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普通班高数作业（下）

第六章 定积分
1、根据定积分的几何意 义，说明下列各式的正确性：（第二版P186:1；第三版
P155:1）
（1）

2、不计算积分，比较下列各积分值的大小：（第二版P186:2；第三版P155:3）
（4）
0
edx
与
0
edx
（5）
（6）

2

0
sinxdx0
（4）

2xdx4

xdx
10
11
1
x

1
x
2



20
sinxdx
与

2
xdx

0


cosxdx
与


2
0

2
0
cosxdx

3、利用定积分性质，估计下列积分值：（第二版P186:3；第三版P155:4）
（1 ）
I

2
0
e
x
2
x
dx< br> （5）
I

2
0

sinx
5x
2
dx

dx
（6）
I

2
0
x
9x
4、求下列极限：（第二版P186:4；第三版P160: 1）
lnt
1

1
t1
dt
1
xlim

(1sin2t)
t
dt
（2）
lim
（3）
2
x0
x
0
x1
(x1)
x
x

edt
x
x< br>2
t
2
0

（4）
lim

< br>0
edt

（6）
lim

x 0
xarctanxsinx
x

5、求下列导数：（第二版 P186:5；第三版P161:2）
1
x
t
2
d
x< br>3
t
2
d
x
33
edt
(tx)sin tdt
（1） （2）


x
0
d x
dx

x
6、求证方程
lnx

0
1cos2xdx
在

0,

内有且仅有两个不同的实
e
根。（第二版P186:7；第三版P161:4）
7、设
f(x)
在

a,b

上连续，且
f(x)0
，令
F(x) 

a
x
f(t)dt

x
b
1
dt
。
f(t)
F

(x)2
；
F(x)在

a,b

内有且仅有一个零点。求证：（1）（2）（第二版P18 6:8；
第三版P161:5）
8、设
f(x)
为连续函数，且存在常数< br>a
，满足（1）
x1
5

x
3
a
f(t)dt
，求
f(x)

及常数
a
。（第二版P 187:9；与第三版P161:6类似）
9、设
f(x)

x
0
t(1t)e
2t
dt
，问当
x
为何值时，
f(x)
取极大值或极小值。（第
二版P187:10；第三版P161:7）
10、用牛顿—莱布尼兹公式计算下列定积分：（第二版P187:11；第三版P161:8） 
（5）



1
3
6
e
t anxdx
（6）

1sin2xdx
（7 ）

2
0
3
x
2
lnx
2
dx
（10）

max1,x
4
dx
2
x

2

3
dx

x
4
x
2
（8）

（11）

11、用换元积分法计算下列各题：（第二版P187:12；第三版P168:1有类似题）
9
e
2
1
1ln(1x)
1
（2） 4） 5）

1
(3x1)
2
dx
（

4

e1
1x
dx
（
2

b
a
xdx(ab)
（12）

xtxdx
0
1
x
dx

x 1
（8）

a
1
0

x

4< br>0
e
2
a
3
2
2

dx(a0 )
（10）

2

1
x
e
x
ee
x
0
dx

（12）


8
tanxlncosxdx
（14）

sin
7
xdx

0
（15）
1
x43lnx
2
1
dx
（17）

8
3
1
(x)dx

2
x< br>1x
1
2
1
1
1
x2
dx
（24）

1
2
dx
（20）

（19 ）

5
22
2
xx4
xx1
2
x1x
dx

1x
3x
2
12、用分部积分法计算 下列各题：（第二版P188:14；第三版P168:2有类似题）
（3）

xarctanxdx
（5）

0
1
e
2
e
lnx
dx
（9）

2
0
(x1)
16
1
ln2
x edx

（10）

2

0
xsinxdx
（11）

arctanx1dx
x

13、当
x0< br>时，
f(x)
可导，且满足方程
f(x)1

1
（第二版P188:16；第三版P169:4）
1
f(t)dt
，求
f( x)
。
x
1
1
1
2
1x

f (x)dx
，求

f(x)dx
。14、设
f(x)
（第 二版P188:17；
2
0
0
1x
第三版P169:5）

15、设连续函数
f(x)
满足

x
0
f (xt)dte
2x
1
，求

f(x)dx
。（第 二版
0
1
P188:18；第三版P169:6）
16、利用函数奇偶性计算下列积分：（第二版P189:21；第三版P169:9）
< br>（1）


