骂人最毒的话-党的思想汇报

初中数学规律题汇总

“有比较才有鉴别”。通过比较，可以发现事物的相 同点和不同点，更容易找到
事物的变化规律。找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我 们
根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，
把变量和序 列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进
行探索：
一、基本方法——看增幅
（一）如增幅相等（实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比 较，如
增幅相等，则第n个数可以表示为：a1+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b
为增幅，(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。然后再简化代数式a+(n-1)b。
例：4、10、16、22、28……，求第n位数。
分析：第二位数起，每位数都比前一位 数增加6，增幅都是6，所以，第n位数
是：4+(n-1) 6＝6n－2
（二）如 增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即
增幅为等差数列）。如增幅分别为3、 5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种
数列第n位的数也有一种通用求法。
基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；
2、求出第1位到第第n位的总增幅；
3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。
此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也 可用其它技巧，或用
分析观察的方法求出，方法就简单的多了。
（三）增幅不相等，但 是增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：2、3、5、
9,17增幅为1、2、4、8.
（四）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。
此类题大概没有通用解法， 只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，
如用分析观察法，也有一些技巧。
二、基本技巧
1

（一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定 的顺序给出一系列量，要
求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包序列号。所以，把
变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。试按此规律写出的第
100个数是 100
2
1
，第n个数是 n
2
1
。
解答 这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。我
们把有关的量放在一起加以比 较：
给出的数：0，3，8，15，24，……。
序列号： 1，2，3， 4， 5，……。
容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。 因此，第n项
是
n
2
-1，第100项是
100
2
—1
（二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与
n,或2n、 3n有关。
例如：1，9，25，49，（81），（121），的第n项为（
(2n1)
2
），
1，2，3，4，5．。。。。。。，从中可以看出 n=2时，正好是2×2-1的平方,n=3时，
正好是2×3-1的平方，以此类推。
（三）看例题：
A： 2、9、28、65.....增幅是7、19、37....，增幅的增幅是12、18
答案与3有关且是n的3次幂，即：n
3
+1
B：2、4、8、16.......增幅是2、4、8.. .....答案与2的乘方有关即：
2
n

（四）有的可对每位数同时 减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后
用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系 。再在找出的规律上加上第
一位数，恢复到原来。
例：2、5、10、17、26……，同时减去2后得到新数列： 0、3、8、15、24……， < br>序列号：1、2、3、4、5，从顺序号中可以看出当n=1时，得1*1-1得0，当
2
n=2时，2*2-1得3，3*3-1=8，以此类推，得到第n个数为
n1
。再看原数 列
2
是同时减2得到的新数列，则在
n1
的基础上加2，得到原数列第n项
n
2
1

2

（五）有的 可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，
在再找出规律，并恢复到原来。
例 ： 4，16，36，64，？，144，196，… ？（第一百个数）
同除以4后可 得新数列：1、4、9、16…，很显然是位置数的平方，得到新数列
第n项即n
2
， 原数列是同除以4得到的新数列，所以求出新数列n的公式后再
乘以4即，4 n
2
，则求出第一百个数为4*100
2
=40000
（六 ）同技巧（四）、（五）一样，有的可对每位数同加、或减、或乘、或除
同一数（一般为1、2、3）。 当然，同时加、或减的可能性大一些，同时乘、或
除的不太常见。
（七）观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，
再分别找规律。
三、基本步骤
1、 先看增幅是否相等，如相等，用基本方法（一）解题。
2、 如不相等，综合运用技巧（一）、（二）、（三）找规律
3、 如不行，就运用技巧（四 ）、（五）、（六），变换成新数列，然后运用技巧
（一）、（二）、（三）找出新数列的规律
4、 最后，如增幅以同等幅度增加，则用用基本方法（二）解题
四、练习题
例1：一道初中数学找规律题
0，3，8，15，24，······ 2，5，10，17，26，····· 0，6，16，30，48······
（1）第一组有什么规律？
答：从前面的分析可以看出是位置数的平方减一。
（2）第二、三组分别跟第一组有什么关系？
答：第一组是位置数平方减一，那么第二组每项 对应减去第一组每项，从中
可以看出都等于2，说明第二组的每项都比第一组的每项多2，则第二组第n 项
是：位置数平方减1加2，得位置数平方加1即
n
2
1
。 第三组可以看出正好是第一组每项数的2倍，则第三组第n项是：
2

