个人财务规划-只有一个地球教案

中考数学解答题解题思路与书写规范要求
中考数学解答题共有八道大题，其 中技能部分占五道题，另一道应用题，
一道探究题或方法迁移性问题，一道综合题.从历年的考试情况来 看，前五道技
能性问题对于中上等学生得分率较高，学生能明白考察的知识与解题的思路.但
失 分的原因多数是因为书写的不规范（缺少主要步骤、排列性混乱等）所造成，
这也是教师在复习教学时重 思路方法忽视书写要求所产生的共性问题.从时间的
运用上看，这五道技能性问题还存在不重视方法的选 择上，走远路解答误时费劲.
应用题的失分主要还是找不出题目中的数量关系或解错方程不等式造成.探 究性
问题或方法迁移性问题失分的原因是不明确解题的思路，在方法规律的转化上不
能很好的运 用.综合性问题的失分原因主要是观察能力与操作能力不能很好的发
挥，只重视计算与证明的重要性，忽 视观察与操作环节，进而找不到突破口，造
成思维上的短路.
第一解答题：(代数类——实数代数式运算与方程不等式求解)
（1）分式的化简与求值：
根据《课标》的要求，分式的运算分式的个数不得超过三个，所以中考试
题多以三个或两个分式 为主，主要考察分式的通分，整式的因式分解，分式的约
分等。通常的解题程序是：先把分子与分母能分 解因式的进行因式分解，同时把
小括号内的分式通分合并；再把除法转化为乘法运算，最后准确约分即可 .
求值时改变了直接给出未知数的具体数字的模式，通常给出未知数的取值
范围，首先要根据 分式成立的意义确定什么数不能取，进而选择可行数代入求值.
x
2
4x44< br>(x),
然后从
－5x5
的范围内选取一个合适
例如：
先化简
x
x
2
2x
的整数作为x值代入求值.
（x2)
2
(x2)(x2)（x2)
2
x1

解：原式


x(x2)xx(x2)(x2)(x2)x 2
由题意可知：x≠0且x≠±2，故在
－5x5
中取
x=1时，
原式=
说明:
①学生在书写容易多写浪费时间，如第一步骤中只进行通分把第一分式照

1
11
.

123

抄或把第一分式因式 分解而括号内容照抄，还有学生先在演草纸上演算后在摘录
部分步骤到卷面上，这是都是不可取的.
②主要步骤是第一步体现因式分解和通分，第二步骤体现算法转化，第三
步骤体现约分.
（2）实数的运算:
根据《课标》要求，实数混合运算加减运算的次数不能超过四次，因此 中
考试题中加减号的次数多以三个或四个为主，主要考察内容包括根式的化简，绝
对值运算，整 数指数幂的运算，特殊角三角函数值等.通常的解题程序是：按加
减把混合运算分成四个或五个小运算， 第一步中把每个小运算的结果求出，再去
括号进行实数的加减运算可直接得结果.
1
例如：
计算：
（π－3）
0
－|5－3|＋（－
3
）
－
2
－5－cos60
0
．
解：原式=1-（3-5）+9-5－
说明：
①学生在书写时容易在第一步中不能完 成所有小运算，反复抄写浪费时间；
还有对绝对值运算去掉绝对值符号后不加括号(或不考虑符号)产生 错误等.
②实数的运算主要体现在第一步上，要体现出实数运算的方法和过程.
（3）解方程（组）或解不等式（组）：
根据《课标》要求，解方程（组）与解不等式（组） 主要以解一元二次不
等式，解二元一次方程组和解一元一次不等式组为主，重在考察等式与不等式的基本性质和消元降次的思想.它们的解题程序课本中都有标准的过程，在这里不
在一一说明. 注意：解一元二次方程时可选择“公式法”，容易掌握和理解；解二元一次
方程组时可选择“加减法 ”，可以提高速度；解一元一次不等式组时要关注数轴
的准确画法与应用.
例如1：解一元二次方程2x
2
-3x-5=0.
解：由题可知：a=2,b=-3,c=-5.
所以有b
2
-4ac=(-3)
2
-4³2³（-5）=49>0，
1113
=1-3+5+9-5－=.
222
bb
2
4ac(3)4937
即x=，

2a224

2

5
所以原方程的根为x
1
=,x
2
=-1.
2
注意：容易漏掉的步骤有只计算b
2
-4ac的值忘记判断正负性.

2x3y4①
例如2：解二元一次方程组

.
< br>3x2y2②
解：①³2＋②³3得：13x=2,即x=
2

x


13
.
所以原方程组的解为：

y
16

13

2216
.把x=代入②得：y=.
131313

x3(x2)
≤
8
①

例如3：
求不等式组

1
的整数解．
②

5x2x
2
解：解不等式①得：x≥-1,解不等式②得：x<2.
把这两个解集表示在数轴上为：
所以原不等式组的解集为：
-1≤x＜2.
故原不等式组的整数解为：-1，0，1.
注意：容易出错的步骤是解不等式不等号的方向问 题，画数轴上不准确，
还有就是解完不等式后对下一问忽略.
｜
●
｜ ｜ ｜
○

-1 0 1 2
第二解答题（几何类——全等三角形证明与特殊四边形的判断
与证明以及相关基本计算）： < br>《课标》明确指出：几何题证明的难度不得超过证明定理的难度.因此，本
题的几何问题多以直观 判断图形的形状，判断图形间的关系，证明三角形全等和
证明特殊四边形为主.近两年来，在此基础上加 入了简单的图形计算内容.解决这
类问题的基本程序是：先利用工具验证并直观判断图形的形状或关系， 再寻找并
证明两个三角形全等进而得所证问题，计算时多利用三角形的有关性质即可.
例如1 ：如图，四边形ABCD是平行四边形，
△AB’C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD
和B’C相交于点O，连接BB’．
（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不

3
B'
A
O
D
B
C

添加字母）；（2）求证：△AB’O≌△CDO．
解：（1）图中等腰三角形有：△ABB

,△CBB

,△OAC;
（2）因为四边形ABCD是平行四边形，所以有∠ABC=∠ADC,AB=CD.
又因为△AB’C和△ABC关于AC所在的直线对称，
所以有∠ABC=∠AB

C,AB=AB

.即∠ADC =∠AB

C，CD =AB

.
在△AB’O和△CDO
中，因为
∠ADC =∠AB

C，,∠AOB

=∠COD， CD =AB

,
所以△AB’O≌△CDO．
例如2:

