初中政治教学反思-濮阳人事

《高等数学》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编
第一单元 函数与极限
一、填空题
1、已知
f(sin)1cosx
，则
f(cosx)
。
x
2

(43x)
2

。2、
lim
x
x(1x
2
)

3、
x0
时，
tanxsinx
是
x
的 阶无穷小。
4、
limxsin
x0
k
1
0
成 立的
k
为 。
x

5、
limearctanx
。
x
x


e
x
1,x0
6、
f(x)

在
x0
处连续，则
b
。

xb,x0
7、
lim

ln(3x1)

。
x0
6x

8、设
f(x)
的定义域是
[0,1]
，则
f(lnx)
的定义域是__________。
9、函数
y1ln(x2)
的反函 数为_________。
10、设
a
是非零常数，则
lim(
x 


xa
x
)________
。
xa< br>1
2
3
11、已知当
x0
时，
(1ax)1< br>与
cosx1
是等价无穷小，则常数
a________
。

12、函数
f(x)arcsin
13、
lim
3x
的定义域是__________。
1x

n
x
2
2x
2
2____________
。
14、设
lim(
x
x2a
x
)8
，则
a
_______ _。
xa

15、
lim(nn1)(n2n)
=__ __________。
n
二、选择题
1、设
f(x),g(x)< br>是
[l,l]
上的偶函数，
h(x)
是
[l,l]
上的奇函数，则 中所给的
函数必为奇函数。
（Ａ）
f(x)g( x)
；（Ｂ）
f(x)h(x)
；（C）
f(x)[g(x)h(x)]
；（D）
f(x)g(x)h(x)
。

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2、

(x)
1x
，

(x)1 
3
x
，则当
x1
时有 。
1x


是比

高阶的无穷小；

是比

低阶的 无穷小；（Ａ） （Ｂ）

（C）

与

是同阶无穷小； （D）

~

。

1x1

,x 0(x1)
在
x0
处连续，3、函数
f(x)

3
1x1
则
k
。

kx0


（Ａ）
32
； （Ｂ）； （C）
1
； （D）
0
。
23
n

4、数列极限
limn[ln(n1)lnn]
。
（Ａ）
1
； （Ｂ）
1
； （C）

； （D）不存在但非

。

sinx

x
x

5、
f(x)

0

1
xcos

x

x0
x0< br>x0
，则
x0
是
f(x)
的 。
（Ａ）连续点；（Ｂ）可去间断点；（C）跳跃间断点；（D）振荡间断点。

6、以下各项中
f(x)
和
g(x)
相同的是（ ）
2

（Ａ）
f(x)lgx
，
g(x)2lgx
； （Ｂ）
f(x)x
，
g(x)x
2
；

22< br>（C）
f(x)
3
x
4
x
3
，
g(x)x
3
x1
；（D）
f(x)1
，
g(x) secxtanx
。

7、
lim
sinx
= （ ）
x0
|x|
（Ａ） 1； （Ｂ） -1； （C） 0； （D） 不存在。


第2页

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8、
lim(1x)
（ ）
x0
1
x

1
（Ａ） 1； （Ｂ） -1； （Ｃ）
e
； （Ｄ）
e
。
9、
f(x)
在
x
0
的某一去心邻域内有界是
limf(x)
存在的（ ）
xx
0
（Ａ）充分必要条件；（Ｂ） 充分条件；（C）必要条件；（D）既不充分也不必要条件.

10、
limx(x
2
1x)
x

（ ）
（Ａ） 1； （Ｂ） 2； （C）
1
2
； （D） 0。
11、设
{a
n
},{b
n
},{cn
}
均为非负数列，且
lim
n
a
n
0 ,
n
lim

b
n
1,lim
n
c
n

，则必有（

（A）
a
n
b
n
对任意
n
成立； （B）
b
n
c
n
对任意
n
成立；
（C）极限
lima
n
c
n
不存在 ； （D
n 
）极限
lim
n
b
n
c
n
不存在 。
1
12、当
x1
时，函数
x
2
1
x1
e
x1
的极限（ ）
（Ａ）等于２； （Ｂ）等于０； （Ｃ）为

； （Ｄ）不存在但不为

。

三、计算解答
1、计算下列极限
（1）
lim
n
x
n
2s in
2
n1
； （2）
lim
cscxcotx
；
x0

x< br>1
3x
（3）
lim
x
x
x(e1)
； （4）
lim

2x1
< br>x


2x1


；

（5）
lim
8cos
2
x2cosx1
； （6）
lim
1xsinxcosx
；
x

3
2cos
2
xcosx1
x0
xtanx


第3页
）

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
1
ln(1
3
2x)
11

（7） （8）。

lim
lim



；
3
2
x2
n

1223n(n1)
arcta n4x




x
2
1

1

３、试确定
a,b
之值，使
lim

ax b


2
。
x

x1

４、利用极限存在准则求极限
1
(1)
lim
n
1111

23nn1
。
111
1
23n
（2）设
x
1
a0
，且
x
n1
ax
n
(n1,2,)
，证明
limx
n
存在，并 求此极限值。
n

n
x
n
x
5、讨论函数
f(x)lim
x
的连续性，若有间断点，指出其类型。
n
n n
x

6、设
f(x)
在
[a,b]
上连续， 且
af(x)b
，证明在
(a,b)
内至少有一点

， 使
f(

)

。


第4页

《高等数学》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编
第一单元 函数与极限测试题详细解答
一、填空题
2



2
1、
2sinx
。
f(sin)1(12sin
x
2
xx
)22sin
2
，
22
f (x)22x
2

f(cosx)22cos
2
x2sin
2
x
。
(43x)
2
9x
2
24x16
lim0
。2、
0
。
lim
x
x(1x
2< br>)
x
x
3
x
3、高阶 。
lim


tanxsinxtanx(1cosx)
li mlim(1cosx)0
，
x0x0x0
xx
tanxs inx
是
x
的高阶无穷小。
4、
k0
。


sin
11
k
k
为有界函数，所以要使
lim xsin0
，只要
limx0
，即
k0
。
x0x0
xx

x
x
5、
0
。
limearctanx0

(lime0,arctanx(
x
x


x0x0
x0
,))
。
22
x
6、
b2
。
lim

f(x)lim

(xb)b
，
lim

f(x)lim

(e1)2
，
x0

f(0)b,

b2
。
7、

ln(3x1)3x1
1

limlim
。
x0x0
2
6x6x2

8、
1xe
根据题意 要求
0lnx1
，所以
1xe
。

x1
9、
ye2

y1ln(x2), (y1)ln(x2)
，
x2e
y1
，

 xe
y1
2
，
y1ln(x2)
的反函数为
ye
x1
2
。


第5页

《高等数学》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编 < br>2a
2a

xa
2a
)e
2a
。10 、
e
原式=
lim(1
x
xa
2a
1
xax

1
31
11、以及
a
由
(1ax2
)
3
1~ax
2
与
cosx1~x
2
，
3
22

1
2
ax
(1ax)12
limlim
3
a1
，
x0x0
1
c osx13
x
2
2
3
可得
a
。
2
1
2
3

12、

11
x
由反三角函数的定义域要求可得
42

3x


11
解不等式组可得

1x


1x0

11

11

x
，的定义域为。
f(x)
x

42
42


x1
13、
0

lim
n
x2x2lim
22
(x
2
2x
2
2)(x
2
2x
2
2)
n 
x2x2
22

lim
x
2
2( x
2
2)
x2x2
22
n
0
。
x2a
x
3a
3a

xa
)lim(1) e
3a
8
14、
ln2

lim(
x
xa
x
xa
xa3ax

1ln2
3
3aln8aln8ln2
。
33
1 5、2
lim(nn1)(n2n)lim
n

(nn1)2
n
(n2n)


第6页

《高等数学》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编 < br>1
2(11)
n
2
。
lim
n
2
11
n
二、选择题


1、选（Ｄ） 令
F(x)f(x)g(x)h(x)
，由
f(x),g(x)
是
[l,l ]
上的偶函数，
h(x)
是
[l,l]

