白羊座性格特点-空城计读后感

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第11章 级数
1．写出下列级数的前5项：
(1)
n1
(1)

；(2)
n
3
n1

13
L
(2n1)
；(3)

24
L
2n
n1

1
；(4)

n
(lnn)
n2

n!


n
n
n1

解答：(1)
11111
L
；
33
2
3
3
3
4
3
5
11•31•3•51•3•5•71•3•5•7•9
( 2)

L
；
22•42•4•62•4•6•82•4•6•8•10
(3)
(4)
11111
L
；
23456
(ln2)(ln3)(l n4)(ln5)(ln6)
11•21•2•31•2•3•41•2•3•4•5

2
L
。
345
12345
所属章节：第十一章第一节
难度：一级

2．写出下列级数的通项：
251017xxxxx
2
234
L
；

L

(1)
1L
；(2) (3)
2612202242462468
357
解答：(1)
(2)
(1)
n1
n
；
2n1
n
2
1
；
n(n1)
x
。
2•4L2n
所属章节：第十一章第一节
难度：一级

3．已知级数的部分和S
n
，写出该级数，并求和：
(3)
n
2
2
n
1
n1
(1)
S
n

；(2)
S
n

n
；
2
n
解答：(1) 一般项为
u
1
S
1

数为
2

.

n1n1
11
,n2,3,
L
，故该级
2
，
u
n
S< br>n
S
n1

nn1n(n1)
1
1
n1
，
该级数的和为
limS
n
lim1
；
nn
n
n2
(n1)n

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2
n
12
n1
11
1
1
(2 ) 一般项为
u
1
S
1

，
u
n
S
n
S
n1

n

n1
n
,n2,3,L
，故该级数为

n
，
该
2 22
2
n1
2
2
n
1
级数的和为
li mS
n
lim
n
1
。
nn
2
所属章节：第十一章第一节
难度：一级

4．根据定义求出下列级数的和：
3
n
2
n
(1)

；(2)
n
6
n1

1
；(3)

n1
n(n2)


n
；(4)

n1
(n1)(n2)(n3)


(
n1

n22n1n)

1
1
321
n1
n
2

3

3
； 解答：(1)

()()

11
26
n
n1n1
2
n1
3
11
23

nn




()(1
L
)
；
(2)

n22324354
n1
n(n2)
n1
2n

n1123111111


[()]()()2< br>； (3)

2n1n22n322334
n1
(n1) (n2)(n3)
n1



(4)

(
n1

n22n1n)

[(n2n1)( n1n)]

n1


(
n1
11
1
)
12

n2n1n1n
21
所属章节：第十一章第一节
难度：一级

5．证明下列级数发散：
(1)
n
；(2)

2n1
n1

2
；(3)

n< br>n1

n

n



；(4)
1n

n1


n

n1

n
n
1
n
n
1

n

n



n
n1
0
，所以级数

解答：(1) 由于
u
n

发散；
2n1
2n12
n1< br>
2
n
2
n
(2) 由于
u
n
0
，所以级数

发散；
n
n1
n
.

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
n
n
1

n

(3) 由于
u
n
(
发散；
)0
，所以级数

1ne
n1

1n


nn1n
0
(4) 由于
u
n

，所以级数发散。

n
1
n
(n1)
n
1
n
e< br>1

n1

(n)(1)
n

n n
n

n
n
n
1
n
n
1< br>n
1
n
n
1
n
所属章节：第十一章第一节
难度：一级

6．用比较判别法或极限形式的比较判别法判别下列级数的敛散性：
1
(1)

；(2)
ln(n1)
n1
1
(6)

sin
；(7)
n
n1


π
sin
；(3)

n
2
n1

n1
；(4)
2
n1
n1



n1

1< br>n(n
2
1)

；(5)
1
；

n
n
n1

1
(a0)
；(8)

n
1a
n1
a
n
n!
ln(1< br>n
)
；(9)

n
(a0)
（第9小题是否应

nn
n1
n
n1
1
该放到下一题去用比值判 别法？建议移至第7大题第7小题）
参考答案：(1) 发散；(2) 收敛；(3) 发散；(4) 收敛；(5) 发散；(6) 发散；(7) 当a>1时收
敛，当a≤1时发散；(8) 收敛
（参考答案有误？）
；(9) 当a散

11
11
，而级数

发散，故正项级数

解答： (1) 由于发散；
ln(n1)n
n1
n
n1
ln(n 1)

ππ
(2) 由于
sin
n

n
， 而级数

n
收敛，故正项级数

sin
n
收敛；
2
22
n1
2
n1


n1
n1
(3) 由于
2
n1
，所以正项级数

2
发散；
n1
n1
n1

(4) 由于
1
n(n 1)
2
n1
，所以正项级数

n1
3
2
1
n(n1)
2
收敛；

11
11
(5) 由于
n

，而级数

发散，所以正项级数

n
发散；
n
n
n
n1
n
n1

1
1
(6) 由于
sinn1
，所以正项级数

sin
发散；
n< br>n
n1

1
1
2
n0
(7) 当
a1
时，由于，所以正项级数收敛，

n
n
1a
n1
1a
.