如图，在梯形ABCD中，AD∥ BC,延长CB到点E，使BE=AD,连接DE交AB
于点M.
(1)求证：△AMD≌△ BME;(2)若N是CD的中点，
且MN=5,BE=2,求BC的长.
证明：（1）∵AD∥BC,∴∠ADM=∠E.
又∵∠AMD=∠EMB, BE=AD,
∴△AMD≌△BME.
(2)由（1）可知：△AMD≌△BME，
∴DM=ME,又N是CD的中点，∴MN为△DEC的中位线.
11
即MN=EC(BEBC)
,代入MN=5,BE=2，解得：BC=8.
22
E
B C
M N
A D
说明：
①如果图形借助特殊四边形时 ，要先从特殊四边形的性质入手得出需要的结论作
为后续证明的条件；如果图形中含有折叠、旋转或平移 时，要根据图形变换的全
等性得出需要的结论作为后续证明的条件；选择条件除上述两方面外，也要关注
图形中的隐藏条件如对顶角、公共角、公共边等.
②书写时，可用文字语言描述(例1)，也 可用符号语言描述（例2）；书写因果关
系时，一定在因为的后边为题目中结出的已知条件（或者说照抄 题目中的相关条
件），在所以的后边一定是根据某定理得出的结论.
③针对图形的计算问题， 首先要根据数学知识写出相关的结论（即用符号表示数
量关系），再代入数值计算方可.
④常 见的书写问题有：利用角的关系时喜欢用三个大写字母表示，不会用数字表
示费时不直观还容易抄写错误 ；把基本推理在心中完成，进而把其得到的结论当
条件直接应用；有关图形的计算时不讲明道理直接用数 字运算等.

4

第三解答题（统计概率类——统计图表完善，样本估计总体状
况计算问题）：
《课标 》指出：经历收集、整理、描述和分析数据的活动；会制作扇形统
计图，能用统计图直观、有效地描述数 据；能计算中位数、众数、加权平均数，
会计算简单数据的方差；能画频数直方图，能利用频数直方图解 释数据中蕴涵的
信息；可以通过样本平均数，样本方差推断总体平均数和总体方差；能通过列表、
画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可
能结果，知道可以用频 率来估计概率.
根据课标要求，近几年中考中这部分知识解答题的考察，主要包括统计图
表完 善或制作，计算相关统计量并用统计量分析数据状况，利用统计和概率的思
想用样本估计总体，计算简单 事件的概率等.
解题的一般程序是：先从统计图表中获取相关信息，通过计算完善统计图
表； 再根据统计图表获取相关信息，通过计算得出样本的相关统计量或频率，运
用统计和概率的思想判断并计 算总体的有关问题；最后利用排列的方法计算简单
随机事件的概率.
例如1: 5月31日是 世界无烟日，某市卫生机构为了了解“导致吸烟人口比例高
的主要原因”，随机抽样调查了该市部分18 ~65岁的市民，下图是根据调查结果
绘制的统计图，根据图中信息解答下列问题：
人数
420
正
府
对
公
共
场
所
吸烟
的
监
管
力
度
不
够

m < br>对
吸
烟
危
害
健
康
认
识
不< br>足
m
人
们
对
吸
烟
的
容
忍
度
大

240
210
E
16%
A
28%
C
21%
项目
图2






A
B
C D
烟
民
戒
烟
毅
力
弱
E

其
它
D

B
21%



（1）这次接受随机抽样调查的市民总人数为 .
（2）图1中的m的值是 .
（3）求图2中认为“烟民戒烟毅力弱”所对应的圆心角度数.
（4）若该市18~65岁的市民约为200万人，请你估算其中认为导致吸烟人中比

5

图1

例高的最主要原因是“对吸烟危害健康认识不足”的人数.
解：（1）从统计图中不能发现， A类即有人数420人且占28%，E类即有人数
240人且占16%，故可从中任取一项得调查的总人 数为：420÷28%=1500（人）.
注：从运算的难度上看选“E”计算较为简便.
（2）由（1）知抽查的总人数为1500人，从扇形图中知“B”类对象占总人
数的21%，故有m= 1500³21%=315(人).
（3）由图1知“烟民戒烟毅力弱”的人数为210人，总人数为 1500人，所
以“D”所对应圆心角的度数为：
210
360
0
50.4
0
.
1500
（4）由扇形图可知：对“对吸烟危害健康认识不 足”占调查的比例为21%，
所以可以估计该市18~65岁的市民约为200万人中“对吸烟危害健康 认识不足”
的人数为：200万³21%=42万.
例如2：为更好地宣传“开车不喝酒，< br>喝酒不开车”的驾车理念，某市一家报
社设计了如右的调查问卷（单选）。
在随机调查 了本市全部5000名司机中
的部分司机后，统计整理并制作了如下
的统计图：

人数
100
80
60
40
20
0
60
69
45
36
D
C
A B C D E 选项
E
A
m%
B
23%
调查结果的条形统计图
调查结果的扇形统计图
克服酒驾--- 你认为哪一种方式更好？
A、 司机酒驾，乘客有责，让乘客帮助监督
B、 在汽车上张贴“请勿酒驾”的提醒标志
C、 签定“永不酒驾”保证书
D、 希望交警加大检查力度
E、 查出酒驾，追究就餐饭店的连带责任








根据以上信息解答下列问题：
（1）补全条形统计图，并计算扇形统计统计图中m= ；
（2）该市支持选项B的司机大约有多少人？
（3）若要从该市支持选项B的司机中随机选择100名，给他们发 “请勿酒驾”

6

的提醒标志，则支持该选项B的司机小李被选中的概率是多少？
解：（1）由统计图表可知：“B”类人数有69人，且占总调查人数的23%，所
以调查的总 人数为：69÷23%=300(人).即“C”类人数有：300-60-69-36-45=90
（ 人），画图略.由（1）知调查的总人数为300人，其中“A”类人数为60人，
所以它所占的比例为 ：60÷300=20%，故m=20.
（2）该市支持选项B的司机大约为：5000³（69÷300）=1150（人）.
（3）支持该选项B的司机小李被选中的概率为:69÷300=0.23.
说明：
①从统计图表中获取信息是学生学习统计概率知识所必须达到的能力，在书
写时准确讲运用语言说明所 需要的数据是如何获得，并指明计算的目的后才能列
式计算.通常标准答案只需要指明计算的目的列式计 算即可.
②学生在解答统计与概率问题时，最容易把代数问题算术化，即只列出计算
的式子得 出结果，不说明计算的目的或任务，严格上讲不完整不准确.总的来说，
统计与概率是获取数据、分析数 据说明问题，利用样本估计总体，利用频数估计
概率，必要的语言描述是必不可少的.
第四解答题（代数类——函数基本应用或基本技能问题）
函数是中学数学的核心知识，也是中 考数学命题的重心之一.近两年来看，
解答题中增加了利用函数知识解决简单的实际问题，通过函数运算 考察数形结合
的思想与方法内容，其解题的一般程序是：设出所求函数的表达式（已知条件中
告 诉者略），寻找满足函数的一到两组对应值或在函数图象上找到一到两点的坐
标并代入表达式求解；再根 据函数图象、实际意义判断自变量的取值范围或根据
函数表达式计算有关问题；设出运动点的坐标结合图 形面积公式根据题中数量关
系列出方程（组）求解即可.
例如1：如图，一次函数y
1
=k
1
x+2与反比例函
数y
2
=
k
2
的图象交于点A(4,m)和B（-8，-2），与
x
C
O
┐
D
y
A
P
²
x
y轴交于点C.
(1)k
1
= ,k
2
=
(2)根据函数图象可知，当y
1
＞y
2
时，x的取值范
围 是 ；