上的奇函数，< br>F(x)f(x)g(x)h(x)f(x)g(x)h(x)F(x)
。

2、选（Ｃ）
lim


(x)1x1xlimlim
x1

(x)
x1
(1x)(13
x)
x1
(1x)[1
3
1(1x)]

lim
1x3


x1
1
(1x)(1x)
2
3

1
x
1x13
2
3、选（A）
limf(x) limlim
x0x0
3
1x1
x0
1
x< br>2
3
1
n
4、选（Ｂ）
limn[ln(n1)lnn]limln(1)1

xx
n
5、选（Ｃ）
f(0)1
，
f(0)0
，
f(0)0

2



6、选（Ｃ） 在（A）中
f(x)lnx
的定义域为
x0
，而
g(x)2lnx
的定义域为
x0
，
f(x) g(x)
故不正确
在（B）
f(x)x
的值域为
(, )
，
g(x)x
2
的值域为
x0
，故错
2
在（C）中
f(x)1
的定义域为R，
g(x)secxta nx
的定义域为

{xR,xk

}
，
f(x)g(x)
，故错
2



第7页

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7、选（Ｄ）
lim

x0
sinxsinxsinxs inx
lim

1
，
lim

lim
1
x0x0x0
|x|x|x|x


lim
sinx
不存在
x0
|x|
8、选（Ｄ）
lim(1x)lim[1(x)]
x0x0
1
x
1
(1)
x
e
1
，
9、选（Ｃ） 由函数极 限的局部有界性定理知，
limf(x)
存在，则必有
x
0
的某一去 心
xx
0
邻域使
f(x)
有界，而
f(x)
在< br>x
0
的某一去心邻域有界不一定有
limf(x)
存在，例如
xx
0
limsin
x0
11
，函数
1sin1
有界，但在
x0
点极限不存在
xx

10、选（Ｃ）
2

(x
2
1x)(x
2
1x)x
（
limx(x1x)limxlim
xxx
x1x< br>x
2
1x

lim
1
1
1
1
x
2
x

1

2
11、选（D） （A）、（Ｂ）显然不对，因为有数列极限的不等式性质只能得出数列“当
n
充分大时”的情况 ，不可能得出“对任意
n
成立”的性质。
（Ｃ）也明显不对，因为“无穷小·无穷大”是未定型，极限可能存在也可能不存在。

x
2
1
x1
elim

(x1)e
x 1
200
12、选（D）
lim

x1
x1x1
x
2
1
x1
lim

elim< br>
(x1)e
x1


x1
x1
x1
当
x1
时函数没有极限，也不是

。
三、计算解答
1、计算下列极限：
11

11

（1）解：
l im2sin
n
n
x
2
n1
lim2
n< br>
n
x
2
n1
2x
。
第8页

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1cosx
x
2

cscxcotx1 cosx1
（2）解：
limlim
sinxsinx
limlim< br>2
2

。
x0x0x0
xsinx
x0xxx2

（3）解：
limx(e1)limx
xx< br>1
x
1
1
。
x

11
2x1< br>3x
2
3x
1
x
2

2
3
lim()lim(1)lim[(1)]
。（4）解：
x
2x1< br>xx
1
2x1
x
2

[lim1< br>x
1
x
1
2
)
x
1
23
][lim1
x
1
x
1
2
)] e
3

1
2
3
8cos
2
x2cosx 1(2cosx1)(4cosx1)
lim
（5）解：
lim
< br>2cos
2
xcosx1

(2cosx1)(cosx1)
xx
33

lim

x
3
4co sx1

cosx1
4
1
1
2
1
1
2
2
。
（6）解：
lim
x0
1xs inxcosx1xsinxcosx
lim
x0
xtanx(1xsi nxcosx)
xtanx

lim
x0

xsin x1cosxxsinx1cosx113
limlim
。
x0< br>2x
2
x0
2x
2
2x
2
244
111
]
1223n(n1)
（7）解：
lim[
x 

11111
lim[(1)()()]

x
223nn1
1
lim(1)1
。
x
n1
1
3
3
1
（8）解：
lim
。limlim()
22
3
x2x2
3
x2
2x4
arctan4x4x

第9页
ln(1
3
2x)
3
2x
1

《高等数学》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编 < br>x
2
1x
2
1ax
2
(ab)xbaxb)lim
３、解：
lim(
x
x1
x 
x1
(1a)x
2
(ab)x(1b)1
lim 

x
x12



1a0
1

a1
3





b
。
(ab)

22

1111
1
23nn1
1
1< br>４、（1）.

1
11
n1
1
2n1111
1
1
23nn1
1
。而
lim11

lim
x
n1
x
111
1
23n


（2）先证有界（数学归纳法）


n1
时，
x
2
ax
1
 aaa
设
nk
时，
x
k
a
， 则
x
k1

数列
{x
n
}
有下界，
再证
{x
n
}
单调减，
ax
k
a
2
a



ax
n
x
n1

x
n
x
n
a
1
且
x
n
0
x
n
n

x
n 1
x
n
即
{x
n
}
单调减，
limx
n
存在，设
limx
n
A
，
n

则有
AaA

A0
（舍）或
Aa
，
limx
n
a
n
2x


1
n1



0
５、解：先求极限 得
f(x)lim
2x
n
n1


1
x0x0
x0
x0
x0

而
lim

f(x)1

lim

f(x)1

f(0)0


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f(x)
的连续区间为
(,0)(0,)

x0
为跳跃间断点.。
６、解：令
F(x)f(x)x
， 则
F(x)
在
[a,b]
上连续
而
F(a)f(a)a0

F(b)f(b)b0

由零点定理，


(a, b)
使
F(

)0



即
f(

)

0
，亦即
f(

)

。












第二单元 导数与微分
一、填空题



f(3h)f(3)
= 。
h0
2h
f(x)
2、
f

(0)
存 在，有
f(0)0
，则
lim
= 。
x0
x
1
x

3、
y

xarctan
，则
y

x1
= 。
1、已知
f

(3)2
，则
lim



4、
f(x)
二阶可导，
yf(1sinx)< br>，则
y

= ；
y

= 。
x
5、曲线
ye
在点 处切线与连接曲线上两点
(0,1),(1,e)
的弦平行。

1x)]
，则
dy
= 。6、
yln[arctan(


第11页

《高等数学》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编
dydy
= ，
2
= 。
dxdx< br>1
2tx
8、若
f(t)limt(1)
，则
f

(t)
= 。
x
x
7、
ysinx
，则
24


9、曲线
yx1
于点_________处的切线斜率为2。
10、设
yxe
，则
y

(0)_______
。
1 1、设函数
yy(x)
由方程
e
2
x

xy
cos(xy)0
确定，则

dy
_____ ___
。
dx

x1t
2
d
2
y________
。12、设

则
2
dx

ycost
二、单项选择
1、设曲线
y



1
2
和
yx
在它们交点处两切线的夹角为

，则
tan

=（ ）。
x
（Ａ）
1
； （Ｂ）
1
； （C）
2
； （Ｄ）
3
。< br>3、函数
f(x)e
tanx
，且
f

()e< br>，则
k
（ ）。
k


4

1
； （Ｄ）
2
。
2
f(1x)f(1)
4、已知
f(x)
为可导的偶函数，且
lim2
，则曲线
y f(x)
在
(1,2)

x0
2x
（Ａ）
1
； （Ｂ）
1
； （C）
处切线的方程是 。
（Ａ）
y4x6
；（Ｂ）
y4x2
；（C）
yx3
；（Ｄ）
yx1
。


f
2(xx)f
2
(x)
5、设
f(x)
可导，则
l im
= 。
x0
x
（Ａ）
0
； （Ｂ）
2f(x)
； （C）
2f

(x)
； （Ｄ）
2f(x)f

(x)
。

2(n)
6、 函数
f(x)
有任意阶导数，且
f

(x)[f(x)]
，则
f(x)
= 。

n1
（Ａ）
n[f(x)]

