单身证明范本-服装销售培训

1B训练1

1．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，
x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已
知曲线
C
的极坐标方程为

sin
2

2acos

(a0)
,过点
P< br>(2，4)的直线
l
的参数方程
2


x2 
2
t

为
y4
2
t
（
t
为参数），直线
l
与曲线
C
相交于
A,B
两点．


2
（Ⅰ）写出曲线
C
的直角坐标方程和直线
l
的普通方程；
（Ⅱ）若
PAPBAB
，求
a
的值．

2．极坐标系与直角坐标系
xoy
有相同的长度单位，以原点
O< br>为极点，以
x
轴正半轴为
2
1

x2t

2

极轴.已知直线
l
的参数方程为

（
t
为参数），曲线
C
的极坐标方程为

y
3
t

2

sin
2

8cos

.
（Ⅰ）求
C
的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线
l
与曲 线
C
交于
A,B
两点，求弦长
|AB|
.


3．在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为


x2t
(t
为参数），以该直角坐标系

yt 1
的原点
O
为极点,
x
轴的正半轴为极轴的极坐标系下，曲线P
的方程为

2
4

cos

3 0
.
（1）求曲线
C
的普通方程和曲线
P
的直角坐标方程；
（2）设曲线
C
和曲线
P
的交点为
A
、
B
，求
|AB|
.


4．已知函数
f

x

x3
,
g

x

m2x1 1
, 若
2f

x

g

x4

恒成立，实数
m
的最
大值为
t
.
（1）求实数
t
.
（2）已知实数
x、y、z
满足
2x3y6za(a0),
且
xyz
的最大值是
求
a
的值．



试卷第1页，总8页
222
t
，
20

5．（本大题 9分）已知大于1的正数
x,y,z
满足
xyz33.

x
2
y
2
z
2
3
.
（1 ）求证：
x2y3zy2z3xz2x3y2
（2）求
111
的 最小值.

log
3
xlog
3
ylog
3
ylog
3
zlog
3
zlog
3
x





6．已知对任意
xR
，
aco sxbcos2x10
恒成立（其中
b0
），求
ab
的最 大
值.































试卷第2页，总8页

答案

1．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，
x
轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，已
知曲线
C
的极坐标方程为

sin
2

2acos

(a0)
,过点
P
(2 ，4)的直线
l
的参数方程
2


x2
2
t

为
y4
2
t
（
t
为参 数），直线
l
与曲线
C
相交于
A,B
两点．
< br>
2
（Ⅰ）写出曲线
C
的直角坐标方程和直线
l
的普 通方程；
（Ⅱ）若
PAPBAB
，求
a
的值．
【答 案】（Ⅰ）直角坐标方程为
y
2
2ax(a0)
，普通方程为
y x2
；（Ⅱ）
a1
.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由

sin
2

2acos

(a0)
得
2
sin
2

2a

cos
< br>(a0)
，极坐标方程
2

y

sin

2
得
y2ax(a0)
，将参数方程中的参数
t
消去 可得
l
的普通方程；（Ⅱ）

x

cos

将参数方程代入直角坐标方程化为关于
t
的一元二次方程，结合条件利用韦达定 理解出
a
.
试题解析：(1) 由

sin
2

2acos

(a0)
得

2
sin
2

2a

cos

(a0)

∴曲线
C
的直角坐标方程为
y2ax(a0)
2分
直线
l
的普通方程为
yx2
4分
(2)将直线
l
的参数方程代入曲线
C
的直角坐标方程
y2ax(a0)
中，
得
t22(4a)t8(4a)0

设
A、B
两点对应的参数分别为
t
1
、t
2

则有
t
1
t
2
22(4a),t
1t
2
4a
6分
∵
PAPBAB

∴
(t
1
t
2< br>)t
1
t
2
即
(t
1
t
2
)5t
1
t
2
8分
∴
[22(4a)]40(4a),a3a40

解之得：
a1
或
a4
(舍去)
∴
a
的值为
1
10分
考点：1.参数方程；2.极坐标方程；3.一元二次方程的解法.
2．极坐标系与直角坐标 系
xoy
有相同的长度单位，以原点
O
为极点，以
x
轴正半 轴为
试卷第3页，总8页
22
22
2
2
2
2