7
B

（3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一 点.设
直线OP与线段AD交于点E,当S
四边形ODAC
:S
△ODE=3:1时，求点P的坐标.
解：（1）因为一次函数y
1
=k
1x+2与反比例函数y
2
=
k
2
的图象交于点A(4,m)和B
x
（-8，-2），所以有：m=4k
1
+2,-2=-8k
1+2,-2=
k
2
1
,解得：m=4,k
1
=,k2
=16.
2
8
说明：此步骤书写可根据需要，利用条件列出方程求 解即可，常见问题有把
条件分开后排列顺序或因果关系上不当，或书写量大费时；二是只关注了结论的< br>需要忽视求m值，给后边解题造成不便.
（2）（直线与双曲线产生两个交点，双曲线不连续， 故它们的图象被分成了四部
分，根据图象满足y
1
＞y
2
只有两部分 ：点B到y轴之间，以及点A的右边，所以
x的取值范围是）-84.
说明： 这一步反映了数形结合的思想方法，确定函数值的大小关键能根据图
象合理分类讨论，学生常见的错误是 分类不准确不全面或书写不等号时方向以及
带不带等号等.
1
（3）方法一：∵一次函数y
1
=x+2与y轴交于点C，
2
∴C的坐标为（0，2），即OC=2.
又A点的坐标为（4,4）且AD⊥x轴，∴AD=4,OD=4.
设点P的坐标为（a,b ）,则有直线OP的表达式为：y=
当x=4时，有y=
b
x
,
a
4b4b
,故有DE=.
aa
OD(OCAD)4(24 )114b8b
12,
S
△ODE
=OD²DE=³4³∵S
四 边形ODAC
==,
2222a
a
8b
由题意可得：3³=12，即a=2b.
a
16
又因点P（a,b）在反比例函数y=上，则ab=16,把a=2b代入得：
x
2b
2
=16,解得：b=
22
.
因为点P 在第一象限，所以b=2
2
,代入a=2b得：a=4
2
,所以有点P(4< br>2
,
2
).
OD(OCAD)1
，S
△ODE
=OD²DE，
22
OD(OCAD)1
因为S
四边形ODAC
:S
△ODE
=3:1 ，所以=3³OD²DE
22
方法二：由图可知：S
四边形ODAC
=

8

化简得：3DE=OC+AD.
又一次函数y
1
=
1
x+2与y轴交于点C，∴C的坐标为（0，2），即OC=2.
2
1
x.
2
又A点的坐标为（4,4）且AD⊥x轴，∴AD=4.
由上可得：DE=2.即 点E的坐标为（4，2），即直线OC的表达式为：y=
1

yx




x42


x42
2
解方 程组

，得：

.
或



y 
16

y22


y22

x< br>
因为点P在第一象限内，所以点P的坐标为（(4
2
,
2
) .
说明：
①方法（1）先求出或设出图中点的坐标，然后用坐标值表示相关线段的长
度，再代入图形的面积公式列出方程或方程组直接求出点P的坐标；方法（2）
先根据图形的面积公式 和题设等量关系列出含线段的等式，然后化简式子得出相
关线段间的数量关系，再结合已知点的坐标求出 未知点的坐标.从通性通法讲或
从与高中接轨上讲方法（1）较为常用.
②书写时存在的问题 主要有：由已知函数表达式求点的坐标没有联系意识，
用到什么求什么，造成逻辑不顺畅（应该首先考虑 图形面积公式确定需要那些线
段长度，能求出者利用函数表达式确定点的坐标得出线段长度，不能求出者 设出
点的坐标再表示出相关线段的长度）；利用题设中的数量关系和运动点所在函数
图象上列出 方程（组）求解时，解法不当或书写过多（通常只需列出方程在演草
纸上演算，卷面上只接写出答案即可 ）.
例如2：如图，直线
yk
1
xb
与反比例函数
y 
两点
．

（1）求
k
1
、
k
2
的值；
（2）直接写出
k
1
xb
范围；
（3）如图，等腰梯 形OBCD中，BCOD，
OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD
于
点< br>E，CE和反比例函数的图象交于点P，

9
O
k
2
的图象交于A
(1,6)
，B
(a,3)
x
y
k
2
0
时x的取值
x
A
B
P
C
┐
F
E
D
x

当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．
解：（1）因 为直线
yk
1
xb
与反比例函数
y
点，所以有6=k
1
+b,3=ak
1
+b,6=k
2
,3=
k
2
的图象交于A
(1,6)
，B
(a,3)
两
x
k
2
,解得：k
1
=－3,k
2
=6,a=2 .
a
k
2
0
时x的取值范围是：1x（2）由上可知：A(1,6),B(2,3),所以
k
1
xb
（3 ）在等腰梯形OBCD中，过点B作BF⊥OD,垂足为F,又BCOD且B(2,3),
则有BC=E F,BF=CE=3,OF=DE=2.∵BCOD且B(2,3),可设点C的坐标为（m,3）,
∴OE=m,即BC=EF=OE-OF=m-2,OD=OE+ED=OE+OF=m+2.
CE(BCOD)3(m2m2)
3m
=12,解得：m=4.
22
6
对于反比例函数
y
，当x=4时有y=1.5,
x
则S
梯形
OBCD
=

所以点C、P、E的坐标分别为（ 4，3），（4,1.5）,(4,0),则
PC=3-1.5=1.5,PE=1.5,所以有PC=PE.
说明：其解题思路与书写过程与上题类同.
例如3：甲、乙两人同时从相距90千米的A地前往B地， 甲乘汽车，乙骑
摩托车，甲到达B地后停留半小时返回A地.如图是他们离A地的距离y（千米）
与时间t（时）之间的函数关系图象.
（1）求甲从B地返回A地的过程中，y与x之间
的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若乙出发后2小时和早相遇，求乙从A地到
B地用了多长时间？
解：（1）由 题意可知折线为甲运动图，甲从B地
返回A地的过程由图象可知y与x之间是一次函
O
1
1.5
3
第19题
x（千米）
90
人数
数关系，设其函数关系为：y=kx+b,又图象过点（1.5，90），（3，0）,则

901.5kb

k60
，
,解得：


03kb

b180
所以y=-60x+180,其自 变量x的取值范围为：1.5≤x≤3.
（2）由图象可知，乙与甲相遇时甲在返回途中，故对于函数 y=-60x+180,当x=2
时，有y=60.所以乙骑摩托车的速度为30千米小时，故乙从A地 到B地所用时
间为：90÷30=3（小时）.

