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2019年考研数学一真题
一、选择题，1~8小题，每小题4分，共32 分.下列每题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求的.
1.当
x0< br>时，若
xtanx
与
x
k
是同阶无穷小，则
k< br>
.
.
.
.

xx,x0,
2. 设函数
f(x)

则
x0
是
f(x)
的

xlnx,x0,
A.可导点，极值点.
C.可导点，非极值点.
B.不可导点，极值点.
D.不可导点，非极值点.
3.设

u
n

是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是
u
A.

n
.

n1
n
B.

(1)
n
n1


1
.
u
n

u
n

1
C.



u


.
n1

n1


22
u
D.


u
n1n
.
n1
4.设函数
Q(x,y)
x
，如果对上 半平面（
y0
）内的任意有向光滑封闭曲线
C
都
y
2有

P(x,y)dxQ(x,y)dy0
，那么函数
P(x,y)
可取为
C
x
2
A.
y
3
.
y
11
C.

.
xy
1x
2
B.

3
.
yy
D.
x
1
.
y
5.设
A
是3阶实对称矩阵，
E
是3阶单位矩阵.若
A
2
A2E
，且
A4
，则二次
型
x
T
Ax
的规范形为 22
y
3
A.
y
1
2
y
2
.
22
y
3
C.
y
1
2
y
2
.
22
y
3
B.
y
1
2
y
2
.
22
y
3
D.
y
1
2
y
2
.
6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程

组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为
A,A
，则
A.
r (A)2,r(A)3.

B.
r(A)2,r(A)2.

C.
r(A)1,r(A)2.

D.
r(A)1,r(A)1.

7.设
A,B
为随机事件，则
P(A)P(B)
的充分必要条件是
A.
P(AB)P(A)P(B).

B.
P(AB)P(A)P(B).

C.
P(AB)P(BA).

D.
P(AB)P(AB).


8.设随机变量
X与
Y
相互独立，且都服从正态分布
N(

,

2
)
，则
P

XY1


A.与

无关，而与

2
有关.
B.与

有关，而与

2
无关.
C.与

,

2
都有关.
D.与

,

2
都无关.
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.
9. 设函数
f(u)
可导，
zf(sinysinx)xy,
则
1z1z
=.
cosxxcosyy
10. 微分方程
2yy'y
220
满足条件
y(0)1
的特解
y
.
(1)
n
n
x
在11. 幂级数

（0，)
内的和函数
S(x)
.
(2n)!
n0


12. 设

为曲面
x
2
y
2
4z
2
4(z 0)
的上侧，则

4x
2
4z
2
dxdy
=.
z
（

1
，

2
，

3
）
13. 设


为3阶矩阵.若

1
，

2
线性无关，且

3

1
2

2
，则线
性方程组

x0
的通解为.

x

,0x2
14. 设随机变量
X< br>的概率密度为
f(x)

2
为
X
的分布函数，F（x）


0，其他，


X1


.

X
为
X
的数学期望，则
P
< br>F（X）
三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本题满分10分）
设函数
y(x)
是微分方程
y
'
xye
（1）求
y(x)
；
（2）求曲线
yy(x)
的凹凸区间及拐点.
16.（本题满分10分）
设
a,b
为实数，函数
z2ax
2
by
2< br>在点（3，4）处的方向导数中，沿方向
l3i4j
的方向导数最大，最大值为1 0.
（1）求
a,b
；
（2）求曲面
z2ax
2< br>by
2
（
z0
）的面积.
17.求曲线
ye
x
sinx(x0)
与x轴之间图形的面积.
18.设
an


x
n
1x
2
dx
，n=（0 ，1，2…）
0
1

x
2
2
满足条件
y (0)0
的特解.
（1）证明数列

a
n

单 调减少，且
a
n

（2）求
lim
a
n
n 
a
n1
n1
a
n2
（n=2，3…）
n2
.
2
19.设

是锥面
x
2

y2

(1z)
2
(0z1)
与平面
z0
围成的锥体，求

的形
心坐标.
20.设向 量组

1
(1,2,1)
T
,

2
( 1,3,2)
T
,

3
(1,a,3)
T
T
(1,1,1)
，为
R
的一个基，在
3
T
(b,c,1)
这个基下的坐标为.

（1）求
a,b,c
.
（2）证明
a
2
,a3
，

为
R
3
的一个基，并求
a
2< br>,a
3
,

到
a
1
,a
2
,a
3
的过度矩阵.

221

210


x2

与
B

010
< br>相似21.已知矩阵
A

2

0

00y

02



（1）求
x,y
.

（2）求可可逆矩阵
P
，使得
P
1
APB.

22.设随机变量
X
与
Y
相互独立，
X
服从参数为 1的指数分布，
Y
的概率分布为
P

Y1

 p,P

Y1

1p,(0p1),
令
ZXY

（1）求
z
的概率密度.
（2）
p
为何值时，
X
与
Z
不相关.
（3）
X
与
Z
是否相互独立?
23.（本题满分11分）
设总体
X
的概率密度为
…X
n
来自总体
X
的简其中

是已知参数，

0
是未知参数，

是常数，
X
1
，X
2
，
单随机样本.
（1）求

；
（2）求

2
的最大似然估计量
2019年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题解析（数学一）

9.

yx


cosxcosy
10.
3e
x
2

11.
cosx

12.
32

3
13.
k(1,2,1)
T
，
k
为任意常数.
14. 解：（ 1）
y(x)e

xdx
(

e

x
2
2
e

dxc)e
xdx

x2
2
(xc)
，又
y(0)0
，

故
c0
，因此
y(x)xe
（2）< br>y

e
y

2xe
1
x
2
2
1
x
2
2
.

