2015北京中考数学-英语三级查询

2019年上海市高考数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共有12题， 满分54分， 第1~6题每题4分， 第7~12
题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1．（4分）（2019•上海）行列式的值为 18 ．

【考点】OM：二阶行列式的定义．

【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5R ：矩阵和变换．

【分析】直接利用行列式的定义， 计算求解即可．

【解答】解：行列式
故答案为：18．

【点评】本题考查行列式的定义， 运算法则的应用， 是基本知识的考查．



2．（4分）（2019•上海）双曲线
【考点】KC：双曲线的性质．

=4×5﹣2×1=18．

﹣y
2
=1的渐近线方程为 ± ．

【专题】11 ：计算题．

【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴， 再确定双曲线的实轴长和虚轴长， 最
后确定双曲线的渐近线方程．

【解答】解：∵双曲线
而双曲线
∴双曲线
故答案为：y=±
的a=2， b=1， 焦点在x轴上

的渐近线方程为y=±
的渐近线方程为y=±



【点评】本题考察了双曲线的标准方程， 双曲线的几何意义， 特别是双曲线的
.. ..

渐近线方程， 解题时要注意先定位， 再定量的解题思想



3．（4分）（2019•上海）在（1+x）
7
的二项展开式中， x
2
项的系数为 21 （结
果用数值表示）．

【考点】DA：二项式定理．

【专题】38 ：对应思想；4O：定义法；5P ：二项式定理．

【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x
2
的系数．

【解答】解：二项式（1+x）
7
展开式的通项公式为

T
r+1
=•x
r
，

=21．

令r=2， 得展开式中x
2
的系数为
故答案为：21．

【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题， 是基础题．



4．（4分）（2019•上海）设常数a∈R， 函数f（x）=1og
2
（x+a）．若f（x）
的反函数的图象经过点（3， 1）， 则a= 7 ．

【考点】4R：反函数．

【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应
用．

【分析】由反函数的性质得函数f（x）=1og
2
（x+a）的图象经过点（1， 3），
由此能求出a．

【解答】解：∵常数a∈R， 函数f（x）=1og
2
（x+a）．

f（x）的反函数的图象经过点（3， 1），

∴函数f（x）=1og
2
（x+a）的图象经过点（1， 3），

.. ..

∴log
2
（1+a）=3，

解得a=7．

故答案为：7．

【点评】本题考查实数值的求法， 考查函数的性质等基础知识， 考查运算求解
能力， 考查函数与方程思想， 是基础题．



5．（4分）（2019•上海）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位）， 则
|z|= 5 ．

【考点】A8：复数的模．

【专题】38 ：对应思想；4A ：数学模型法；5N ：数系的扩充和复数．

【分析】把已知等式变形， 然后利用复数代数形式的乘除运算化简， 再由复数
求模公式计算得答案．

【解答】解：由（1+i）z=1﹣7i，

得
则|z|=
故答案为：5．

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算， 考查了复数模的求法， 是基础
题．



6．（4分）（2019•上海）记等差数列{a
n
}的前n项 和为S
n
， 若a
3
=0， a
6
+a
7
=14，
则S
7
= 14 ．

【考点】85：等差数列的前n项和．

，

．

【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比
.. ..

数列．

【分析】利用等差数列通项公式列出方程组， 求出a
1
=﹣4， d=2， 由此能求
出S
7
．

【解答】解：∵等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
， a
3
=0， a
6
+a
7
=14，

∴，

解得a
1
=﹣4， d=2，

∴S
7
=7a
1
+
故答案为：14．

【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法， 考查等差数列的性质等基础知
识， 考查运算求解能力， 考查函数与方程思想， 是基础题．



7．（5分）（2019•上海）在平面直角坐标系中， 已知点A（﹣1， 0）、B（2，
0）， E、F是y轴上的两个动点， 且||=2， 则
=﹣28+42=14．

的最小值为 ﹣3 ．

【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．

【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；41 ：向量法；5A ：平面向量及应用．

【分析】据题意可设E（0， a）， F（0， b）， 从而得出|a﹣b|=2， 即a=b+2，
或b=a+2， 并可求得， 将a=b+2带入上式即可求出
的最小值．

的最
小值， 同理将b=a+2带入， 也可求出
【解答】解：根据题意， 设E（0， a）， F（0， b）；

∴；

∴a=b+2， 或b=a+2；

且；

.. ..