；（Ｂ）
n![f(x)]
n1
；（C）
(n1)[f(x)]
第12页
n1
；（Ｄ）
(n1)![f(x)]
。
2

《高等数学》单元测 试及详细解答 陆航学院数理教研室编

x0
7、若< br>f(x)x
，则
lim
2
f(x
0
2x)f (x
0
)
=（ ）
x

（Ａ）
2x
0
； （Ｂ）
x
0
； （C）
4x
0
； （Ｄ）
4x
。
8、设函数
f (x)
在点
x
0
处存在
f


(x
0
)
和
f


(x
0
)
，则< br>f


(x
0
)f


(x0
)
是导数
f

(x
0
)
存在
的（ ）
（Ａ）必要非充分条件； （Ｂ）充分非必要条件；
（C）充分必要条件； （Ｄ）既非充分又非必要条件。


9、设
f(x)x(x1)(x2 )(x99)
则
f

(0)
（ ）
（Ａ）
99
； （Ｂ）
99
； （C）
99!
； （Ｄ）
99!
。
10、若
f(u )
可导，且
yf(x)
，则有
dy
（ ）
22
2

2
（Ａ）
xf

(x)dx
；（Ｂ）
2xf

(x)dx
；（C）
2f

(x)dx
；（Ｄ）
2xf

(x)dx
。
2

11、设函数
f(x)
连续，且
f'(0)0
，则存在

0
，使得（ ）

（A）
f(x)
在
(0,

)
内单调增加； （B）
f(x)
在
(

,0)
内单调减少；
< br>（C）对任意的
x(0,

)
有
f(x)f(0)
；（D）对任意的
x(

,0)
有
f(x)f(0)
。

1

2

xsin
12、设
f(x )

x


axb
x0
x0
在< br>x0
处可导，则（ ）
（A）
a1,b0
； （B）
a0,b
为任意常数；
（C）
a0,b0
； （C）
a1,b
为任意常数。
三、计算解答
1、计算下列各题
（1 ）
ye
sin
2
1
x


t1

xlnt
d
2
y
，求
dy
； （2）

，求
2
3
dx

yt
第13页
；

《高等数学》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编
d
2
y
(50)
（3）
xarc tanyy
，
2
； （4）
ysinxcosx
，求
y
；
dx
（5）
y(

x
x
)
，求
y

；
1x

（6）
f(x)x(x1)(x2)(x2005)
，求
f
(0)
；
（7）
f(x)(xa)

(x)，

(x)
在
xa
处有连续的一阶导数，求
f

(a)、f

(a)
；

（8）设
f(x)
在
x1
处有连续的一阶导数，且
f

(1)2
，求
lim

x1

d
f(cosx1)
。< br>dx

b(1sinx)a2x0
2、试确定常数
a,b之值，使函数
f(x)

处处可导。
ax
e1x0


22
3、证明曲线
xya
与
xyb
（
a,b
为常数）在交点处切线相互垂直。

4、一气球从距离观察员500米 处离地匀速铅直上升，其速率为140米分，当此气球上
升到500米空中时，问观察员视角的倾角增加 率为多少。
5、若函数
f(x)
对任意实数
x
1
,x2
有
f(x
1
x
2
)f(x
1
) f(x
2
)
，且
f

(0)1
，证明
f

(x)f(x)
。
3

6、求曲线
yx3 x5
上过点
(1,3)
处的切线方程和法线方程。
2


第14页

《高等数学》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编

第二单元 导数与微分测试题详细解答
一、填空题


1、
1

lim
h0

x0
f(3h)f(3)f(3h)f( 3)11
lim()f

(3)1
h0
2hh2 2
f(x)f(x)f(0)
limf

(0)
x0
xx0
x
2、
f

(0)

lim



3、

lnx


y



ln



x

1

y

|
x1


l nx

2
4、
f

(1sinx)cosx
，
f

(1sinx)cosxf

(1sinx)s inx
y

f

(1sinx)cosx
，
y

f

(1sinx)cos
2
xf

(1sinx)sinx

5、
(ln(e1),e1)
弦的斜率
k
e1
e1

10

y

(e
x
)e
x
e1


xln(e1)
，当
xln(e1)
时，
ye1
。

6、

dx
arctan(1x)[1(1x)
2
]
dy< br>111
d[arctan(1x)]d(1x)

arctan(1 x)arctan(1x)1(1x)
2

3
dx

arctan(1x)[1(1x)
2
]
424
7、
4x sin2x
，
2xsin2x


dy
2sin x
4
cosx
4
4x
3
4x
3
si n2x
4
dx
dydy
24
2xsin2x

2
dx2xdx
1
2tx
2t2t
2t2t
2t
8 、
e2te

f(t)limt(1)te

f< br>
(t)e2te
x
x
2
9、
(1,2)< br>
y

2x
，由
2x
0
2


x
0
1
，
y
0
112


yx
2
1
在点
(1,2)
处的切线斜率为2

第15页

《高等数学》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编
10、 2
y

exe< br>，
y

eexe
xxxxx

y

(0)e
0
e
0
2
e
xy
ysin(xy)
xy
11、

xy< br> 方程两边对
x
求导得
e(1y')sin(xy)(yxy')0
exsin(xy)


e
xy
ysin(xy)
解得
y'
xy
。
exsin(xy)
12、

再对
x
求导，由复合函数求导法得
dy
y
t
'
s int
sinttcost

由参数式求导公式得，
dxx
t
'2t
4t
3

( y
x
')
t
'
d
2
yd1tcostsint1 sinttcost
。
(y')
x
223
dxdxx
t
'2t2t4t

二、选择题
1

1

y
2
1、 选（Ｄ） 由

x


交点为
(1,1)
，
k
1
()

|
x1
1
，
k
2
(x)

|
x1
2

x
2


yx

tan

 |tan(

2


1
)||
3、 选（Ｃ）
f

(x)e
tan
k
k
2
k
1
|3

1k
1
k
2
x
kta n
k1
xsec
2
x
1

2

由
f

()e
得
ek2e

k

4

4、 选（A） 由
lim
f(1x)f(1)f(1x)f(1)
lim
x 0x0
2x2x
f(1x)f(1)11
lim()f

(1)()2

f

(1)4

x0
x22

切线方程为：
y24(x1)
即
y4x6


第16页

《高等数学》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编 < br>f
2
(xx)f
2
(x)
[f
2
( x)]

2f(x)f

(x)
5、 选（Ｄ）
lim
x0
x

23
6、 选（Ｂ）
f

(x){[f(x)]}

2f(x)f

( x)2f(x)

f

(x)[2f
3
(x)]< br>
23f
2
(x)f

(x)23f
4< br>(x)

设
f
(n)
(x)n!f
n1
(x)
，则
f
(n1)
(x)(n1)!f
n
(x) f

(x)(n1)!f
n2
(x)


f
(n)
(x)n!f
n1
(x)

7、 选（Ｃ）
lim
x0

2
f(x
0
2 x)f(x
0
)f(x
0
2x)f(x
0
)lim22f

(x
0
)
x0
x2x< br> 又
f

(x)(x)

2x
，
2 f

(x
0
)4x
0

8、 选（Ｃ） < br>f(x)
在
x
0
处可导的充分必要条件是
f(x)
在
x
0
点的左导数
f


(x
0
)
和
右导数
f


(x
0
)
都存 在且相等。
9、 选（Ｄ）


f

(x)(x1) (x2)(x99)x(x2)(x99)x(x1)(x3)(x99)

x(x1)(x2)(x98)

f

(0)( 01)(02)(099)(1)
99
99!99!

另解：由定义，
f

(0)lim
x0

f( x)f(0)
lim(x1)(x2)(x99)
x0
x0
(1)
99
99!99!