2
1
x
2
2
xe
2
1
x
2
2
(1x)e
1
x
2
2
3
，
1
x
2
2
1
x
2
2
(1x)xe
2(x3x)ex(x3)e
2
1
x
2
2
，
令
y

0
得
x0,3






凸


拐点


凹


拐点


凸


拐点


凹
所以，曲线
yy(x)
的凹区间为
(3,0)
和
(3,)
，凸区间为
(,3 )
和
(0,3)
,
拐点为
(0,0)
，
(3, 3e)
，
(3,3e)
.
15. 解：（1）
gradz(2a x,2by)
，
gradz
(3,4)
(6a,8b)
，
6a8b
，即
ab
，又
gradz

34
所以，
ab1.


3
2

3
2
由题设可得，

6a

2


8b

2
10
，
（2）
S
x
2
y< br>2
2

1(
z
2
z
2
) ()dxdy
=

1(2x)
2
(2y)
2< br>dxdy

xy
x
2
y
2
2
2

2
=
2
xy2

2
14x
2
4y
2
dxdy
=

d


00
3
1
2
2
14

d
< br>=
2

(14

)
12
2
2< br>0
=
13

.

3

17.

18.

19.由对称性，
x0,y2
，

zdv
zdz

dxdy

z

(1z)dz

z(1z)dz
1
1
z
=

12
.


dv

dz

dxdy


(1z)dz

(1z)dz
1
4
3
1
0
2
1
1
2

D
z
0
0
11
2
1
2

0
D
z
00

1

1

1

1


20.（1）

=b

1
c< br>
2


3
即
b

2

c

3



a



1

，

1

2

3< br>
1



a3

解得

b2
.

c2



111

111




011

，所以
r

，

，

3
，则（2）


2
，

3
，


=

331

23




231




0 01



2
，

3
，

可为
R
3
的一个基.


110


1
1
01

. 则
P=


2
，

3
，



1
，
2
，

3




2


1


00

2

x4y1

x3
21.（1）
A
与
B< br>相似，则
tr(A)tr(B)
，
AB
，即

， 解得


4x82yy2

（2）
A
的特征值与对应的特征向量分别为

1

2

1


；

=1
，

；
=2
，

.

1
=2
，
1
=

2

=

=1
23
3
2

2



0

4


0




2
< br>
1

.
1
所以存在
P
，使得
PAP
=

,

,


11< br>1123


2


B
的特征值与对 应的特征向量分别为

1

1

0



=1


=2


1=2
，

1
=

；，；，

=3< br>
=
0
23
2

3

0

.



0

1

0




2


. 所以 存在
P
2
=


1
,

2
,

3

，使得
P
2
1
AP
2


1


2


111
P
1
AP
所以
P
2
1AP
2
=P
1
AP
1
，即
BP
2
P
1
APP
12

111


.
1
其中
PPP

212
12



004


22.解：（I）
Z
的分 布函数
F

z

P

XYz

P

XYz,Y1

P

XYz,Y1< br>
pP

Xz



1p

P

Xz


从 而当
z0
时，
F

z

pe
z
；当
z0
时，
F

z

p
1p


1e
z

1

1 p

e
z

z

,z0

pe
则
Z
的概率密度为
f

z



.
z



1p

e,z0
（II）由条件可得
E

XZ

E

X

E

Z

E

X
2

E

Y

E
2

X

E

Y

D

X

E
Y

，
1
又
D

X

1, E

Y

12p
，从而当
p
时，
C ov

X,Z

0
，即
X,Z
不相关.
2
11
（III）由上知当
p
时，
X,Z
相关，从而不 独立；当
p
时，
22
11

11

1< br>
11

1

11

P
X,Z

P

X,XY

P
< br>X,X

P

X,X

22

22

2

22

2

22
而
1



1

F



1e
2


2

 
1
1



1

111111


P

X

1e
2
，
P

Z

P

X

P

X



2e
2

，显 然
2

2

2

2

2

2

2




11

1

1

P

X,Z

P

X

P

Z

，即
X,Z
不独立.从而
X,Z
不独立.
22

2
2

23.解：（I）由

从而
A
2
 


A
e
2
x


2

2
dx1
，令

2
x
< br>
1
，
t
，则
2A

e
t
dt2A
0
2
2


.
n
n

1


x
i



2

2
A

2

i1


e,x
i


,i1,2,
L
,n
2

（II）构造似然函数
L

x
1
,x
2
,
L
,x
n
,







，当


,其他

0
x
i


,i1,2,L,n
n1
时，取对数得
lnLnl nAln

2

2
22



x
i



i1
n
2
，求导并令其为< br>dlnLn1

零，可得
d

2
2
< br>2
2

4
1
n
2
x

.


i
n
i1


x
< br>
i
i1
n
2
0
，解得

2< br>的最大似然估计量为