10

说明：
（1）这是一道利用函数图象解决实际问题的例子，其解题的思路是首先要
根 据问题的需要从图象中获取相关的信息（所求的函数图象形状是什么，从图象
上知道几个点的坐标），进 而转化出数学的问题，再通过列方程（组）求出函数
的表达式；然后再根据函数表达的实际意义和交点的 生活意义，把数学问题转化
为实际生活经验问题，用语言描述即可.
（2）书写时容易产生的 问题有：一是由图象和生活意义转化数学问题时，
表达不够完整准确；二是利用数学问题阐述生活问题时 只重视数学的计算，缺少
语言的描述不规范等.
例如4：暑假期间，小明和父母一起开车到距 家200千米的景点旅游.出发
前，汽车油箱内储油45升；当行驶150千米时，发现油箱剩余油量为 30升.
（1）已知油箱内余油量y（升）是行驶路程x（千米）的一次函数，求y与
x的函数关系式；
（2）当油箱中余油量少于3升时，汽车将自动报警.如果往返途中不加油，
他们能否在汽车报 警前回到家？请说明理由.
解：（1）设y=kx+b,由题意可知：当x=0时y=45;当x=150时y=30,则有 1


45b
1

k

，所以 y=x+45.
,解得：
10

10
30150kb



b45
(2)由题意可知汽车往返的总路程是400千米，对于函 数y=

1
x+45当x=400
10
时，有x=5，说明当他们回 到家后汽车油箱内的余油量为5升大于3升，故汽车
不会自动报警.
说明：
（1） 这是一道语言描述的函数应用题，其解题思路是：首先设出满足题意
的函数关系式，再从题中找出两组满 足函数关系的对应值代入所设求解得函数表
达式；然后利用函数表达式的实际意义用简单计算说明相关问 题.
（2）书写时常见的问题是从语言描述中获取信息阐述不明确，再就是利用
函数关系式解 决实际问题时表达不清楚等.
第五解答题（几何类——利用解直角三角形解决实际问题）

《课标》指出： 能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些

11

简单的实际问题.近两年来，利用解直角三角形解决实际问题越来越得到重视 .其
解题的一般程序是：先从复杂的图形中找到或建立直角三角形（1～2个），将实
际问题数 学化（实际数量值用数学符号表示），解直角三角形并把结果转化为实
际需要解决的问题即可.
例如1：某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅.如图所示，一条幅
从楼顶A处放下，在楼前 点C处拉直固定.小明为了测量此条幅的长度，他先在
楼前D处测量得楼顶A点的仰角为31
0
，再沿DB方向前进16米到达E处，测
得点A的仰角为45
0
.已知点C到 大厦的距离BC=7米，∠ABD=90
0
.请根据以上
数据求条幅的长度（结果保留 整数，参考数据：
tan31
0
≈0.60,sin31
0
≈0. 52,cos31
0
≈0.86）.
解：由题意可知：∠D=31
0
,DE=16米，∠AEB=45
0
,
BC=7米，∠ABD=90
0
.
AB
在Rt△ABD中，∵tan∠D=,
BD
AB
,
BE
D
E C
第1题
B
A
∴AB=BD²tan∠D=(DE+BE) ²tan31
0
≈0.6(16+BE).①
在Rt△ABE中，∵tan∠AEB =
∴AB=BE²tan∠AEB =BE²tan45
0
=BE.②
由①②组合方程组并解得：AB=24.
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=
AB
2
BC
2
24
2
7
2
25< br>.
即：条幅AC的长度为25米.
说明：
①这是一道解直角三角形解决实 际问题，其思路为：首先把题目中的相关
数据用数学符号表示出来，将实际问题数学化；观察图形含有三 个直角三角形，
其共用一条直角边AB,可知AB是连接三个直角三角形的桥梁需求出AB；因为
任何一个直角三角形都不具备两个完整条件解直角三角形，故选择两个直角三角
形分别利用三角函数列 出两个含AB的方程，并组合求AB；所求AC在直角三
角形ABC中，最后在Rt△ABC中利用勾股 定理求解即可.
②书写时常见的问题有：没有完成第一步把实际问题中的数量转化为符号
表示 ，给下边的运算带来不方便；运用解直角三角形的依据计算时，规范的书写
应包括四个主要步骤：阐明原 因（定义、定理等符号表示）→代数变形（通常分
式化整式线段和差化）→代入数据→组合方程组求需要 边角或直接得出有关结论.

12

学生的书写不能较好运 用连等造成条理不清，或缺少某个步骤或不能较好的口
算、演算造成卷面计算太多等.
例如2：
A
解：如右图，由题设可知：∠C=78
0
,BC=1 m，
AB=AC,CD:AC=3:7. 过点D作DE⊥BC,垂足为E.过点A作
1
AF⊥BC,垂足为F.则有∠AFC=∠DEC=90
0
,CF=
BC
= 0.5m.
2
AF
在Rt△AFC中，∵tan∠C=,
CF
D
B
┐
┐
F
E
C
∴AF=CF²tan∠C=0.5³tan78
0
≈0.5³4.70=2.35.
又∵∠AFC=∠DEC=90
0
, ∠C=∠C, ∴△AFC∽△DEC,∴
即DE=
33
AF
=³2.35≈1.01.
77
DECD3

,
AFAC7
故李师傅此时头顶距天 花板的高度为：2.90-1.78-1.01=0.11（m），
因为0.05<0.11<0.20,所以李师傅安全比较方便.
说明：
①此题利 用了解直角三角形和相似三角形的知识，解题的思路是：根据题意
简化图形并把有关数量用数学符号表示 出来；构造直角三角形（由等腰三角形确
定作底边上的高AF，由题意确定作DE⊥BC）,并得出相关 结论；解直角三角形证
相似计算所需线段DE；最后用语言说明实际状况得出结果.

