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中考数学专题训练：解答题基础过关
附参考答案


一．解答题（共12小题）
1．（2012•安徽）如图1，在△ABC中，D 、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的
周长相等，设BC=a、A C=b、AB=c．
（1）求线段BG的长；
（2）求证：DG平分∠EDF；
（3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG．


2．（2011•呼和浩特）如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线P B交直线AC于点D，
．
（1）求证：直线PB是⊙O的切线；
（2）求cos∠BCA的值．


3．（2011•陕西）如图，在△ ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于
P点，CP 交⊙O于D；
（1）求证：AP=AC；
（2）若AC=3，求PC的长．


4．（2011•呼和浩特）如图所示，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点且 ∠AEF=90°，EF交正方形外角平
分线CF于点F，取边AB的中点G，连接EG．
（1）求证：EG=CF；
（2）将△ECF绕点E逆时针旋转90°，请在图中直接画出旋 转后的图形，并指出旋转后CF与EG的位置关系．

1

5．（2013•福州）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45 °，P是BC边上一点，△PAD的面积为，设AB=x，
AD=y
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若∠APD=45°，当y=1时，求PB•PC的值；
（3）若∠APD=90°，求y的最小值．


6．（2012•宁波 ）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市居民“一户一表”生活用
水 及提示计费价格表的部分信息：
自来水销售价格 污水处理价格
每户每月用水量 单价：元吨 单价：元吨
17吨以下 a 0.80
超过17吨但不超过30吨的部分 b 0.80
超过30吨的部分 6.00 0.80
（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费用）
已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．
（1）求a、b的值；
（2）随着夏天的到来，用水量将增加．为了节省开支，小王计划把6 月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%．若
小王家的月收入为9200元，则小王家6月份最多能用 水多少吨？

7．（2013•临沂）某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元． 当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台
时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函 数y与自变量x的部分对应值如下表：
x（单位：台） 10 20 30
y（单位：万元∕台） 60 55 50
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求该机器的生产数量；
（3）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（ 万元∕台）之间满足如图所示的函数关系．该厂生产这
种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25 台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润．（注：利润=售
价﹣成本）


2

8．（2011•南京）如图①，P为△ABC内 一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个
三角形与△ABC相 似，那么就称P为△ABC的自相似点．
（1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE丄CD，垂足为
E．试说明E是△ABC的自相似点 ；
（2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．
①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；
②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．


9．（2013•哈尔滨）已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），点E ，F分别是线段BC和
线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF，AE，AE交B D于点G．
（1）如图1，求证：∠EAF=∠ABD；
（2）如图2，当AB=AD时， M是线段AG上一点，连接BM，ED，MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF=∠BAF，
AF =AD，试探究FM和FN之间的数量关系，并证明你的结论．


10．（20 11•临沂）如图．以O为圆心的圆与△AOB的边AB相切于点C．与OB相交于点D，且OD=BD，己知s inA=，
AC=．
（1）求⊙O的半径：
（2）求图中阴影部分的面枳．


11．（2011•河南）如图，一次函数y
1
=k
1
x+2与反比例函数的图象交于点A（4，m）和B（﹣8，﹣2），与y
轴交于点C．
（1）k
1
= _________ ，k
2
= _________ ；
（2）根据函数图象可知，当y
1
＞y
2
时，x的取值范围是 _________ ；

3

（3）过点A作AD⊥x 轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线OP与线段AD交于点E，
当S
四边形
ODAC
：S
△ODE
=3：1时，求点P的坐标．


12．（2011•北京）在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．
（1）在图1中证明CE=CF；
（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；
（3） 若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．



4

2014年中考数学专题训练：解答题基础过关

参考答案与试题解析


一．解答题（共12小题）
1．（2012•安徽）如图1，在△ABC中，D 、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的
周长相等，设BC=a、A C=b、AB=c．
（1）求线段BG的长；
（2）求证：DG平分∠EDF；
（3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG．