n
2
1


（3）取每组的第7个数，求这三个数的和？
3

答：用上述三组数的第n项公式可以求出，第一组第七个数是7的平方减一
得4 8，第二组第七个数是7的平方加一得50，第三组第七个数是2乘以括号7
的平方减一得96，48+ 50+96=194
2、观察下面两行数
2，4，8，16，32，64， ．．．（1）
5，7，11，19，35，67．．．（2）
根据你发现的规律，取每行第十个数，求得他 们的和。（要求写出最后的计算结
果和详细解题过程。）
解：第一组可以看出是
2< br>n
，第二组可以看出是第一组的每项都加3，即2
n
+3，
则第一组 第十个数是2
10
=1024，第二组第十个数是2
10
+3得1027，两 项相加
得2051。
3、白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑 排列的珠子，前2002个中
有几个是黑的？
解：从数列中可以看出规律即：1，1，1，2 ，1，3，1，4，1，5…….，
每二项中后项减前项为0，1，2，3，4，5……，正好是等差数 列，并且数列中
偶项位置全部为黑色珠子，因此得出2002除以2得1001，即前2002个中有< br>1001个是黑色的。
4、
3
2
1
2
=8
5
2
3
2
=16
75
2
=24 ……用含有N的代数式表示规律
解：被减数是不包含1的奇数的平方，减数是包括1的奇数的平方，差 是8
的倍数，奇数项第n个项为2n-1，而被减数正是比减数多2，则被减数为2n-1+2,
得2n+1，则用含有n的代数式表示为：

2n1


2n1

=8n。
22
写出两个连续自然数的平方差为888的等式
解：通过上述代数式得出，平方差为888即8n=8X111,得出n=111，代入公
式：
（222+1）
2
-（222-1）
2
=888
五、对于数表
1、先看行的规律，然后，以列为单位用数列找规律方法找规律
4

2、看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差
六、数字推理基本类型
按数字之间的关系，可将数字推理题分为以下几种类型：
1.和差关系。又分为等差、移动求和或差两种。
(1)等差关系。
12，20，30，42，( 56 )
127，112，97，82，( 67 )
3，4，7，12，( 19 )，28
(2)移动求和或差。从第三项起，每一项都是前两项之和或差。
1，2，3，5，( 8 )，13
A.9 B.11 C.8 D.7
选C。1 +2=3，2+ 3=5，3+ 5=8，5+ 8=13
0，1，1，2，4，7，13，( 24)
A.22 B.23 C.24 D.25
选C。注意此题为前三 项之和等于下一项。一般考试中不会变态到要你求前
四项之和，所以个人感觉这属于移动求和或差中最难 的。
5，3，2，1，1，(0 )
A.-3 B.-2 C.0 D.2
选C。前两项相减得到第三项。
2.乘除关系。又分为等比、移动求积或商两种
(1)等比，从第二项起，每一项与它前一项的比等于一个常数或一个等差数
列。
8，12，18，27，(40.5)后项与前项之比为1.5。
6，6，9，18，45，(135)后项与前项之比为等差数列，分别为1，1.5，2，
2.5，3
(2)移动求积或商关系。从第三项起，每一项都是前两项之积或商。
2，5，10，50，(500)
100，50，2，25，(225)
3，4，6，12，36，(216) 从第三项起，第三项为前两项之积除以2
5

1，7，8，57，(457)第三项为前两项之积加 1
3.平方关系
1，4，9，16，25，(36)，49 为位置数的平方。
66，83，102，123，(146) ，看数很大，其实是不难的，66可以看作64+2，
83 可以看作81+2，102可以看作100+2，123可以看作121+2，以此类推，可
以看出是8 ，9，10，11，12的平方加2
4.立方关系
1，8，27，(81)，125 位置数的立方。
3，10，29，(83)，127 位置数的立方加 2
0，1，2，9，(730) 后项为前项的立方加1
5.分数数列。
关键是把分子和分母看作两个不同的数列，有的还需进行简单的通分，则可得出
答案

1
2

4
3

9
4

16
5

25
6
(
n
36
7
2
)分子为等比即位置数的平方，分母为等差数
列，则第n项代数式为：
n 1

23 12 25 13 (14) 将12化为24，13化为26，可得到如下数列：
23, 24, 25, 26, 27, 28 …….可知下一个为29，如果求第n项代数式即：
2
n2
，分解后得：
1 
n
n2

6.、质数数列
2，3，5，(7)，11 质数数列
4，6，10，14，22，(26) 每项除以2得到质数数列
20，22，25，30，37，(48) 后项与前项相减得质数数列。
7.、双重数列。
又分为三种：
(1)每两项为一组，如
1，3，3，9，5，15，7，(21) 第一与第二，第三与第四等每两项后项与
前项之比为3
2，5，7，10，9，12，10，(13)每两项中后项减前项之差为3
6

17，14，121，42，136，72，152，(104 ) 两项为一组，每组的后项
等于前项倒数*2
(2)两个数列相隔，其中一个数列可能无任何规律，但只要把握有规律变化
的数列就可得出结果。
22，39，25，38，31，37，40，36，(52) 由两个数列，22，25，31，40，
( )和39，38，37，36组成，相互隔开，均为等差。
34，36，35，35，(36)，34，37，(33) 由两个数列相隔而成，一个递增，
一个递减
(3)数列中的数字带小数，其中整数部分为一个数列，小数部分为另一个数
列。
2.01， 4.03， 8.04， 16.07，(32.11)整数部分为等比，小数部分为移动
求和数列。双重数列难题也较少。能看出是双重数列，题目一般已经解出。特
别是前两种，当数字的个数 超过7个时，为双重数列的可能性相当大。
8.、组合数列。
最常见的是和差关系与乘除关 系组合、和差关系与平方立方关系组合。需要熟悉
前面的几种关系后，才能较好较快地解决这类题。
1，1，3，7，17，41，( 99 )
A.89 B.99 C.109 D.119
选B。此为移动求和与乘除关系组合。第三项为第二项*2加第一项 ，即
1X2+1=3、3X2+1=7，7X2+3=17，17X2+7=41，则空中应为41X2 +17=99
65，35，17，3，( 1 )
A.1 B.2 C.0 D.4
选A。平方关系与和差关系组合，分别为8的平方加1，6的平方减1，4
的平方加1，2的平方减1，下一个应为0的平方加1=1
4，6，10，18，34，( 66 )
A.50 B.64 C.66 D.68
选C。各差关系与等比关系组合。依次相减，得2，4，8，16( )，可推知下
一个为32，32 +34=66
6，15，35，77，( )
A.106 B.117 C.136 D.143
7

