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2015年安徽省高考数学试卷（文科）

一、选择题（共1 0小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一
考试（安徽卷）数学（文科）
1．（5分）（2015安徽）设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（ ）

A． 3+3i B．﹣ 1+3i C． 3+i D．﹣ 1+i
【答案】C．
【解析】复数（1﹣i）（1+2i）=1+2﹣i+2i=3+i．
2．（5分）（20 15安徽）设全集U={1，2，3，4，5，6}A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩
（< br>R
B）=（ ）

A． {1，2，5，6} B．{ 1} C． {2} D．{ 1，2，3，4}
【答案】B．
【解析】
R
B={1，5，6}；
∴A∩（
R
B）={1，2}∩{1，5，6}={1}．
3．（5分）（2015安徽）设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（ ）


A． 充分必要条件
C． 必要不充分条件
B． 充分不必要条件
D． 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】设p：x＜3，q：﹣1＜x＜ 3，则p成立，不一定有q成立，但是q成立，必有p
成立，所以p是q成立的必要不充分条件．
．
4．（5分）（2015安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）

A． y=lnx B．
y

=x
2
+1
C． y=sinx D．y =cosx

【答案】D
【解析】对于A，y=lnx定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数；
对于B，是偶函数，但是不存在零点；
对于C，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数；
对于D，cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；
5．（5分）（2015安徽）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（

A． ﹣1 B．﹣ 2 C． ﹣5 D．1
【答案】A．
【解析】由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，
当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由得到A（1，1），
所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1；
6．（5分）（2015安徽）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（ ）

A．
x
2
﹣=1
B．
﹣

y
2
=1
C．
x
2
﹣=1
D．
﹣y
2
=1
【答案】A．
【解析】由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为
y=±x，
由A可得渐近线方程为y=±2x，
由B可得渐近线方程为y=±x，
由C可得渐近线方程为y=x，
由D可得渐近线方程为y=x．
7．（5分）（2015安徽）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（

A． 3 B．4 C． 5 D．6

）
）

【答案】B．
【解析】模拟执行程序框图，可得
a=1，n=1
满足条件|a﹣|＞，a=，n=2
满足条件|a﹣|＞，a=，n=3
满足条件|a﹣|＞，a=，n=4
不满足条件|a﹣|=＞，退出循环，输出n的值为4．
8．（5分）（2015安徽）直线3x+4y=b与圆x
2
+y
2
﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（

A． ﹣2或12 B．2 或﹣12 C． ﹣2或﹣12 D．2 或12
【答案】D．
【解析】x
2
+y
2
﹣2x﹣2y+1=0可化为（x﹣1）
2
+（y﹣1）
2
=1
∵直线3x+4y=b与圆x
2
+y
2
﹣2x﹣2y+1=0相切，
∴圆心（1，1）到直线的距离d==1，
解得：b=2或12．
9．（5分）（2015安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（

A． 1+ B．1 +2 C． 2+ D．2
【答案】C．
【解析】可画出立体图形为
∴
三棱锥O﹣ABC，OE⊥底面ADC，EA=ED=1，OE=1，AB=BC=
∴AB⊥BC，
∴可判断；△OAB≌△OBC的直角三角形，
）


）

S
△OAC
=S
△ABC
==1，
S
△OAB
=S
△OBC
=×
2
=
该四面体的表面积：2，
10．（5分）（2015安徽）函数f（x）=ax
3< br>+bx
2
+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立
的是（ ）


A． a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B． a＞0，b＜0，c＜0，d＞0
C． a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D． a＞0，b＞0，c＞0，d＜0
【答案】A
【解析】f（0）=d＞0，排除D，
当x→+∞时，y→+∞，∴a＞0，排除C，
函数的导数f′（x）=3ax
2
+2bx+c，
则f′（x）=0有两个不同的正实根，
则x
1
+x
2
= ﹣＞0且x
1
x
2
=＞0，（a＞0），
∴b＜0，c＞0，
二、填空题
11．（3分）（2015安徽）lg+2lg2﹣（）
﹣1
= ．
【答案】-1．
【解析】原式=lg5﹣lg2+2lg2﹣2=lg5+lg2﹣2=lg10﹣2=1﹣2=﹣1；
12．（3分）（2015安徽）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC= ．
【答案】2．
【解析】∠A=75°，∠B=45°，
则∠C=180°﹣75°﹣45°=60°，