1

x2t

2

极轴.已知直线
l
的参数方程为

（
t
为参数），曲线
C
的极坐标方程为

y
3
t

2

si n
2

8cos

.
（Ⅰ）求
C
的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线
l
与曲线C
交于
A,B
两点，求弦长
|AB|
.
【答案】(Ⅰ)
y8x
；（Ⅱ）
|AB|
2
32
.
3
【解析】
试题分析：本题考查坐标系和参数方程.考查学生的转化能力和计算能力 .第一问利用互
化公式将极坐标方程转化为普通方程；第二问，先将直线方程代入曲线中，整理，利用< br>两根之和、两根之积求弦长.
试题解析：（Ⅰ）由

sin

8cos

，得

sin

8

c os

，即曲线
C
的直角坐标
方程为
y8x
．
5分
（Ⅱ）将直线l的方程代入
y8x
，并整理得，
3t
2
16t640
，
t
1
t
2

2
2
222

16
，
3
t
1
t
2

64．
3
32
．
3
10分 所以
|A B||t
1
t
2
|(t
1
t
2
)
2
4t
1
t
2

考点：1.极坐标方程与普通方 程的互化；2.韦达定理.
3．在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的 参数方程为


x2t
(t
为参数），以该直角坐标系
yt1

的原点
O
为极点,
x
轴的正半轴为极轴的极坐 标系下，曲线
P
的方程为

2
4

cos

30
.
（1）求曲线
C
的普通方程和曲线
P
的直角坐标方程；
（2）设曲线
C
和曲线
P
的交点为
A
、
B
，求
|AB|
.
【答案】(1)
xy10
,
xy4x30
；(2)
|AB|
【解析】
试题分析：（1）换元将
tx2
代入yt1
化简由参数方程化为普通方程；（2）由公
式
x

cos

,y

sin

，

xy
，化简得
xy4x30
.
试题解析：（1）曲线
C
的普通方程为
xy10
，曲线
P
的直角坐标方程为
222< br>22
2
.
22
x
2
y
2
4x30
． 5分
试卷第4页，总8页

（2）曲线
P
可化为
(x2 )y1
，表示圆心在
(2,0)
，半径
r
1
的圆，
则圆心到直线
C
的距离为
d
22
22
1
2

2
，
2
所以
AB2rd2
． 10分
考点：1.参数方程与普通方程互化；2.极坐标与直角坐标互化.
4．已知函数< br>f

x

x3
,
g

x

m2x11
, 若
2f

x

g
x4

恒成立，实数
m
的最
大值为
t.
（1）求实数
t
.
（2）已知实数
x、y、z
满 足
2x3y6za(a0),
且
xyz
的最大值是
求< br>a
的值．
【答案】（Ⅰ）20；（Ⅱ）1.
【解析】
试题分析： （Ⅰ）若
2f

x

g

x4
恒成立，代入函数利用绝对值不等式求
m
得最大值；
（Ⅱ）由柯西不等式求解.
试题解析：（Ⅰ）函数
f(x)
的图象恒在函数
g(x)
图象的上方 ，
即
xR,2f(x)2x3g(x4)m2x411m2x7
， 1
分
从而有
m2(x7x3)
， 2分
由绝对值不等式的性质可知
2(x7x3)2x7(x3)20
，
因此，实数
m
的最大值
t20
. 3分
（Ⅱ）由柯西不等式：
222
t
，
20
1
2
1
2
1
2

111
2

(2x )
2
(3y)
2
(6z)
2


() ()()(2x3y6z)



236
< br>236
，5分
因为
2x3y6za(a0)
，所以
a(xyz)
，
2222
6z
时，
xyz
取最大值，因为
xyz< br>的最大值是1，所以
a1
，当
2x3y
6
分
所以
a1
. 7分
考点：1、绝对值不等式；2、柯西不等式.
5．（本大题9分）已知大于1的正数< br>x,y,z
满足
xyz33.

x
2
y
2
z
2
3
.
（1）求证：
x2y3zy2z3xz2x3y2
试卷第5页，总8页

（2）求
111
的最小值.

log
3
xlog
3
ylog
3
ylog
3
zlog< br>3
zlog
3
x
【答案】（1）见解析；（2）3.
【解析】（1）根据柯西不等式证明即可.
(2)
111111


log
3
xlog
3
ylog
3
y log
3
zlog
3
zlog
3
xlog
3< br>(xy)log
3
(yz)log
3
(zx)
然后再根据柯西 不等式证明即可.
证明：（1）由柯西不等式得：
x
2
y
2z
2
()[(x2y3z)(y2z3x)(z2x3y)(x yz)
2
27.
x2y3zy2z3xz2x3y
x
2
y
2
z
2
3
.
得：
x2y3zy2z3xz2x3y2
（2）