10、 选（Ｂ）
[ f(x)]

f

(x)(x)

2f
(x)
2222

dy2xf

(x
2
)dx

11、由导数定义知

第17页

《高等数学》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编 < br>f'(0)lim
x0
f(x)f(0)
0
，
x
再由极限的保号性知


0,
当
x(

,

)
时

f(x)f(0)
0
，
x
从而 当
x(

,0)(x(0,

))
时，
f(x)f(0)0(0)< br>，因此C成立，应选C。

12、由函数
f(x)
在
x0< br>处可导，知函数在
x0
处连续
x0
lim

f (x)lim

x
2
sin
x0

1
所以
b0
。
0,lim

f(x)lim

(axb)b
，
x0x0
x
又
f

(0) lim

x0

f(x)f(0)
lim

x0
x0
x
2
sin
1
x
0,f(0) lim
f(x)f(0)

ax
a
，

x0

xx0x
所以
a0
。应选C。
三、计算解答
1、计算下列各题
（1）
dye


1
sin
2
1
x
sin
2
111112
sin
2
x x
d(sin)e2sincos(
2
)dx
2
sin edx
xxxxxx
2
1


d
2
ydy3t
2
d
2
y9t
2
33
3t
，
2
9t
，

2
|
t1
9（2）
1
1
dx
dx
dx
t
t
（3 ）两边对
x
求导：
1
1
2


y y1
yy

2
1y

y

 2y
3
y

2y
3
(y
2
1)
（4）
ysinxcosx
21
(1)

y
3
y
2

1
sin2x
2
y

cos2xsin(2x
设
y

(n)

2
)

y

2cos(2x


)2sin(2x2)

22

2
n1
sin(2xn)
2

第18页

《高等数学》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编 < br>则
y
(n1)
2
n
cos(2xn)2
n
sin(2x(n1))
22


y
(50)2
49
sin(2x50)2
49
sin2x

2
（5）两边取对数：
lnyx[lnxln(1x)]


两边求导：
1x
y

lnxln(1x)1
y1x
< br>x
x
x
y

()[lnxln(1x)1]
1x1x
（6）利用定义：
f

(0)lim
x0
f(x)f(0)
lim(x1)(x2)(x3)(x2005) 2005!

x0
x
（7）
f

(x)
(x)(xa)


(x)

f
< br>(a)

(a)
又
f

(a)lim


f

(x)f

(a)

(x)( xa)


(x)

(a)
lim
xax a
xaxa

(x)

(a)
lim[


(x)]



(a)

(a)2


(a)

xa
xa
[注： 因

(x)
在
xa
处是否二阶可导不知，故只能用定义求。]（8）
lim

x1

d1
f(cosx1)l im

[f

(cosx1)(sinx1)]
x1< br>dx
2x1

lim

f

(cosx 1)lim

x1x1
1
sinx1
f
< br>(1)()1

2
2x1
2、易知当
x0
时，
f(x)
均可导，要使
f(x)
在
x0
处可导
则
f


(0)f


(0)
， 且f(x)
在
x0
处连续。即
lim

f(x)li m

f(x)f(0)
x0x0

limf(x)ba2


ab20
而
lim

f(x)0


x0

f(x)f (0)(1sinx)a2ba2
lim

b
又
f


(0)lim

x0x0
x0x
x 0



第19页

《高等数学》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编 < br>e
ax
1ba2e
ax
1ax
f


(0)lim

lim

lim

a

x0x0x0
xxx
由



a 1



ab20

b1
ab< br>
22
3、证明：设交点坐标为
(x
0
,y
0
)
，则
x
0
y
0
a

x
0
y
0
b

对
x
2
y
2
a
两边求导：
2x2yy

0y


x
y


曲线
x
2
y2
a
在
(x
0
,y
0
)
处切线斜率
k
1
y

|
xx
0

又由< br>xyby
x
0
y
0

bb
y


2
xx


< br>曲线
xyb
在
(x
0
,y
0
)
处 切线斜率
k
2
y

|
xx
0
b
2
x
0
又

k
1
k
2
x
0
bb
(
2
)1
y
0
x
0
x
0
y
0


两切线相互垂直。
4、设
t
分钟后气球上升了
x
米，则
tan


x
500
d

1dx1407
2
两边对
t
求导：
sec


dt500dt50025< br>d

7
cos
2


dt25

当
x500
m时，



当
x500
m时，



4



d

717
< br>（弧度分）
dt25250
f(xh)f(x)f(x)f(h)f(x0)
lim
5、证明：
f

(x)lim
h0h0hh
f(x)f(h)f(x)f(0)f(h)f(0)
limlimf( x)

h0h0
hh
f(x)f

(0)f(x)


第20页

《高等数学》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编
6、解：由于
y

3x6x
，于是所求 切线斜率为
2

k
1
3x
2
6x|
x1
3
，
从而所求切线方程为
y33(x1)
， 即
3xy60

又法线斜率为
k
2

11

k
1
3

所以所求法线方程为
y3









1
(x1)
，即
3yx80
3

第三单元 微分中值定理与导数应用
一、填空题
x0


1、
limxlnx
__________。
2、函数
f
x

2xcosx
在区间______________单调增。
3、函数
f

x

48x3x
的极大值是_ ___________。
34

4、曲线
yx6x3x
在区 间__________是凸的。
42

5、函数
f

x

cosx
在
x0
处的
2m1
阶泰勒多项式 是_________。
6、曲线
yxe
3x
的拐点坐标是______ ___。
7、若
f

x

在含
x
0的

a,b

（其中
ab
）内恒有二阶负的导数，且 _______,则
f

x
0

是
f
< br>x

在

a,b

上的最大值。
3

8、
yx2x1
在

,

内有_ _________个零点。

第21页

《高等数学》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编 < br>11
)________
。
x0
sinxx
11
10、
lim(
2
)_________
。
x0
x xtanx
9、
limcotx(
2



11、曲线
ye
x
的上凸区间是___________。
x
12、函数
yex1
的单调增区间是___________。
二、单项选择
x0
1、函数
f(x)
有连续二阶导数且
f(0)0,f

(0)1,f

(0)2,
则
lim

f(x)x

（ ）
x
2
（Ａ）不存在 ； （Ｂ）0 ； （Ｃ）-1 ； （Ｄ）-2。
2、设
f

(x)( x1)(2x1),x(,),
则在
(,1)
内曲线
f(x)
（ ）

1
2
（Ａ）单调增凹的； （Ｂ）单调减凹的；
（Ｃ）单调增凸的； （Ｄ）单调减凸的。


3、
f(x)
在
(a,b)
内连续，
x
0
(a,b),f

(x
0
)f

(x0
)0
，则
f(x)
在
xx
0
处（ ）

（Ａ）取得极大值； （Ｂ）取得极小值；
（Ｃ）一定有拐点
(x
0
,f(x
0
))
； （Ｄ）可能取得极值，也可能有拐点。

4、设
f(x)
在

a,b

上连续，在
(a,b)
内可导，则Ⅰ：在
(a,b)内
f

(x)0
与Ⅱ：在
(a,b)

上
f(x)f(a)
之间关系是（ ）
（Ａ）Ⅰ是Ⅱ的充分但非必要条件； （Ｂ）Ⅰ是Ⅱ的必要但非充分条件；

（Ｃ）Ⅰ是Ⅱ的充分必要条件； （Ｄ）Ⅰ不是Ⅱ的充分条件，也不是必要条件。

5、设
f(x)
、
g(x)
在

a,b

连续可导，
f(x)g(x)0< br>，且
f

(x)g(x)f(x)g

(x)
，则
当
axb
时，则有（ ）
（Ａ）
f(x)g(x)f(a)g(a)
； （Ｂ）
f(x)g(x)f(b)g(b)
；


第22页

《高等数学》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编
（Ｃ）
f(x)f(a)g(x)g(a)

； （Ｄ）。
g(x)g(a)f(x)f(a)
3

6、方程
x3x10
在区间
(,)
内（ ）


（Ａ）无实根； （Ｂ）有唯一实根；
（Ｃ）有两个实根； （Ｄ）有三个实根。< br>7、已知
f(x)
在
x0
的某个邻域内连续，且
f(0) 0
，
lim
处
f(x)
（ ）
f(x)
则在点
x0

2
，
x0
1cosx
（Ａ）不可导； （Ｂ）可导，且
f'(0)0
；
（C）取得极大值； （Ｄ）取得极小值。


８、设
f(x)
有二阶连续导数，且
f'(0)0
，
lim
x0
f(x)
1
，则（ ）
|x|

（Ａ）
f(0)
是
f(x)
的极大值； （Ｂ）
f(0)
是
f(x)
的极小值；

（Ｃ）
(0,f(0))
是曲线
yf(x)
的拐点； （Ｄ）
f(0)
不是
f(x)
的极值点。

9、设
a,b
为方程
f(x)0
的二根，
f(x)
在
[a,b]
上连续，在
(a,b)
内可导，则
f'(x)
在
(a,b)
内（ ）
（A）只有一实根； （B）至少有一实根； （C）没有实根； （D）至少有2个实根。