13

②书写时存在的思路问题有：受图形复杂的影响不能简化图形 找不出解决问
题的思路；不能合理作出需要的直角三角形（缺少作等腰三角形的高）等.
③书 写时存在的规范问题有：由题意转化数学条件不全面(如：漏掉等腰三
角形条件和比例条件等)；图形计 算“四步骤”不完整；证明相似或利用相似性
质不规范；约等与直等不区分以及说明描述时缺少判断大小 等.
第六解答题（应用题——列方程（组）、不等式（组）、函数关系
式解决实际问题
）
应用题是历年数学中招考试的核心之一，利用所学知识解决实际生活中的具
体问题是一个人应用 数学能力的体现，这也是学习数学的本质所在.从仅几年的
考试情况来看，通过列方程（组）、列不等式 （组）以及列函数关系式解决实际
问题是不变的规律，一般都是通过解方程（组）、列不等式（组）以及 分析函数
关系确定方案设计、变化规律，进而计算如何费用最省、利润最大等.其题目中
问题的 变化加入了判断思维与语言描述等内容.解决应用题常用的方法只有一
种，我命名为“简化转化法”，所 谓“简化”，就是把题目中包含的数字信息用简
单的文字和数学符号表达出来；所谓“转化”，就是设出 未知数代入简化后的式
子中即可列出数量关系式；解相关数量关系式分析得出结果.
例如1： 某校八年级举行英语演讲比赛,派了两位老师去学校附近的超市购
买笔记本作为奖品.经过了解得知,该 超市的A、B两种笔记本的价格分别是12元
和8元，他们准备购买这两种笔记本共30本.
(1)如果他们计划用300元购买奖品,那么能买这两种笔记本各多少本?
(2)两位老师 根据演讲比赛的设奖情况,决定所购买的A种笔记本的数量要少于B
21
种笔记本数量的,但又 不少于B种笔记本数量的,如果设他们买A种笔记本n
33
本,买这两种笔记本共花费w元.
①请写出w(元)关于n(本)的函数关系式,并求出自变量n的取值范围;
②请你帮他们计算,购买这两种笔记本各多少时,花费最少,此时的花费是多少元?
解题方法提示：
（1）信息“简化”：A单价=12元，B单价=8元，A量+B量=30本 ，A费用+B
费用=300元，信息“转化”：设买A、B两种笔记本各x,y本，结合实际生活数量关系：总费用=单价³数量，把x,y代入简化式子即可得方程组.

14

12
（2）信息“简化”：³B量≤A量＜³B量，A量+B量=3 0本，信息“转化”：
33
利用第（1）问中求出的单价，结合生活中数量关系：总费用=A费 用+B费用，
把W、n代入上简化式子即可，再利用不等式可得自变量取值范围.最后根据n
的 取值范围确定有几种方案，分别计算费用或者根据列出函数关系式的性质确定
什么时候费用最少并代入求 出.
例如2：为鼓励学生参加体育锻炼，学校计划拿出不超过1600元的资金再
购买一批篮 球和排球．已知篮球和排球的单价比为3:2．单价和为80元．
（1）篮球和排球的单价分别是多少元？
（2）若要求购买的篮球和排球的总数量是36个， 且购买的篮球数量多于25个，
有哪几种购买方案？
解题方法提示：
（1）“简化 ”信息：总费用≤1600元，篮单价：排单价=3：2，篮单价+排单价
=80元.设篮球和排球的单 价分别为x元，y元，代入简化式列出方程组求解即可.
（2）“简化”信息：总费用≤1600元，篮球量+排球量=36个，篮球量>25个. “转
化”信息：利用（1）中结论，结合生活中数量关系：总费用=篮球费用+排球费
用，设出某个球的购 买数量代入简化式子即可列出不等式组，解之即可.
解：（1）设篮球和排球的单价分别为x元，y元，依题意得：

x:y3:2< br>
x48
.答：篮球和排球的单价分别为48元，32元.
,解得：

xy80y32

（2）设购买篮球的数量为z个，则购买排球的数量 为（36-z）个，依题意得：

z25
解得：25z28
. 

48z32(36z)1600
因为篮球的数量只能为整数，故z可以 取26，27，28.
所以有三种购买方案，分别为购买篮球26个排球10个或购买篮球27个排球 9
个或购买篮球28个排球8个.
例如3：某旅行社拟在暑假期间面向学生推出“林州红旗渠一日游”活动，
收费标准如下：
人数m
收费标准（元／人）
0＜m≤100
90
100＜m≤200
85
m＞200
75
甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动。已知甲校报名参加的学生

15

人数多于100人，乙校报名参加的学生人数少于100人。经核算，若两校 分别组
团共需花费20800元，若两校联合组团只需花费18000元。
（1）两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人吗？为什么？
（2）两所学校报名参加旅游的学生各有多少人？
解题方法提示：
（1）首先明确 该问是判断性问题，已知了联合组团的总费用又知道了价格表，
只需计算判断结果是否为整数即可.因为 18000÷75=240，1800÷85≈211.8,人的
个数只能是整数，所以说超过了200 人.
（2）“简化”信息：甲校人数>100，乙校人数<100，甲单独费用+乙单独费用=208 00
元，甲、乙联合费用=18000元.“转化”信息：设两校报名参加旅游的学生各有
x, y人，由（1）问知总人数为240人，结合生活中数量关系：团体旅游费用=人
均收费标准³总人数， 代入简化式子即可.(注意：甲校人数>100，有两种情况需
分类列式计算，再结合实际判断正确结果 ).
说明：
①利用方程思想、不等式思想以及函数思想解决实际问题，其关键在于准确找出题目中所包含的数量关系，如何寻找数量关系需要自我“铺路架桥”.教材
中多采用列表法、图 象法等，均有一定具限性或操作不易等特点，“简化转化法”
利用文字、符号与字母表示比较方便. < br>②书写中存在的问题有：设与答不全即与题目中问题相比有出入或不带单位
等；列出数量关系式子 后解题啰嗦（直接解得写出结果即可）；忽视实际问题的
生活意义，不能及时检验运算的正误浪费时间； 语言的描述不准确等.
第七解答题（几何类——探究性问题或方法迁移性问题）
这类题目重 在考察学生合理选择数学知识与有效利用基本技能所达到的综
合数学能力.探究性问题的特点是在一个基 本的平面图形内存在动点或动线变
化，进而研究在变化过程中图形的特征变化及其对应下某线段（或角） 的大小变
化情况（或反之）；方法迁移性问题的特点是在一个特殊的图形背景下或简单的
条件背 景下，通过直观判断或简单证明计算得到相关结论，进而研究在图形一般
化或条件一般化下上述结论的状 况.解决探究性问题的一般程序是：第一步动手
操，即在条件要求下演示图形变化，根据目标直观判断并 确定动点动线的位置；
第二步计算证明，即在第一步确定的图形下完成相关任务；解决方法迁移性问题< br>
16