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
1
11
当
a1
时，由于，所以正项级数发散；


n
n
1a2
n1
1a
ln(1(8) 由于
1
n

nn
1
，而调和级数
1
发散，所以正项级数
ln(1
1
)
发散；

1
n
n
n
n1
n
n1
n
)
u
n1
a
n1
(n1)!n
n
aa
lim lim1
，所以原级数收敛， (9) 当
ae
时，由于
lim< br>n
n
u
n
(n1)
n1
n
1
an!
n
(1)
n
e
n
u
n1a
n1
(n1)!n
n
aa
1
，所以原 级数发散。当
ae
时，由于（注：本题已改用
n1n
1
u
n
(n1)an!
(1)
n
e
n
比值判别法
所属章节：第十一章第二节
难度：二级

7．用比值判别法或根值判别法判别下列级数的敛散性：
(2n1)!!
(1)

；(2)
n
3n!
n1


n
2
；(3)

n
3
n1

1
；(4)

n
ln(n1)
n1


3
n
；(5)

n
n•2
n1

n!
；

n
n
n1

(6)

n1
(
n1
n
2
)
n
；(7)
3n
2
1
arcsin
；(8)

n
n1

π
n•tan
；(9)

n1
2
n1

b


，其中an
→a(n→∞)，a
n
、

n1

an


n
b、a均为正数
参考答案：(1) 收敛；(2) 收敛；(3) 收敛；(4) 发散；(5) 收敛；(6) 收敛
（参考答案有
误？）
；(7) 收敛
（无法用所给方法判别，建议移至上一大题）
；(8) 收敛；(9)
当ba时发散，当b=a时不能判定
u
n1
(2n 1)!!3
n
n!2n12
解答：(1) 由于
limlim
n1
lim1
，
n
u
n
3
n
(n1)!(2n1)!!3(n1)3
n< br>所以正项级数

(2n1)!!
收敛；
n
3n!
n1

u
n1
(n1)
2
3
n
(n 1)
2
1
(2) 由于
limlim
n1

2
lim1
，
2
n
u
nn
3n3n3
n
n
2所以正项级数

n
收敛；
n1
3

.

(3) 由于
lim
n
1
n
u
n
lim
n
ln(n1)
01
，

所以正项级数

1
收敛；
n1
ln
n
(n1)

(4) 由于
lim
n
3
n
u
n< br>lim
n
2
n
n

3
2
1
，

所以正项级数

3
n
发散；
n1
n•2
n

(5) 由于
lim
u
n1
n
u
lim
(n1)!
n
n
(n1)
n1

n
n
n!
lim
1
n

1
1
，
(1
1
)
n
e
n< br>
所以正项级数

n!
收敛；
n1
n
n
(1
1
)
n
(6) 由于< br>lim
n
n
u
n
lim
n
nn
3n
e1
，

(
n1
n
2
所以正项级数

n
)
n1
3n
发散；
arcsin
2
1

(7) 由于
n
1
，而级数

1
2
1
1
（注：由于本题用比值判
 1
n
2
收敛，所以

arcsin
收敛；
nn1
n
n
2
别法判别失效，本题已改用比较判别法）
(n1)tan

(8) 由于
lim
u
n1
2
n1
n
u
lim
1
1
，
n
n
ntan

2
2
n

所以正项级 数

n•tan
π
n1
2
n1
收敛；

(9) 当
ab
时，由于
lim
n

b
n
n
u
bb

n
lim
n< br>a
1
，所以


收敛，
n
a
n1

a
n

.
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

b

bb
当
ab
时，由于< br>lim
n
u
n
lim1
，所以


发散，
nn
aa
n1

a
n

n
n

b

bb
当
ab
时，由于
lim
n
u
n
lim1
，所以


的敛散性无法判定。
nn
aa
n1
a
n

n

n
所属章节：第十一章第二节
难度：二级

8．用积分判别法判别下列级数的敛散性：
2
(1)

3
；(2)
n
n1
< br>
ne
n1

n
2
arctann
；( 3)

