高翻院-20年同学聚会感言

如何解答新定义题
教学目标
1.通过本节课的学习，使学生掌握解答新定义题的方法和过
程。
2.通过本节课的 学习，使学生掌握如何将新定义题的知识点
转化为学生已经掌握的知识内容，从而去解答题目。
教学过程

1．若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角
线叫这个四边形 的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．

（1）如图1，在梯形AB CD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求
证：BD是梯形AB CD的和谐线；

（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个 扇形BAC，
点A．B．C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以
A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边
形；

（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，
求∠BCD的度数．


【考点】四边形综合题．

【专题】压轴题．

【分析】（1）要证明BD是四边形ABCD的和谐线，只需要证 明△ABD和△BDC

是等腰三角形就可以；

（2）根据扇形的性质 弧上的点到顶点的距离相等，只要D在中点时构成的四
边形ABDC就是和谐四边形；连接BC，在△B AC外作一个以AC为腰的等腰三角
形ACD，构成的四边形ABCD就是和谐四边形，
（3）由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图4，
图5，图6三 种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形
性质就可以求出∠BCD的度数．< br>
【解答】解：（1）∵AD∥BC，

∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC．

∵∠BAD=120°，

∴∠ABC=60°．

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC=30°，

∴∠ABD=∠ADB，

∴△ADB是等腰三角形．

在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°，

∴∠BDC=∠C=75°，

∴△BCD为等腰三角形，

∴BD是梯形ABCD的和谐线；

（2）由题意作图为：图2，图3


（3）∵AC是四边形ABCD的和谐线，

∴△ACD是等腰三角形．

∵AB=AD=BC，

如图4，当AD=AC时，

∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC

∴△ABC是正三角形，

∴∠BAC=∠BCA=60°．

∵∠BAD=90°，

∴∠CAD=30°，

∴∠ACD=∠ADC=75°，

∴∠BCD=60°+75°=135°．

如图5，当AD=CD时，

∴AB=AD=BC=CD．

∵∠BAD=90°，

∴四边形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°

如图6，当AC=CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F，

∵AC=CD．CE⊥AD，

∴AE=AD，∠ACE=∠DCE．

∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，

∴四边形ABFE是矩形．

∴BF=AE．

∵AB=AD=BC，

∴BF=BC，

∴∠BCF=30°．

∵AB=BC，

∴∠ACB=∠BAC．

∵AB∥CE，

∴∠BAC=∠ACE，

∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15°，

∴∠BCD=15°×3=45°．



2．在平面直角坐标系中 ，点Q为坐标系上任意一点，某图形上的所有点在∠Q的内部（含
角的边），这时我们把∠Q的最小角叫 做该图形的视角．如图1，矩形ABCD，作射线OA，
OB，则称∠AOB为矩形ABCD的视角．

图1
图2

备用图
（1）如图1，矩形ABC D，A（﹣
3
，1），B（
3
，1），C（
3
，3），D（ ﹣
3
，3），
直接写出视角∠AOB的度数；
（2）在（1）的条件下，在 射线CB上有一点Q，使得矩形ABCD的视角∠AQB=60°，求点
Q的坐标；
（3）如 图2，⊙P的半径为1，点P（1，
3
），点Q在x轴上，且⊙P的视角∠EQF的
度 数大于60°，若Q（a，0），求a的取值范围．
解;（1）120°； ·········· ·················································· ······································ 1
（2）连结AC，在射线CB上截取CQ=CA，连结AQ． ··································· 2
∵AB=2
3
，BC=2，
∴AC=4． ··························· 3
∴∠ACQ=60°．
∴△ACQ为等边三角形，
即∠AQC=60°． ················ 4
∵CQ=AC=4，
∴Q（
3
，﹣1）． ············· 5

（3）
图1
图2

如图1，当点Q与点O重合时，∠EQF=60°，
∴Q（0，0）． ········· ·················································· ····················· 6
如图2，当FQ⊥x轴时，∠EQF=60°，∴Q（2，0）． ················································ 7
∴a的取值范围是0＜a＜2．

3．在平面直角坐标系
xOy
中，⊙C的半径为r，P是与圆心C
不重合的点，点P关于⊙C的限距点的定义如下：若
P

为
直线P C与⊙C的一个交点，满足
rPP

2r
，则称
P
< br>
为点P关于⊙C的限距点，右图为点P及其关于⊙C的限
距点
P

的示意图．
（1）当⊙O的半径为1时．
①分别判断点M
(3,4)
，N
(,0)
，T
(1,2)
关
于⊙O的限距点是否存在？若存在，求其坐标；
②点D的坐标为（2,0），DE，DF分别切⊙O于点E，点F，点P在△DEF的
边上. 若点P关于⊙O的限距点
P

存在，求点
P

的横坐标的取 值范围；
（2）保持（1）中D，E，F三点不变，点P在△DEF的边上沿E→F→D→E的方向
运动，⊙C的圆心C的坐标为（1,0），半径为r.请从下面两个问题中任选一个作答

温馨提示：答对问题1得2分，答对问题2得1分，两题均答不重复计分.
问题1
若点P关于⊙C的限距点
P

存在，且
问题2
若点P关于 ⊙C的限距点
P

不存在，则
r的取值范围为________.
5
2
P

随点P的运动所形成的路径长为

r
，< br>则r的最小值为__________．
29．解：（1）①点M，点T关于⊙
O
的限距点不存在；
点N关于⊙
O
的限距点存在，坐标为（1，0）．………………………2分
②∵点
D
的坐标为(2，0)，⊙
O
半径为1，
DE
，DF
分别切⊙
O
于点
E
，点
F
，
∴ 切点坐标为
(，)
，
(，-
13
22
1
2
3
)
.……………3分
2
13
22
如图所示，不妨设点< br>E
的坐标为
(，)
，点
F
的坐
标为
(，-< br>1
2
3
)
，EO，FO的延长线分别交⊙
O
于点E'
，
F'
，
2
313
)
，
F'( ，)
．
222

则
E'(，
1
2
设点
P
关于⊙
O
的限距点的横坐标为
x
．
Ⅰ.当点< br>P
在线段
EF
上时，直线
PO
与
E'F'
的 交点
P'
满足
1PP'2
，故点
P
关

< br>于⊙
O
的限距点存在，其横坐标
x
满足
1x
1
.………5分
2
Ⅱ.当点
P
在线段
DE
，DF
（不包括端点）上时，直线PO与⊙O的交点
P'
满足
0PP' 1
或
2PP'3
，故点P关于⊙
O
的限距点不存在．
Ⅲ.当点
P
与点
D
重合时，直线PO与⊙O的交点
P'(1,0)
满足
PP'1
，故点P关于⊙
O
的限距点存在，其横坐标
x
=1．
综上所述，点
P
关于⊙
O
的限距点的横坐标< br>x
的范围为
1x
=1． ……………………6分
（2）问题1：
1
或
x
2
3
． ………………8分
9
问题2：0 < r <
1
． ………………7分
6
反思:解答新定义题时，首先要理解新定义概念及其内涵外延，并转化为已经学过的知识去< br>解答数学问题。同时，要注意分类的数学思想。