的一般程序是：第一步在特殊图形或简单条件下通过 计算或证明得出结论，并在
心中记住证明或计算的方法与途径；第二步采取与第一步相同的方法与过程完 成
第二步的解答，但要注意相关条件的书写变化，或将第一步的条件特征在第二步
中重现出现， 利用第一步的结论过渡完成相关问题.
例如1、如图，在梯形ABCD中，ADBC，E是BC的中点 ，AD=5，BC=12，
CD=
42
，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设P B的长为x．
（1）当x的值为_____时，以点P
、
A
、
D< br>、
E为顶点的四边形为直角梯形；
（2）当x的值为_________时，以点P< br>、
A
、
D
、
E为顶点的四边形为平行四边形；
（3 ）点P在BC边上运动的过程中，以
B
P
E
C
A
D
P
、
A
、
D
、
E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由 ．
解：（1）先解决有关梯形的问题，如图可
得CN=PN=AM=4,BM=3,MN=5 .由图可得：当
点P运动到点M，N时，即x＝3或8时，四
边形PADE为直角梯形. （2）由原题图可知：当AP∥DE或DP∥AE时，即x=1或11时，四边形PADE
是平行四 边形.
（3）四边形PADE为菱形首先必须是平行四边形，即在（2）的条件下讨论：当
x =1时，在直角三角形DEN中计算得
DE=
255
,即此时该四边形不为菱形.
当x=11时，图形略计算可得DP＝5＝AD，所
以此时四边形PADE为菱形.
说明：
①本题的解题思路是先解决梯形的一般问题，即常用方法作出梯形的两条
高， 求出相关线段的长度；然后在此基础上考虑动点的位置，即直观判断点P
在哪些位置时满足目标条件并计 算x的值；最后在证明菱形时要先考虑该四边形
必须是平行四边形，即在（2）的基础上分别画图并计算 邻边是否相等即可.
②I常见思路上的问题有：一是不解决梯形基本问题无从下手或顺序来回颠
倒造成混乱；二是受图形中线段DE的影响只考虑一种情况；三是计算DE和
DP的长度时不能合理作 出直角三角形等.常见的书写的问题有：（1）（2）为填空

17
_

P
B
_

_

E
_

A
_

D
_

B
_

A
_

D
┍
M
²
E
┑
N
_

C

N
_

C

题当有两种可能结果时不用“或”，第（3）问计算D E和DP的长度时书写的过
程不完整规范等.
例如2、如图，在Rt△ABC中，∠B=90
0
,BC=5
3
,∠C=30
0
.点D从点C出发
沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀
速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每
秒1 个单位长的速度向点B匀速运动，当其中
一个点到达终点时，另一个点也随之停止运
动，设点D 、E运动的时间是t秒（t＞0）.
B
┐
┐
F
C
E
D
A
过点D作DF⊥BC于点F,连接DE、EF.(1)求证：AE=DF;
(2)四边形AE FD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理
由.（3）当t为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由.
解：（1）设运动时间为t秒，由题意可知：AE=t,CD=2t.
在Rt△DFC中，因为∠C=30
0
，所以有DF=
1
CD=t, 故有AE=DF.
2
BC
,
AC
（2）在Rt△ABC中，∵∠ B=90
0
,BC=5
3
,∠C=30
0
，且cos∠C=
∴AC=
BC53
AE∥DF且由（1）知AE=DF,故四边形AEFD
 10
.由题意可得：
cosC
3
2
为平行四边形.假设存在t值 使得四边形AEFD能够成为菱形，则必有AD=DF.
又AD=AC- CD=10－t,DF=t,故10-t=t,解得：t=5.
所以，当t=5秒时，四边形AEFD是菱形.
（3）在Rt△ABC中，∠B=90
0
,∠C=30
0
，且由（2）知AC=10,则有AB=5.
①当∠EFD=90
0
时，需DF⊥EF,即点E运动到点B，t=5秒. 此时CD=10,即点D运
动到A, 点D、E、F共线，△DEF不存在，故∠EFD不能为90
0
；
②当∠EDF=9 0时，需ED∥BC,如图所示，有
△AED∽△ABC,即
AEAB

,因 为：AE=t,
ADAC
0
A
E
D
AD=10-2t,AB=5,AC=10,代入上式计算可得：
t=2.5.
③当∠DEF=90
0
时，需ED⊥AC,如图所示，
可知△AED∽△ACB,即

B
┐
┐
F
C
AEAC

,因为：AE=t, AD=10-2t,AB=5,AC=10,代入上式
ADAB
18

计算可得：t=4.
综合可得：当t=2.5秒或t=4秒时，
△DEF为直角三角形
A
D
E
说明：
①本题的特 点是点以一定的速度运
动，判断并计算时间为多少时图形形状的
特征变化.其解题思路是：根据 目标要求，用时间t分别表示相关线段的长度，
再结合图形形状的性质和判定，通过列方程或方程组计算 得出相关t值即可.
②解题思路存在的问题有：图形计算问题的两种基本方法（解直角三角形法，相似三角形法）运用不顺畅；主要在第（3）问中不能对图形直观判断合情推理，
缺乏分类讨论，进 而画不出需要的图形，造成思维不全面等.
③书写存在的问题有：一是缺少全盘意识，不能把要用到的 相关量先计算完
成，而是在书写过程中发现时不断重复书写；二是不能合理运用合情推理，搞不
明白书写过程中的核心步骤，进而造成面面俱到，费时费力等.
例如3、类比转化、从特殊到一般等思 想方法，在数学学习和研究中经常用
到，如下是一个案例，请补充完整.
原题：如图1，在平 行四边形ABCD中，点E是BC
边的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD
于点G，若
AFCD
3,求
的值.
EFCG
B
A
G
C
D
B
┐ ┐
F
C
F
E
图1
A
H
（1）尝试探究：
在图1中，过点E作EHAB交BG于点H,则AB和EH的
CD
数量关系是 ，CG与EH的数量关系是 ，
的值是
.
CG
D
G
C
（2）类比延伸：
B
AFCD
m(m0),则的值是
如图2，在原题的条件下，若
EFCG
F
E
图2
E
D
F
（用含m的代数式表示），试写出解答过程.
（3）拓展迁移：
如图3，梯形ABCD中，DCAB,点E是BC的延长线上一
C
A
AB
图3
a,
点，AE和BD相交于点F.若
CD
B CAF
b,(a0,b0)，则的值为
.（用含a,b的代数式表示）
BEEF

19
B

解：（1）AB=3EH,CG=2EH,
3
.
2
说明：作EH AB后，图形中存在“A”型图和“8”型图，故考虑证相似三
角形，利用相似三角形的性质得出结论.
（2）在图2中，过点E作EHAB交BG于点H,
则有∠BAF=∠FEH,∠ABF=∠ FHE.所以△ABF∽△EFH,所以
AB=mEH.
由平行四边形ABCD可知：AB=CD,ABCD即EHCG,
则∠BHE=∠BGC,∠BEH=∠BCG, 所以△BEH∽△BCG,所以
又点E是BC边的中点，则BC=2BE,故有：CG=2EH.
所以
CDABmEHm
.