2
；(4)
n1
n1

1


p
(n1)ln(n1)
n1

参考答案：(1) 发散；(2) 发散（原参考答案有误？）；(3) 收敛；(4) 当p>1时收敛，当p≤1
时发散
解答：(1) 由于积分

(2) 由于积分


< br>1
2
2
dx3x
3
3
x

1< br>
发散，所以由积分判别法知，原级数发散；
2
1
2
 
1
xe
x
dxe
x
1

收敛， 所以由积分判别法知，原级数收敛；
1
22

arctanx13
22
(3) 由于积分

dxarctanx

收敛，所以由积分判别法知，原级数收敛；
1
1
x
2
1232
(4) 当p>1时，由于积分


1
11
dxln
p1
(x1)
p
(x1)ln(x1)p1

1

1
收敛，所以
(p1)ln
p1
2
由积分判别法知，原级数收敛。
当
p1
时，由于积分

知，原级数发散。
当
p 1
时，由于积分


1

1
1
dx lnln(x1)
p
(x1)ln(x1)

1
< br>发散，所以由积分判别法
11
dxln
p1
(x1)
p
(x1)ln(x1)p1

1

发散，所以由积分 判
别法知，原级数发散。
综合知，原级数当p>1时收敛，当p≤1时发散。
所属章节：第十一章第二节
难度：二级

9．利用级数收敛的必要条件，证明下列极限：
3
n
a
n
n!
0
；(2)
lim
n
0
；(3)
lim0
(1)
l im
n
n!•2
n
n
n!
n
n
解答：(1) 由于
lim
.
u
n1
a
lim01
，
n
u
n
n1
n

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a
n
所以由比值判别法知正项级数级数

收敛，
n1
n!

a
n
0
； 于是由级数收敛的必要 条件知
lim
n
n!
u
n1
(n1)!n
n
1
(2) 由于
limlim1
，
n
u< br>n
(n1)
n1
n!e
n
a
n
所以 由比值判别法知正项级数级数

收敛，
n1
n!

于是 由级数收敛的必要条件知
lim
n!
0
；
n
nn
u
n1
3
n1
n!2
n
(3) 由于
limlim
n
01
，
n1
n
u
n
(n1)!23
n
a
n
所以由比值判别法知 正项级数级数

收敛，
n1
n!

3
n
0
。 于是由级数收敛的必要 条件知
lim
n
n!•2
n
所属章节：第十一章第二节
难度：二级

2
10．设a
n
≥0，且

a
n
收敛，证明

a
n
也收敛
n1n1< br>
解答：由于正项级数

a
n
收敛，所以
lima
n
0
，存在正整数
N
，当
nN
时，
a
n
1
，从而
n1

n
2
当
nN
时，
aa
n
1
，由正项级数的比较判别法知，级数
a
n
收敛。
2
n

n1
所属章节：第十一章第二节
难度：二级

2
11．设a
n
≥0，且数列{na
n
}有界， 证明

a
n
也收敛
n1

M
2
M
2
解答：由于数列{na
n
}有界，存在正数
M
，na
n
M
，从而
a
n

，于是
a< br>n

2
，而正项级
n
n
.

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
M
2
2
数

2
收敛，由正项级数的比较判别法知，级数

a
n
收敛。
n
n1
n1

所属章节：第十一章第二节
难度：三级

12．设a
n
≥0，b
n
≥0，且

a
n
和

b
n
都收敛，证明

a
n
b
n
和

(a
n
b
n
)
2
也都收敛
n1n1n1n1

解答：由于a
n
≥0，b
n
≥0，且

a
n
和

b
n
都收敛，故由第10题结论知级数

a
，

b
n
2
收
2
n
n1n1n1n1
< br>敛，又由于
1
2
1
2
a
n
b
n< br>a
n
b
n
，
22
所以由正项级数的比较判别法 知，级数

a
n
b
n
收敛；
n1
22
2b
n
再利用
(a
n
b
n
)
2
2a
n
，

所以由正项级数的比较判别法知，级数

(a
n
b
n
)
2
收敛。
n1

所属章节：第十一章第二节
难度：三级

13 ．设a
n
≥0，且

a
n
收敛，证明

n 1


a
n
也收敛
n
n1

2
n

解答：由于a
n
≥0，且

a
n
收敛，故由第10题结论知级数

a
收敛，结合级数

n 1n1
1
收敛，
2
n1
n

并利用不等式 < br>a
n
1
2
11
a
n

2
，
n22n
所以由正项级数的比较判别法知，级数

所属章节：第十一章第二节
难度：三级


a
n1
b
n1

14．设

a
n
和

b
n
都是 正项级数，如果，则当

b
n
收敛时，

a
n也收敛；当

a
n
a
n
b
n
n1n 1n1n1n1

a
n
收敛。
n1
n

.