选D。此题看似比较复杂，是等差与等比组合数列。如果拆分开来可以看出，
6=2X3、15=3x5 、35=7X5、77=11X7，正好是质数2 、3，5，7、11数列的后
项乘以前项的结果，得出下一个应为13X11=143
2，8，24，64，( 160 )
A.160 B.512 C.124 D.164
选A。此题较复杂，幂数列与等差数列组合。2=1X2
1
的1次方 ，8=2X2
2
的
平方，24=3*X2
3
，64=4X2
4
，下一个则为5X2
5
=160
0，6，24，60，120，( 210 )
A.186 B.210 C.220 D.226
选B。和差 与立方关系组合。0=1的3次方-1，6=2的3次方-2，24=3的3
次方-3，60=4的3次 方-4，120=5的3次方-5。空中应是6的3次方-6=210
1，4，8，14，24，42，(76 )
A.76 B .66 C.64 D.68
选A。两个等差与一个等比数列组合依次相减，原数列后项减前项得3，4，
6，10，18，( 34 )，得到新数列后，再相减，得1，2，4，8，16，( 32 )，
此为等比数列，下 一个为32，倒推到3，4，6，8，10，34，再倒推至1，4，8，
14，24，42，76，可 知选A。
9.、其他数列。
2，6，12，20，( 30 )
A.40 B.32 C.30 D.28
选C。2=1*2，6=2*3，12=3*4，20=4*5，下一个为5*6=30
1，1，2，6，24，( 120 )
A.48 B.96 C.120 D.144
选C。后项=前项X递增数列。1=1*1，2=1*2，6=2*3，24=6*4，下一个为< br>120=24*5
1，4，8，13，16，20，( 25 )
A.20 B.25 C.27 D.28
选B。每4项为一重复，后期减前项依次相减得3，4，5。下个重复也为3，
4，5，推知得25。
8

27，16，5，( 0 )，17
A.16 B.1 C.0 D.2
选B。依次为3的3次方，4的2次方，5的1次方，6的0次方，7的-1
次方。
四、解题方法
数字推理题难度较大，但并非无规律可循，了解和掌握一定的方法和技巧对
解答数字推理问题大有帮助。
1.快速扫描已给出的几个数字，仔细观察和分析各数之间的关系，尤其是前
三个数之间的 关系，大胆提出假设，并迅速将这种假设延伸到下面的数，如果能
得到验证，即说明找出规律，问题即迎 刃而解；如果假设被否定，立即改变思考
角度，提出另外一种假设，直到找出规律为止。
2.推导规律时往往需要简单计算，为节省时间，要尽量多用心算，少用笔算
或不用笔算。
3.空缺项在最后的，从前往后推导规律；空缺项在最前面的，则从后往前寻
找规律；空缺项在中间的可 以两边同时推导。
(一)等差数列
相邻数之间的差值相等，整个数字序列依次递增或递 减。等差数列是数字推
理测验中排列数字的常见规律之一。它还包括了几种最基本、最常见的数字排列< br>方式：
自然数数列：1，2，3，4，5，6……
偶数数列：2，4，6，8，10，12……
奇数数列：1，3，5，7，9，11，13……
例题1 ：103，81，59，( 37 )，15。
A.68 B.42 C.37 D.39
解析：答案为C。这显然是一个等差数列，前后项的差为22。
例题2：2，5，8，( 11 )。
A.10 B.11 C.12 D.13
解析：从题中的前3个数字可以看出这是一个典型的等差数列，即后面的
数字与 前面数字之间的差等于一个常数。题中第二个数字为5，第一个数字为2，
9