10、在区间
[1,1]
上满足罗尔定理条件的函数是（ ）
（A）
f(x)

1
； （B）
f(x)|x|
；
2
x
22

（C）
f(x)1x
； （D）
f(x)x2x1。
11、函数
f(x)
在区间
(a,b)
内可导，则在
(a,b)
内
f'(x)0
是函数
f(x)
在
(a,b)
内单调
增加的（ ）
（A）必要但非充分条件； （B）充分但非必要条件；

第23页

《高等数学》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编
（C）充分必要条件； （C）无关条件。
12、设
yf(x)是满足微分方程
yy'e

sinx
0
的解，且
f'(x
0
)0
，则
f(x)
在（ ）

（A）
x
0
的某个邻域单调增加； （B）
x
0的某个邻域单调减少；
（Ｃ）
x
0
处取得极小值； （Ｄ）x
0
处取得极大值。
三、计算解答
1、计算下列极限
(1)lim

x1





arccosx
x1
； (2)
lim

x0
lncotx
；
lnx

e
x
e
sinx

11

(3)
lim
2
； (4)
lim

2
ln(1x)

；
x0
xln(1 x)
x0
xx


(5)
lim
x0lntan(ax)
xarctanx
lim
； (6)。
x0

lntan(bx)
x
3

2、证明以下不等式


(1)、设
bae
，证明< br>ab
。
(2)、当
0x
3
ba

2< br>时，有不等式
tanx2sinx3x
。
(6)
3、已知
yxsinx
，利用泰勒公式求
y(0)
。
3
n
4、试 确定常数
a
与
n
的一组数，使得当
x0
时，
ax
与
ln(1x)x
为等价无穷小。
3

5、设
f(x)
在

a,b

上可导，试证存在

(a

b)
，使
a
3
1
b
3
< br>
2

3f(

)

f

(

)

。
ba
f(a)f(b)

6、作半径为
r
的球的外切正圆锥，问此圆锥的高为何值时，其体积
V
最小， 并求出该体
积最小值。
7、若
f(x)
在
[0,1]
上有 三阶导数，且
f(0)f(1)0
，设
F(x)xf(x)
，试证：在
(0,1)

3

第24页

《高等数学》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编
内至少存在一个

，使
F'(

)0
。

第25页

《高等数学》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编
第三单元 微分中值定理与导数应用测试题详细解答

一、填空题


1
lnx
1、
0
< br>limxlnxlimlim
x
lim(x)0
x0x0
1
x0x0
1

2
xx

2、
(,)

f

(x)2sinx 0f(x)
在
(,)
上单调增
3、20
f

(x)24x12x12x(x2)
令
f

(x) 0x
1
0,x
2
2
232



当
x2
时，
f

(x)0
；当
x 2
时，
f

(x)0

极大值为
f(2)20
3

4、
(1,1)

y< br>
4x12x3
，
y

12x1212(x 1)(x1)
2
当
x1
时，
y

0.当
x(1,1)
时，
y

0
；当
x (1,)
时，
y

0


曲线在
(1,1)
上是凸的
5、
1


1
2
1
4
1
xx(1)
m< br>x
2m
2!4!(2m)!
3x
2
6、
(,e)

y

e
22
33
3xe
3x
e
3x
(13x)
，
2
y

 3e
3x
(13x)3e
3x
e
3x
(9x 6)9e
3x
(x)

3
222
令
y
0x
，当
x
时，
y

0；当
x
时
y

0
333
22
 2
22
2
而当
x
时，
ye

拐点为
(,e)

333
3

7、
f

(x
0
)0
,
f(x< br>0
)lim
xx
0
f

(x)f
< br>(x
0
)
f

(x)
f

(x)< br>lim00
xx
0
xx
xx
xx
0
0
0

第26页

《高等数学》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编 < br>当
xx
0
时，
f

(x
0
)0 ,f(x)
单调增加；当
xx
0
时，
f

(x) 0,f(x)
单调减少

2
8、1
y

 3x20
，
y
在
(,)
上单调增加
又< br>limylimy
.

在
(,)
内有1 个零点。
xx
9、 原式
lim
1
6
co sx(xsinx)xsinx1cosx1
limcosxlimlim
。232
x0x0x0x0
xsinxx3x6

tanxxt anxxsec
2
x11tan
2
x1
1
liml imlim
。10、 原式=
lim
2322
x0x0x0x 0
xtanxx3x3x3
3

11、
(
22
2
22
,)

y' 2xe
x
,y[2(2x)
2
]e
x
令
y0x
，当
22
2
x(
2222
,)
时，
y0
，
,)
。上凸，其它区间
y0
，上凹，故应 填入
(
2222

x
12、
(0,)
函 数
yex1
的定义区间为
(,)
，在定义区间内连续、可导，
且
y'e1
，因为在
(0,)
内
y'0
，所以函数
yex1
在
(0,)
上单调增加。
xx

二、选择题
f(x)xf

(x)1f

(x )
limlim1

x0x0x0
x
2
2x2
111
2、选（Ｂ） 当
x(,1)
时，
f

(x)0
，又
f

(x)4x14(x)0

x(,1)
242
1、选（Ｃ）
lim

1
f(x)
在
(,1)
上单调减且为凹的。
2
3

3
4
3、选（Ｄ）
f(x)x
，则
f'(0)f(0 )0
，
x0
是
f(x)x
的拐点；设
f(x)x< br>，
4
则
f'(0)f(0)0
，而
x0
是f(x)x
的极值点。

第27页

《高等数学》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编 < br>4、选（Ｃ）由
f(x)
在
(a,b)
内
f

(x)0
的充分必要条件是在
(a,b)
内
f

(x) C
（
C
为
常数），又因为
f(x)
在
[a,b]
内连续，所以
Cf(a)
，即在
(a,b)
上
f(x)f(a)
。

5、选（Ｃ）由
f

( x)g(x)f(x)g

(x)f

(x)g(x)f(x)g
(x)0

[
f(x)f(x)
]

 0
单调减少，
x(a,b)
g(x)g(x)



f(x)f(a)

.
g(x)f(b)
6、选（Ｄ） 令
f(x)x3x1
，则
f

(x)3x33(x1 )(x1)
；
32

当
x1
时，
f

(x)0
，
f(x)
单调增加，


当x(1,1)
时，
f

(x)0
，
f(x)单调减少
当
x(1,)
时，
f

(x)0，
f(x)
单调增加.
而
f(1)3
，
f(1) 1

x
limf(x)
，
limf(x)x

f(x)
在
(,1)
上有一实根，在
[1,1]
上有一实根，在
(1,)
上有一实根。

７、选（Ｄ） 利用极限的保号性可以判定
f(x)
的正负号：
lim

f(x)f(x)
200
（在
x0的某空心邻域）；
x0
1cosx1cosx
由
1cosx0
，有
f(x)0f(0)
，即
f(x)
在
x0
取极小值。

8、选（Ｂ） 由极限的保号性：

第28页

《高等数学》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编 < br>lim
x0
f(x)f(x)
100
（在
x0< br>的某空心邻域）；由此
f(x)0
（在
|x||x|
，
f' (x)
单调增，又由
f'(0)0
，
f'(x)
在
x0
由负变正，
x0
的某空心邻域）
由极值第一充分条件，
x0是
f(x)
的极小点 。
9、选（B）由罗尔定理保证至少存在一点