∴
当a=b+2时，
；

；

；

的最小值为﹣3．

∵b
2
+2b﹣2的最小值为
∴的最小值为﹣3， 同理求出b=a+2时，
故答案为：﹣3．

【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离， 根据点的坐标求向量的坐标， 以
及向量坐标的数量积运算， 二次函数求最值的公式．



8．（5分）（2019•上海）已知α∈{﹣2， ﹣1， ﹣， 1， 2， 3}， 若
幂函数f（x）=x
α
为奇函数， 且在（0， +∞）上递减， 则α= ﹣1 ．

【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．

【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应
用．

【分析】由幂函数f（x）=x
α
为奇函数， 且在（0， +∞）上递减， 得到a是
奇数， 且a＜0， 由此能求出a的值．

【解答】解：∵α∈{﹣2， ﹣1， ， 1， 2， 3}，

幂函数f（x）=x
α
为奇函数， 且在（0， +∞）上递减，

∴a是奇数， 且a＜0，

∴a=﹣1．

故答案为：﹣1．

【点评】本题考查实数值的求法， 考查幂函数的性质等基础知识， 考查运算求
解能力， 考查函数与方程思想， 是基础题．



.. ..

9．（5分）（2019•上海）有编号互不相同的五个砝码， 其中5克、3克、1克
砝码各一个， 2克砝码两个， 从中随机选取三个， 则这三个砝码的总质量为9
克的概率是 （结果用最简分数表示）．

【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．

【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计．

【分析】求出所有事件的总数， 求出三个砝码的总质量为9克的事件总数， 然
后求解概率即可．

【解答】解：编号互不相同的五个砝码， 其中5克、3克、1克砝码各一个， 2
克砝码两个，

从中随机选取三个， 3个数中含有1个2；2个2， 没有2， 3种情况，

所有的事件总数为：=10，

这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5， 3， 1或5， 2， 2两个，

所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：
故答案为：．

【点评】本题考查古典概型的概率的求法， 是基本知识的考查．


10．（5分）（2019•上海）设等比数列{a
n
}的通项公式为a
n
=q
n﹣1
（n∈N
*
）， 前
n项和为S
n
．若=， 则q= 3 ．

=，

【考点】8J：数列的极限．

【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；35 ：转化思想；49 ：综合法；55 ：
点列、递归数列与数学归纳法．

.. ..

【分析】利用等比数列的通项公式求出首项， 通过数列的极限， 列出方程， 求
解公比即可．

【解答】解：等比数列{a
n
}的通项公式为a< br>因为
=q
n﹣1
（n∈N*）， 可得a
1
=1，

=， 所以数列的公比不是1，

， a
n+1
=q
n
．

可得
可得q=3．

故答案为：3．

====，

【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用， 等比数列求和以及等比数列
的简单性质的应用， 是基本知识的考查．



11．（5分）（2019•上海）已知常数a＞0， 函数f（x）=
P（p， ）， Q（q， ）．若2
p+q
=36pq， 则a= 6 ．

的图象经过点
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．

【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用．

【分析】直接利用函数的关系式， 利用恒等变换求出相应的a值．

【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p， ）， Q（q， ）．

则：，

.. ..

整理得：
解得：2
p+q
=a
2
pq，

由于：2
p+q
=36pq，

所以：a
2
=36，

由于a＞0，

故：a=6．

故答案为：6

=1，

【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用， 代数式的变换问题的应用．



12．（5分）（2019•上海）已知实数x
1
、x
2
、y
1
、y
2
满足：x
1
2
+y
1
2
=1， x
2
2
+y
2
2
=1，
x
1
x
2
+y
1
y
2
=， 则+的最大值为 + ．

