田开斌老师 潘成华老师 褚小光老师解答数学题
我喜欢的一首歌作文-教师资格证报名网
田开斌老师解答
潘成华老师解答
2013年摩洛哥国家集训队数学奥林匹克几何题
已知
A、B、C、D是圆O上四点，直线DA、CB交于点F,
线段BD、AC交于点
E,四边形EDGC是平行四边形，H是E关于DF对称点.
求证
D、H、F、G四点共圆
J
D
D
H
E
O
A
G
O
P
E
H
A
F
G
B
F
C
B
C
证明（文武光华数学工作室
南京 潘成华)连接EF、GF,设FH、GD交于J,GF
交AC于P,(DGGC)=(DGGF
)*(GFGC)=(sin∠DFGsin∠GDF)*(sin∠FCGsin∠
GFC)=(si
n∠DFGsin∠GFC),(CEDE)=(CEEF)*(EFDE)=(sin∠CFEsin∠
ACB)*(sin∠ADBsin∠AFE)=(sin∠CFEsin∠AEF).
又(DGGC)=(CEDE),所以(sin∠DFGsin∠GFC)=(sin∠CFEsin∠
AEF),根据变相同一法，可知
∠AFE=∠GFC,所以∠DGF=∠APF=∠ACB+∠GFC=∠ADB+∠AFE=
∠BEF=∠JHD,因此D、H、F、G四点共圆
证明（二）（文武光华数学工作室 南京 潘成华）作
CEFT是平行四边形,所以
△DEF≅△DCT,因此GTFD是平行四边形，得到∠GCF=∠GD
F=∠GTF,所以G、C、T、
F四点共圆，∠DHF=∠DEF=∠GCT所以∠DGF+∠DHF
=∠GFT+∠GCT=180°,
于是D、H、F、G四点共圆
D
H
A
E
G
O
B
C
T
F
D
H
A
E
J
G
C
O
B
F
证明（三）（文武光
华数学工作室 南京 潘成华）作CEJF是平行四边形，∠ACB=
∠EJF=∠ADE,因此E、
D、J、F四点共圆，∠DHF+∠DGF=∠FED+∠DJF
=180°,因此D、H、F、G四点共圆
彭翕成 老师提出几何问题问题
ADB
C,AB=DC,梯形ABCD,以C为中心,将点B、A旋转一个角度到F、E,点M、H、
I分别是
BC、FC、DE中点.
求证 I、H、M共线
证明（文武光华数学工作室 南京
潘成华）延长CI到P，使CI=PI,连接FP，
BF,PE可知PE=EF=DC,∠PEF+∠F
CB=180°-∠FEC-∠ECD+∠FCB=∠EFC+∠FCD+∠
FCB=∠EFC+∠DC
B=∠EFC+∠ABC=2∠EFC,所以∠EFC=(12)(∠PEF+∠FCB),因为
PE=
EF,FC=BC,所以∠PFE+∠EFC+∠CFB=180°,进而P、F、B共线,所以
I、H、M
共线
E
F
A
I
D
H
C
M
B
F
A
P
E
I
D
H
C
M
上海张赢 老师提出一道几何题，此题多次作为竞赛考题，张老师希望不要
调和知识，下面是我的解答
已知 AD⊥BC于D,P是AD上一点，直线CP、BP交AB、AC分别于F、E
求证 ∠ADF=∠ADE
A
A
F
P
F
E
B
P
α
β
D
E
C
B
D
C
证明（文武光华数学工作室 潘成华 解答）设∠ADF=α,∠ADE=β,
根据Ceva定理(AFBF)*(BDCD)*(CEAE )=1,所以(ADsinαBDcos
α)*(BDCD)*(CDcosβADsinβ)=1,于 是
tanα=tanβ,所以α=β，即∠ADF=∠ADE
此题可以把∠ADF=∠ADE当条件，求证AD⊥BC
证明（二）（文武光华数学工作室 南京 潘成华）
在BC上取G,使DG=CD,(AFBF)*(BDGD)*(GQAQ)=1,
(AFBF)*(BDCD)*(CEAE)=1,AG=AC,所以BQ=CE,
根据对称性可知∠EDA=∠ADE
A
F
Q
P
E
B
G
D
C
褚小光老师解答