(a,b)
使
f'(

)0
。
10、选（C ），A选项
f(x)
在
x0
不连续，B选项
f(x)
在< br>x0
处不可导，D选项
f(1)f(1)
。
3

11、选（B），如
yx
在
(,)
单增，但
f'(0) 0
，故非必要条件。

sinx
0
12、选（Ｃ），由
f '(x
0
)0
有
y(x
0
)e
取得极小值。< br>三、计算解答
1、计算极限
（1）解：
lim

x1< br>y'(x
0
)e
sinx
0
0
，所以
f(x)
在
x
0
处




< br>arccosx
x1
11

11
2arccosx
1x
2
lim

lim


x1< br>x1
1
arccosx1x
2x1
1

2< br>
1
(csc
2
x)
lncotxxsinx
(2)解：
lim

lim

cotx
lim< br>
1
。
2
x0x0x0
1
lnxcos xsinx
x


e
x
e
sinx
e
sinx
(e
xsinx
1)xsinx1cosx1
l imlimlim
(3)解：
lim
2332
x0
x ln(1x)
x0x0x0
xx3x6


第29页

《高等数学》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编 < br>(4)解：
lim[
x0
11xln(1x)

2ln(1x)]limlim
x0x0
xxx
2

1 
1
1x
lim[
1
]
1
x0
2x2(1x)2
(5)解：
lim
x0
xarctanx
lim
3
x0
x
1
1
2
2
x1< br>1x
lim
。

222
x0
3x3x(1x )3

1
sec
2
(ax)a
lntan(ax)ta n(bx)sec
2
(ax)a
tan(ax)
lim
lim

(6)解：
lim

2
x0
l ntan(bx)
x0x0
tan(ax)sec(bx)b
1
2< br>sec(bx)b
tan(bx)

bxsec
2
(ax)a
lim

1
< br>x0
axsec
2
(bx)b
2、(1)证明：
ab blnaalnb
ba

令
f(x)xlnaalnx
，则
f(x)
在
[a,b]
上连续
f

(x) lna
a
0

x[a,b]

x
f(x)
在
[a,b]
上单调增加，
f(b)f(a)

得
blnaalnbalnaalna0
， 即
ab
(2)令< br>f(x)tanx2sinx3x
在
x(0,
ba

2
)
时
f

(x)sec
2
x2cosx3

f

(x)0
，
f(x)
在
[0,
11< br>3
cosxcosx33cosxcosx30
cos
2xcos
2
x

2
)
上单调增

x(0,)

f(x)f(0)
即
tanx2sinx 3x
2

f

(0)
2
f
(n)(0)
n
xxo(x
n
)
3、解：
泰勒公式
f(x)f(0)f

(0)x
2!n!

第30页

《高等数学》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编


x
3
x
5
x
2m1
m1
(1)o(x
2m
)
而
sin xx
3!5!(2m1)!
x
6
x
8
yxsin xx

3!5!
34
f
(6)
(0)16!f
(6)
(0)120
对比
x
的导数有：
6!3!3!
6

ax
n
a nx
n1
an
n63
limlim[x(1x)]1
4、解：
lim
x0
ln(1x
3
)x
3< br>x0
3x
2
x0
3
2
3x
1x< br>3

n6
，

an1
1a
32

b
3
f(h)a
3
f(a)


2
[3 f(

)

f

(

)]
5、 即证：
ba
3

令
F(x)xf(x)
，则F(x)
在
[a,b]
上满足拉氏定理的条件


(a,b)
，使
F(b)F(a)
F

(

)
ba

b
3
f(h)a
3
f(a)
3

2
f(

)

3
f
< br>(

)
即
ba

b
3
1
即
ba
f(a)
a
3


2
[3f(

)

f

(

)]
f(b)

6、解： 设圆锥的高为
h
，底面圆半径为
R
，则有比例关系
rhr
2
2

 R
22
hh2r
hR
hr
1
2
1h2
r
2
V

Rh



(h2r)

33h2r

第31页

《高等数学》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编 < br>1

hr
2
(2h4rh)
dV12hr(h2r) hr




3
2
dh3(h2r)(h2r )
2
222
令
dV
0
唯一驻点
h4r
dh

116r
2
r
2
8
3


r
所以，当
h4r
时，体积最小，此时
V


34r2r3

7、解： 由题设可知
F(x),F'(x),F( x),F'(x)
在
[0,1]
上存在，又
F(0)F(1)
，由 罗
23
尔定理，


1
(0,1)
使
F '(

1
)0
，又
F'(0)[3xf(x)xf'(x)] |
x0
0
，可知
F'(x)
在
[0,

1
]
上满足罗尔定理，于是


2
(0,
< br>1
)
，使
F(

2
)0
，又
F( 0)[6xf(x)6x
2
f'(x)x
3
f(x)]|
x 0
0
，对
F''(x)
在
[0,

2
]
上再次利用罗尔
定理，故有

(0,

2
)( 0,

1
)(0,1)
，使得
F'(

)0< br>。







第四单元 不定积分
一、填空题


1、
xxdx
=_______ ____。

2、

x
dx
2
x
=___ __________。
3、
(x3x2)dx
=_____________ 。

2

cos2x

cosxsinx
dx< br>=___________。
dx
5、

=____________ 。
1cos2x
4、



第32页

《高等数学》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编
6、
sint

t
dt
=___________。
7、
xsinxdx
=___________。




8、
arctanxdx
=__________。
9、

sin2x

1sin
2
x
dx
_____ _______。
10、
xf

(x)dx
_________ ___。
11、


1

(x3)x1
dx
________________。
12、
dx

x
2
2x5
________ __
。
二、单项选择
1、对于不定积分

f

x

dx
，下列等式中（ ）是正确的.


（A）
df

x

dxf

x

； （B）

f


x

dxf

x

；
（C）
df

x

f

x

； （D）

2、函数
f

x

在
,

上连续，则
d


f

x

dx

等于（ ）
d
f

x
dxf

x

。
dx


（A）
f

x

； （B）
f

x

dx
； （C）
f

x

C
； （D）
f


x

dx
。

3、 若
F

x

和
G

x

都是
f

x

的原函数，则（ ）


（A）
F

x

G

x
0
； （B）
F

x

G

x

0
；
（C）
F

x

G

x

C
(常数)； （D）
F

x

＋G

x

C
(常数)。
4、若

f

(x)dxx
5
33
c
，则
f(x)
（ ）
5

69
3
（A）< br>x
3
c
；（B）
x
3
c
；（C）
xc
；（D）
xc
。
55


第33页

《高等数学》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编 < br>5、设
f(x)
的一个原函数为
xlnx
，则
xf(x)dx 
（ ）


111
2
1
（B）
x( lnx)c
；
lnx)c
；
2442
11
2
1
2
1
（C）
x(lnx)c
；（D）
x(lnx) c
。
4224
（A）
x(
2


6 、设

f(x)dxx
2
c
，则

xf(1 x
2
)dx
（ ）
2222
（A）
2(1x) c
；（B）
2(1x)c
；
（C）


11
22
（D）
(1x)c
。
(1x
2
)
2
c
；
22
e
x
1
dx
（ ）７、

x
e1
x

（A）
ln|e1|c
； （B）
ln|e1|c
；
xx
x



（C）
x2ln|e1|c
； （D）
2ln|e1|x c
。
８、若
f(x)
的导函数为
sinx
，则
f( x)
的一个原函数是（ ）
（A） （B） （C） （D）
1sinx
；
1sinx
；
1cosx
；
1cos x
。

９、
F'(x)f(x),f(x)
为可导函数，且
f(0)1
，又
F(x)xf(x)x
，则
f(x)
=（ ）
2

22
（A）
2x1
； （B）
x1
； （C）
2x1
； （D）
x1
。


32
x
23
x
dx
（ ）10、

2
x
（A）
3x2ln
33
x
3
( )C
； （B）
3x2x()
x1
C
；
2 22
2323
()
x
C
； （D）
3x()x
C
。（C）
3
ln3ln22
ln3ln22
11、
3
x
e
x
dx
=（ ）