考点： 相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理；圆周角定理．
专题： 压轴题．
分析：
（1）由△BDG与四边形ACDG的周长相等与BD=CD，易得BG=AC+AG ，即可得BG=BG=（AB+AC）；
（2）由点D、F分别是BC、AB的中点，利用三角形中位 线的性质，易得DF=AC=b，由FG=BG﹣BF，
求得DF=FG，又由DE∥AB，即可求得∠ FDG=∠EDG；
（3）由△BDG与△DFG相似，∠DFG＞∠B，∠BGD=∠DGF（公共 角），可得∠B=∠FDG，又由（2）得：
∠FGD=∠FDG，易证得DG=BD=CD，可得B、 G、C三点在以BC为直径的圆周上，由圆周角定理，即可
得BG⊥CG．
解答： （1）解：∵△BDG与四边形ACDG的周长相等，
∴BD+BG+DG=AC+CD+DG+AG，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
∴BG=AC+AG，
∵BG+（AC+AG）=AB+AC，
∴BG=（AB+AC）=（b+c）；

（2）证明：∵点D、F分别是BC、AB的中点，
∴DF=AC=b，BF=AB=c，
又∵FG=BG﹣BF=（b+c）﹣c=b，
∴DF=FG，
∴∠FDG=∠FGD，
∵点D、E分别是BC、AC的中点，
∴DE∥AB，
∴∠EDG=∠FGD，

5

∴∠FDG=∠EDG，
即DG平分∠EDF；

（3）证明：∵△BDG与△DFG相似，∠DFG＞∠B，∠BGD=∠DGF（公共角），
∴∠B=∠FDG，
由（2）得：∠FGD=∠FDG，
∴∠FGD=∠B，
∴DG=BD，
∵BD=CD，
∴DG=BD=CD，
∴B、G、C三点在以BC为直径的圆周上，
∴∠BGC=90°，
即BG⊥CG．
点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、等腰三 角形的性质以及圆周角定理等知识．此
题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想与整体思想的应用．

2．（2011•呼和浩特）如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一 条弦，直线PB交直线AC于点D，
．
（1）求证：直线PB是⊙O的切线；
（2）求cos∠BCA的值．


考点： 切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．
专题： 几何综合题；压轴题．
分析：
（1）连接OB、OP，由，且∠D=∠D ，根据三角形相似的判定得到△BDC∽△PDO，可得到BC∥OP，
易证得△BOP≌△AOP，则 ∠PBO=∠PAO=90°；
（2）设PB=a，则BD=2a，根据切线长定理得到PA=PB= a，根据勾股定理得到AD=2
得到DC=2CO，得到DC=CA=×2a=a，则OA=
a ，又BC∥OP，
a，利用勾股定理求出OP，然后根据余弦函数的
定义即可求出cos∠BC A=cos∠POA的值．
解答： （1）证明：连接OB、OP，如图，
∵，且∠D=∠D，
∴△BDC∽△PDO，
∴∠DBC=∠DPO，
∴BC∥OP，
∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠BOP
而OB=OC
∴∠OCB=∠CBO
∴∠BOP=∠POA
又∵OB=OA，OP=OP
∴△BOP≌△AOP

6

∴∠PBO=∠PAO
又∵PA⊥AC
∴∠PBO=90°
∴直线PB是⊙O的切线；

（2）解：由（1）知∠BCO=∠POA，
设PB=a，则BD=2a
又∵PA=PB=a
∴AD=
又∵BC∥OP
∴DC=2CO，
∴DC=CA=×2
∴OA=
∴OP=
a，
=
=．
=a，
a=a，
=2a，
∴cos∠BCA=cos∠POA=

点评： 本题考查了圆的切线的性质和判定： 圆的切线垂直于过切点的半径；过半径的外端点与半径垂直的直线为
圆的切线．也考查了三角形相似和全 等的判定与性质以及三角函数的定义．

