXXY2X EX



E

XY

2E< br>
X



D

X

E
lncosx

2
x0
x
1
【答案】

2
9、
lim
【考点】极限的计算
【难易度】★★
2

X

E

X
E

Y

2E

X

 5

二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
．．．

1
x
2
lncosxln(1cosx1) cosx1
2

1
【详解】
limlimlimlim
x0x0x0x0
x
2
x
2
x
2
x
2
2

(
10、


2
-2
sinx
x)dx
1cosx

【答案】

2
4

【考点】积分的计算
【难易度】★★

sinx

2
22
【详解】< br>

(

x)dx2

xdx
0-
4
2
1cosx

11、若函数
zz(x,y)
由方程
exyz+xcosx2
确定，则
dz
【答案】
z
(0,1)

.

【考点】隐函数求导
【难易度】★★
z
【详解】令
F(x,y,z)exyzxcos x2
，则
F
x

yz1sinx
，
Fy

xz
，
F
z

xy
，
又当
x0,y1
时，
z0
，所以
F

F< br>
z
z

y
0
，因而
dz

x
1
，
y
(0,1)
F
z
< br>x
(0,1)
F
z

(0,1)
dx

12、设

是由平面
xyz1
与三个坐标平面所围成的空间区 域，则

(x2y3z)dxdydz



【答案】
1

4
【考点】三重积分的计算
【难易度】★★★
【详解】
由轮换对称性，得
òòò
(
x+2y+3z
)
dxdydz
=6
òòò
zdxdydz=6ò
zdz
òò
dxdy

WW
0
D
z
1
其中
D
z
为平面
z=z
截空间区域
W< br>所得的截面，其面积为
1
1
2
(
1-z
)
. 所以
2
2
1
1
dz=
3
ò
(
z
3
-2z
2
+z
)
dz=

0
4
òòò
(
x+2y+3z
)
dxdydz
=6
òò ò
zdxdydz=6
ò
0
z×
(
1-z
)
WW
1
2
20L
-12L
MMO
00L
13、< br>n
阶行列式
0
【答案】
2
n1
0
0
2
2
0L
MM
22
-12


2

【考点】行列式的计算
【难易度】★★★
【详解】
按第一行展开得

=2
n+1
-2

14、设二维随机变量
(X,Y)
服从正态分布
N(1,0,1,1,0)
，则
P(XYY0)
【答案 】
.
1

2
【考点】
【难易度】★★
【详解 】
Q(X,Y)~N(1,0,1,1,0)
，
X~N(1,1),Y~N(0,1 ),
且
X,Y
独立
X1~N(0,1)
，
P

XYY0

P

(X1)Y0

< br>11111
P

X10,Y0

P
X10，Y0



22222

三、 解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证
．．．
明过程或演算步骤.
15、（本题满分10分）
设函数
f(x)xa ln(1x)bxsinx
，
g(x)kx
，若
f(x)
与
g(x)
在
x0
是等价无穷小，
求
a
，
b
，
k
值。
【考点】等价无穷小量，极限的计算
【难易度】★★★
【详解】
f(x)xaln(1x)bxsinx

3
 
x
2
x
3
x
3
3

xa

x


x


bx

x


x
3



233!

a

a

< br>
1a

x

b

x
2< br>x
3



x
3


3

2

f(x)与g(x)kx
3
是等价无穷小



1+a0

a1

1< br>
a



b0 

b

2

2

1
a

kk

3

3


16、（本题满分10分）
设函数在
f(x)
定义域
I
上 的导数大于零，若对任意的
x
0
I
，曲线
yf(x)
在 点
(x
0
,f(x
0
))
处
的切线与直线
xx
0
及
x
轴所围成的区域的面积为4，且
f(0)2
，求
f(x)
的表达式
.
【考点】微分方程
【难易度】★★★
【详解】如下图：

处的切线方程为：
与轴的交点为：时，，则，
因此，.即满足微分方程：，解得：.
又因，所以，故.
17、（本题满分10分）
已知函数
f(x,y)xyxy
，曲线< br>C:xyxy3
，求
f(x,y)
在曲线
C
上的最大方 向
导数.
【考点】方向导数，条件极值
【难易度】★★★
【详解】根据 方向导数与梯度的关系可知，方向导数沿着梯度方向可取到最大值且为梯度的模.，
故
22
gradf(x,y)

