闰六月-开学的第一天

考研数学真题及解析

2017 年考研数学一真题及答案解析


一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的 四个选项中，只有一项符合题
目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
．．．




1 cos
x
, x  0

（1）
若函数
f (x) 

在
x  0
处连续，则（
 ax

b, x  0

1
( A)ab 
2
(C)ab  0
1
B ab  


2

D

ab  2

）
【答案】A









【解析】
lim


1 cos
x0

ax


x
1
x
1
1
2

1
, f ( x)
在
x  0
处连续

 b  ab  .
选A.
 lim
x0


2a 2
ax 2a
（2）
设函数
f (x)
可导，且
f (x) f
'
(x)  0
，则（ ）
( A) f (1) f (1)
(C) f (1) f (1)




B

f (1) 

f (1)

D

f (1) f (1)
【答案】C
【解析】
 f (x) f
'
(x)  0,

f (x)  0
(1)
或

f (x)  0
(2)
，只有C 选项满足
(1)
且满足
(2)
，所以选


f '(x)  0
C。




f '(x)  0
（3）函数
f (x, y, z)  x
2
y  z
2
在点
(1, 2, 0)
处沿向量
u 

1, 2, 2

的方向导数为（ ）

( A)12 (B)6 (C)4 (D)2

考研数学真题及解析



【答案】D












2

【解析】
gradf
 {2xy, x , 2z},  gradf
(1,2,0)
 {4,1, 0} 
1 2 2
 gradf 
u
 {4,1, 0}
{ , , }
 2.
| u |
u
3 3 3
f








选D.


（4）
甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线
v  v
1
(t)
（单位：
m s
），虚线表示乙的速度曲线
v  v
2
(t)
，三块阴影部分面积的数值依次为 10,20,3，计时
开始后乙追上甲的时刻记为
t
0
（单位：s），则（ ）
( A)t
0
 10



(B)15  t
0
 20 (C)t
0
 25 (D)t
0
 25
【答案】B
t
(t)dt, v (t)
t
dt,
则乙要追上甲，则
【解析】从 0 到
t
这段时间内甲乙的位移分别为
v
0 0
t
0
0
v (t)  v (t)dt  10
，当
t  25
时满足，故选C.
2 1 0

0
1

0
2




0

（5）
设

是
n
维单位列向量，
E
为
n
阶单位矩阵，则（

）
( A)E 

T
不可逆
(C)E  2

T
不可逆

T
不可逆


B

E 


T
不可逆


D

E  2


考研数学真题及解析



【答案】A

【解析】选项 A,由
(E 

T
)





 0
得
(E 

T
)x  0
有非零解，故
E 

T
 0
。即
E 

T


不可逆。选项 B,由
r(

T
)

 1
得

T
的特征值为 n-1 个 0，1.故
E 

T
的特征值为 n-1 个 1，2. 故
可逆。其它选项类似理解。



2 0 0
 
2 1 0
 
1 0 0

（6）设矩阵
A 


0

2 1




, B 


0

2 0




,C 


0

2 0



,则（ ）


0 0 1





0 0 1





0 0 2



( A) A与C相似, B与C相似

B

A与C相似, B与C不相似

(C) A与C不相似, B与C相似

D

A与C不相似, B与C不相似




【答案】B

【解析】由
(

E  A)  0
可知A 的特征值为 2,2,1

1 0 0

因为
3  r(2E  A)  1
，∴A 可相似对角化，且
A ~



0



2 0 




0 0 2




由

E  B  0
可知B 特征值为 2,2,1.
因为
3  r(2E  B)  2
，∴B 不可相似对角化，显然 C 可相似对角化，
∴
A ~ C
，且B 不相似于C


（7）
设
A, B
为随机概率，若
0  P( A)  1, 0  P(B)  1
，则
P( A B)  P( A B)
的充分必要条件是（

(A)
)P(B A)  P(B A) (B)P(B A)  P(B A)
(C)P(B A)  P(B A) (D)P(B A)  P(B A)
）

考研数学真题及解析



【答案】A
【解析】按照条件概率定义展开，则Ａ选项符合题意。

（8）
设
X
1
, X
2

 X
n

(n  2)
为来自总体
N (

,1)
的简单随机样本，记
X 

1
n

X
n

i1
i

，则下列结论中不
正确的是（ ）

n
( A)