3．（2011•陕西）如图，在△ABC中，∠ B=60°，⊙O是△ABC外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于
P点，CP交⊙O于D；
（1）求证：AP=AC；
（2）若AC=3，求PC的长．


考点： 切线的性质；圆周角定理；解直角三角形．
专题： 几何综合题．
分析： （1）连接OA，可得∠AOC=120°，所以，可得∠P=∠C=30°，即可证明；
（2）AC=3，所以，PO=，所以PC=3．
解答： （1）证明：连接AO，则AO⊥PA，∠AOC=2∠B=120°，
∴∠AOP=60°，

7

∴∠P=30°，
又∵OA=OC，
∴∠ACP=30°，
∴∠P=∠ACP，
∴AP=AC．

（2）解：在Rt△PAO中，∠P=30°，PA=3，
∴AO=，
∴PO=2；
∵CO=OA=，
∴PC=PO+OC=3．

点评： 本题主要考查了直角三角形、圆周角及切线的性质定理，综合性比较强，熟记定理及性质，才是 解答的关
键．

4．（2011•呼和浩特）如图所示，四边形ABCD是正方形 ，点E是边BC的中点且∠AEF=90°，EF交正方形外角平
分线CF于点F，取边AB的中点G， 连接EG．
（1）求证：EG=CF；
（2）将△ECF绕点E逆时针旋转90°，请在图 中直接画出旋转后的图形，并指出旋转后CF与EG的位置关系．


考点： 旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
专题： 证明题．
分析： （1） G、E分别为AB、BC的中点，由正方形的性质可知AG=EC，△BEG为等腰直角三角形，则∠AGE=1 80°
﹣45°=135°，而∠ECF=90°+45°=135°，得∠AGE=∠ECF，再利用 互余关系，得∠GAE=90°﹣∠AEB=∠CEF，
可证△AGE≌△ECF，得出结论；
（2）旋转后，∠C′AE=∠CFE=∠GEA，根据内错角相等，两直线平行，可判断旋转后CF与EG平 行．
解答： （1）证明：∵正方形ABCD，点G，E为边AB、BC中点，
∴AG=EC，△BEG为等腰直角三角形，
∴∠AGE=180°﹣45°=135°，
又∵CF为正方形外角平分线，
∴∠ECF=90°+45°=135°，
∴∠AGE=∠ECF，
∵∠AEF=90°，
∴∠GAE=90°﹣∠AEB=∠CEF，
∴△AGE≌△ECF，
∴EG=CF；

8

（2）解：画图如图所示，
旋转后CF与EG平行．

点评： 本题考查 了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质．关键是根据正方形的性质寻找判定三
角形全等 的条件．

5．（2013•福州）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45 °，P是BC边上一点，△PAD的面积为，设AB=x，
AD=y
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若∠APD=45°，当y=1时，求PB•PC的值；
（3）若∠APD=90°，求y的最小值．


考点： 相似形综合题．
专题： 综合题；压轴题．
分析： （1）如图1，过A作AE垂直于BC，在直角三角形A BE中，由∠B=45°，AB=x，利用锐角三角函数定义
表示出AE，三角形PAD的面积以AD为 底，AE为高，利用三角形面积公式表示出，根据已知的面积即可
列出y与x的函数关系式；
（2）根据∠APC=∠APD+∠CPD，以及∠APC为三角形ABP的外角，利用外角性质得到关系式，等 量代
换得到∠BAP=∠CPD，再由四边形ABCD为等腰梯形，得到一对底角相等及AB=CD，可 得出三角形ABP
与三角形PDC相似，由相似得比例，将CD换为AB，由y的值求出x的值，即为A B的值，即可求出PB•PC
的值；
（3）取AD的中点F，过P作PH垂直于AD，由直角 三角形PF大于等于PH，当PF=PH时，PF最小，此
时F与H重合，由三角形APD为直角三角形 ，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到PF等于
AD的一半，表示出PF即为PH，三角形 APD面积以AD为底，PH为高，利用三角形面积公式表示出三角
形APD面积，由已知的面积求出y 的值，即为最小值．
解答： 解：（1）如图1，过A作AE⊥BC于点E，
在Rt△ABE中，∠B=45°，AB=x，
∴AE=AB•sinB=x，
∵S
△APD
=AD•AE=，
∴•y•x=，
； 则y=