【考点】7F：基本不等式及其应用；IT：点到直线的距离公式．

【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；59 ：不等式的解法及应用．

【分析】设A（x
1
， y
1
）， B（x
2
， y
2
）， =（x
1
， y
1
）， =（x
2
， y
2
）， 由
圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示， 可得三角形OAB为等边三角形，
AB=1， +的几何意义为点A， B两点到直线x+y﹣1=0
的距离d
1
与d
2
之和， 由两平行线的距离可得所求最大值．

【解答】解：设A（x
1
， y
1
）， B（x
2
， y
2
），

=（x
1
， y
1
）， =（x
2
， y
2
），

由x
1
2
+y
1
2
=1， x
2
2
+y
2
2
=1， x
1
x
2
+y
1
y
2
=，

可得A， B两点在圆x
2
+y
2
=1上，

.. ..

且•=1×1×cos∠AOB=，

即有∠AOB=60°，

即三角形OAB为等边三角形，

AB=1，

+的几何意义为点A， B两点

到直线x+y﹣1=0的距离d
1
与d
2
之和，

显然A， B在第三象限， AB所在直线与直线x+y=1平行，

可设AB：x+y+t=0， （t＞0），

由圆心O到直线AB的距离d=
可得2=1， 解得t=，

，

即有两平行线的距离为
即
故答案为：
+
+．

=，

+，

的最大值为
【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义， 以及圆的方程和运用， 考查
点与圆的位置关系， 运用点到直线的距离公式是解题的关键， 属于难题．



二、选择题（本大题共有4题， 满分20分， 每题5分）每题有且只有一个正
确选项.考生应在答题纸的相应位置， 将代表正确选项的小方格涂黑.

13．（5分）（2019•上海）设P是椭圆
两个焦点的距离之和为（ ）

.. ..
=1上的动点， 则P到该椭圆的

A．2 B．2 C．2 D．4

【考点】K4：椭圆的性质．

【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴， 求出a， 接利用椭圆的定义，
转化求解即可．

【解答】解：椭圆=1的焦点坐标在x轴， a=，

P是椭圆=1上的动点， 由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点
．

的距离之和为2a=2
故选：C．

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用， 椭圆的定义的应用， 是基本知识的
考查．



14．（5分）（2019•上海）已知a∈R， 则“a＞1”是“＜1”的（ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．

【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．

【分析】“a＞1”⇒“
结果．

【解答】解：a∈R， 则“a＞1”⇒“
“”⇒“a＞1或a＜0”，

”，

”， “”⇒“a＞1或a＜0”， 由此能求出
.. ..

∴“a＞1”是“
故选：A．

”的充分非必要条件．

【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断， 考查不等式的性质等基础知识，
考查运算求解能力， 考查函数与方程思想， 是基础题．



15．（5分）（2019•上海）《九章算术》中， 称底面为矩形而有一侧棱垂直于底
面的四棱锥为阳马， 设AA
1
是正六棱柱的一条侧棱， 如图， 若阳马以该正六
棱柱的顶点为顶点、以AA
1
为底面矩形的一边， 则这样的阳马的个数是（ ）


A．4 B．8 C．12 D．16

【考点】D8：排列、组合的实际应用．

【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；5O ：排列组合．

【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．

【解答】解：根据正六边形的性质， 则D
1
﹣A
1
ABB
1
， D
1
﹣A
1
AFF
1
满足题意，
而C
1
， E
1
， C， D， E， 和D
1
一样， 有2×6=12，

当A
1
ACC
1
为底面矩形， 有2个满足题意，

当A
1
AEE
1
为底面矩形， 有2个满足题意，

故有12+2+2=16

故选：D．

.. ..

【点评】本题考查了新定义， 以及排除组合的问题， 考查了棱柱的特征， 属
于中档题．



16．（5分）（2019•上海）设D是含数1的有限实数集， f（x）是定义在D上
的函数， 若f（x）的图象绕原点逆时针旋转
项中， f（1）的可能取值只能是（ ）

A． B． C． D．0

后与原图象重合， 则在以下各
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．

【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用；56 ：三角函数的求值．

【分析】直接利用定义函数的应用求出结果．

【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组， 每次绕原点逆时
针旋转个单位后与下一个点会重合．

， ， 0时， 此时得到的圆心我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=
角为， ， 0， 然而此时x=0或者x=1时， 都有2个y与之对应， 而我
， 此时们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y， 因此只有当x=
旋转， 此时满足一个x只会对应一个y， 因此答案就选：B．

故选：B．

【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用．



.. ..