( X 

)
2
服从

2
分布
i
i1
n

B

2( X  X )
2
服从

2
分布

n 1
2
)
2
服从

分布


D

n( X 

2 2
(C)

( X
i

 X )服从

分布
i1



【答案】B

【解析】

X  N (

,1), X
i


 N (0,1)
n
)
2


2
(n), A正确


( X
i


i1

n

2
 (n 1)S 

( X
i
 X )
2


(n 1)，C 正确，
i1
1

 X ~N (





)  N (0,1), n( X 

)
2
~

2
(1), D 正确,
, ),
n ( X
n
( X
 X )
2

1
~ N (0, 2),

n
~

2
(1), 故B错误.
2
2
由于找不正确的结论，故 B 符合题意。


二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.
．．．
(9) 已知函数
f (x) 
【答案】
f (0)  6
1
(3)
，则
f
(0)
=
2
1 x

考研数学真题及解析

【解析】
1
f (x) 

1




2 n

 

(x )
1 x
2
1 (x
2
)
n0


n2


(1) x
n0
n 2n
f
'''
(x) 

(1)
n
2n(2n 1)(2n  2)x
2 n 3
 f
'''
(0)  0

(10) 微分方程
y
''
 2 y
'
 3y  0
的通解为
y 

1 2

【答案】
y  e
 x
(c cos 2x  c sin 2x)
，（
c , c
为任意常数）
1 2

2

【解析】齐次特征方程为
 2

 3  0 


1,2
 1 2i
故通解为
e
 x
(c
1
cos 2x  c

2
sin 2x)
在区域
D  (x, y) | x
2
 y
2
 1
内与路径无关，则
(11) 若曲线积分


xdx  aydy


a 




【答案】
a  1
【解析】





P

y
P Q
Q 
2xy 2axy
,
由积分与路径无关知
  a  1
, 
(x
2
 y
2
1)
2
x (x
2
 y
2
1)
2

y x







(12) 幂级数

(1)
n1
nx
n1
在区间
(1,1)
内的和函数
S (x) 
n1




【答案】
s(x) 
1



1 x


2
1


x



n1 n1 n1 n
【解析】

(1)nx


(1)x


 

2
(1 x)

1 x 
n1

n1
 






'
'



1 0 1


（13）
设矩阵
A 
1 1 2
，

,


,


为线性无关的 3 维列向量组，则向量组
A

, A


, A


的秩
 
1 2 3 1 2 3

0 1 1


 
为

考研数学真题及解析



【答案】2
【解析】由

,

线性无关，可知矩阵


,

可逆，故
1
,
2 3 1
,
2 3
r

A

 r

A

再由
r

A

 2
得
r

A

1
, A
2
, A
3

 r

A

1
,

2
,

3


1
, A
2
, A
3

 2



（14）
设随机变量
X
的分布函数为
F (x)  0.5(x)  0.5(
x  4
2
)
，其中
(x)
为标准正态分布函数，
则
EX 




【答案】2
【解析】
F

(x)  0.5

(x) 

0.5x  40.5

x  4

( )
，故
EX  0.5

x

(x)dx 

x

( )dx

2 2

2

2




x  4 x  4
(t)dt  8 1  4

t

(t)dt  8


4  2t




x

(x)dx  EX  0
。令
 t
，则

x

( )dx
=
2

 

2 2


因此
E( X )  2
.