两者的差为3，由观察得知第三个、第二个数字也满足此规律，那么在此基础上
对未知的一项进行推理 ，即8 +3=11，第四项应该是11，即答案为B。
例题3：123，456，789，( 1122 )。
A.1122 B.101112 C.11112 D.100112
解析：答案为A。这题的第一项为123，第二项为456，第三项为789， 三
项中相邻两项的差都是333，所以是一个等差数列，未知项应该是789
+333=11 22。注意，解答数字推理题时，应着眼于探寻数列中各数字间的内在
规律，而不能从数字表面上去找规 律，比如本题从123，456，789这一排列，
便选择101112，肯定不对。
例题4： 11，17，23，( 29 )，35。
A.25 B.27 C.29 D.31
解析：答案为C。这同样是一个等差数列，前项与后项相差6。
例题5： 12，15，18，( 21 )，24，27。
A.20 B.21 C.22 D.23
解析：答案为B。这是一个典型的等差数列，题中相邻两数之差均为3，未
知项即18+ 3=21，或24-3=21，由此可知第四项应该是21。
(二)等比数列
相邻数之 间的比值相等，整个数字序列依次递增或递减。等比数列在数字
推理测验中，也是排列数字的常见规律之 一。
例题1： 2，1，12，( B )。
A.0 B.14 C.18 D.-1
解析：从题中的前3个数字可以看出这是一个典型的等比数列，即后面的
数字与前面数字之间的比值等于一个常数。题中第二个数字为1，第一个数字为
2，两者的比值 为12，由观察得知第三个、第二个数字也满足此规律，那么在
此基础上对未知的一项进行推理，即(1 2)2，第四项应该是14，即答案为B。
例题2： 2，8，32，128，( 512 )。
A.256 B.342 C.512 D.1024
解析：答案为C。这是一个等比数列，后一项与前一项的比值为4。
例题3： 2，-4，8，-16，( 32 )。
A.32 B.64 C.-32 D.-64
10

解析：答案为A。这仍然是一个等比数列，前后项的比值为-2。
(三)平方数列
1、完全平方数列：
正序：1，4，9，16，25
逆序：100，81，64，49，36
2、一个数的平方是第二个数。
1)直接得出：2，4，16，( 256 )
解析：前一个数的平方等于第二个数，答案为256。
2)一个数的平方加减一个数等于第二个数：
1，2，5，26，(677) 前一个数的平方加1等于第二个数，答案为677。
3、隐含完全平方数列：
1)通过加减一个常数归成完全平方数列：0，3，8，15，24，( 35 )
前一个数加1分别得到1，4，9，16，25，分别为1，2，3，4，5的平方，
答案35
2)相隔加减，得到一个平方数列：
例：65，35，17，( 3 )，1
A.15 B.13 C.9 D.3
解析：不难感觉到隐含一个 平方数列。进一步思考发现规律是：65等于8
的平方加1，35等于6的平方减1，17等于4的平方 加1，再观察时发现：奇
位置数时都是加1，偶位置数时都是减1，所以下一个数应该是2的平方减1等
于3，答案是D。
例：1，4，16，49，121，( 169 )。(2005年考题)
A.256 B.225 C.196 D.169
解析：从数字中可以看出1的平方，2的平方，4的平方，7的平方，11的
平方，正好是1， 2，4，7，11.。。。。，可以看出后项减前项正好是1，2，3，4，
5，。。。。。。。，从中 可以看出应为11+5=16，16的平方是256，所以选A。
例：2，3，10，15，26，( 35 )。(2005年考题)
A.29 B.32 C.35 D.37
解析：看数列为2=1的平方+1，3=2的平方减1，10=3的平方加1，15=4
11

的平方减1，26=5的平方加1，再观察时发现：位置数奇时都是加1，位置数偶
2 n
时都是减1，因而下一个数应该是6的平方减1=35，前n项代数式为：
n(1)所以答案是C.35。
(四)立方数列
立方数列与平方数列类似。
例题1： 1，8，27，64，( 125 )
解析：数列中前四项为1，2，3，4的立方，显然答案为5的立方，为125。
例题2：0，7，26，63 ，( 124 )
解析：前四项分别为1，2，3，4的立方减1，答案为5的立方减1，为124。
例3： -2，-8，0，64，( )。(2006年考题)
A.64 B.128 C.156 D 250
解析：从数列中可以看出，-2，-8，0，64都是某一个数的 立方关系，
-2=(1-3)×1
3
，-8=（2-3）X2
3
，0 =（3-3）X3
3
，64=（4-3）X4
3
，前n项代数
式为：

n3

n
3
，因此最后一项因该为(5-3)×5< br>3
＝250 选D
例4：0，9，26，65，124，( 239 )(2007年考题)
解析：前五项分别为1，2，3，4，5的立方加1或者减1，规律为位置 数
是偶数的加1，则奇数减1。即：前n项=n+ (-1)。答案为239。
在近几年的考试中，也出现了n次幂的形式
例5：1，32，81，64，25，( 6 )，1。(2006年考题)
A.5 B.6 C.10 D.12
解析：逐项拆解容易发现1=1
6
，32=2
5
，81=34
，64=4
3
，25=5
2
，则答案
已经很明显了， 6的1次幂，即6 选B。
(五)、加法数列
数列中前两个数的和等于后面第三个数：n1+n2=n3
例题1： 1，1，2，3，5，( 8 )。
A8 B7 C9 D10
解析：第一项 与第二项之和等于第三项，第二项与第三项之和等于第四项，
第三项与第四项之和等于第五项，按此规律 3 +5=8答案为A。
12
3n