三、解答题（本大题共有5题， 满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相
应位置写出必要的步骤.

17．（14分）（2019•上海）已知圆锥的顶点为P， 底面圆心为O， 半径为2．

（1）设圆锥的母线长为4， 求圆锥的体积；

（2）设PO=4， OA、OB是底面半径， 且∠AOB=90°， M为线段AB的中
点， 如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．


【考点】LM：异面直线及其所成 的角；L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LF：
棱柱、棱锥、棱台的体积．

【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；41 ：向量法；5F ：空间位置关系与
距离；5G ：空间角．

【分析】（1）由圆锥的顶点为P， 底面圆心为O， 半径为2， 圆锥的母线长
为4能求出圆锥的体积．

（2）以O为原点， OA为x轴， OB为y轴， OP为z轴， 建立空间直角
坐标系， 利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角．

【解答】解：（1）∵圆锥的顶点为P， 底面圆心为O， 半径为2， 圆锥的母
线长为4，

∴圆锥的体积V=
=．

=

.. ..

（2）∵PO=4， OA， OB是底面半径， 且∠AOB=90°，

M为线段AB的中点，

∴以O为原点， OA为x轴， OB为y轴， OP为z轴，

建立空间直角坐标系，

P（0， 0， 4）， A（2， 0， 0）， B（0， 2， 0），

M（1， 1， 0）， O（0， 0， 0），

=（1， 1， ﹣4）， =（0， 2， 0），

设异面直线PM与OB所成的角为θ，

则cosθ=
∴θ=arccos．

．

==．

∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos

【点评】本题考查圆锥的体积的求法， 考查异面直线所成角的正切值的求法， 考
查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识， 考查运算求解能力， 考
查函数与方程思想， 是基础题．



18．（14分）（2019•上海）设常数a∈R， 函数f（x）=asin2x+2cos
2
x．

.. ..

（1）若f（x）为偶函数， 求a的值；

（2）若f（）=+1， 求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π， π]上的解．

【考点】GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数．

【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；58 ：解三角形．

【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，

（2）先求出a的值， 再根据三角形函数的性质即可求出．

【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos
2
x，

∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos
2
x，

∵f（x）为偶函数，

∴f（﹣x）=f（x），

∴﹣asin2x+2cos
2
x=asin2x+2cos
2
x，

∴2asin2x=0，

∴a=0；

（2）∵f（
∴asin
∴a=
）=+1，

）=a+1=+1，

+2cos
2
（
，

∴f（x）=sin2x+2cos
2
x=
，

）+1=1﹣
）=﹣，

sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，

∵f（x）=1﹣∴2sin（2x+
∴sin（2x+
∴2x+
∴x=﹣
=﹣
，

+2kπ， 或2x+=π+2kπ， k∈Z，

π+kπ， 或x=π+kπ， k∈Z，

.. ..

∵x∈[﹣π， π]，

∴x=或x=或x=﹣或x=﹣

【点评】本题考查了三角函数的化简和求值， 以及三角函数的性质， 属于基础
题．



19．（14分）（2019•上海）某群体的人均通勤时间， 是指单日内该群体中成员
从居 住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通
勤．分析显示：当S中x%（0 ＜x＜100）的成员自驾时， 自驾群体的人均通勤
时间为

f（x）=（单位：分钟），

而公交群体的人均通勤时间不受x影响， 恒为40分钟， 试根据上述分析结果
回答下列问题：

（1）当x在什么范围内时， 公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤
时间？

（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，
并说明其实际意义．

【考点】5B：分段函数的应用．

【专题】12 ：应用题；33 ：函数思想；4C ：分类法；51 ：函数的性质及应
用．

【分析】（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；

（2）分段求出g（x）的解析式， 判断g（x）的单调性， 再说明其实际意义．

【解答】解；（1）由题意知， 当30＜x＜100时，

.. ..