三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过
．．．
程或演算步骤.
（15）（本题满分 10 分）

d
2
y
dy


设函数
f (u, v)
具有 2 阶连续偏导数，
y 
f (e
, cos x)
，求
2

dx
x0
，

dx

x0
x
2

【答案】
d y

'
dy


''

f
1
(1,1),
2



f(1,1),

dx
x0
dx
x0
11

【解析】

考研数学真题及解析

'

x
x0
y  f (e, cos x)  y(0)  f (1,1)
'x




dy


f e f

 sin x



 f
'
(1,1) 1 f
'
(1,1) 0  f
'
(1,1)
1 2 1 2 1
x0
dx
x0
d
2
y 
'' 2 x

'' x
 

'' x
 

'' 2

' x

'
 
f
11
e f
12
e
( sin x)
f
21
e ( sin x) f
22
sin x f
1
e f
2
cos x
2
dx

d
2
y
'' ' '

2
f f f
11
(1,1)
1
(1,1)
2
(1,1)
dx

x0

结论：
dy
'
f
1
(1,1)
dx
x0
d
2
y
'' ' '
f (1,1)  f f
11 1
(1,1) 
2
(1,1)
2
dx

x0





n
（16）（本题满分 10 分）求
lim


【解析】

k

k

ln 1 

n


2
n
n
 

k 1
【答案】

1
4
2
1
x11
1

1
k 1
1
1
2 1
2
dx) 
lim

2
ln(1 ) 

0
x ln(1 x)dx 

0
ln(1 x)dx
 (ln(1 x)  x
0



0
n
n 2 1 x
2 4
k 1
n
n
k

（17）（本题满分 10 分）
已知函数
y(x)
由方程
x
3
 y
3
 3x  3y  2  0
确定，求
y(x)
的极值
【答案】极大值为
y(1)  1
，极小值为
y(1)  0

【解析】
两边求导得：

3x
2
 3y
2
y ' 3  3y '  0

（1）
令
y '  0
得
x  1
对（1）式两边关于x 求导得

6x  6 y

y '

 3y
2
y '' 3y ''  0

2


（2）

考研数学真题及解析

x  1
or

，
y  1 y  0
 

x  1

将
x  1
代入原题给的等式中，得

将
x  1, y  1
代入（2）得
y ''(1)  1  0

将
x  1, y  0
代入（2）得
y ''(1)  2  0

故
x  1
为极大值点，
y(1)  1
；
x  1
为极小值点，
y(1)  0



（18）（本题满分 10 分）
设函数
f (x)
在区间
[0,1]
上具有 2 阶导数，且
f (1)  0, lim
x0



f (x)
x
 0
，证明：
()
方程
f (x)  0
在区间
(0,1)
内至少存在一个实根；
()
方程
f (x) f
'(x)

( f '(x))

0
在区间
(0,1)
内至少存在两个不同实根。

2
【答案】

【解析】
x0


（I）
f (x)
二阶导数，
f (1)  0, lim
f (x)
 0

解：1）由于
lim
x0



f (x)
x


 0,x (0,

)
有
x
f (x)
 0
，根据极限的保号性得
 0
，即
f (x)  0
x
进而
x
0
(0,

)有f



 0


又由于
f (x)
二阶可导，所以
f (x)
在
[0,1]
上必连续
那么
f (x)
在
[

,1]
上连续，由
f (

)  0, f (1)  0
根据零点定理得：
至少存在一点

(

,1)
，使
f (

)  0
，即得证
（II）由（1）可知
f (0)  0
，


 (0,1), 使f (

)  0
，令
F (x)  f (x) f '(x)
，则
f (0)  f (

)  0

由罗尔定理


 (0,

), 使f '(

)  0
，则
F (0)  F (

)  F (

)  0
， 对
F (x)
在
(0,

),(

,

)
分别使用罗尔定理：

考研数学真题及解析



),

,

)
且

1
(0,

2
(
1
,

2
(0,1),

1


2
，使得
F '(

1
)  F '(

2
)  0
，即
F '(x)  f (x) f ''(x) 

f '(x)

 0
在
(0,1)
至少有两个不同实根。
得证。
2

（19）（本题满分 10 分）

2
2
设薄片型物体
S
是圆锥面
z 
x
2
 y

被柱面
z
 2x
割下的有限部分，其上任一点的密度为


 9
x
2
 y
2
 z
2

。记圆锥面与柱面的交线为
C

()
求
C
在
xOy
平面上的投影曲线的方程；
()
求
S
的
M
质量。
【答案】64

【解析】


z 

2 2
x y


2 2
x  y  2x
（1）由题设条件知，
C
的方程为


2


z 2x

x
2
 y
2
 2x
则
C
在
xoy
平面的方程为



z  0
（2）







s
D:x
2
 y
2
2 x

m 


(x, y, z)dS 

9 x
2
 y
2
 z
2
dS 
s

2 2
9 2
x  y

2dxdy






 18




2



d

2


2cos



0

r
2
dr  64
（20）（本题满分 11 分）设 3 阶矩阵
A 


1
,




有 3 个不同的特征值，且

2
,
3

3


1
 2
2
。

()
证明
r( A)  2
；


()
若



1


2


3
，求方程组
Ax 

的通解。

考研数学真题及解析


1
 
1

 