（A）

1
xx
11
xx
1
3eC
；
3
x
e
x
C
；
3e
； （D）
3
x
e
x
。（B）（Ｃ）
ln31 ln3
ln31ln3
第34页

《高等数学》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编

1
2
1

secdx
=（ ）

x
2
x
1111
（Ａ）
tanC
； （Ｂ）
tanC
； （Ｃ）
cotC
； （Ｄ）
cotC
。
xxx
x
12、

三、计算解答
1、计算下列各题
(1)




x
ax
22
dx
； (2)

dx
； (4)

x1
dx
；
2
x4x13

(3)、
xarccosx
1x
2
2
xe
x
e 1
x
dx
；
ln1e
x
dx
。(5)、

xsinxdx
； (6)

x
e


2、设
f

sinxcos2xtanx
，当
0x1
时求
f

x

。
22
2


3、 设
F

x

为
f

x

的原函数，当
x0
时有
f

x

F

x
< br>sin2x
，且
F

0

1,F
x

0
，
求
f

x

。
4、 确定A、B使下式成立
dxAsinxdx
B

12cosx

2
12cosx

12cosx

5、设
f

x

的导数
f

< br>x

的图像为过原点和点

2,0

的抛物线，开口 向下，且
f

x

的极小
值为2，极大值为6，求
f

x

。

第35页

《高等数学》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编

第四单元 不定积分测试题详细解答
一、填空题
5


3
2
5
2
1、
x
2
C

5
2

2、
x
2
C

3< br>3、
3
2
2
xxdxxdxxC
。

5


x
dx
2
2


xdxx
2
C
。
3
x

2
(x

3x2)dx
5
2
3

1
3
3
2
xx2xC

32
< br>1
3
3
2
xx2xC
。
32
cos2 xcos
2
xsin
2
x
dx

dx
4、
sinxcosxC


cosxsinxcosxsinx

(cosxsinx)dxsinxcosxC
。



5、
1
tanxC

2

dxdx112
secxdxtanxC
。

1cos2x
12cos
2
x12

2
6、
2costC< br>
sint

t
dt2

sintdt2c ostC
。
7、
xcosxsinxC


x sinxdx

xdcosxxcosx

cosxdx


xcosxsinxC
。
8、
xarctanxarctanxC


arctanxdxxarctanx

darctanx


xarctanxarctanxC
。
9 、
ln(1sinx)C

2


sin2x2s inxcosx
dx

1sin
2
x

1s in
2
x
dx

dsin
2
x
ln(1sin
2
x)C
。


2
1sinx
10、
xf

(x) f(x)C




xf

(x)dx

xdf

(x)xf

(x)

f

(x)dx
第36页

《高等数学》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编


xf

( x)df(x)
xf

(x)f(x)C

11、
2arctan(

x1
)C
令
x1t
，则
xt
2
1
2

原式

12
2
d(t1)

(t
2
2) t

t
2
2
dt

2

x1
tt
)C

d()2arcta n()C
2arctan(
1
2
2
22
()1
2
1
12、
arctan
1
2
x1
C

2
dxdx1x1
arctanC
。

x< br>2
2x5

(x1)
2
422


二、选择题
1、选（Ｄ）。由
df

x

dx f

x

dx
，
f


x
dxf

x

C
，
df
x

f

x

C
知（A）、
 
（B）、（Ｃ）选项是错的，故应选Ｄ。


2、选（Ｂ）。由微分的定 义知
d[f(x)dx]f(x)dx
。
3、选（Ｃ）。函数
f(x)的任意两个原函数之间相差一个常数。
4、选（B） 两边对
32

f< br>
(x
3
)dxx
3
C
微分得
2
3

f

(x)3x,f

(t)3t
< br>f(x)

9
f

(x)dx

3x dxx
3
C

5
2
3
5
5、选（B） 原式
xdF(x)xd(xlnx)xlnxxlnxdx

2


x
2
x11
lnx

dxx
2(lnx)C

x
2224
2
6、选（C）
xf(1x)dx

2

11
222
f(1 x)d(1x)(1x)C

22
第37页

《高等数学》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编 < br>e
x
1e
x
122
dx

x
dx

1
x
dx
７、选（D）

x
e1e1e1
e
x
1
x
x2

xdxx2de

xxx

(e1)ee(e1)
x2

(
11
)de
x
x2x2ln|e
x
1|C

xx
ee1
x2ln|e
x
1|C

8、选（B）由题意知
f'(x)sinx
，
f(x)cosxC
1
，
f(x)
2
的原函数为

f(x)dxsin xC
1
xC
，
取
C
1
0,C
21
，故选B。


9、选（C）由
F(x)xf(x) x
两边求导得
2
F'(x)f(x)xf'(x)2x
，又
F '(x)f(x)
，所以
f'(x)2
，

所以
f( x)2dx2xC
，又因为
f(0)1
，所以
C1,f(x) 2x1
。


32
x
23
x
3
x
13
x
dx[32()]dx3x2()C
1 0、选（Ｄ）

3
22
x
2
ln
2

13
()
x
C
。
ln3ln22
11xxx
(3e)
x
3
x
e
x
。11、选（B ）

3edx

(3e)dx

ln3e1ln3< br>111111
2
1
dx

(
2
)se c
2
dx

sec
2
dtanC
。12 、选（Ｂ）

2
sec
xxxxxxx

3x2

三、计算解答
1、计算下列各题



第38页

《高等数学》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编
1
(1)解：


1
22
dx

(ax)
2
d(a
2
x
2
)a
2
x
2
C
；
2
a
2
x
2
x

x112x421d(x
2
4x13 )d(x2)
dx

2
dx

2


(2) 解：

2
x4x132x4x132x4x13(x 2)
2
3
2

11x2
ln(x
2
4x13)arctanC
；
233
(3) 解：

< br>xarccosx
1x
2
dx

arccosxd(1 x
2
)
1
1x
2

1x
2arccosx

1x
2
()dx

1x
2
arccosxxC
；
(4) 解：



xe
x
e1
x
dx
令
e
x
1t
，则
xln(t
2
1)
ln(t
2
1)(t
2
1)2t

2
dt
得

tt1
22

2t
2
2

ln(t1)dt2tln(t1)2

2
dt

t1
2tln(t
2
1)4(tarctant)C

2e
x
1x4e
x
14arctane
x1C
；
(5) 解：
xsinxdxx
2


1cos2x11
dxxdxxcos2xdx

222
11111
x
2


xdsin2xx
2
 xsin2xcos2xC
；
44448

ln(1e
x)e
x
xxxxx
dxln(1e)d(e)eln(1e) e
(6) 解：
xx

e

1e
dx


第39页

《高等数学》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编
1e
x
e
x
eln(1e)< br>
dx

x
1e
xx
e
x
ln(1e
x
)xln(1e
x
)C
。
22< br>
sin
2
x
2、解：
f

(sinx) cos2xtanx12sinx
1sin
2
x
2

x1
2

0xsin1

2x
1xx 1
1
f(x)

f

(x)dx

(2x)dxx
2
ln|x1|C

x1
f< br>
(x)12x
x
2
ln(1x)C

3、解：对
f(x)F(x)sin2x
两边积分：
2


f(x)F(x)dx

sin
2
2xdx


F(x)dF(x)

1cos4x
dx

2
1
2
x1
F(x)sin4xC

228
由
F(0)1
知
C1
又
F(x)0
得
F(x)
1
1
xsin4x1
4


11
f(x)F

(x)(xsin4x1)
2
(1co s4x)

24
4、解：由
dxAsinxdx
B
< br>(12cosx)
2
12cosx

12cosx
整理 得
1B2BcosxAsinx
dxC


(12co sx)
2
12cosx
由不定积分的定义：有
(
Asinx1B 2Bcosx
)


12cosx(12cosx)
2

Acosx(12cosx)2Asin
2
xAcosx2A1B2B cosx

即
22
(12cosx)(12cosx)(12cos x)
2


第40页

《高等数学》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编 < br>
A2B
21
对此导数：，（也可直接两边求导求解）
AB


33
2A1B


2
5、解：设
f

(x)axbxc

(a0)

