过生日作文-教学工作小结

2017年吉林省中考数学试卷

一、单项选择题（每小题2分，共12分）

1．计算（﹣1）
2
的正确结果是（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【答案】A.
【解析】

考点：有理数的乘方．
2．如图是一个正六棱柱的茶叶盒，其俯视图为（ ）

A．
【答案】B.
【解析】
B． C． D．
试题解析：正六棱柱的俯视图为正六边形．
故选B．
考点：简单几何体的三视图．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a
2
+a
3
=a
5
B．a
2
•a
3
=a
6
C．（a
2
）
3
=a
6
D．（ab）
2
=ab
2

【答案】C.
【解析】
试题解析：A.a
2
与a
3
不是同类项，故A错误；
B.原式=a
5
，故B错误；
D.原式=a
2
b
2
，故D错误；
故选C.

考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．
4．不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
【答案】A.
【解析】
B．C. D．

考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
5．如图，在△ABC中，以点B为 圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD．若
∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的 度数是（ ）

A．70° B．44° C．34° D．24°
【答案】C.
【解析】
试题解析：∵AB=BD，∠B=40°，
∴∠ADB=70°，
∵∠C=36°，
∴∠DAC=∠ADB﹣∠C=34°．
故选C.
考点：三角形内角和定理．
6．如图，直线l是⊙O的切线，A为切点 ，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C．若
AB=12，OA=5，则BC的长为（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D．
【解析】

考点：切线的性质．
二、填空题（每小题3分，共24分）

7．2016年我国资助各类家庭困难学生超过84 000 000人次．将84 000 000这个数用科学记
数法表示为 ．
【答案】8.4×10
7

【解析】
试题解析：84 000 000=8.4×10
7

考点：科学记数法—表示较大的数．
8．苹果原价是每千克x元，按8折优惠出售，该苹果现价是每千克 元（用含x的代
数式表示）．
【答案】0.8x．
【解析】
试题解析：依题意得：该苹果现价是每千克80%x=0.8x．
考点：列代数式．
9．分解因式：a
2
+4a+4= ．
【答案】（a+2）
2
．
【解析】
试题解析：a
2
+4a+4=（a+2）
2
．
考点：因式分解﹣运用公式法．
10．我们学过用直尺和三角尺画平行线的方法，如图所示，直线a∥b的根据是 ．

【答案】同位角相等，两直线平行．
【解析】

∵∠1=∠2，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）；
考点：平行线的判定．
11．如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3．矩形ABCD 绕着点A逆时针旋转一定角度得
到矩形AB'C'D'．若点B的对应点B'落在边CD上，则B'C的 长为 ．

【答案】1.
【解析】
试题解析：由旋转的性质得到AB=AB′=5，
在直角△AB′D中，∠D=90°，AD=3，AB′=AB=5，
所以B′D=
AB

2

AD
2

所以B′C=5﹣B′D=1 ．
故答案是：1．
5
2
4
2
=4，

考点：旋转的性质；矩形的性质．
12．如 图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2m的竹竿CD作为测量
工具．移动竹竿，使 竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合，测得OD=4m，
BD=14m，则旗杆AB的高为 m．

【答案】9.
【解析】

即旗杆AB的高为9m．
考点：相似三角形的应用．
13．如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以 AB长为半径画
BE
，
CE
．若
AB=1，则阴影部分图形的周长为 （结果保留π）．

【答案】
6
π+1．
5
【解析】
试题解析：∵五边形ABCDE为正五边形，AB=1，
∴AB=BC=CD=DE=EA=1，∠A=∠D=108°，
∴
BE
=
CE
=
1083



AB


，
1805
6
π+1．
5
∴C
阴影
=
BE
+
CE
+BC=
考点：正多边形和圆．
14．我 们规定：当k，b为常数，k≠0，b≠0，k≠b时，一次函数y=kx+b与y=bx+k互为交
换 函数．例如：y=4x+3的交换函数为y=3x+4．一次函数y=kx+2与它的交换函数图象的交
点横坐标为 ．
【答案】1.
【解析】

考点：两条直线相交或平行问题．
三、解答题（每小题5分，共20分）

15．某学生化简分式
12

2
出现了错误，解答过程如下：
x
1
x
1
原式=
12

（第一步）
（
x
1)(
x
1)(
x
1)(
x< br>1)
=
1+2
（第二步）
（
x
1)(
x
1)