1

, k  R
【答案】（I）略；（II）通解为
k

2
 
 




1 1
   

【解析】
（I）证明：由


3

1
 2
2
可得

1
 2
2


3
 0
，即

1
,

2
,

3
线性相关，

因此，
A 

1

2

3


 0
，即A 的特征值必有 0。
又因为A 有三个不同的特征值，则三个特征值中只有 1 个 0，另外两个非 0.



1


,





 0

且由于A 必可相似对角化，则可设其对角矩阵为
 

2
 
1 2
 
0
 
∴
r( A)  r()  2

（II） 由（1）
r( A)  2
，知
3  r( A)  1
，即
Ax  0
的基础解系只有 1 个解向量，

1
 
1
 
1

     
由


 2





 0
可得


,


,



2  A2  0
，则
Ax  0
的基础解系为
2
，
   
1 2 3
1 2 3

    
1 1
   
1


1



1

 
又










，即


,


,



1 A1

，则
Ax 

的一个特解为
1
，
 
1 2 3
1 2 3
 
   
1 1
   
1

1
 
  
综上，
Ax 

的通解为
k
2  1, k  R
   
   
1

1
 



1

 
 
1
 


（21）（本题满分 11 分）设二次型
f (x , x , x )  2x
2
 x
2
 ax
2
 2x x  8x x  2x x
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3
2 2
在正交变换
X  QY
下的标准型

y



y
2 2
，求a 的值及一个正交矩阵
Q
1 1
2 3

考研数学真题及解析





1

1
3 2

1 
【答案】
a  2;Q 
 0

3

1

1
3 2

【解析】
T

1


6 
2


, f x  Qy  3y
2
 6 y
2

1 2


6


1


6 







2 1

4

f (x , x , x )  X AX
，其中
A  1 1 1 
1 2 3


4 1 a


 
由于
f (x , x , x )  X
T
AX
经正交变换后，得到的标准形为

y
2



y
2
，

1 2 3



1 1 2 2
2 1 4
故
r( A)  2 | A | 0  1
1 1
 0  a  2
，
4 1 a







2 1

4

将
a  2
代入，满足
r( A)  2
，因此
a  2
符合题意，此时
A 
1 1 1
，则
 


4 1 2


 

 2
|

E  A | 1
4

1 4

1 1  0 

1
 3,

2
 0,

3
 6
，
1

 2

1

 
由
(3E  A)x  0
，可得A 的属于特征值-3 的特征向量为



1
；
1
 

1

 
1



由
(6E  A)x  0
，可得 A 的属于特征值 6 的特征向量为



0 
2
 

1

 
1



由
(0E  A)x  0
，可得 A 的属于特征值 0 的特征向量为



2 
3
 
 

1






3

令
P 


,


,



， 则
P
AP 
， 由于

,


,


彼此正交， 故只需单位化即可：

6
1 2 3
1 2 3
 
 
0
 
1

考研数学真题及解析


1


1
3
T

1, 1,1

,


2



1
2
1
3
1
3
1
3
T

1, 0,1

,


3



1
6

1, 2,1

T
,
，







Q
则






1

2

3










xQy
1

2
0
1
2
1 

6 

2 

3

 

6



，
Q AQ 

6

 

0
 

1



6 

T
f   3y
2
1
 6 y
2

2
（22）（本题满分 11 分）设随机变量
X ,Y
相互独立，且
X
的概率分布为
P( X  0)  P( X  2) 
，
1
Y
的概率密度为
f ( y) 


0,

其他
()
求
P(Y  EY )