（2）∵∠APC=∠APD+∠CPD=∠B+∠BAP，∠APD=∠B=45°，

9

∴∠BAP=∠CPD，
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD，
∴=，
∴PB•PC=AB•DC=AB
2
，
当y=1时，x=，即AB=，
则PB•PC=（）
2
=2；

（3）如图2，取AD的中点F，连接PF，
过P作PH⊥AD，可得PF≥PH，
当PF=PH时，PF有最小值，
又∵∠APD=90°，
∴PF=AD=y，
∴PH=y，
∵S
△APD
=•AD•PH=，
∴•y•y≥，即y
2
≥2，
∵y＞0，
∴当取“=“时，y取最小值
则y的最小值为．
，

点评： 此 题考查了相似形综合题，涉及的知识有：等腰梯形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边
上 的中线性质，以及三角形的面积求法，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．

6．（2012•宁波）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市居民“一户 一表”生活用
水及提示计费价格表的部分信息：
自来水销售价格 污水处理价格
每户每月用水量 单价：元吨 单价：元吨
17吨以下 a 0.80
超过17吨但不超过30吨的部分 b 0.80
超过30吨的部分 6.00 0.80
（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费用）
已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．
（1）求a、b的值；
（2）随着夏天的到来，用水量将增加．为了节省开支，小王计划把6 月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%．若
小王家的月收入为9200元，则小王家6月份最多能用 水多少吨？

考点： 一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
分析： （1）根据等量关系：“小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元”；“5月份用水25吨，交水费9 1元”
可列方程组求解即可．

10

（2）先 求出小王家六月份的用水量范围，再根据6月份的水费不超过家庭月收入的2%，列出不等式求解
即可．
解答： 解：（1）由题意，得

②﹣①，得5（b+0.8）=25，
b=4.2，
把b=4.2代入①，得17（a+0.8）+3×5=66，
解得a=2.2
∴a=2.2，b=4.2．

（2）当用水量为30吨时，水费为：17×3+13×5=116元，
9200×2%=184元，
∵116＜184，
∴小王家六月份的用水量超过30吨．
设小王家六月份用水量为x吨，
由题意，得17×3+13×5+6.8（x﹣30）≤184，
6.8（x﹣30）≤68，
解得x≤40．
∴小王家六月份最多能用水40吨．
点评： 本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式 关系式即
可求解．同时考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题干找出合适 的等量关
系．

7．（2013•临沂）某工厂投入生产一种机器的总成本为20 00万元．当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台
时，每台成本y与生产数量x之间是一次函 数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x（单位：台） 10 20 30
y（单位：万元∕台） 60 55 50
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求该机器的生产数量；
（3）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（ 万元∕台）之间满足如图所示的函数关系．该厂生产这
种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25 台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润．（注：利润=售
价﹣成本）


考点： 一次函数的应用．
专题： 销售问题；压轴题；待定系数法．
分析： （ 1）设y与x之间的关系式为y=kx+b，运用待定系数法就可以求出其关系式，由该机器生产数量至少为10台，但不超过70台就可以确定自变量的取值范围；
（2）根据每台的成本乘以生产数量等于总成本建立方程求出其解即可；
（3）设每月销售量 z（台）与售价a（万元∕台）之间的函数关系式为z=ma+n，运用待定系数法求出其解析

11

式，再将z=25代入解析式求出a的值，就可以求出每台的利润，从而求出总利润．
解答： 解：（1）设y与x之间的关系式为y=kx+b，由题意，得
，
解得：，
∴y=﹣x+65．
∵该机器生产数量至少为10台，但不超过70台，
∴10≤x≤70；