sin
2

2
x
2xln(x1x)dx
（4）

cosxarccosxdx

1
2
1
17、计算下列曲线围成的平面图形的面积：（第二版P189:22；第三版P179:1）
（1）
ye，ye，x1
（2）
yx4x，y0

（7）
y
x3
x，yx，y2x

2
18 、求由抛物线
yx4x3
及其在点(0，-3)和点(3，0)处两条切线所围成图形的面积。（第二版P189:23；第三版P179:2）
19、考虑函数
ysinx，

y
S
2

S
1

y=sinx
0x

2
，问 ：（第二版P189:26；
第三版P179:3）
（1）
t
为何值时，图 中阴影部分
的面积
S
1
与
S
2
之和
SS
1
S
2
最小？
（2）
t
为何值时，面积
O
t
π2

x
SS
1
S
2
最大？
20、求由下列已知 曲线围成的平面图形绕指定的轴旋转而形成的旋转体的体积：
（第二版P189:29；第三版P180 :5有类似题）
（2）
x(y2)1
，绕
x
轴；
（6）
ycosx，x0，x

，y0
，绕
y
轴。
21、设曲线方程为
ye
（1）把曲线
ye
x
x< br>22
(x0)，
（第二版P190:31；第三版无）
，
x
轴，
y
轴和直线
x

(

0)
所围 平面图形绕
x
轴旋
转一周，得一旋转体，求此旋转体的体积
V(
< br>)
，求满足
V(a)
1
limV(

)
的
a
；
2


（2）在此曲线上找一点，使过该点的切 线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最
大，并求出该面积。
22、已知某产品的边际成本和边 际收益函数分别为
C

(q)q4q6
，
2

< br>R

(q)1052q
，固定成本为100，其中
q
为销 售量，
C(q)
为总成本，
R(q)
为总收益，求最大利润。（第二版P19 0:34；第三版P180:8）
23、计算下列反常积分：（第二版P190:35；第三版P194:1有类似题）

1
1
dx
dx
（1）


（3）

2
2
1
x(1x)

4x4x5< br>
（6）


1
5

xdx
arctanx
2x
dx
（7）

esinxdx
（9）

2
1
0
x
5x

x
c

xc

c
24、求的值，使
lim

（第二版P190:38；第三版P195:4）


te
2t
d t
。


x
xc


第七章 多元函数微积分学
1、试用含
x
，
y
的不等式（组）表示下面各图 中的阴影部分所表示的平面点集：
（第二版P251:2；第三版P211:7）

y
x
2

y
4
y
yx
3

-1
O
1
x
1
O
2
x










（1） （4）

y


x+y=1
x-y=-1



x
O

x+y=-1
x-y=1



（7）
2、求下列函数的定义域并画出定义域的示意图：（第二版P251:1；第三版P217:1）

（3）
zxy
（5）
zarcsin(yx)lnln(104xy)

（7）
z
222
1

xy
1

xy
y
f(xy,)x
2
y
2
，求
f( x,y)
。3、设（第二版P251:3；第三版P217:2）
x
4、求下列二元函数的极限：（第二版P251:5；第三版P217:4）
（1 ）
lim
(x,y)(2,)
2