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发散时，

b
n
也发散。
n1

解答：由已知条件知，

a
n
< br>a
n
a
n1
abbb
L
2
a
1

n

n1
L
2
b
1
b
n

a
n1
a
n2
a
1
b
n1
b
n2
b
1
或
a
n

a
n
a
n1
abbb
L
3
a< br>2

n

n1
L
3
b
2< br>b
n
，
a
n1
a
n2
a
2
b
n1
b
n2
b
2

故由比较 判别法知，当

b
n
收敛时，

a
n
也收 敛；当

a
n
发散时，

b
n
也发散。
n1n1n1n1
所属章节：第十一章第二节
难度：三级
15．设数列{na
n
}收敛，且级数

n(a
n
a
n1
)
收敛，证明级数

a
n
也收敛。
n1n1

解答：设级数

n(a
n
a
n1
)
的部分和数列为

T
n

，级数

a
n
的部分和数列为

S
n

，则 < br>n1n1

T
n
a
1
a
0
2(a
2
a
1
)3(a
3
a
2
)Ln(a
n
a
n1
)

a
0
a
1
a
2
La
n1
na
n
na
n
a
0
S
n1

由于数列{nan
}收敛，级数

n(a
n
a
n1
)收敛，故数列

T
n

、{na
n
}均收敛， 由上式知数列

S
n1

n1

收敛，从而数 列

S
n

收敛，于是级数

a
n
收敛。
n1

所属章节：第十一章第二节
难度：三级

16．判别下列交错级数的敛散性：
(1)

(1)
n1

n1
1
；(2)
n

(1)
n1

n1
n
3
；(3 )
n
2

(1)
n1

n1
n 1
；(4)
3n2

(1)
n1
n1

lnn

n
解答：(1) 对交错级数

(1)
n1
n1

1

1

，由于数列

单调减少趋于零，所以由莱布尼茨定理
n

n

知收敛；
.

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(2) 对交错级数

(1)n1

n1

n
3

n
3
，由于数列

n

单调减少趋于零，所以由莱布尼茨定理知收敛；
n
2

2

(3) 对于级数

(1)
n1
n1


n1
n11
，由于
lim
，所以一般项不趋于零，故级数发散；
n
3n2
3n2< br>3
lnn

lnn

，由于数列

所以由莱 布尼茨定理知收敛；

单调减少趋于零，
n

n

(4) 对交错级数

(1)
n1
n1
所属章节：第十一章第三节
难度：一级

17．判别下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？：
(1)

(1)
n1


n1
1
；(2)
3
(2n1)

(1)
n1

n1
n1
；(3)
n


(1)
n1
n1
ln
n
；
n1



(4)

(1)
n< br>
1cos

(

0)
；(5)
n< br>
n1
1

sinnπ


）
lnn

n2


13n


；(6)
34n

n1

n
1
sinnπ
（本题应为


；
lnn

n1
(7)

(1)
n1

n1
1
；(8)
n1
3

(1)
n
π
sin


n
n
n1
π

解答：(1) 对级数

(1)
n1
n1
1
1
2
，由于
u nn
2
0
，所以绝对收敛；
n
3
3
(2n1)
(2n1)
(2) 对级数

(1)
n1
n1


n1
n1
，由于
lim1
，所以一般项不趋于零，故级数发散；
n
n
n
nn

，由于数列

ln

单调减少趋于零 ，所以由莱布尼茨定理知收
n1n1

(3) 对级数

( 1)
n1
ln
n1
敛，但是

(1)
n1

n1

nn1
ln

ln
，其部 分和数列

S
n



ln(n1)

发散，故原级数条件收
n1
n1
n
敛；
u
1


(4) 对级数

(1)
n

1cos

(

0)
，由于
lim
n


2
，所以原级数绝对收敛；
n
1n

2

n1
2
n

13n3< br>
13n

n
ulimlim1
，所以原级数绝对收 敛； (5) 对级数


，由于
n

nn
34n4
34n

n1

.

n

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1


11

n
(1)sinsin
(6) 对级数

sin

nπ
，由于数列

单调减少趋于零，所以由莱


lnn

n2
lnn

lnn

n 2

布尼茨定理知收敛，
但是

(1)
n1

n1

111
111
sin

sin，由于级数

发散，而
sin
，
故原级数条件
ln n
n1
lnn
lnnlnnn
n1
n
收敛；
(7) 对级数

(1)
n1


n1
113
n1
1
(1)
，由于，故原级数绝对收敛；

n1n1n1
332
n1n1
3


(1)
n
π
1
(1)
n

1π< br>1

1
(8) 对级数

n
sin
，由于< br>
，，而收敛，
sinsin
sin


nnn
nn
π
n


n


n
π
n
n1
n1
n1n1
故原级数绝对收敛。
所属章节：第十一章第三节
难度：二级

18．求下列级数的收敛域：
sin
n
x
(1)