由正弦定理可得，
=，
即有AC==2．
13．（3分）（2015安徽）已知数列{a
n
}中，a
1
=1，a
n
=a
n﹣1
+（n≥2）， 则数列{a
n
}的前9
项和等于 ．
【答案】27．
【解析】∵a
n
=a
n﹣1
+（n≥2），
∴a
n
﹣a
n﹣1
=（n≥2），
∴数列{a
n
}的公差d=，
又a
1
=1，
∴a
n
=1+（n﹣1）=，
∴S
9
=9a
1
+d=9+36×=27，
14．（3分 ）（2015安徽）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的
图象只有 一个交点，则a的值为 ．
【答案】．
【解析】由已知直线y=2a是平行于x轴的直 线，函数y=|x﹣a|﹣1的图象是折线，所以直
线y=2a过折线顶点时满足题意，
所以2a=﹣1，解得a=﹣；
15．（3分）（2015安徽）△ABC是边长为2的等边 三角形，已知向量满足=2，=2+，则下
列结论中正确的是 ．（写出所有正确结论得序号）
①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥．
【答案】①④⑤

【解析】△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，
则=，AB=2，所以||=1，即是单位向量；①正确；
因为=2，所以，故||=2；故②错误；④正确；
夹角为120°，故③错误；
⑤（4+）=4=4×1×2×cos120°+4=﹣4+4=0；故⑤正确．
三、解答题
16．（2015安徽）已知函数f（x）=（sinx+cosx）
2
+cos2x
（1）求f（x）最小正周期；
（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．
【 解析】（1）∵函数f（x）=（sinx+cosx）
2
+cos2x=1+sin2x+c os2x=1+sin（2x+），
∴它的最小正周期为=π．
（2）在区间上，2x+∈[，]，故当2x+=时，f（x）取得最小值为 1+×（﹣）=0，
当2x+=时，f（x）取得最大值为 1+×1=1+．
17．（2015安徽）某企业为 了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，
根据这50名职工对该部门的评分，绘 制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组
区间为[40，50]，[50，60]，…，[8 0，90]，[90，100]
（1）求频率分布图中a的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在[40，60]的 受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．
【解析】（1）因为（+a++×2+）×10=1，解得a=；

（2）由已 知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为（+）×10=4，
所以该企业职工 对该部门评分不低于80的概率的估计值为；（3）受访职工中评分在[50，
60）的有：50××1 0=3（人），记为A
1
，A
2
，A
3
；
受访职 工评分在[40，50）的有：50××10=2（人），记为B
1
，B
2
．
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，
分别是{A
1，A
2
}，{A
1
，A
3
}，{A
1
，B
1
}，{A
1
，B
2
}，{A
2
，A
3
}，{A
2
，B
1
}，{A
2
，B2
}，{A
3
，
B
1
}，{A
3
，B
2
}，{B
1
，B
2
}，
又因为所抽取2人的评 分都在[40，50）的结果有1种，即{B
1
，B
2
}，
故所求的概率为P=．
18．（2015安徽）已知数列{a
n
}是递增的 等比数列，且a
1
+a
4
=9，a
2
a
3
=8．
（1）求数列{a
n
}的通项公式；
（2）设S
n
为数列{a
n
}的前n项和，b
n
=，求数列{b
n
}的 前n项和T
n
．
【解析】（1）∵数列{a
n
}是递增的等比数列 ，且a
1
+a
4
=9，a
2
a
3
=8．
∴a
1
+a
4
=9，a
1
a
4
= 8．
解得a
1
=1，a
4
=8或a
1
=8，a< br>4
=1（舍），
解得q=2，即数列{a
n
}的通项公式a
n
=2
n﹣1
；
（2）S
n
==2
n
﹣1，
∴b
n
===﹣，
∴数列{b
n
}的前n项和T
n
=+…+﹣=﹣=1﹣
1 9．（2015安徽）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，
∠BAC=60°．
（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；

（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．
（1）【解析】由题设，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，
可得S
△ABC
==．
因为PA⊥平面ABC，PA=1，
所以V
P﹣ABC
=S
△ABC
PA=；
（2）【解析】过B作BN⊥AC，垂足为N，过N作MN∥PA，交PA于点M，连接BM，
由PA⊥平面ABC，知PA⊥AC，所以MN⊥AC，
因为BN∩MN=N，所以AC⊥平面MBN．
因为BM平面MBN，所以AC⊥BM．
在直角△BAN中，AN=ABcos∠BAC=，
从而NC=AC﹣AN=．
由MN∥PA得==．
20．（2015安徽）设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），点O 为坐标原点，点A的坐标为（a，
0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|= 2|MA|，直线OM的斜率为．
（1）求E的离心率e；
（2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB．
【解析】（ 1）设M（x，y），∵A（a，0）、B（0，b），点M在线段AB上且|BM|=2|MA|，
∴=2，即（x﹣0，y﹣b）=2（a﹣x，0﹣y），
解得x=a，y=b，即M（a，b），
又∵直线OM的斜率为，∴=，
∴a=b，c==2b，
∴椭圆E的离心率e==；