=
3
．（第三步）
x
2
1
（1）该学生解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ；
（2）请写出此题正确的解答过程．
【答案】（1）一、分式的基本性质用错；（2）过程见解析.
【解析】
试题分析：根据分式的运算法则即可求出答案．
试题解析：（1）一、分式的基本性质用错；
（2）原式=
x
12


（
x
1)(
x
1)(
x
1)(
x
1)
=
x+1

（
x
1)(
x
1)
=
1
．
x
1
考点：分式的加减法．
16．被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际 铁路途经许多隧道和桥梁，其中隧道累计长度与桥
梁累计长度之和为342km，隧道累计长度的2倍比 桥梁累计长度多36km．求隧道累计长度
与桥梁累计长度．
【答案】隧道累计长度为126km，桥梁累计长度为216km．
【解析】
< br>解得：


x
126

y
216
．
答：隧道累计长度为126km，桥梁累计长度为216km．
考点：二元一次方程组的应用．
17．在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1 ，2，3，这些卡片除数字不同外

其余均相同．小吉从盒子中随机 抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡
片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡 片上数字之和为奇数的概率．
【答案】
4
．
9
【解析】
试题分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次抽取的卡
片上数字之 和是奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案即可．
试题解析：画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片上数字之和是奇数的有4种情况，
∴两次两次抽取的卡片上数字之和是奇数的概率为
考点：列表法与树状图法．
18．如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．
4
．
9

【答案】证明见解析.
【解析】

考点：全等三角形的判定与性质．
四、解答题（每小题7分，共28分）

19．某商场甲、乙、丙三名业务员5个月的销售额（单位：万元）如下表：
月份销售额人员
甲
乙
丙
第1月
7.2
5.8
4
第2月
9.6
9.7
6.2
第3月
9.6
9.8
8.5
第4月
7.8
5.8
9.9
第5月
9.3
9.9
9.9
（1）根据上表中的数据，将下表补充完整：
统计值
数值
人员
甲
乙
丙

8.2
7.7
9.3

8.5
9.6
5.8

平均数（万元） 中位数（万元） 众数（万元）
（2）甲、乙、丙三名业务员都说自己的销售业绩好，你赞同谁的说法？请说明理由．
【答案】（1）8.7，9.7，9.9；（2）甲，理由见解析.
【解析】

（2）我赞同甲的说法．甲的平均销售额比乙、丙都高．
考点：众数；加权平均数；中位数．
20．图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶
点 称为格点．线段AB的端点在格点上．

（1）在图①、图2中，以AB为边各画一个等腰三 角形，且第三个顶点在格点上；（所画图
形不全等）
（2）在图③中，以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析.
【解析】

（2）如图③所示，▱ABCD即为所求．
考点：等腰三角形的判定；等边三角形的性质；平行四边形的判定．
21．如图，一枚运载火 箭从距雷达站C处5km的地面O处发射，当火箭到达点A，B时，
在雷达站C处测得点A，B的仰角分 别为34°，45°，其中点O，A，B在同一条直线上．求
A，B两点间的距离（结果精确到0.1k m）．参考数据：sin34°=0.56，cos34°=0.83，tan34°=0.67．）

【答案】求A，B两点间的距离约为1.7km．
【解析】

∴OA=OC•tan34°=5×0.67=3.35km，
在Rt△BOC中，∠BCO=45°，
∴OB=OC=5km，
∴AB=5﹣3.35=1.65≈1.7km，

答：求A，B两点间的距离约为1.7km．
考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与函数y=
k
（x＞0）的图象交于点A （m，2），
x
1
OC，
2
B（2，n）．过点A作AC平行于x轴 交y轴于点C，在y轴负半轴上取一点D，使OD=
且△ACD的面积是6，连接BC．
（1）求m，k，n的值；
（2）求△ABC的面积．

【答案】（1）4；8；4；（2）4.3
【解析】

∴OC=2，AC⊥y轴，
∵OD=OC，
∴OD=1，
∴CD=3，
∵△ACD的面积为6，
∴
1
CD•AC=6，
2
∴AC=4，即m=4，

则点A的坐标为（4，2），将其代入y=
k
可得k=8，
x
∵点B（2，n）在y=
∴n=4；
8
x
的图象上，
（2）如图，过点B作BE⊥AC于点E，则BE=2，