（2）由题意，得
xy=2000，
﹣x
2
+65x=2000，
﹣x
2
+130x﹣4000=0，
解得：x
1
=50，x
2
=80＞70（舍去）．
答：该机器的生产数量为50台；

（3）设每月销售量z（台）与售价a（万元∕台）之间的函数关系式为z=ma+n，由函数图象，得
，
解得：，
∴z=﹣a+90．
当z=25时，a=65．
当x=50时，y=40总利润为：25（65﹣40）=625万元．
答：该厂第一个月销售这种机器的利润为625万元．
点评： 本题考查了待定系数法求一次 函数的解析式的运用，一元二次方程的运用，销售问题利润=售价﹣进价的运
用，解答时求出一次函数的 解析式是关键．

8．（2011•南京）如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB 、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个
三角形与△ABC相似，那么就称P为△A BC的自相似点．
（1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC＞∠A，CD是 AB上的中线，过点B作BE丄CD，垂足为
E．试说明E是△ABC的自相似点；
（2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．
①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；
②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．


考点： 相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形的内切圆与内心；作图—复杂作图．
专题： 作图题；几何综合题；压轴题．

12

分析： （1）根据已知条件得出∠BEC=∠ACB，以及∠BCE=∠ABC，得出△BCE∽△A BC，即可得出结论；
（2）①根据作一角等于已知角即可得出△ABC的自相似点；
②根 据∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC=∠2∠PBC=2∠A，∠ACB=2∠BCP=4∠A，即可得出各 内角的度数．
解答： 解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上的中线，
∴CD=AB，
∴CD=BD，
∴∠BCE=∠ABC，
∵BE⊥CD，∴∠BEC=90°，
∴∠BEC=∠ACB，
∴△BCE∽△ABC，
∴E是△ABC的自相似点；

（2）①如图所示，
作法：①在∠ABC内，作∠CBD=∠A，
②在∠ACB内，作∠BCE=∠ABC，BD交CE于点P，
则P为△ABC的自相似点；

②∵P是△ABC的内心，∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，
∵△ABC的内心P是该三角形的自相似点，
∴∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC=2∠PBC=2∠A，∠ACB=2∠BCP=4∠A，
∴∠A+2∠A+4∠A=180°，
∴∠A=，
，，． ∴该三角形三个内角度数为：


点评： 此题主要考查了相似三角形的判定以及三角 形的内心作法和作一角等于已知角，此题综合性较强，注意从
已知分析获取正确的信息是解决问题的关键 ．

9．（2013•哈尔滨）已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称 点是点C），点E，F分别是线段BC和
线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF ，AE，AE交BD于点G．
（1）如图1，求证：∠EAF=∠ABD；

13

（2）如图2，当AB=AD时，M是线段AG上一点，连接BM，ED，M F，MF的延长线交ED于点N，∠MBF=∠BAF，
AF=AD，试探究FM和FN之间的数量关系 ，并证明你的结论．


考点： 相似形综合题．
专题： 压轴题．
分析： （1）如图1，连接FE、FC，构建全等三角形△ABF≌△CBF（SAS），则易证∠B AF=∠2，FA=FC；根据
垂直平分线的性质、等量代换可知FE=FA，∠1=∠BAF，则∠5 =∠6．然后由四边形内角和是360°、三角形
内角和定理求得∠5+∠6=∠3+∠4，则∠5=∠ 4，即∠EAF=∠ABD；
（2）FM=FN．理由如下：由△AFG∽△BFA，易得∠AGF= ∠BAF，所以结合已知条件和图形得到
∠MBG=∠BMG．易证△AGF∽△DGA，则对应边成比 例：==．即==．
=
==
，则
=，
设GF=2a（a＞0），A G=3a，则GD=a，FD=a；利用平行线（BE∥AD）截线段成比例易得
==．设EG=2k（ k＞0），所以BG=MG=3k．如图2，过点F作FQ∥ED交AE于点Q．则
又由FQ∥ED，易 证得==，所以FM=FN．
解答： （1）证明：如图1，连接FE、FC．
∵点F在线段EC的垂直平分线上，
∴FE=FC，
∴∠1=∠2．
∵△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），
∴AB=CB，∠4=∠3，
∵在△ABF与△CBF中，
，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴∠BAF=∠2，FA=FC，
∴FE=FA，∠1=∠BAF，
∴∠5=∠6．
∵∠1+∠BEF=180°，
∴∠BAF+∠BEF=180°
∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE=360°，
∴∠AFE+∠ABE=180°．
又∵∠AFE+∠5+∠6=180°，
∴∠5+∠6=∠3+∠4，