2 y，0  y 1
2

()
求
Z  X  Y
的概率密度。


【答案】
(I)P{Y  EY} 
; (II) f
(z) 


Z
4

【解析】
9
z, 0  z  1

z  2, 2  z  3

1
2
()E(Y ) 

y2 ydy 
0
3

2
2 4
3
P(Y  EY )  P(Y 
) 

2 ydy 
0
3 9
()F
z
(Z )  P(Z  z)  P( X  Y  z)
 P( X  Y  z, X  0)  P( X  Y  z, X  2)
 P(Y  z, X  0)  P(Y  z  2, X  2)
1 1
 P(Y  z)  P(Y  z  2)
2 2
（1） 当
z  0, z  2  0
，而
z  0
，则
F
z
(Z )  0
（2） 当
z  2  1, z  1,
即
z  3
时，
F
z
(Z )  1

考研数学真题及解析
1
2
z
2

1
（4）当
1  z  2
时，
F (Z ) 

z
2

1 1
（5）当
2  z  3
时，
F (Z ) 
 (z  2)
2

z
2 2

0 z  0


1


z
2
, 0  z  1




2
1
所以综上
F (Z ) 
,1  z  2

z

2

1 1
2

2

2
(z  2), 2  z  3

（3）当
0  z  1
时，
F (Z ) 
z


1 , z  3


所以
f
(Z ) 

F (Z )

'


z

0  z  1

z z
z  2 2  z  3




（23）（本题满分 11 分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做
n
次测量，该
物体的质量

是已知的，设
n
次测量结果
X , X  X
相互独立且均服从正态分布
N (

,

2
)
。该工程
1 2 n
师记录的是
n
次测量的绝对误差
Z
i


X
i


(i  1, 2,n)
，利用
Z
1
, Z
2
 Z
n
估计

。
()
求
Z
i
的概率密度；
()
利用一阶矩求

的矩估计量


【答案】

z
2


2


2
e

,

z  0
;

(I) ) f
i
Z
(z) 
2





0,
其他

1

n
ˆ

(II) )矩估计

=
n
2
i1

X
i


;



ˆ
1
n

2
(III) )最大似然估计：

=

( X
i


)

n
i1
2


考研数学真题及解析

【解析】
()F
z
(z)  P(Z
i
 z)  P( X
i



 z)
i
当
z  0, F (z)  0
z


i
当
z  0, F
i
z
(z)  P(z  X
i


 z)  P(

 z  X
i


 z)  F
X
(

 z)  F (

 z)
当
z  0
时，

 f
z
i

(z)  F
z

i
(z)


'
 f
x
(

 z)  f
x

(

 z) 
1
e
2

z
2

2
2

1
 e
2

z
2


2

2

2
 e
2

z
2

2

2


z
2
2

2


2
, z  0 e
综 上
f
z
(z) 


2

i

0 , z  0




()E

Z
i




2


2


0

2




0
2

z e
2


z
2

2
2

dz 


0
1

2


2
2
e dz

2

z
2
2
e d (
z
) 
2



2

2
2


2
z
2
2




2


令
E(Z )  Z
i
Z 
1
n
1
Z



i


X
i


n
i1
n
i1
n


由此可得

的矩估计量



^

1
n
2
n
i1

X

i
对总体
X
的
n
个样本
X
1
, X
2
, X
n
，则相交的绝对误差的样本
Z
1
, Z
2
,Z
n
, Z
i
 x
i
 u , i  1, 2...n,
令其

样本值为
Z
1
, Z
2
,Z
n
, Z
i

xi  u
n
2

Z
i


n
 2

i1


2


2
e
则对应的似然函数
L(

) 

 
, Z
1
, Z
2
,Z
n
 0


2





0 , 其他
两边取对数，当
Z
1
, Z
2
,Z
n
 0
时


ln L(

)  n ln
2 1
n
2


Z
i


2
2

2


i1

考研数学真题及解析

n
2
d ln L(

) n 1

Z  0

令
  
3
i
d


u

i1

所以，




1
n
2

1
n
( X  u)
2
为所求的最大似然估计。
Z

i i
n
i1
n
i1