例题2： 4，5，( 9 )，14，23，37
A 6 B 7 C 8 D 9
解析：与例一相同答案为D
例题3： 22，35，56，90，( 145 ) 99年考题
A 162 B 156 C 148 D 145
解析：22 +35-1=56， 35+ 56-1=90 ，56+ 90-1=145，答案为D
(六)、减法数列
前两个数的差等于后面第三个数：n1-n2=n3
例题1：6，3，3，( 0 )，3，-3
A 0 B 1 C 2 D 3
解析：6-3=3，3-3=0 ，3-0=3 ，0-3=-3答案是A。(提醒您别忘了：“空缺
项在中间，从两边找规律”)
(七)、乘法数列
1、前两个数的乘积等于第三个数
例题1：1，2，2，4，8，32，( 256 )
前两个数的乘积等于第三个数，答案是256。
例题2：2，12，36，80，( ) (2007年考题)
A.100 B.125 C.150 D.175
解析：2×1， 3×4 ，4×9，5×16 自然下一项应该为6×25＝150 选C，此< br>题还可以变形为：
1
2
2
，
2
2
3，
3
2
4
，
4
2
5
…..,以此 类推，得出
n
2
(n1)

2、两数相乘的积呈现规律：等差，等比，平方等数列。
例题2：32， 23， 34，13，38 ( A ) (99年海关考题)
A 16 B 29 C 43 D 49
解析：32×23=1 23×34=12 34×13=14 13×38=18 38×?=116 答案
是 A。
(八)、除法数列
与乘法数列相类似，一般也分为如下两种形式：
1、两数相除等于第三数。
2、两数相除的商呈现规律：顺序，等差，等比，平方等。
13

(九)、质数数列
由质数从小到大的排列：2，3，5，7，11，13，17，19…
(十)、循环数列
几个数按一定的次序循环出现的数列。
例：3，4，5，3，4，5，3，4，5，3，4
以上数列只是一些常用的基本数列，考题中的 数列是在以上数列基础之上构
造而成的，下面我们主要分析以下近几年考题中经常出现的几种数列形式。
1、二级数列
这里所谓的二级数列是指数列中前后两个数的和、差、积或商构成一个我们
熟悉的某种数列形式。
例1：2 6 12 20 30 ( 42 )(2002年考题)
A.38 B.42 C.48 D.56
解析：后一个数与前个数的差分 别为：4，6，8，10这显然是一个等差数
列，因而要选的答案与30的差应该是12，所以答案应该 是B。
例2：20 22 25 30 37 ( ) (2002年考题)
A.39 B.45 C.48 D.51
解析：后一个数与前一个数 的差分别为：2，3，5，7这是一个质数数列，
因而要选的答案与37的差应该是11，所以答案应该 是C。
例3：2 5 11 20 32 ( 47 ) (2002年考题)
A.43 B.45 C.47 D.49
解析：后一个数与前一个数的差分别为：3，6，9，12这显然是一个等差
数列，因而要 选的答案与32的差应该是15，所以答案应该是C。
例4：4 5 7 1l 19 ( 35 ) (2002年考题)
A.27 B.31 C.35 D.41
解析：后一个数与前一个数的差分别为：1，2，4，8这是一个等比数列，
因而要 选的答案与19的差应该是16，所以答案应该是C。
例5：3 4 7 16 ( 43 ) (2002年考题)
A.23 B.27 C.39 D.43
解析：后一个数与前一个数的差分别为：1，3，9这显然也是一个等比数列，
14

因而要选的答案与16的差应该是27，所以答案应该是D。
例6：32 27 23 20 18 ( 17 ) (2002年考题)
A.14 B.15 C.16 D.17
解析：后一个数与前一个数的差分别为：-5，-4，-3，-2这显然是一个等差
数列，因而要 选的答案与18的差应该是-1，所以答案应该是D。
例7：1， 4， 8， 13， 16， 20， ( 25 ) (2003年考题)
A.20 B.25 C.27 D.28
解析：后一个数与前一个数的差分别为：3，4，5，3，4这是一个循环数
列，因而要 选的答案与20的差应该是5，所以答案应该是B。
例8：1， 3， 7， 15， 31， ( 63 ) (2003年考题)
A.61 B.62 C.63 D.64
解析：后一个数与前一个数的差分别为：2，4，8，16这显然是一个等比
数列，因而要 选的答案与31的差应该是32，所以答案应该是C。
例9：( 69 )，36，19，10，5，2(2003年考题)
A.77 B.69 C.54 D.48
解析：前一个数与后一个数的差分别为：3，5，9，17这个数列中前一个
数 的2倍减1得后一个数，后面的数应该是17*2-1=33，因而33+36=69答案应
该是 B。
例10：1，2，6，15，31，( 56 ) (2003年考题)
A.53 B.56 C.62 D.87
解析：后一个数与前一个数的差分别为：1，4，9 ，16这显然是一个完全
平方数列，因而要选的答案与31的差应该是25，所以答案应该是B。
例11：1，3，18，216，( 5184 )
A.1023 B.1892 C.243 D.5184
解析：后一个数与前一个数的比值分别为 ：3，6，12这显然是一个等比数
列，因而要选的答案与216的比值应该是24，所以答案应该是D ：216*24=5184。
例12： -2 1 7 16 ( 28 ) 43
A.25 B.28 C.3l D.35
解析：后一个数与前一个数的差值分别为：3，6，9这显然是一个等差数列，
15