f（x）=2x+﹣90＞40，

即x
2
﹣65x+900＞0，

解得x＜20或x＞45，

∴x∈（45， 100）时， 公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时
间；

（2）当0＜x≤30时，

g（x）=30•x%+40（1﹣x%）=40﹣
当30＜x＜100时，

g（x）=（2x+﹣90）•x%+40（1﹣x%）=﹣x+58；

；

∴g（x）=；

当0＜x＜32.5时， g（x）单调递减；

当32.5＜x＜100时， g（x）单调递增；

说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时， 人均通勤时间是递减的；

有大于32.5%的人自驾时， 人均通勤时间是递增的；

当自驾人数为32.5%时， 人均通勤时间最少．

【点评】本题考查了分段函数的应用问题， 也考查了分类讨论与分析问题、解
决问题的能力．



20．（16分）（2019•上海）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中， 已知点F
（2， 0）， 直线l：x=t， 曲线Γ：y
2
=8x（0≤x≤t， y≥0）．l与x轴交于点A、
与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．

.. ..

（1）用t表示点B到点F的距离；

（2）设t=3， |FQ|=2， 线段OQ的中点在直线FP上， 求△AQP的面积；

（3）设t=8， 是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ， 使得点E在Γ上？若
存在， 求点P的坐标；若不存在， 说明理由．

【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．

【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】（1）方法一：设B点坐标， 根据两点之间的距离公式， 即可求得|BF|；

方法二：根据抛物线的定义， 即可求得|BF|；

（2）根据抛物线的性质， 求得Q点坐标， 即可求得OD的中点坐标， 即可
求得直线PF的方程， 代入抛物线方程， 即可求得P点坐标， 即可求得△AQP
的面积；

（3）设P及E点坐标， 根据直线k
PF
•k
FQ
=﹣1， 求得直线QF的方程， 求得
Q点坐标， 根据
可求得P点坐标．

【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t， 2
则|BF|=
∴|BF|=t+2；

方法二：由题意可知：设B（t， 2t），

=t+2，

t），

+=， 求得E点坐标， 则（）
2
=8（+6）， 即
由抛物线的性质可知：|BF|=t+=t+2， ∴|BF|=t+2；

（2）F（2， 0）， |FQ|=2， t=3， 则|FA|=1，

∴|AQ|=， ∴Q（3， ）， 设OQ的中点D，

.. ..

D（， ），

k
QF
==﹣， 则直线PF方程：y=﹣（x﹣2），

联立， 整理得：3x
2
﹣20x+12=0，

解得：x=， x=6（舍去），

∴△AQP的面积S=×
（3）存在， 设P（
×=；

， m）， 则k
PF
==， k
FQ
=，

， y）， E（
直线QF方程为y=（x﹣2）， ∴y
Q
=（8﹣2）=， Q（8，
），

根据+=， 则E（+6， ），

∴（）
2
=8（+6）， 解得：y
2
=，

）．

∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ， 使得点E在Γ上， 且P（，
.. ..

【点评】本题考查抛物线的性质， 直线与抛物线的位置关系， 考查转化思想，
计算能力， 属于中档题．



21．（18分）（2019•上海）给定无穷数列{a
n
}， 若无穷数列{b
n
}满足：对任意n
∈N
*
， 都有|b
n
﹣a
n
|≤1， 则称{b
n
}与{a
n
}“接近”．

（1）设{a
n
}是首项为1， 公比为的等比数列， b
n
=a
n+1
+1， n∈N
*
， 判断数
列{b
n
}是否与{a
n
}接近， 并说明理由；

（2）设数列{a
n
}的前四项为：a
1
=1， a
2
=2， a
3
=4， a
4
=8， {b
n
}是一个与{a
n
}
接近的数列， 记集合M={x|x=b
i
， i=1， 2， 3， 4}， 求M中元素的个数m；

（3）已知{a
n
}是公差为d的等差数列， 若存在数列{b
n
}满足：{b
n
}与{a
n
}接近，
且在b
2
﹣b
1
， b
3
﹣b
2
， …， b
201
﹣b
200
中至少有100个为正数， 求d的取值
范围．

【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．

【专题】34 ：方程思想；48 ：分析法；54 ：等差数列与等比数列．

【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”， 即可判断；

.. ..