由
111111

log
3
xlog
3
ylog
3
ylog
3
zlog
3
zlog
3
xlog
3
(xy)log
3
(yz)log
3
( zx)
柯西不等式得：
(
111
)(log
3
(xy) log
3
(yz)log
3
(zx))9
，所以，
log
3
(xy)log
3
(yz)log
3
(zx)< br>11199

)
log
3
(xy)log
3
(yz)log
3
(zx)(log
3
(xy)log
3
(yz)log
3
(zx))2log
3
(xyz)
x yz33.
(
又33xyz3
3
xyz.
992
3

2log
3
xyz23
所以，
3
l og
3
xyz.
2
得
111
3
当且仅当< br>xyz3.
log
3
xlog
3
ylog
3
ylog
3
zlog
3
zlog
3
x
时，等号成立.故所求的最小值是3.
6．已知对任意
xR
，
acosx bcos2x10
恒成立（其中
b0
），求
ab
的最大< br>值.
【答案】
ab
的最大值为
10
.
【解析】
试题分析：利用二倍角公式
cos2x2cos
2
x1
，利用换 元法
tcosx

1t1

，
将原不等式转化为二 次不等式
2bt
2
at1b0
在区间

1,1< br>
上恒成立，利用二次函
数的零点分布进行讨论，从而得出
ab
的最 大值，但是在对
0b1
时的情况下，主
试卷第6页，总8页

要对二次函数的对称轴
t
a
是否在区间

1,1

进行分类讨论，再将问题转化为
4b
a
2
8b8b
2
的条件下，求
ab
的最大值，
试题解析：由题意知
acosx bcos2x1acosxb

2cos
2
x1

12bcos
2
xacosx1b
，
令
cosxt< br>，
t

1,1

，则当
f

t

2btat1b0
，
t

1,1

恒成立，开口向
2
上，
①当
b1
时，
f
0

1b0
，不满足
f

t

2btat1b0
，
t

1,1

恒成
2
立，
②当
0b1
时，则必有

（1）
当对称轴
t 

a

b1


f

1

ab10


ab1
< br>

f

1

ba10

ab1
a
a
1
，也即
a4b
时，有
4b ab1
，


1,1

时，即
4b4b
则
b
145415
，
ab1
，则
ab
，当
a
，
b
时，

ab

max

.
33
3333
a
a
1，也即
a4b
时，


1,1

时，即
4b
4b
22
2
当对称轴
t
2
2则必有
a8b

1b

0
，即
a 8b

1b

8b8b
，又由（1）知
a

b1

，
则由于

b1

8b 8b
2

2

9b
2
6b1

3b1

0
，故只需
a
2
8b8b
2
成立即
2
可，
问题转化为
a
2
8b8b
2
的条件下，求
ab
的最大值，然后利用代数式的结构特点或
从题 干中的式子出发，分别利用三角换元法、导数法以及柯西不等式法来求
ab
的最
大值 .
a
2
1

4

b

 1
， 法一：（三角换元）把条件配方得：
22

2

a 2rcos



1rsin


0r1


b
2
ab2rcos


， 所以
rsin

13131
rsin


< br>

r2
，
222222


ab

max
2
；
法二：（导数）
试卷第7页，总8页


ax
x
2
2(y1)
2
1,
则即求函数的导数,椭圆的上半部分 令


by
2
x
2
11
1
2

y

y
24
42
1x,y

2
33x
1
2
x


xy

max< br>2
；
法三：（柯西不等式）由柯西不等式可知：
11111
(a b)
2
[a18(b)]
2
[a
2
8( b)
2
][1
2
()
2
]

222< br>88
1
8(b)
191
a
22
2
(8b 8b8b8b2)(1)
，当且仅当

,即
a8(b)及
1
842
1
8
42
a
2
8b8 b
2
时等号成立.即当
a,b
时，
ab
最大值为2.
33
综上可知
(ab)
max
2
.
考点：1.二倍角；2.换元法；3.二次不等式的恒成立问题；4.导数；5.柯西不等式

试卷第8页，总8页