∴S
△
ABC
=
11
AC•BE=
×4×2=4，
22
即△ABC的面积为4．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
五、解答题（每小题8分，共16分）

23．如图①，BD是矩形ABCD的对角线 ，∠ABD=30°，AD=1．将△BCD沿射线BD方向
平移到△B'C'D'的位置，使B'为B D中点，连接AB'，C'D，AD'，BC'，如图②．
（1）求证：四边形AB'C'D是菱形；
（2）四边形ABC'D′的周长为 ；
（3）将四边形ABC'D'沿它的两条对 角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩
形，直接写出所有可能拼成的矩形周长．

【答案】（1）证明见解析；（2）4
3
；（3）6+
3
或2
3
+3．
【解析】

∴∠ADB=60°，
由平移可得，B'C'=BC=AD，∠D'B'C'=∠DBC=∠ADB=60°，
∴AD∥B'C'
∴四边形AB'C'D是平行四边形，
∵B'为BD中点，
∴Rt△ABD中，AB'=
又∵∠ADB=60°，
∴△ADB'是等边三角形，
∴AD=AB'，
∴四边形AB'C'D是菱形；
（2）由平移可得，AB=C'D'，∠ABD'=∠C'D'B=30°，
∴AB∥C'D'，
∴四边形ABC'D'是平行四边形，
由（1）可得，AC'⊥B'D，
∴四边形ABC'D'是菱形，
∵AB=
3
AD=
3
，
∴四边形ABC'D′的周长为4
3
，
1
BD=DB'，
2

∴矩形周长为6+
3
或2
3
+3．
考点：菱形的判定与性质；矩形的性质；图形的剪拼；平移的性质．
24．如图①，一个正方 体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，28s时
注满水槽．水槽内水面的高度y（ cm）与注水时间x（s）之间的函数图象如图②所示．
（1）正方体的棱长为 cm；
（2）求线段AB对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）如果将正方体铁块取出，又经过t（s）恰好将此水槽注满，直接写出t的值．

【答案】（1）10；（2）y=
【解析】
55
x+（12≤x≤28）；（3）4秒
82

（2）设线段AB对应的函数解析式为：y=kx+b，
∵图象过A（12，0），B（28，20），
∴


12
k

b
0

28
k

b
2 0
，

5
k



8
解得：< br>
，

b

5

2
∴线段AB 对应的解析式为：y=
（3）∵28﹣12=16（cm），
∴没有立方体时，水面上升10cm，所用时间为：16秒，
∵前12秒由立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒，
∴将正方体铁块取出，经过4秒恰好将此水槽注满．
考点：一次函数的应用．
55
x+（12≤x≤28）；
82
六、解答题（每小题10分，共20分）

25．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=45°，AB=4cm．点P从点A出发，以2cms
的速度沿边AB向 终点B运动．过点P作PQ⊥AB交折线ACB于点Q，D为PQ中点，以
DQ为边向右侧作正方形DE FQ．设正方形DEFQ与△ABC重叠部分图形的面积是y（cm
2
），
点P的运动 时间为x（s）．

（1）当点Q在边AC上时，正方形DEFQ的边长为 cm（用含x的代数式表示）；
（2）当点P不与点B重合时，求点F落在边BC上时x的值；
（3）当0＜x＜2时，求y关于x的函数解析式；
（4）直接写出边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围．
【答案】（1）x；（2）x=
43
；（3）见解析；（4）1＜x＜．
52

【解析】

（3）如图②，当0 ＜x≤
44
时，根据正方形的面积公式得到y=x
2
；如图③，当＜x≤1时 ，
55
1
AB=2，根据正方形和三角形面积公式得到
2
过C作CH ⊥AB于H，交FQ于K，则CH=
y=﹣
23
2
x+20x﹣8；如图④， 当1＜x＜2时，PQ=4﹣2x，根据三角形的面积公式得到结论；
2
（4）当Q与C重合 时，E为BC的中点，得到x=1，当Q为BC的中点时，BQ=
2
，得
到x=
3
，于是得到结论．
2
试题解析：（1）∵∠ACB=90°，∠A=45°，PQ⊥AB，
∴∠AQP=45°，
∴PQ=AP=2x，
∵D为PQ中点，
∴DQ=x，