14

∴∠5=∠4，即∠EAF=∠ABD；

（2）FM=FN．理由如下：
如图2，由（1）知，∠EAF=∠ABD．
又∵∠AFB=∠GFA，
∴△AFG∽△BFA，
∴∠AGF=∠BAF．
又∵∠MBF=∠BAF，
∴∠MBF=∠AGF．
∵∠AGF=∠MBG+∠BMG，
∴∠MBG=∠BMG，
∴BG=MG．
∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD=∠EAF．
又∵∠FGA=∠AGD，
∴△AGF∽△DGA，
∴==．
∵AF=AD，
∴==．
设GF=2a（a＞0），AG=3a，
∴GD=a，
∴FD=a
∵∠CBD=∠ABD，∠ABD=∠ADB，
∴∠CBD=∠ADB，
∴BE∥AD，
∴=，
∴==．
设EG=2k（k＞0），
∴BG=MG=3k．
如图2，过点F作FQ∥ED交AE于点Q．则===，
∴GQ=QE，
∴GQ=EG=k，MQ=3k+k=k．
∵FQ∥ED，
∴==，
15

∴FM=FN．

点评： 本题综合考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，三角形内角和定理以及四边形 内角和是
360度等知识点．难度较大，综合性较强．

10．（2011•临沂 ）如图．以O为圆心的圆与△AOB的边AB相切于点C．与OB相交于点D，且OD=BD，己知sinA=，
AC=．
（1）求⊙O的半径：
（2）求图中阴影部分的面枳．


考点： 切线的性质；扇形面积的计算；解直角三角形．
专题： 压轴题．
分析： （1）根据切线的性质得出CO⊥AB，再根据解直角三角形得出CO，AO的关系，进而得出 它们的长度，
即可得出半径长度；
（2）根据已知得出∠COD=60°，进而利用三角形面积减去扇形面积即可得出答案．
解答： 解：（1）连接OC，
∵以O为圆心的圆与△AOB的边AB相切于点C．
∴CO⊥AB，
∵sinA==，
∵AC=．
∴假设CO=2x，AO=5x，
4x
2
+21=25x
2
，
解得：x=1，
∴CO=2，
∴⊙O的半径为2；

（2）∵⊙O的半径为2，
∴DO=2，
∵DO=DB，
∴BO=4，
∴BC=2，
∴2CO=BO，
∵OC⊥BC，

16

∴∠CBO=30°，
∠COD=60°，
图中阴影部分的面枳为：S
△ OCB
﹣S
扇形
COD
=×2×2﹣=2﹣π．

点评： 此题主要考查了扇形面积求法以及切线的性质和勾股定理的应用等知识，得出图中阴影部分的面枳为：
S
△OCB
﹣S
扇形
COD
是解决问题的关键．

11．（2011•河南）如图，一次函数y
1
=k
1
x+2与反比例函数
轴交于点C．
（1）k
1
= ，k
2
= 16 ； < br>的图象交于点A（4，m）和B（﹣8，﹣2），与y
（2）根据函数图象可知，当y
1
＞y
2
时，x的取值范围是 ﹣8＜x＜0或x＞4 ；
（3）过点A作A D⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线OP与线段AD交于点E，
当S< br>四边形
ODAC
：S
△ODE
=3：1时，求点P的坐标．