因而要选的答案与16的差值应该是12，所以答案应该是B。
例13：1 3 6 10 15 ( )
A.20 B.21 C.30 D.25
解析：相邻两个数的和构成一个完全平方数列，即：1+3=4=2 的平方，
6+10=16=4的平方，则15+？=36=6的平方呢，答案应该是B。
例14：102，96，108，84，132，( 36 ) ，（228）(2006年考)
解析 ：后项减前项分别得-6，12，-24，48，是一个等比数列，则48后面
的数应为-96，132 -96=36，再看-96后面应是96X2=192，192+36=228。

妙题赏析：
规律类的中考试题，无论在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都
别具一格，令人耳目一新，其目的是继续考察学生的创新意识与实践能力，在往
年“数字类”、“计算 类”、“图形类”的基础上，今年又推陈出新，增加了“设
计类”与“动态类”两种新题型，现将历年来 中考规律类中考试题分析如下：
1、设计类
【例1】(2005年大连市中考题)在数学活 动中，小明为了求
的值（结果用n表示），设计如图a所示的图形。（1）请你利用这个几何图形求的值为 。
（2）请你利用图b，再设计一个能求的值的几何图形。

【例2】(2005年河北省中考题)观察下面的图形（每一个正方形的边长均为1）和相应
的等式，探究其中的规律：
16

（1）写出第五个等式，并在下边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；

（2）猜想并写出与第n个图形相对应的等式。

解析：【例1】(1)（2）可设计如图1，图2， 图3，图4所示的方案：

【例2】（1），对应的图形是
（2）。
此类试题除要求考生写出规律性的答案外 ，还要求设计出一套对应的方案，本题魅力
四射，光彩夺目，极富挑战性，要求考生大胆的尝试，力求用 图形说话。考察学生的动手实
践能力与创新能力，体现了“课改改到哪，中考就考到哪！”的命题思想。
2、动态类
【例3】(2005年连云港市中考题)右图是一回形图，其回形通道的宽与OB 的长均为1，
回形线与射线OA交于点A
1
，A
2
，A
3< br>，„。若从O点到A1点的回形线为第1圈（长为7），
从A
1
点到A
2
点的回形线为第2圈，„„，依此类推。则第10圈的长为 。
17

【例4】(2005年重庆市中考题)已知甲运动方式为：先竖直向上 运动1个单位长度后，
再水平向右运动2个单位长度；乙运动方式为：先竖直向下运动2个单位长度后， 再水平向
左运动3个单位长度。在平面直角坐标系内，现有一动点P第1次从原点O出发按甲方式运动到点P
1
，第2次从点P
1
出发按乙方式运动到点P
2
，第3次从点P
2
出发再按甲方式运动到
点P
3
，第4次从点P< br>3
出发再按乙方式运动到点P
4
,„„。依此运动规律，则经过第11次运动后，动点P所在位置P
11
的坐标是 。
解析：【例3】我们从简单的情形出发，从中发现规律，第1圈的长为1+1+2+2+1，第
2圈的长为2+3+4+4+2，第三圈的长为3+5+6+6+3，第四圈的长为4+7+8+8+4，„„归 纳得
到第10圈的长为10+19+20+20+10＝79。【例4】（－3，－4）
3、数字类
【例5】(2005年福州市中考题)瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据，， ，
，„„，中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门。请你按这种规律写出第七个
数据是 。
解析：【例5】这列数的分子分别为3，4，5的平方数，而分母比分子分别小4，则第
7 个数的分子为81，分母为77，故这列数的第7个为

。
【例6】(2005年长 春市中考题)按下列规律排列的一列数对（1，2）（4，5）（7，8），„，
第5个数对是 。
解析：【例6】有序数对的 前一个数比后一个数小1，而每一个有序数对的第一个数
形成 等差数数列，1，4，7，故第5个数为13，故第5个有序数对为（13，14）。
【例7】(2005年威海市中考题)一组按规律排列的数：
请你推断第9个数是
，，，，，„
解析：【例7】中这列数的分母为2，3，4，5，6„„的平方数，分子形成而 二阶等差
数列，依次相差2，4，6，8„„故第9个数为1+2+4+6+8+10+12+14+1 6＝73，分母为100，
故答案为


。
18

【例8】(2005年济南市中考题)把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一
行、 第二行、第三行„„，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1、5、13、25、„，则
第10个数为 。

解析：【例8】的一列数形成二阶等差数列，他们依次相差4，8，12，16„„故第 10
个数为1+4+8+12+16+20+24+28+32+36＝181。

【例9】(2005年武汉市中考题)下面是一个有规律排列的数表„„上面数表中第9行、
第7列的数 是 。

【例9】
4、计算类
【例10】(2005

个等式可以表示为 。
解析：【例10】
，
年陕西省中考题)观察下列等式：
，„„ 则第n
【例11】(2005年哈尔滨市中考题)观察下列各式：
，，„„根据前面的规律，得 ：
。（其中n为正整数）
19