1y,1x


故
f(x,y)
在曲线
C
上的最大方向导数为
22
1y

2
(1x)
2
，其中
x,y
满足
x
2
y
2
xy3
，
22
即就求函数
z(1y)(1x)
在约束条件
xyxy30
下的最值.
构造拉格朗日函数
F(x,y,

)
(1y)(1x)< br>
(xyxy3)

2222


F< br>
x
2(1x)2

x

y0

F

令

2(1y)2

y

x0
可得
(1,1),(1,1),(2,2),(1,2)


y

F
x
2
y
2
x y30




其中
z(1,1)4,z(1, 1)0,z(2,1)9z(1,2)

综上根据题意可知
f(x,y)< br>在曲线
C
上的最大方向导数为
3
.
18、（本题满分10分）
(Ⅰ)设函数
u(x),v(x)
可导，利用导数定义证明
[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)u(x)v(x)'

(Ⅱ)设函数
u
1
(x),u
2
(x)...u
n
(x)
可导，
式.
【考点】导数定义
【难易度】★★
【详解】





f(x)u
1(x)u
2
(x)...u
n
(x),
写出
f(x)< br>的求导公






19、（本题满分10分）


z2x
2
y
2
,
已知曲线
L
的方程为

起点为
A(0,2, 0)
，终点为
B(0,2,0)
，计算曲线积


zx ,
分
I

L
(yz)dx(z
2
x
2
y)dy(x
2
y
2
)dz

【考点】曲线积分的计算
【难易度】★★★

xcos
,



【详解】曲线
L
的参数方程为
y2sin

,

从到


22

zcos

,


I

(yz )dx(z
2
x
2
y)dy(x
2
y
2
)dz

L
22



2
(2sin

cos

)sin

2sin
2cos

(cos

2sin

)s in



d

2


1



2

2sin
2
sin2

sin

sin
3

d

2

2




< br>

2


2
2sin

d

22

2
sin
2

d

22
0
2
1

2


222
2 0、（本题满分11分）
设向量组

1
,

2
,

3
是3维向量空间
¡
3
的一个基，

1
2

1
2k

3
，

22

2
，

3


1
( k1)

3
。
（Ⅰ）证明向量组

1
,

2
,

3
是
¡
3
的一个基；
（Ⅱ）当k为何值时，存在非零向量

在基

1
,
2
,

3
与基

1
,

2< br>,

3
下的坐标相同，并求出所有
的

。
【考点】线性无关，基下的坐标
【难易度】★★★

2

【详解】（Ⅰ）
(

1
,

2
,
3
)
(

1
,

2
,
< br>3
)0


2k

2
因为
0
1

20



0k1


0
0
2
1
02
2
2k
1
k1
40
，
2k0k1
所以

1
,

2
,

3
线性无关，

1
,

2
,

3
是
¡
3
的一个基。

2

（Ⅱ）设
P0


2k

1


,

,


,

,


20


，
P
为从基
123
到基
123
的过渡矩阵，又设在基
0k1


0

1
,

2
,

3
下的坐标为
x (x
1
,x
2
,x
3
)
T
，则

在基

1
,

2
,

3
下的坐标为
P
1
x
，
由
xPx
，得
Pxx
，即
(PE)x0

1

1
由
PE0
01
10
0 k
1
2k
2k

1


,c
为 任意常数。
k0
，得
k0
，并解得
xc
0

k

1


1
从而

c

1
c

3
,c
为任意常数。
21、（本题满分11分）

02-3


1-20


设矩阵
A-133
相似于矩阵
B0b 0
.




1-2a

031< br>


（Ⅰ）求
a,b
的值.
（Ⅱ）求可逆矩阵
P
，使得
P
1
AP
为对角阵.
【考点】相似矩阵，相似对角化
【难易度】★★★
【详解】由相似于
则解得

当
特征向量
当
则特征向量所以得
22、（本题满分11分）
设随机变量
X
的概率密度为

2
-x
ln2x0
f(x)=


0 x0

对
X
进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止， 记
Y
（Ⅰ）求
Y
的概率分布；
（Ⅱ）求
EY
.
【考点】
【难易度】★★★★
【详解】

为观测次数.

（）

（）
设级数
所以
23、（本题满分11分）
设总体
X
的概率密度为

1

f(x;

)=

1



0

x1
其他

其中

为未知参数，
X
1
，X
2
.....X
n
为来自该总体的简单随 机样本.
（Ⅰ）求

的矩估计.
（Ⅱ）求

的最大似然估计.
【考点】
【难易度】★★★
【详解】由题可得（）

（）联合概率密度

，故取