2xy

yxy
1
1
2
（2）
(x,y)(,)
lim

x
2
y
2
sin

3

x
2
y
2
（3）
lim
(x,y) (0,1)
sinxy

x
x
4
y
4
5、 证明：当
(x,y)(0,0)
时，
f(x,y)
2
的极限不存 在。（第二版
(xy
4
)
3
P251:6；第三版P218:5）
6、计算下列函数在给定点处的偏导数：（第二版P251:8；第三版P225:1）
y< br>
（3）
zarctan
，求
z

x
(1 ,1)
，
z
y
(1,1)
；
x
（4）
zln(

xy)
，求
z

x
(1,1)< br>，
z
y
(1,1)
。
7、求下列函数的一阶偏导数：（第二版P253:9；第三版P226:2）
yx
1
lny
xy
ze
zcossin
z
（1）； （4）； （6）。
22
xy
xy
lnx
8、求下列 函数的全微分：（第二版P253:13；第三版P226:4）
（3）
zx
lny
； （5）
zxxysin(xy)
； （7）
z
xy
22
xcosy
。
9、求下列函数在给定 条件下的全微分之值：（2）
ze
；
x1
，
x0.15；
y1
，
y0.1
。（第二版P253:14；第三版P226: 5）
10、计算下列近似值：（第二版P253:15；第三版P226:6）
（2）
1.021.97
； （3）
ln
33
1tan(0.01)
。
1sin0.02
11、证明下列各题：（第二版P253:11；第三版P232:2）
（3）若
uln(tanxtanytanz)
，则
uuusin2xsin2ysin2z2
；
xyz

uuu
0
。 （4）若
u (yz)(zx)(xy)
，则
xyz
12、求下列复合函数的偏导数 或者导数：（第二版P254:16；第三版P232:1）
y
z
z
2 2
uv
varctan
ulnxy
ze
（2），，，求，；
x
x
y
（3）
u
yz
ax
du< br>e
yasinx
zcosx
，，，求。
2
1a
dx
dy
13、求下列方程所确定的隐函数的导数：（第二版P254:18；第三版P23 2:3）
dx
（3）
yx
； （4）
sin(xy)xyxy
。
14、求下列方程所确定的隐函数
zz(x,y)
的全微分：（第二版P254:19；第三
版P233:4）
（1）
yzarctan(xz)
； （2）
xyze
。
z
xy22

2
z

2
z

2
z
15、求下列函数的二阶偏导数
2< br>，
2
，：（第二版P253:12；第三版
y
xy
x
P236:1）
（2）
z(cosxysinx)e
xy
；
16、求下列函数的极值，并判断是极大值还是极小值：（第二版P254:20；第三
版P2 44:1）
（4）
z2xy3x2y1
；
（5）
zx y2lnx2lny
，
x0
，
y0
；
（6）< br>zsinxsinysin(xy)
，
0x
22
32
2
，
0y

2
。
17、求下列函数在给定条件下的条件极值：（第二版P254:21；第三版P244:2）
11
1
，
x0
，
y0
。 （3）
z xy
，

xy
18、求下列函数的最值：（第二版P254:22；第三 版P244:3有类似题）
（2）
zxyxy
，
xy1
；
（3）
zxyxyxy
，
x0
，
y0
，
xy 3
。
22
2222

x
2
y
219、求椭圆
2

2
1
内接矩形的最大面积。（第二版P25 4:23；第三版P244:4）
ab
20、求曲线
y
版P244:5）
21、在平面
3x2z0
上求一点，使它与点
A(1,1,1)
和点
B(2,3,4)
的距离平方
和为最小。（第二版P255:27；第三版P24 4:8）
22、将二重积分
x
上的动点到定点
(a,0)
的最小距 离。（第二版P254:24；第三

f(x,y)dxdy
按两种次序化为累次积 分，积分区域D分别给
D
定如下：（3）D由直线
y2x
，
y0
及
x3
所围成。（第二版P255:30；第
三版P260:1）
23、交换下列积分的次序：（第二版P255:31；第三版P260:2）
（2）
dx
1