2
；(2)
n
n1

n
；(3)

n
n1x

1

|x|

(lnx)
；(4)



；(5)
n1
n1
n
< br>x

n


n

ne
n1

nx
(nx)
n
；(6)

nx
；
n
n1

解答：

1
sin
n
x1

(1) 由于对任意实数x，有，而级数收敛，故原级数的收敛域为–∞
2
22
n
nn
n1
(2) 由于当|x|>1 时，
n
n1
1
，此时原级数绝对收敛，当
x1
时，原 级数一般项不趋于
x
n
x
零，故原级数发散，所以原级数的收敛域为
x1
；
11
(3) 由于当|
xe
时，
n
(lnx)
n
lnx1
，此时原级数绝对收敛，当
xe
或0x
时，
ee
1
n
(lnx)
n
lnx 1
，原级数发散，当
xe
或
x
时，易知原级数发散，所以原级 数的收敛
e
1
域为
xe
；
e
(4) 由于
x
1
，易知原级数的收敛域为x<0；
x
(5) 由于< br>lim
n
u
n1
(x)
e
x
，易 知原级数的收敛域为x>0；
u
n
(x)
n
(6) 由于当< br>n
足够大时一般项为正，可看作正项级数，
limn
x
u
n
(x)e
x
，易知原级数的收敛域
.

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为x>1。
所属章节：第十一章第四节
难度：二级

19．求下列幂级数的收敛域：
x
n
(1)

(1)
；(2)
n
n1

n
x
n
10x
；(3)

；(4)

n(n1)
n1
n1
nn

2
n
x
n
；(5)

2n1
n0



(1)
n1

n1
x
2n1
；
(2n1)(2n1)!
2n1
(6)

n
x
2n2
；(7)
2
n1
3
lnn
n
x
(11)

n
n1


(x3)
n
；(8)

n
n1
n•3

(x5)
n
；(9 )

n
n1

x
n
；(10)
< br>p
n1
(n1)
1x
n
；

nn
n
n1
3(2)

解答：(1) 由于
lim
n 
a
n1
1
，所以收敛半径为1，而当
x1
时，原级 数条件收敛，当
x1
时，
a
n
原级数发散，故收敛域为–1(2) 由于
lim
n
a
n1
11
1
所以收敛半径为，而当
x
时，原级数发散，故收敛域为
|x|
；
10
，
1010
a
n
10
a
n 1
所以收敛半径为1，而当
x1
时，原级数绝对收敛，故收敛域为|x|≤1；
1
，
a
n
a
n1
1
1
2< br>，所以收敛半径为，而当
x
时，原级数绝对收敛，故收敛域为
2
a
n
2
(3) 由于
lim
n
(4) 由于
lim
n
11
x
；
22
(5) 由于
lim
n
u
n1
(x)
0
，所以收敛 域为–∞u
n
(x)
u
n1
(x)x2

，而当
x2
时，原级数发散，所以收敛域为
2x 2
； (6) 由于
lim
n
u(x)2
n
(7) 由 于
lim
n
x3
u
n1
(x)

，而当
x6
时，原级数发散，当
x0
时，原级数条件收敛，所以
u
n
(x)3
收敛域为0≤x<6；
(8) 由于
lim
n
u
n1
(x)
x5
，而当
x6
时， 原级数发散，当
x4
时，原级数条件收敛，所以
u
n
(x)
收敛域为4≤x<6；
.

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(9) 由于
lim
n
a
n1
1
，所以收敛半径为1，
a
n
当p>1时，
x1
为收敛点，故收敛域为|x|≤1； < br>当0x1
为发散点，
x1
为收敛点，故收敛域为– 1≤x<1；
当p≤0时，
x1
为发散点，故收敛域为|x|<1；
(10) 由于
lim
n
a
n1
1