解析：【例11】
【例12】(2005年耒阳市中考题)观察下列等式：观 察下列等式：4－1=3，9-4=5，16-9=7，
25-16=9，36-25=11，„„这些 等式反映了自然数间的某种规律，设n（n≥1）表示了自然
数，用关于n的等式表示这个规律为 。
解析：【例12】
5、 图形类
【例13】(2005年淄博市中考题)在平面 直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点
称为整点。观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点 的个数，请你猜测由里向外第
10个正方形（实线）四条边上的整点共有 个。
（n≥1，n表示了自然数）

解析：【例13】第一个正方形的整点数为2×4-4＝4，第二个正方形的 正点数有3×4
－4＝8，第三个正方形的整点数为4×4－4＝12个，„„故第10个正方形的整点数为
11×4- 4＝40，

【例14】(2005年宁夏回自治区中考题) “”代表甲种植物，“”代表 乙种植物，
为美化环境，采用如图所示方案种植。按此规律，第六个图案中应种植乙种植
物 株。

【例14】第一个图案中以乙中植物有2×2＝4个，第二个图案中以乙中植物有3× 3
＝9个，第三个图案中以乙中植物有4×4＝16个，„„故第六个图案中以乙中植物有7×7
＝49个.

【例15】(2005年呼和浩特市中考题)如图，是用积木摆放的一组图案 ，观察图形并探
索：第五个图案中共有 块积木，第n个图案中共有 块积木。
20

【例15】第一个图案有1块积木，第二个图案形有1+3＝4＝2的平方， 第三个图案有
1+3+5＝9＝3的平方，„„故第5个图案中积木有1+3+5+7+9＝25＝5的 平方个块，第n个
图案中积木有n的平方个块。
综观规律性中考试题，考察了学生收集数据， 分析数据，处理信息的能力，考生在回答
此类试题时，要体现“从特殊到一般，从抽象到具体”的思想， 要从简单的情形出发，认真
比较，发现规律，分析联想，归纳猜想，推出结论，一举成功。

2007•无锡）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面- 层有一个圆圈，以下各层均
比上-层多一个圆圈，一共堆了n层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状 ，这样我们可以算出图1中所
有圆圈的个数为1+2+3+…+n= ．

如果图1中的圆圈共有12层，
（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串 连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最
左边这个圆圈中的数是；
（2）我们自上往下 ，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数-23，-22，-21，…，求图4中所
有圆圈中 各数的绝对值之和．
解析：（1）图3中依次排列为1，2，4，7，11„„，如果用后项减前项依 次得到1，
2，3，4，5„„，正好是等差数列，再展开原数列可以看出第一位是1，从第二位开始后 项
减前项得到等差数列，分解一下：1，1+1，1+1+2，1+1+2+3，1+1+2+3+4„ „,从分解看，
第n个圆圈的个数应为1+(1+2+3+4+„„n)，而1+2+3+4+„„+n 正好是连续自然数和的公
式推导，上面已给出了公式: 1+2+3+„+n= ，则第n项公式为1+ ，已知共
有12层，那么求图3最左边最底层这个圆圈中的数应是12层的第一个数，那么1+11（1 1+1）
2=67.
21

解析：（2）已知图中的圆圈共有1 2层，按图4的方式填上-23，，-22，-21，„„,
求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和？
第一层到第十二层共有多少个圆圈呢，运用等差数列求和公式得：（1+12）122=78个，
那78个圆圈中有多少个负数，多少个正数呢，从已知条件可以看出，第一个数是-23，到
-1有2 3个负数，1个0，78-24=54个正数， 1至54，所以分段求和，两段相加得到图4
中所有圆 圈的和。第一段：S=
首项末项
2
（|-23|+|-1|）*232=276,第 二段=（1+54）
项数
=
*542=1485，相加后得1761。
例如、观察下列数表：

解析：根据数列所反映的规律，第行第列交叉点上的数应为______ .（乐山市2006
年初中毕业会考暨高中阶段招生统一考试）这一题，看上去内容比较多，实际很简单。题
目条件里的数构 成一个正方形。让我们求的是左上角至右下角对角线上第n个数是多少。
我们把对角线上的数抽出来，就 是1，3，5，7，„„。这是奇数从小到大的排列。于是，
问题便转化成求第n个奇数的表达式。即2 n-1。
还有，邵阳市2006年初中毕业学业考试试题卷（课改区）的数学试题“图中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤„„，则第n个等腰直角
三角形的 斜边长为_____________。”也可以按照这个思想求解。

22

二、 要抓题目里的变量
找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的 量。所谓找规律，多数情况下，
是指变量的变化规律。所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键 。
例如，用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形
中有 黑色瓷砖

块，第个图形中需要黑色瓷砖

块（用含的代数式表示）.
（海南省2006年初中毕业升考试数学科试题（课改区））

这一题的关键是求第个图形中需要几块黑色瓷砖？
解析：在这三个图形中，前边4 块黑瓷砖不变，变化的是后面的黑瓷砖。它们的数量
分别是，第一个图形中多出0×3块黑瓷砖，第二个 图形中多出1×3块黑瓷砖，第三个图
形中多出2×3块黑瓷砖，依次类推，第n个图形中多出（n-1 ）×3块黑瓷砖。所以，第n
个图形中一共有4+（n-1）×3块黑瓷砖。
云南省2006 年课改实验区高中（中专）招生统一考试也出有类似的题目：“观察图（l）
至（4）中小圆圈的摆放规 律，并按这样的规律继续摆放，记第n个图中小圆圈的个数为m，
则，m=

（用含 n 的代数式表示）.”