CGCG2EH2
EHBE

，
CGBC
AFAB
m.
即：
EFEH
说明：
①与第（1）问相比可知：条件与图形均相同，所求结论也相同，改变的只
是一个数量关系即把
AF
3
中3改为m，也就是把特殊化为一般.解决这类问题
EF
的思路完成 等同于特殊情况（1）的思路，其方法就是照搬特殊情况下的解题步
骤过程，只是在代入数值计算时不同 .这就是数学方法的类比迁移.
②思路上和书写时容易出现的问题：一是特殊情况时只是填空过程省略 ，该
问写过程时忽视第（1）问思路与方法，不能类比迁移方法造成思维不顺畅（如：
不加辅助 线，找不到相似图形等）；二是书写时会忽视三角形相似的证明过程，
条件排列不得当等.
（3）过点E作EH∥CD交BD的延长线于点H,可得：
△BCD∽△BHE,所以
BCCDCD

=b,即有EH=.
BEEHb
A
H
D
F
B
E
C
又EH∥CDAB,所以有
△ABF∽△EHF,所以
图3
AF
AFABABAB
ab.

bab
,故< br>EF
EFEH
CD
CD
b
说明：第三问与第（1）（2）相比 ，原始基本图形由平行四边形变为梯形（少
了一组平行线），条件与结论中的线段比不变（只是把中点条 件一般化即线段比
值），故所谓“拓展迁移”就是让所有比值能出现在“A”字相似图或“8”字相似图中，利用相似转化线段比即可.（一般情况下，操作步骤与特殊图形与条件
下相同，即过点E作 CD的平行线，与另一线段或其延长线相交就会出现相似图

20

形）.

第八解答题(综合类——函数图象与平面图形在直角坐标系下
综合问题)
1、如图，在平面直 角坐标系中，已知矩形ABCD三个顶点B(4,0),C(8,0),D(8,8).
抛物线y=ax
2
+bx经过A、C两点.
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）动点P从点A出发，沿线段AB 向终点B运动，同时点Q从点C出发，
沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒
1个单位长度， 运动时间为t秒.过点P作
PE⊥AB,交AC于点E.
①过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点
G.当t为何值时，线段EG最长？
② 连接EQ,在点P、Q运动的过程中，判
断有几个时刻使得△CEQ为等腰三角
形？请直接写出 相应t的值.
解：（1）点A的坐标为（4，8），因为抛
物线y=ax
2
+bx经过A（4，8）、C（8，0）两点，所以有
1


816a 4b
1
2

a
，解得：

2
，所以抛 物线解析式为：
yx4x
.

2

064a8b

b4

O
B
C
P
┐
E
Q
x
y
A
F
┗
G
D
说明：利用坐标的几何意义可 得点A的坐标；已知抛物线上两点坐标代入抛
物线解析式列出方程组求解即可.此问问题不大.
（2）①设直线AC的解析式为y=kx+b,又A(4,8),C(8,0),则有
84kb

k2
，解得：，所以直线AC的解析式为：y=-2x+16 .


08kb

b16
由题意可得：AB=8 ,当运动时间为t秒时，可得AP=t，则BP=8-t,则点P的坐标
为(4,8-t).由PE⊥A B,可知点E的纵坐标为8-t,又点E在直线y=-2x+16上，有
tt
8-t=-2x+ 16,得x=4+,所以点E的坐标为（4+,8-t）. 又EF⊥AD交抛物线于点
22
t 11
G，可得点G的横坐标为4+，又点G在抛物线
yx
2
4x
上，有y=
t
2
8
,
2
28

21

t1
，
t
2
8
）.
28
111
所以EG=
t
2
8
-(8-t)=
t
2
t(t4)
2
2
,
888
则点G的坐标为（4+
即当t=4秒时，EG值最大，最大值为2.
说明：
①此问的解题思路是：由时间³速度得线段的长度，由线段的长度得相关
点的 坐标，由点在函数图象上得坐标关系，最后利用坐标表示所求线段的长度进
而转化为二次函数求最值.这 是解决函数与图形综合问题的通用方法.
②本问解题时常见的错误有：坐标转化时不顺畅（没有按字母 出现的次序进
行或用字母表示坐标时运算错误等）；书写时不流畅（不能合理运用合情推理，
缺 乏语言表达意识用“∵∴”符号造成一些混
乱等）.
4016
②当t=或t=
40-165
或t=时，△EQC
13
3
y
A
F
┗
G
P
┐
┎ H
E
Q
x
O
B
C
D
为等腰三角形.
提示：延长PE交CD于点H,由题意可得：
EH⊥CD.由题设和①问可知：
t
EH=PH-PE=AD- PE=4-,QC=t,CH=BP=8-t,
2
HQ=HC-QC=PB- QC=8-2t，
t
2
17
)+(8-2t)
2
=
t
2
36t80
.
4
2
t5
EC
2
=EH
2
+CH
2
=(4-)
2
+(8-t)< br>2
=
t
2
20t80
.
4
2
1740
(i)当EQ=QC时，有
t
2
36t80
=t
2
,解得：t
1
=8（不合题意舍去），t
2
=;
41 3
5
(ii)当EC=QC时，有
t
2
20t80
=t
2
,解得：t
1
=
40165
（不合题意舍去），
4
则EQ
2
=EH
2
+HQ
2
=(4-
t
2
=
40-165
;
(iii)当EQ=EC时，有
t
2
=
16
.
3
17
2
5
t36t80
=
t
2
20 t80
，解得：t
1
=0（不合题意舍去），
44
说明：
①此问的解题思路是：先直观判断点在运动中目标图形所有可能的情况，进
而确定需要的线段长度；其 次利用“时间速度→线段长度（用t表示）→图形性

22

质转化或线段和差计算需要线段长度（用t表示）→结合分类讨论列方程求t→
判断t的实际意义取舍 →最后得出结论.
②本问存在的疑难问题是：一是观察或操作能力较弱，不能合情分类；二是
解方程时运算量较大，反映出运算意志与运算能力薄弱等.
2、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A
(4,0)
，B
(0,4)
，C
(2,0)
三点．
（1）求抛物线的解析式；
y
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，
点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S
关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（ 3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线
yx
上的动点，判断有几个位置能够使得点A
N
┙
O
C
x
P
、
Q
、
B
、
O为顶点的四边形为平行四边形，
直接写出相应的点Q的坐标．
M
B
解：（1）略；（提示：设出抛物线解析式，代入点的坐标列出方程组即可） < br>（2）由（1）知：
y
1
2
x
+x-4.过点M作MN⊥x 轴交于点N，因为A
(4,0)
，
2
B
(0,4)
，所 以OA=4,OB=4.设点M的坐标为（m，h）,又点M在第三象限，故
1
AN=4+m ,ON=-m,MN=-h.又点M在抛物线上，h=
m
2
+m-4.则
2
11111
S
△
AMN
=AN²MN=(4+m) (-h)=-h(4+m);S
△
AOB
=AO²OB=³4³4=8,
2 2222
(MNOB)ON(h4)(m)hm4m