（2）证明：∵点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，
∴N（，﹣），∴=（，﹣），
又∵=（﹣a，b），
∴=（﹣a，b）（，﹣） =﹣a
2
+=（5b
2
﹣a
2
），
由（1）可知a
2
=5b
2
，故=0，即MN⊥AB
21．（2015安徽）已知函数f（x）=（a＞0，r＞0）
（1）求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性；
（2）若=400，求f（x）在（0，+∞）内的极值．
【解析】（1）∵函数f（x）=（a＞0，r＞0），
∴x≠﹣r，即f（x）的定义域为（﹣∞，﹣r）∪（﹣r，+∞）．
又∵f（x）==，
∴f′（x）==，
∴当x＜﹣r或x＞r时，f′（x）＜0；当﹣r＜x＜r时，f′（x）＞0；
因此，f（x）的单调递减区间为：（﹣∞，﹣r）、（r，+∞），递增区间为：（﹣r，r）； < br>（2）由（1）的解答可得f′（x）=0，f（x）在（0，r）上单调递增，在（r，+∞）上单调< br>递减，
∴x=r是f（x）的极大值点，
∴f（x）在（0，+∞）内的极大值为f（r）====100
2015年安徽省高考数学试卷（文科）

一、选择题（共10小题，每小题5分，满 分50分）2015年普通高等学校招生全国统一
考试（安徽卷）数学（文科）
1．（5分）（2015安徽）设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（ ）

A． 3+3i B．﹣ 1+3i C． 3+i D．﹣ 1+i 2．（5分）（2015安徽）设全集U={1，2，3，4，5，6}A={1，2}，B={2，3，4 }，则A∩
（
R
B）=（ ）

A． {1，2，5，6} B．{ 1} C． {2} D．{ 1，2，3，4}
3．（5分）（2015安徽）设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（ ）


A．
C．
充分必要条件
必要不充分条件
B．
D．
充分不必要条件
既不充分也不必要条件
4．（5分）（2015安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）

A． y=lnx B．
y

=x
2
+1
C． y=sinx D．y =cosx
5．（5分）（2015安徽）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（ ）

A． ﹣1 B．﹣ 2 C． ﹣5 D．1
6．（5分）（2015安徽）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（ ）

A．
x
2
﹣=1
B．
﹣

y
2
=1
C．
x
2
﹣=1
D．
y
2
=1 ﹣
7．（5分）（2015安徽）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（ ）

A． 3 B．4 C． 5 D．6
8．（5分）（2015安徽）直线3 x+4y=b与圆x
2
+y
2
﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（ ）

A． ﹣2或12 B．2 或﹣12 C． ﹣2或﹣12 D．2 或12
9．（5分）（2015安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）

A． 1+ B．1 +2 C． 2+ D．2
10．（5分）（2015安 徽）函数f（x）=ax
3
+bx
2
+cx+d的图象如图所示，则下列结论 成立
的是（ ）

A． a＞0，b＜0，cB．a ＞0，b＜0，c

＞0，d＞0

＜0，d＞0
C． a＜0，b＜0，cD．a ＞0，b＞0，c
＜0，d＞0 ＞0，d＜0
二、填空题
11．（3分）（2015安徽）lg+2lg2﹣（）
﹣1
= ．
12．（3分）（2015安徽）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC= ．
13．（3分）（2015安徽）已知数列{a
n
}中，a
1
= 1，a
n
=a
n﹣1
+（n≥2），则数列{a
n
}的前9
项和等于 ．
14．（3分）（2015安徽）在平面直角坐标系xOy中，若直 线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的
图象只有一个交点，则a的值为 ．
15 ．（3分）（2015安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则下
列结 论中正确的是 ．（写出所有正确结论得序号）
①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥．
三、解答题
16．（2015安徽）已知函数f（x）=（sinx+cosx）
2
+cos2x
（1）求f（x）最小正周期；
（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．
1 7．（2015安徽）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，
根据这 50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组
区间为[40，50 ]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]
（1）求频率分布图中a的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；

（3）从评分在[ 40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．
18．（20 15安徽）已知数列{a
n
}是递增的等比数列，且a
1
+a
4=9，a
2
a
3
=8．
（1）求数列{a
n
}的通项公式；
（2）设S
n
为数列 {a
n
}的前n项和，b
n
=，求数列{b
n
}的前n项和 T
n
．
19．（2015安徽）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，P A=1，AB=1，AC=2，
∠BAC=60°．
（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；
（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．
20．（2015安徽） 设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，
0），点B的坐标为（0 ，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为．
（1）求E的离心率e；
（2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB．
21．（2015安徽）已知函数f（x）=（a＞0，r＞0）
（1）求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性；
（2）若=400，求f（x）在（0，+∞）内的极值．