三、 要善于比较
“有比较才有鉴别 ”。通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物
的变化规律。找规律的题目，通常按照 一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的
量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序 列号。所以，把变量和序列号放在一起
加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
例如，观察下 列各式数：0，3，8，15，24，„„。试按此规律写出的第100个数
是

。”
解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。我们把有< br>关的量放在一起加以比较：
给出的数：0，3，8，15，24，„„。
23

序列号： 1，2，3， 4， 5，„„。
容易发现，已知数的每一项，都 等于它的序列号的平方减1。因此，第n项是n
2
-1，第
100项是100-1。
如果题目比较复杂，或者包含的变量比较多。解题的时候，不但考虑已知数的序列号，
还要考虑 其他因素。
譬如，日照市2005年中等学校招生考试数学试题“已知下列等式：
2
① 1
3
＝1
2
；
② 1
3
＋2
3
＝3
2
；
③ 1
3
＋2
3
＋3
3
＝6
2
；
④ 1
3
＋2
3
＋3
3
＋4
3
＝ 10
2
；
„„ „„
由此规律知，第⑤个等式是

．”
解析：这个题目，在给出的等式中，左边的加数个数在变化，加数的底数在变化，右边的和也在变化。所以，需要进行比较的因素也比较多。就左边而言，从上到下进行比较，
发现加数 个数依次增加一个。所以，第⑤个等式应该有5个加数；从左向右比较加数的底
数，发现它们呈自然数排 列。所以，第⑤个等式的左边是1
3
＋2
3
＋3
3
＋43
＋5
3
。再来看等式
的右边，指数没有变化，变化的是底数。等式的左 边也是指数没有变化，变化的是底数。
比较等式两边的底数，发现和的底数与加数的底数和相等。所以， 第⑤个等式右边的底数
是（1+2+3+4+5），和为15
2
。
四、要善于寻找事物的循环节
有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解。
譬如， 玉林市2005年中考数学试题：“观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○
是空心球)：
●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●„„
从第1个球起到第2004个球止，共有实心球

个。”
这 些球，从左到右，按照固定的顺序排列，每隔10个球循环一次，循环节是●○○●
●○○○○○。每个 循环节里有3个实心球。我们只要知道2004包含有多少个循环节，就
容易计算出实心球的个数。因为 2004÷10=200（余4）。所以，2004个球里有200个循环
24

节，还余4个球。200个循环节里有200×3=600个实心球，剩下的4个球里有2个实心球。
所以，一共有602个实心球。
五、要抓住题目中隐藏的不变量
有些题目，虽然形式发生 了变化，但是本质并没有改变。我们只要在观察形式变化的
过程中，始终注意寻找它的不变量，就可以揭 示出事物的本质规律。
例如，2006年芜湖市（课改实验区）初中毕业学业考试题“请你仔细观察图 中等边三
角形图形的变换规律，写出你发现关于等边三角形内一点到三边距离的数学事
实：
。”

在这三个图形中，白色的三角形是等边三 角形，里边镶嵌着三个黑色三角形。从左向
右观察，其中上边两个黑色三角形按照顺时针的方向发生了旋 转，但是形状没有发生变化，
当然黑色三角形的高也没有发生变化。左起第一个图形里黑色三角形高的和 是等边三角形里
一点到三边的距离和，最后一个图形里，三个黑色三角形高的和是等边三角形的高。所以 ，
等边三角形里任意一点到三边的距离和等于它的高。
六、要进行计算尝试
找规律 ，当然是找数学规律。而数学规律，多数是函数的解析式。函数的解析式里常
常包含着数学运算。因此， 找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子。
所以，从运算入手，尝试着做一些计算， 也是解答找规律题的好途径。
例如，汉川市2006年中考试卷数学“观察下列各式：0，x
1
，x
2
，2x
3
，3x
4
，5x
5，8x
6
，„„。
试按此规律写出的第10个式子是

。”
这一题，包含有两个变量，一个是各项的指数，一个是各项的系数。容易看出各项的指数等于它的序列号减1，而系数的变化规律就不那么容易发现啦。然而，如果我们把系数
抽出来， 尝试做一些简单的计算，就不难发现系数的变化规律。
系数排列情况：0，1，1，2，3，5，8，„„。
从左至右观察系数的排列，依次求相邻 两项的和，你会发现，这个和正好是后一项。
也就是说原数列相邻两项的系数和等于后面一项的系数。使 用这个规律，不难推出原数列
第8项的系数是5+8=13，第9项的系数是8+13=21，第10项 的系数是13+21=34。
所以，原数列第10项是34x。
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