由
f

(0)0
，
c 0
.由
f

(2)04a2b0
b2a
 f

(x)ax
2
2ax

令
f
< br>(x)0
驻点
x
1
0
，
x
2
2
又
f

(x)2ax2a



f

(0)2a0
，
x0
为极小值点，
 f(0)2
f

(2)2a0
，
x2
为极大 值点，
f(2)6
而
f(x)



f
(x)dx

(ax
2
2ax)dx
a
3
xax
2
c
3

a


a3

84acb
由

3



c2

c2

f(x)x
3
3x
2
2


第五单元 定积分
一、填空题
1、





1
5

4
(1sin
2
x)dx
=____ ______。
1xdx
=___________。
4
4
2、< br>3、
4、






4
0
1
sin
3
xdx_________
。
arcsin x
1x
2
0
dx________
。
5、
< br>x

0
x
2
1
dx________
。
1

第41页

《高等数学》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编
2

1xdx________
。

0
2
6、
d
sinx
2
7、设
f

x

在

,

上连续，则
f

t

dt
。
dx

3x

8、设
f

x

在

0,4

上连续，且

x
2
2
f

t

dtx3
，则
f
2


。
1

、

e
3
9
dx
1
x1lnx

。
10、


dx
xx
2
1

。
1


11、



2sinx< br>
x
4
3x
2
1






1x
2
cosx


dx
。
12、

f'(x)dx
____ _______，

b
a
f

(2x)dx
__ ___________。
13、


0
1sinxdx
__________。
二、单项选择
1、
lim


1
n

n1

1
n2

1

nn



（ ）
（A） 0 ； （B） e ； （C） ln2 ； （D） 1 。
2、若
f
x


d
x
dx

。
0
si n

tx

dt
，则
f

x

等于（ ）
（A）
sinx
； （B）
1cosx
； （C）
sinx
； （D） 0 。

3、定积分

2
x
2

xx
edx
的值是（ ）。
（A） 0 ； （B） 2 ； （C） 2e
2
+2； （D）
6
e
2
。4、设
f


u

连续，已知
n

1
xf


2x

dx

2
tf


t

dt
，则n=（
00 ）
（A） 14 ； （B） 1 ； （C） 2 ； （D） 4 。
5、若连续函数
f

x

满足关系式
f
x



2x
0
f

< br>t


2


dtln2
，则
f

x

等于（

第42页




。


）

《高等数学》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编

2x
（A）
eln2
； （B）
e
x
ln2
； （C）
e
x
ln2
； （D）
e
2x
ln2
。


6、设
M



2

2
2sinx
2
2
(sinxcos
2
x)dx
，，
cosxdxN



2
1x
4



P
2

(x
4
sin
5
xcos
2
x )dx
则有（ ）

2
（A）
NPM
； （B）< br>MpN
；（C）
NMP
；（D）
PMN
。

2
7、设
f(x)x

x
2
0
c os(t
2
)dt,g(x)sin
10
x
则当
x0< br>时，
f(x)
是
g(x)
的

（A）等价无穷小；（B）同阶但非等价无穷小；（C）高阶无穷小；（D）低阶无穷小。
< br>8、设
f(x)
是连续函数，且
F(x)

e
x
x
2
f(t)dt
，则
F

(x)
等于（ ）

x
（A）
e
（C）
e
x
f(e
x
)2xf(x
2
)
； （B）
e
xf(e
x
)f(x
2
)
；
f(e
x
)2xf(x
2
)
； （D）
e
x
f(e
x
)f(x
2
)
。
9、 设函数
f(x)
在闭区间
[a,b]
上连续，且
f(x0)
，则方程

x
a
f(t)dt

x
b
1
dt0

f(t)
在开区间
(a,b)
内的根有（ ）
（A）0个； （B）1个； （C）2个； （D）无穷多个。
10、设
f(x)
连续，则
2

d
x
22
tf(xt)dt
（ ）

0
dx
2

2
2
（A）
xf(x)
； （B）
xf(x)
； （C）
2xf(x)
； （D）
2xf(x)
。

11、设
f(x)
是连续函数， 且
f(x)x2

1
0
f(t)dt
，则
f( x)
=（ ）

（A）
x1
； （B）
x1
； （Ｃ）
x1
； （D）
x1
。

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《高等数学》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编

x
12、
lim

0
cost
2
dt
x
x0
=（ ）
（Ａ）１； （Ｂ）０； （Ｃ）
1
； （Ｄ）

。

三、计算解答
1、计算下列各题
(1)


4
< br>2
0
x
3
4x
2
dx
； (2)

xxdx
；
1

(3)

1< br>2
1

2
xarcsinx
1x
x
0

2
dx
； (4)

2
xcos
2
xdx
；
2

2


(5)
lim
x0
sin
2
tdt
x
3

； (6)
lim
x0
x< br>0
ln(1t)dt
x
2
。
2、 已知
f

x

在
x12
的邻域内可导，且
limf

x

0,limf


x

997< br>，求
x12x12

x

12
tf
< br>u

du

dt

12


t


。
lim
3
x12

12 x

3、设
f

x



x
1
lnt
dt
其中
x0
，求
f

x


1t

1

f
。

x


4、证明方程
lnx

x

1cos2xdx
在区间

0,

内 有且仅有两个不同实根。
e

0
a
5、已知
f
< br>x

在

0,a

上连续，且
f

0

0
，证明

0
Ma
2
f< br>
x

dx
，其中
2

Mmaxf


x

。
axb
< br>6、已知
f

x

在

0,1
< br>上连续，定义
g

x


明
h
< br>x



g

u

du
， 并求
h


x

。
0
x
f

t

dt,h

x




xt

f

t

dt,x

0,1

，证
00
xx


第44页

《高等数学》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编

第五单元 定积分测试题详细解答
一、填空题


5

4
3
1、


2



5

4
4
(1sin x)dx


2
4
1cos2x31
(1)dx< br>

4
dx


4
cos2xdx
22
4
2
4
5

5

313


sin2x|

4


。
2424
2
2、
(5
2
2
2
)

3


33
5



4
1
1xdx

4
1
2
(1x)d(1x)(1 x)|(5
2
2
2
)
。
1
3
12

1
2
1
3
2
4
1
33
522

3、
123


4
0
sinxdx


1
3
4
0
1522
(1cosx)dcosxcos< br>3
x|
0
4
cosx|
0
4

。
3123
2
4、

2
8


1
arcsinx

0
11

2

2
21
。
dx

arcsinxd(arcsinx )(arcsinx)|
0
()
2
0
2228
1x
1
1
5、
ln2

2
2
6、 3
7、
2
x1
1
111
22
dxdxln |x1|ln2
。

0
x
2
12

0
x
2
122
0
1
2
2
2
2< br>
2

1
3

2


1xdxx2x1dxxxx


0

0

3

0
3

1
1
2
两边求导：
2xf(x2)1
，令
x2
得
f(2)
4
4

8、2

e
3
1

e
3
dx
e
3


(1lnx)
2
d(1lnx)21lnx
1
2
1
x1lnx

1dxx1

2
( )dxlnxln(x1)

x(x
2
1)

1
xx
2
12

1
1

1
9、
ln2

2



1


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《高等数学》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编
11
lim(lnxlnx
2
1)0ln2ln2
< br>x
22

2sinx(x
4
3x
2
1)
cosx]dx2cosxdx2sinx

10、0

[
0
0
2



0
1x

11、
f(x)C
，
[f(2b)f(2a)]
1
2


f'(x)dx
f(x)C


b
a
2b
111
b
f

(2x)dx令u2x

f (u)duf(u)|
2
[f(2b)f(2a)]

2a
2a
222
4(21)
原式

12、

0
(sin

xxxx
cos)
2dx

|sincos|dx
0
2222

xxxx
(cossin)dx

(sincos)dx

0

2
2222
xx
2
xx

2[( sincos)|

(cossin)|

2
]

0
2222



2
4(21)

二、选择题
1、选（Ｃ）
lim(
n
11
)

n1nn

1
dx1111
lim()

ln(1x)
1
0
ln2

0
1x
n
n
12n
111
nnn
2、选（A）
f(x )
3、选（Ｃ）
d
x
d
x

sin(tx) dtcos(tx)sinx
0

0
dxdx
02
20


2
2
22
(|x|x)e
|x|
dx

0dx

2xe
x
dx2xe
x
|
0
2e
x
|
0
2e
2
2

1
0
4、选（Ｄ）
n

xf
< br>(2x)dx
令
2xt
得
n


t1 n
2

f(t)dt

tf

(t)dt
0
224
0
2
n4


第46页