S
梯形 MNOB
=.
222
1hm4m
即：S= S
△
AMN
+ S
梯形MNOB
- S
△
AOB
=-h(4+m)+ -8=-2h-2m-8
2
2
1
=-2(
m
2
+m-4)-2m -8=-m
2
-4m.故S=-m
2
-4m.
2
所以S=-(m+2)
2
+4,即当m=-2时，S取最大值为4.
说明：
①此问解题思路是：首先作垂直把目标三角形面积和差化，由已知点坐标得
相 应线段长度，设出未知点坐标由坐标几何意义得相应线段长度，再由点在抛物
线上得横纵坐标关系，把线 段长度代入图形面积公式进而列出函数表达式化简即
可.
②解决问题存在的易难处：目标三角形的面积转化思路不明，利用已知和未

23

知点的坐标求相应线段长度缺乏耐心且计算时产生混乱；书写时存在的问题主 要
有：一是对点M在第三象限理解不够产生符号问题，不能把复杂问题简化为若
干小问题造成书 写过多过长等.
（3）如图，共有四种情况，它们的坐标分别为
Q
1
(- 4,4),Q
2
(4,-4),Q
3
(-2+2
5
,2-2
5
)，Q
4
(-2-2
5
,2+2
5
).
说明：
①本问的解题思路是：先利用工具直观判断目标问题的所有情况 （因为只
有线段OB不动，当OB为平行四边形
的边时，可用尺子左右平移OB，当两个
端点分别落在抛物线和直线上时停止即
可得Q
1
,Q
3
,Q
4
；当OB为平行四边形的
对角线时，因为AB∥直线y=-x,故点P
只能在A两 点，可得点Q
2
.）,然后根据
△AOB为等腰直角三角形得点Q
1
, Q
2
坐
标，结合点在图象上满足函数关系式且
用坐标表示距离列方程可得 点Q
3
,Q
4
的
坐标.
②本问存在的问题有：不能利用工 具合
情判断目标点的位置，利用坐标的“双
重性”即满足函数关系又可表示线段长度不熟练等.
3、如图，在平面直角坐标系中，直线
y
1
x1
与抛物线y=a x
2
+bx-3交于A,B
2
M
B
A
O

P
4
Q
4
Q
1
y
P
3
(P
1
)
C
x
Q
3
(P
2
)
Q
2
两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3 ，点P是直线AB下方的抛物线上一动
点（不与A,B两点重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点 C，作PD⊥AB
于点D.
（1）求a,b及sin∠ACP的值；
（2）设点P横坐标为m,
①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段
PD的最大值；
②连结PB,线段 PC把△PBD分成两个三角形，是
否存在合适的m的值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存 在，直接写出

24
D
E
A
O
y
C
┌
P
B
x

m的值；若不存在，说明理由.
解：（1）对于直线
y
1
x1
，当y=0时得x=-2;当y=3时得x=4,所以点A、B的
2
坐标分别为（-2 ，0），（4，3）.又A、B两点在抛物线y=ax
2
+bx-3上，有
1

a


04a2b3

2
，解得：< br>.

316a4b31


b-
< br>2

设直线AB与y轴相交于点E,则有E(0,1).又点A(-2,0),则有OA =2,OE=1,
AE=
AO
2
EO
2
1
2
2
2
5
.
∵PC∥y轴，∴∠ACP=∠AEO.
即sin∠ACP= sin∠AEO=
说明：
①本问解题思 路是：由已知函数解析式求交点的坐标，再由交点坐标求未
知函数的系数或解析式；由题意可知∠ACP 位置不确定但大小一定，所以利用
平移把∠ACP转化到确定的直角三角形中（∠ACP=∠AEO）， 再利用坐标求出
Rt△AEO各边的长度，最后用三角函数定义即可.
②本题的疑难之处是： 求动角的三角函数问题必须转化为定角的问题解决，
这种方法学生不常用不太容易想到.
（2）①设点P的坐标为（m,n）,点C的坐标为（m,p）,又点P在抛物线
1
11111
y=
x
2
x3
上，点C在直线
yx1< br>上，则有n=
m
2
m3
,p=
m1
,
222
22
2
1111
∴PC=p-n=
m1
-(m
2
m3
)=
m
2
m4
.
2
222
OA225
.

AE5
5
在 Rt△PDC中，∵sin∠ACP=
PD25
,

PC5
∴PD =
25251
2
595
PC(mm4)-（m1)
2< br>
.
552
55
∵

595
0
，∴当m=1时，PD取最大值为.
55
说明：
①本题的解题思路是：设出动点坐标，利用函数解析式得出坐标间的关系，

25

再利用坐标的几何意义表示需要线段长度；然后解直角三角形转化为所求线段 关
于m的函数关系式确定最值.
②本题的疑难点是：“函数关系式

点的坐 标

线段长度”之间的互相转
化不熟练，在坐标系中求不平行坐标轴的线段长度不明确 利用“解直角三角形”
方法，代数式的化简与变形不熟练等.书写时主要问题是程序排列上不得当，因< br>果关系表示不明确等.
②分别过点B、D作BM⊥PC、DN⊥PC,垂足分别为M、N，
有∠ACP=∠PDN. ∵sin∠ACP=
1
25
,∴cos∠ACP=.
5
5
DN1
251
2

,PD=
(mm4)
,
PD
52
5
在Rt△PDN中，由cos∠PDN=cos∠ACP=
211
∴DN=
(m
2
m4)(m
2
2m8).又∵B(4,3),M(m,n),∴BM=4-m.
525
1
(m
2
2m8)
DNm2
y
则有：.

5

M
BM4m5
B
当
S
PDC
DNm29
5

时，有m=.
2
S
PBC
BM510
S
PDC
DNm21 0
32

时，有m=.
9
S
PBC
BM59
D
C
N
x ┌
A
O
P
当
说明：
①本题解题思路是：根据目标 三角形共有一条平行于坐标轴的边可以把目标
三角形的面积比转化为线段比（即向公共边作垂直，两高的 比），进而利用前问
的条件和结论用坐标表示两条高，最后列出方程求解即可.
②本题的疑难 点是：不能发现目标三角形的共性点不作垂线找不到思路，也
就无法把面积问题转化为线段问题，其次是 不能很好的利用已有的结论和条件，
盲目思考现象严重，最后就是不能对代数式简化运算(分解因式)造 成计算性错误
等.书写时存在的问题同上一问.

26