1
2
11x
2
1 x
2
f(x,y)dy
； （5）

dx

0
11
1x
2
f(x,y)dy

dx

1
e1
lnx
f(x,y)dy
。
24、计算下列二重积分：（第二版P255:32；第三版P260:3）
3x
（2）
x
xydxdy
；
2
（5）

4ysin(xy)dxdy
，D由
x0
，
y
D< br>1x

2
及
yx
所围成；
（7）
dx

0x
55
sinydx
dy
； （8）

dy

；
1y
ylnxy
（12）3
edxdy
yx
yx
，D是第I卦限中由直线和所围成的区域。

x
2
D
25、计算下列二重积分：（第二版P255:33；第 三版P261:4）
（2）
22
sinxydxdy
，D为
(x ,y)

2
x
2
y
2
4

2
；

D

y
22
（3）
arctandxdy
，D：
1xy4
，
x0
，
y0
。
x
D
26、利用二重积分计算下列曲线所围成的区域的面积：（ 第二版P256:34；第三
版P261:5）
（3）
xy3
，
xy3
；

（4）
ysinx
，
ycosx
，

4
x
5

。
4
27、利用二重积分计算下列曲面所围成的立体体积：（第二版 P256:35；第三版
P261:6）
（1）
x2y3z1
，x0
，
y0
，
z0
；
（2）
xy1
，
xyz3
，
z0
。
28、利用二重积分的变量替换公式计算下列二重积分：（第二版P256:36；第三
版P2 61:7）
（1）
22

dxdy
，D是由4条直线
x y1
，
xy2
，
y2x
，
y3x
所< br>D
围成的区域。

第八章 无穷级数
1、利用下列级数

u
n
的部分和
S
n
，求
u
1
，< br>u
2
和
u
n
：（2）
S
n

n1

11

22(2n1)
（第二版P287:2；第三版 P270:2）
2、判断下列级数是否收敛，若收敛，求其和：（第二版P288:3；第三版P270:3）
（1）

(n1n)
（3）

n1

1

(5n1)(5n4)
n1


3、设级数

u
n1

n< br>满足条件：（1）
limu
n
n
0
；（2）

(u
2n1
u
2n
)
收敛，判断
n1

u
n1

n
是否收敛，并证明你的结论。（第二版P288: 4；第三版P270:4）
4、已知级数

u
n1

n
收敛，且和数为
S
，证明：（第二版P288:6；第三版P271:6）
（1）级数

(u
n1


n
u
n 2
)
收敛，且和数为
2Su
1
u
2
；
1
(u)
发散。 （2）级数

n
n
n15、利用无穷级数的性质，以及几何级数与调和级数的敛散性，判别下列级数的
敛散性：（第二版P 288:7；第三版P271:7及P278:1有类似题）

23
（1）
sin1sin1sin1
； （ 3）
cos

3
cos

9
cos

27

；

2
n
(3)
n
sina1
()
； （5）

； （6）

n
2
6
nn
n1
n1


1n3
n
[]
（9）

2
。
3
； （ 10）

(n1)
n1
n1
n0
(n1)

6、利用比较判别法或其极限形式，判别下列级数的敛散性：（第二版P288:8；
第三 版P279:2）
（3）

n1


1
n1
1
n
； （4）

n1

11
sin
；
n
n 1

（6）

arctanq
n1
n
(q0)
； （9）

n1
lnn
。
n
2
7、利用比值判别法或根值判别法判别下列级数的敛散性：（第二版P289:10；第
三 版P279:4）

(n!)
2
1
（2）

nt an
n
； （6）

；
(2n)!< br>2
n1
n1


1n1
n
2
1
n
()
（8）

n
； （11）

2
x
。
n
n1
n
n1< br>3

8、判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？（第二版P290:13；第 三
版P283:2有类似题）
n
(1)(1
n
e)
； （5）

