百年好-办公室制度

一 填空
(1)
lim

2006年全国硕士研究生入学考试数学（三）
< br>
1

n

n1


n< br>
n

_________

2
某领域内可导,且
f


x

e
的
f

x

)x
(2)设函数
f(x在
,f

2

1
,则
f


2

____ _____

(3)设函数
f(u)
可微,且
f


0


1
,则
Zf

4x
2
y
2

在点(1,2)处的全微分
2
dz
1,

2
_________

(4)设矩阵
A< br>

21


,E为2阶单位矩阵,矩阵E满足BA=B+2 E,则
B_________


12

(5)设随机 变量X与Y相互独立,且均服从区间

0,3

上的均匀分布,则
P

max

X,Y

1

_____ ____

(6)设总体X的概率密度为
f

x


22
1
x
e

x

,x
1
,x
2
,......x
n
为总体的简单随
2< br>机样本,其样本方差
S
,则E
S
=__________
二 选择题
(7) 设函数
yf

x

具有二阶导数,且< br>f


x

0,f


x
0,x
为自变量x在点
x
0
处
的增量,
y与dy
分别为
f

x

在点
x
0处对应的增量与微分,若
x0
,则 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
0dyv

0ydy

ydy0

dyy0

(8) 设函数
f

x

在x=0处连续,且
li m
n0
f

n
2

n
2
1< br>,则
(A)
(B)
f

0

0且f
'

0

存在
f

0

1且f

'

0

存在
1 5 < /p>

(C)
(D)
f

0

0且f
'

0

存在
f

0

1且f

'

0

存在
(9) 若级数

a
n1
n

n
收敛,则级数 ( )
(A)

a
n1


收敛
(B)


1

n1

n
a
n收敛
(C)

aa
n1

nn1
收敛
(D)
a
n
a
n1
收敛

2
n1
(10) 设非齐次线性微分方程
y

P

x

yQ

x

有两个的解y
1

x

,y
2

x
< br>,C
为任意常数,
则该方程通解是:
(A)
C


y
1

x

y
2

x



收敛
(B)
y
1

x

C


y
1

x

y
2

x



收敛
(C)
C


y
1

x

y
2

x



收敛
(D)
y
1

x

C


y
1

x

y
2

x



收敛
(11) 设
f

x,y

与


x,y
< br>均为可微函数,且


y

x,y

0< br>,已知

x
0
,y
0

是
f

x,y

在
约束条件


x,y
< br>0
下的一个极值点,下列选项正确的是 ( )
(A) 若
fx


x
0
,y
0

0,则fy


x
0
,y
0

0

(B) 若
f
x


x
0
,y
0

0,则f
y


x
0
,y
0

0

(C) 若
f
x


x
0
,y
0

0,则f
y


x
0
,y
0

0

(D) 若
f
x


x
0
,y
0

0,则f
y


x
0
,y
0

0

(12) 设

1
,
2
,......
5,均为n维列向量,A是
mn
矩阵,下列正确的是 ( )
2 5

(A) 若

1
,
2
,......< br>5
线性相关,则
A

1
,A

2
. .....A

5
线性相关
(B) 若

1
,
2
,......
5
相关,则
A

1
, A

2
......A

5
无关
(C) 若
1
,
2
,......
5
无关,则
A< br>
1
,A

2
......A

5
相关
(D) 若

1
,
2
,......
5
无关,则
A

1
,A

2
......A

5
无关
(13) 设A为3阶矩阵,将A的第2行加到第1行得B,再将 B得第一列得-1倍加到第2

110


列得C,记
P 010
,则


001


(A)
(B)
(C)
(D)
CP
1
AP

CPAP
1

CP
T
AP

CPAP
T

(14) 设随机变量X服从正态分布
N


,


,随机变量Y服从正态分布
N


,


,
1
2
1
2
22
且
PX

1
1PY

2
1
, 则必有( )
(A)
(B)
(C)
(D)


1


2


1


2


1


2


1


2

三 解答题
(15) 设
f

x,y


y
y
,x0,y0
,求
1xyarctanx
1ysin

x
(Ⅰ)
g

x

limf

x,y


y
g

x

(Ⅱ)
lim

x0
(16) 计算二重积分

D
y
2
xydxdy
,其中D是由直线
yx,y1,x0
,所围 成的平面
3 5

区域.
(17) 证明:当
0ab 

时,bsinb2cosb

basina2cosa

a
.
(18) 在XOY坐标平面上,连续曲线L过点
M
< br>1,0

,
其上任意点
P

x,y
x0

处的切
线低斜率与直线OP的斜率之差等于
ax(常数a>0)

(Ⅰ) 求L的方程:
(Ⅱ) 当L与直线y=ax所围成平面图形的面积为

n1
8
时,确定a的值.
3
1

x
2n1

(19) 求幂级数

的收敛域及和函数
s(x)
.
n1
n

2n1

(20)
T
设4
T
维
T
向量
T
组

1


1a,1,1,1

,
2


2,2a, 2,2

,
3


3,3,3a,3

,
4


4,4,4,4a

问a为
何值时

1
,
2
,
3
,
4
线性相 关?当

1
,
2
,
3
,
4
线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其
余向量用该极大线性无关组线性表出.
(21) 设3 阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量

1

1,2,1

,

2


0, 1,1


是线性方程组Ax=0的两个解.
(Ⅰ) 求A的特征值与特征向量
(Ⅱ) 求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得
QAQA
。
(Ⅲ)求A及
(A
T
TT
3
6
E)
,其 中E为3阶单位矩阵.
2

1

2
,1x0


1
2
(22) 设随机变量X的概率密度为
f
x
x



,0x2,
令YX,F
< br>X,Y

为二维

4

0,其它


随机变量

X,Y

的分布函数,求:
(Ⅰ) Y的概率密度
f
Y

y


(Ⅱ)
cov

X,Y


(Ⅲ)
F



1

,4



2

4 5



,0x1

(23) 设总体X的概率密度 为
f

x,




1
,1x2
,其中

是未知参数

0,其它


0

1

,X
1
,X
2
,......X
n
为来自总体的随机样本,记
的个数,求:
(Ⅰ)

的矩估计。
(Ⅱ)

的最大似然估计.


N为样本值
X
1
,X
2
,......X
n
中小于1
5 5