，所以收敛半径为3，而当
x3
时，原级数发散，当
x3
时，原级数
a
n
3
收敛，所以收敛域为–3≤x<3；
(11) 由于
lim
n
a
n1

1
，所以收敛半径 为1，而当
x1
时，原级数发散，故收敛域为–1a
n
所属章节：第十一章第五节
难度：一级~二级

20．将下列函数在给定点x
0
处展开为幂级数：
2
11
(1)
y,x
0
3
；(2)
y,x
0
1
；(3)
yx
2
e
x
,x
0
0
；(4)
ylnx,x
0
1
；
x2x1
1x1
(5)
ya
x
,x
0
0
；(6)
y
2
,x
0
1
；(7)
y
2
,x
0
1
；
xx6x2x
(8)
yln(2x3x
2
),x
0
0
；(9)
y
1
2
y2arctanxln(1x)1,x
0
0
；
,x0
；(10)
0
2
(x2)
（第1 0小题是否应为
y2xarctanxln(1x
2
)1,x
00
？以下按此进行解答）
1111
解答：(1)
y1
xx333
1(x3)
3
(x3)
n
( 1) (0x6)
；

n1
3
n0

n
nn
1

15
111
n
2(x1)
(x)
； (2)
y

(1)
3n
22
2x13
1
2
(x1)
3
n0
3
x
2n

(3)
yxex

n 0
n!
2x
2
2


n!
x
n 0

n1

1
2(n1)
(x)
；
(x1)
n
(0x2)
；
n
(4)
ylnxln[1(x1)]


( 1)
n1
(5)
yae
xxlna
(lna)
n
n
x (x)
；


n!
n0
.

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(6)
y
111111111
()()

x
2< br>x65x3x253
1
x
2
1
x
32< br>1


1(1)
n



< br>n1

n1

(x1)
n
(1x3)
；
5
n0

23

1

x1113
nn

3(1)1(x1) (2x0)
；
()


(7)
y
2

2
n0
x2x21(x1)1(x1)
3(8)
yln(2x3x
2
)ln(1x)(23x)ln(1 x)ln2ln(1x)

2
n

x
n

23

n
ln2


1(1)




x

2

n1


n

3

2


；
3

n
11111

n
x
()'()'((1)())'
(9)
y

2
x
(x2)x22
1
2
n0
2
2

(1)
n1
n1

n
n1
x (2x2)
；
2
n1
(10) 由于
y2xarcta nxln(1x
2
)1
，所以
y'2arctanx,y
2
，
1x
2

2
2

(1)n
x
2n
两边两次积分，注意到
y'(0)0,y(0)1
，即有 在
2
1x
n0

y1

(1)
n1
n1
x
2n
(|x|1)
；
n(2n1)
所属章节：第十一章第五节
难度：二级

21．求下列级数的和：
1

π

(1)
< br>(1)

2n1

4

n0
n
2n1
；(2)

2
n1

n
n1
；(3)
2n1


n
9
n1


1


(1)
n
x
2n
，积分得 解答：(1) 由于
2
1x
n0
x
2n1
arctanx

(1)
，
2n1
n0

n
令
x 

π
，即得级数和为
Sarctan
；
44
.

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
1


x
n

，求导得 (2)由于
1x
n0

1


nx
n1

，
2
(1x)
n1
令
x
1
，即得级数和为
S4
；
2

x
3
32n2n 1
xxx
(3)由于，

2
1x
n0n 1

3x
2
x
4
x
3
()'

(2n1)x
2n
， 求导得
222
(1x)1x
n1
113
令
x
，即得级数和为
S
。
332
所属章节：第十一章第五节
难度：三级

22．求下列幂级数的和函数：
x
n1
(1)

n(n2)x
；(2)

；(3)
n(n1)< br>n1
n1

n

2n1
2n
x
；(4)

n!
n1
x

nx
n1
n1


n
2
1
2n
x


n
2•n!
n1

解答：(1)
< br>n(n2)xx

n(n1)x
n
n1n1

n1
x(x3)
(|x|1)
；
(x1)
3

x
n1
x
n
1
(2) 设
S( x)

，则
S'(x)

,Sx)

xn1

，在后式两边积分两次，即得
n(n1)n1x
n1n1n1
S(x)x(1x)ln(1x) (1x1)
；

2
2n1
2n
1
x，则

S(x)dx

x
2n1
x(e
x
1)
，两边求导得 (3) 设
S(x)

n!
n 1n1
n!
2

S(x)e
x
(2x
2
1)1 (x)
；
n
2
1
2n

n(n1)n1x
2
n

1x
2
n

1x
2
n

1x
2
n
x

()

()

()

()
(4)

n
n!2
n1
2n!
n1n2
(n2 )!2
n1
(n1)!2
n1
n!2


x xxx
eee1(1)e1
，
4242

4
x
2
2
2
x
2
2
x
2
2
42
x
2
2

n
2
1
n
n< br>2
1
n
x
？如果题目是

n
x
， 则答案与原参考答案相同，解答（本题有误？是否为

n
n1
2•n!n1
2•n!
.