考点： 反比例函数综合题．
专题： 代数几何综合题；数形结合．
分析：
（1）本题须把B点的坐标分别代入一次函数y
1
=k
1< br>x+2与反比例函数的解析式即可求出K
2
、k
1
的值．
（ 2）本题须先求出一次函数y
1
=k
1
x+2与反比例函数的图象的交点坐标 ，即可求出当y
1
＞y
2
时，x
的取值范围．
（3）本题 须先求出四边形OCAD的面积，从而求出DE的长，然后得出点E的坐标，最后求出直线OP的
解析式 即可得出点P的坐标．
解答：
解：（1）∵一次函数y
1
=k
1
x+2与反比例函数
∴K
2
=（﹣8）×（﹣2）=16，
﹣2=﹣8k
1
+2
∴k
1
=

（2 ）∵一次函数y
1
=k
1
x+2与反比例函数
∴当y
1＞y
2
时，x的取值范围是

17
的图象交于点A（4，m）和B（﹣8，﹣2），
的图象交于点A（4，4）和B（﹣8，﹣2），

﹣8＜x＜0或x＞4；

（3）由（1）知，．
∴m=4，点C的坐标是（0，2）点A的坐标是（4，4）．
∴CO=2，AD=OD=4．
∴．
∵S
梯形
ODAC：S
△ODE
=3：1，∴S
△ODE
=S
梯形
ODA C
=×12=4，
即 OD•DE=4，
∴DE=2．
∴点E的坐标为（4，2）．
又点E在直线OP上，
∴直线OP的解析式是
∴直线OP与
．
）． 的图象在第一象限内的交点P的坐标为（
故答案为：，16，﹣8＜x＜0或x＞4

点评： 本题主要考查了反比例函数的综合问题，在解题时要综合应用反比例函数的图象和性质以及求一 次函数与
反比例函数交点坐标是本题的关键．

12．（2011•北京）在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．
（1）在图1中证明CE=CF；
（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；
（3） 若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．


考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质．
专题： 几何综合题；压轴题．
分析： （1）根据AF平分∠BAD，可得∠BAF=∠D AF，利用四边形ABCD是平行四边形，求证∠CEF=∠F．即
可
（2）根据∠ABC=90°，G是EF的中点可直接求得．

18

（3）分别连接GB、GC，求证四边形CEGF是平行四边形，再求证△ECG是等边三角形． 由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，求证△BEG≌△DCG，然后即可求得答案
解答： （1）证明：如图1，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，
∴∠CEF=∠F．
∴CE=CF．

（2）解：连接GC、BG，
∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD为矩形，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF=∠BAF=45°，
∵∠DCB=90°，DF∥AB，
∴∠DFA=45°，∠ECF=90°
∴△ECF为等腰直角三角形，
∵G为EF中点，
∴EG=CG=FG，CG⊥EF，
∵△ABE为等腰直角三角形，AB=DC，
∴BE=DC，
∵∠CEF=∠GCF=45°，
∴∠BEG=∠DCG=135°
在△BEG与△DCG中，
∵，
∴△BEG≌△DCG，
∴BG=DG，
∵CG⊥EF，
∴∠DGC+∠DGA=90°，
又∵∠DGC=∠BGA，
∴∠BGE+∠DGE=90°，
∴△DGB为等腰直角三角形，
∴∠BDG=45°，

（3）解：延长AB、FG交于H，连接HD．
∵AD∥GF，AB∥DF，
∴四边形AHFD为平行四边形
∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD
∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°
∴△DAF为等腰三角形
∴AD=DF，
∴CE=CF，
∴平行四边形AHFD为菱形
∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形
∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°

19

∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，
∴BH=GF
在△BHD与△GFD中，
∵，
∴△BHD≌△GFD，
∴∠BDH=∠GDF
∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°



点评： 此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱 形的判定
与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择 方法．


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