（2）由新定义可得a
n
﹣1≤b
n
≤an
+1， 求得b
i
， i=1， 2， 3， 4的范围， 即
可得到所求个数；

（3）运用等差数列的通项公式可得a
n
， 讨论公差d＞0， d=0， ﹣2＜d＜0，
d≤﹣2， 结合新定义“接近”， 推理和运算， 即可得到所求范围．

【解答】解：（1）数列{b
n
}与{a
n
}接近．

理由：{a
n
}是首项为1， 公比为的等比数列，

可得a
n
=， b
n
=a
n+1
+1=
+1﹣
+1，

＜1， n∈N
*
，

则|b
n
﹣a
n
|=||=1﹣
可得数列{b
n
}与{a
n
}接近；

（2）{b
n
}是一个与{a
n
}接近的数列，

可得a
n
﹣1≤b
n
≤a
n
+1，

数列{a
n
}的前四项为：a
1
=1， a
2
=2， a
3
=4， a
4
=8，

可得b
1
∈[0， 2]， b
2
∈[1， 3]， b
3
∈[3， 5]， b
4
∈[7， 9]，

可能b
1
与b
2
相等， b
2
与b
3
相等， 但b
1
与b
3
不相等， b
4
与b
3
不相等，

集合M={x|x=b
i
， i=1， 2， 3， 4}，

M中元素的个数m=3或4；

（3）{a
n
}是公差为d的等差数列， 若存在数列{b
n
}满足：{b
n
}与{a
n
}接近，

可得a
n
=a
1
+（n﹣1）d，

①若d＞0， 取b
n
=a
n
， 可得b
n+1
﹣ b
n
=a
n+1
﹣a
n
=d＞0，

则b
2
﹣b
1
， b
3
﹣b
2
， …， b
201
﹣b
200
中有200个正数， 符合题意；

②若d=0， 取b
n
=a
1
﹣， 则|b
n
﹣a
n
|=|a
1
﹣﹣a
1
|=＜1， n∈N
*
，

可得b
n+1
﹣b
n
=﹣＞0，

.. ..

则b
2
﹣b
1
， b
3
﹣b
2
， …， b
201
﹣b
200
中有200个正数， 符合题意；

③若﹣2＜d＜0， 可令b
2n﹣1
=a
2n﹣1
﹣1， b
2n
=a
2n
+1，

则b
2n
﹣b
2n﹣1
=a
2n
+1﹣（a
2n﹣1
﹣1）=2+d＞0 ，

则b
2
﹣b
1
， b
3
﹣b
2
， …， b
201
﹣b
200
中恰有100个正数， 符合题意；

④若d≤﹣2， 若存在数列{b
n
}满足：{b
n
}与{a
n
}接近，

即为a
n
﹣1≤b
n
≤a
n
+1， a
n+1
﹣1≤b
n+1
≤a
n+1
+1，
< br>可得b
n+1
﹣b
n
≤a
n+1
+1﹣（a
n
﹣1）=2+d≤0，

b
2
﹣b
1
， b
3
﹣b
2
， …， b
201
﹣b
200
中无正数， 不符合题意．

综上可得， d的范围是（﹣2， +∞）．

【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用， 考查等差数列和等比数列的
定义和通项公式的运用， 考查分类讨论思想方法， 以及运算能力和推理能力，
属于难题．






















.. ..

感恩和爱是亲姐妹。有感恩的地方就有爱， 有爱的地方就有感恩。一方在哪里，
另一方迟早会出现。你做一切都是为自己做， 为存在而感恩。


.. ..

“人要经历一个不幸的抑郁症的或自我崩溃阶段。在本质上， 这是一个昏暗的收缩点。每
一个文化创造者都要经历这个转折点， 他要通过这一个关卡， 才能到达安全的境地， 从
而相信自己， 确信一个更内在、更高贵的生活。”

——黑格尔

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.. ..