精品文档
见下）
n2
1
n

n(n1)n1x
n

1x
n

1x
n

1x
n
x
()

()

()

()


n
n!2
n1
2n!
n1n2
(n2)!2n1
(n1)!2
n1
n!2

xxxx
2x
2
2
x
2
xx
eee
2
1 (1)e
2
1 (x)

4242
所属章节：第十一章第五节
难度：三级

23．利用函数的幂级数求下列各数的近似值，精确到四位小数：
(1)
3
30
；(2) ln1.2；(3) cos2°
3
解答：(1)
1
1
111151
302733( 1)
3
3[1
2

3
]3.1073；
93999819
3
111
(2)
ln1.2ln(1 0.2)0.20.2
2
0.2
3
0.2
4
0.1823
；
234

1

1

(3) cos2°
 cos1()
2
()
4
0.9994
。

902!904!90
所属章节：第十一章第七节
难度：二级

24．用幂级数表示下列积分：
e
x
1cosx
(1)

dx
；(2)

dx
；(3)
x
x

x
0
e
x
dx
2

e
x
1

x
n
1
nxC
； 解答：(1)

dx

(

) dx
ln|x|

xx
n0
n!
nn!
n 1
11
1(1x
3
x
5

L
)< br>1cosx
35
(2)

dx

dx
xx
(3)

(1 )
n1
n1

1
x
2n
C
； 2n(2n)!

x
0
e
x
2
(x2
)
n
dx


dx
0
n!n0
x


(1)
n0

n
1
x
2n1

(2n1)•n!
所属章节：第十一章第七节
难度：二级

25．利用被积函数的幂级数展开式求下列定积分的近似值：
0.8
0.5
1
10
–4
xsinxdx
(精确到10< br>–3
)
dx
(1)

(精确到10)；(2)
4

0
0
1x
.

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0.5
1
解答：(1)

dx

[1x4
x
8
x
12
]dx0.4940
；
4
0
1x
0
0.80.8
111
(2)

x
10
sinxdx

x
10
(xx3
x
5
x
7
)dx0.006
。
00
3!5!7!
所属章节：第十一章第七节
难度：二级

26．把下列周期为2π的函数展开为傅里叶级数，并写出级数在[–π，π]上的和函数：
0.5

e
x
,[π,0)

1,(π,0)
(1)
f(x)

；(2)
f(x)

；(3)
f(x)π
2
x
2
,(π,π]
；

x,[0,π)

1,[0,π]
x
(4)
f(x)2sin,(π,π]
；(5)
f(x)|sinx|,(π,π]

3
解答：本题利用以下公式计算傅里叶级数的系数，
1

a
n


f(x)cosnxdx,n0,1,2,
L




b
n

(1)
a
0
a
n

f(x)sinnxdx,n1,2,
L




1






1

f(x)dx1

2

1
0< br>1

1


f(x)cosnxdx



cosnxdx




1
0
1(1)
n
(x)cosnxdx,n1,2,
L


n
2
b
n






f(x)sinnxdx
1
[(1)
n
(1

)1],n1,2,L

n

所以傅里叶级数展开式为 < br>
1π2

11
n


cos(2n1 )x[(1)(1π)1]sinnx
；

2
24π
n 1
(2n1)
n1
nπ

1,πx0

x,0xπ


和函数为
S(x)

1
,x0


2

1π
,xπ

2
(2) 计算得
a
0

1

e



1(1)
n
e


n(1)
n
ne


1(1)
n
,b
n

，< br>a
n

，
所以傅里叶级数展
222

(1 n)

(1n)

(1n)
开式与和函数为
.

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
n(1)
n
ne

1

e


1



1(1)
n
e





c osnx

2
2

n1

1n
2


1n


e
x
,
x0

1(1)
n



；
sinnx



1,0x

2

1n






1e

,x

2
注：此题原参考答案还有错。
(3) 所求傅里叶级数展开式与和函数为

2
2
(1)
n1
22
π

4

cos
x
π
x
,[

π,π]
；
2
3n
n1
(4) 所求傅里叶级数展开式与和函数为


1

1



sinnπsinn
x


π
2



2sin,πxπ
3

3



sinx

；

3

11
π
n1


nn

0,xπ

33

(5) 所求傅里叶级数展开式与和函数为
24

cos2nx


|sinx| πxπ
。
ππ
n1
4
n
2

1
所属章节：第十一章第十节
难度：二级

27．把下列各函数在指定区间上展开为傅里叶级数，并写出级数在相应区间上的和函数：

0,(2,0]

x,(1,0)
(1)
f(x)|x|,(l,l]
；(2)
f(x)

,(h0)
；(3)
f(x)

,(h0)

h,(0,2]1,[0,1]