（4）

n1

(1)2
n
n
n1

n1n
2
；
n

2


cos
1n1
4
sin
（8）

；
3
； （10）

2
nn
n(lnn)
n1
n2

sina(1)
n
nna
n
)
。 （11）

； （12）

(
2
n
n1
n1
n1

9、求下列 级数的收敛半径，收敛区间和收敛域：（第二版P290:15；第三版P296:1
有类似题） （1）

(1)
n0

n

5
n
1
n
x
； （5）

n
x
2n1
；
n1
n0
3


3
n
(2)
n
1
n
n
(x1)
(2x1)
（9）

； （10）

。
n
n(n1)
n1
n1
< br>10、已知级数

ax
n
n0

n
的收敛 半径为R，求下列级数的收敛半径：（第二版P291:16；
第三版P297:3）

a
n
2n12n
x(a)
（3）

； （4）

n
x
。
n1
n
n1
11、求下列级数的收敛域，以及它们在收敛域内的和函数：（第二版P291:17；
第三版P2 97:4）

1
n
n1
x
(n1)x
（1）

； （3）

。
n
n1n0

12、求幂级数

n
n(n1)x
，1)< br>内的和函数；并求常数项级数在其收敛区间
(1

n1

n(n1)
的和。（第二版P291:19；第三版P298:6）

n
2
n1

x
n
2
n
13、求幂级数
< br>n
的收敛域，和函数，并求常数项级数

的
2(n1)!(n1) !
n0n0

和。（第二版P291:20；第三版P298:7）
14、将下列函数展开成x的幂级数，并求收敛域：（第二版P291:22；第三版P298:9）
（3）
f(x)
1
x
(ee
x
)
； （6）
f(x)ln(1x2x
2
)
；
2
（8）
f(x)arcsinx
。

n
de
x
1
()
15、将函数展开成x的幂级数，给出收敛域，并求级数

dxx
n1
(n1)!
的和。（第二版P291:24；第三版P29 8:11）
16、设
f(x)xln(1x)
，（1）将
f(x)展开成x的幂级数，并求收敛域；（2）
利用展开式计算
f
第三版P298:12 ）
(101)
2
(0)
；（3）利用逐项积分计算

0< br>f(x)dx
。（第二版P292:25；
x
1
x
0
1
。17、求下列函数在指定点的幂级数展开式，并求其收敛域：（2）
f(x)e
，
（第二版P292:26；第三版P298:13）

第九章 微分方程初步
1、求下列微分方程的通解或在给定条件下的特解：（第二版P321:3；第三版P313:1）
（2）
y


xyy
22
； （4）
sinxcosydxcosxdy0
；
xxy
x
y(0)
（6）
cosydx(1e)sinydy0，

4
。
2、求下列微分方程的通解或在给定初始条件下的特解：（第二版P321:4；第三
版 P314:2）
（2）
xy

yy
2
x
2
0
； （3）
3xy
2
dy(2y
3
x
3
)dx
；
y
2
y

y(1)2
。 （6）
y()4 ，
xx
3、求下列微分方程的通解或给定初始条件下的特解：（第二版P321:9；第三版< br>P314:5）
(x
2
1)y

2xy(1x2
)
2
；（4） （6）
y


2y
(x1)e
x
，y(0)1
；
x1
y(0)1
。 （10）
(x1)y

2xy cosx0，
4、求下列微分方程的通解或在给定初始条件下的特解：（第二版P322:10；第 三
版P314:7有类似题）
3x
2
23
yy(1x)sinx，y(0)1
。 （4）< br>y


3
1x
5、求下列方程的通解：（第二版P322: 11；第三版无）
（4）
ydx(xy1)dy0
。
6、求下列二 阶非齐次线性微分方程的通解或在给定初始条件下的特解：（第二版
P322:17；第三版P321: 3）
2
a0
； （4）
2y

y

y3e
； （3）
y< br>
ay8cosbx，
2x
（5）
y

4 y

4y8(xe)
；
2x
x
（6）
y< br>
yecosx，y()0，y

()0
。
22