解答：本题利用以下公式计算傅里叶级数的系数，
1
l
n

a
n


f(x)co sxdx,n0,1,2,
L

l
ll
1
l
n

b
n


f(x)sinxdx,n1,2,
L

l
ll
2
l
n

2l
(1)
a
0
l, a
n


xcosxdx 
22
[1(1)
n
],n1,2,
L
，
b
n

0,
n
1,2,
L
，
l
0
ln

所求傅里叶级数及其和函数为
l4l

1(2n1)π
cosx|x| lxl
；

2

2

n1
(2n1)
2
l
l4l
原参考答案

2
2n
1(2n1)π
cosx|x| lxl
有误？

2
(2n1)l
n1

(2)
l2
，
a
0
h, a
n
0,n1,2, L
，
b
n

h
[1(1)
n
],n 1,2,L
，
n

.

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所求傅里叶级数及其和函数为


0,2x0


h2h1(2n1)π


sinx

h,0x2
；
2π
n1
2n12

h

,x 0,2
2
31(1)
n
1
(3)
l1
，
a
0
, a
n

22,n1,2,L
，
b
n
,n1,2,L
，
2n

n

所求傅里叶级数及其和函数为

< br>x,1x0

32cos(2n1)πx1sinnπx


2





1,0x1
4π
n1
(2n1)
2
π
n1
n
1

,x0
2
所属章节：第十一章第十一节
难度：二级

π
x
28．把函数
f(x)
在[0，π]上展开为正 弦级数，并写出级数在该区间上的和函数
42
解答：本题利用以下公式计算傅里叶级数的系数，
a
n
0,n0,1,2,L

b
n

2



0
f(x)sinnxdx,n1,2,
L
2
计算得
b
n




0
1(1)
n
f(x)sinnxdx,n1,2,
L

2n
所求傅里叶正弦级数及其和函数为

π
x
sin2n x

,0xπ


42


2n< br>n1


0,x0,π


π
x
sin2nπ

,0xπ


42
原参考答案
有误？
2n
n1


0,x0,π

所属章节：第十一章第十节
难度：二级


1,[0,h]29．把函数
f(x)

(0
0,[h,π]
.

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数
解答：本题利用以下公式计算傅里叶级数的系数，
b
n
0,n1,2,L

a
n

< br>

2

0
f(x)cosnxdx,n0,1,2,L

，
a
n

计算得
a
0

2h2



0
f(x)cosnxdx
sin nh
,n1,2,
L

n

所求傅里叶余弦级数及其和函数为


1,0x h


h2sinnh


cosnx

0,hxπ
。
ππ
n1
n

1

,xh
2

1,[0,h]

1,[0,h]
本题中 函数
f(x)

应为
f(x)

？

0,(h,π]

0,[h,π]
所属章节：第十一章第十节
难度：二级


0,[0,1]
30．把函数
f(x)

在[0，2]上分别展开为正弦级数和余弦级数，并写出级数在该区见

1 ,[1,2]
（间？）上的和函数
解答：（1）
l2
，
a
n
0,n0,1,2,L
，
2
2
l
n
n

2n

b
n


f( x)sinxdx

sinxdx[cos(1)
n
],n1,2 ,
L
，
1
l
0
l2n

2
所求 傅里叶正弦级数及其和函数为

0,0x1

1,1x2

21

nπnπx


n

cos( 1)sin


1


2

π
n1
n

2
,
x
1,3


2



0,x2
（2）
l2
，
b
n
0,n1,2,L
，
2
2
l
f(x)dxdx1
，


01
l
2
2
l
n

n

2n
a
n


f(x)cosxdx

cos xdxsin,n1,2,
L
，
1
l
0
l2n
2
所求傅里叶余弦级数及其和函数为
a
0

.

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
2n1

0,0x1
π

sin
12(2n1)πx

2


cos

1,0x2
。
2π
n1
2n12
1

,x1
2
所属章节：第十一章第十一节
难度：二级

31．把函数
f(x)x(πx)
在[0，π]上展开为正弦级数，并由此证明：

(1)
n1

n1
1π
3

(2n1)
3
32
8

1
sin(2n 1)x,0xπ
参考答案：
x(πx)

3
π
n 1
(2
n
1)
解答：
a
n
0,n0,1,2,L
，
b
n

2


0
f(x)sinnxdx

x(

x)sinnxdx
0

4
[1(1)
n
],n1,2,
L
，
3
n

所求傅里叶正弦级数及其和函数为
8

1
x(πx)

sin(2n1)x,0xπ

3
π
n1
(2
n
1)
在上式中令
x

2
，则得
1π
3

。
3
(2n1)32

(1)
n1

n1
所属章节： 第十一章第十节
难度：三级
.