∵D为PQ中点，
∴DQ=x，
∴GP=2x，
∴2x+x+2x=4，
∴x=
4
；
5

（3）如图②，当0＜x≤
4
时，y =S
正方形
DEFQ
=DQ
2
=x
2
，
5

∴y=x
2
；
如图③，当
41
＜x ≤1时，过C作CH⊥AB于H，交FQ于K，则CH=AB=2，
52

∵PQ=AP=2x，CK=2﹣2x，
∴MQ=2CK=4﹣4x，FM=x﹣（4﹣4x）=5x﹣4，
∴y=S
正方形
DEFQ
﹣S
△
MNF
=DQ
2
﹣
12
FM，
2
∴y=x
2
﹣
123
2
（5x﹣4）
2
=﹣x+20x﹣8，
22
∴y=﹣
23
2
x+20x﹣8；
2

∴DQ=2﹣x，
∴y=S
△
DEQ
=
1
2
DQ，
2

∴y=
1
（2﹣x）
2
，
2
1
2
x﹣2x+2；
2
∴y=
（4）当Q与C重合时，E为BC的中点，
即2x=2，
∴x=1，
当Q为BC的中点时，BQ=
2
，
PB=1，
∴AP=3，
∴2x=3，
∴x=
3
，
2
3
．
2
∴边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围 为：1＜x＜
考点：四边形综合题．
26．《函数的图象与性质》拓展学习片段展示： 【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）
2
﹣经过原点O，与x轴 的另
一个交点为A，则a= ．
【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折 叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物
线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G 对应的函数解析式．
【探究】在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左 至右依次为
点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x
的取值范围．
【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出 △PDE的面积
不小于1时m的取值范围．


14
2
（
x
2)(
x
0或
x4)

1

33
【答案】【问题】：a=；【操作】：y=< br>
；【探究】：当1
3


1
（
x
2)
2

4
(0
x
4)

33< br>＜x＜2或x＞2+
7
时，函数y随x增大而增大；【应用】：m=0或m=4或m≤2 ﹣
≥2+．
或m
【解析】
试题分析：【问题】：把（0，0）代入可求得a的值；
【操作】：先写出沿x轴折叠后所得抛物线的解析式，根据图象可得对应取值的解析式；
【探 究】：令y=0，分别代入两个抛物线的解析式，分别求出四个点CDEF的坐标，根据图
象呈上升趋势 的部分，即y随x增大而增大，写出x的取值；
【应用】：先求DE的长，根据三角形面积求高的取值h≥1；
分三部分进行讨论：
①当P在C的左侧或F的右侧部分时，设P[m，
（
m
2)
解出即可；
②如图③，作对称轴由最大面积小于1可知：点P不可能在DE的上方；
③P与O或A重合时，符合条件，m=0或m=4．
试题解析：【问题】
∵抛物线 y=a（x﹣2）
2
﹣
1
3
2
4
]，根据h≥1， 列不等式
3
4
经过原点O，
3
∴0=a（0﹣2）
2
﹣
4
，
3
a=
1
；
3

【操作】：如图①，抛物线：y=
14
（x﹣2）
2
﹣，
33
对称轴是：直线x=2，由对称性得：A（4，0），
沿x轴折叠后所得抛物线为：y=﹣
14
（x﹣2）
2
+
33

14
2
（
x
2)(
x
0或< br>x
4)


33
如图②，图象G对应的函数解析式为：y=

；


1
（
x
2)
2
4
(0
x
4)

33

解得：x
1
=3，x
2
=1，
∴D（1，1），E（3，1），
由图象得：图象G在直线l上方的部分，当1＜x＜2或x ＞2+
7
时，函数y随x增大而增
大；
【应用】：∵D（1，1），E（3，1），
∴DE=3﹣1=2，
∵S
△
PDE
=
DE•h≥1，
∴h≥1；
1
2

②如图③，作对称轴交抛物线G于H，交直线CD于M，交x轴于N，

∵H（2，
4
），
3
∴HM=
41
﹣1=＜1，
33
∴当点P不可能在DE的上方；
③∵MN=1，
且O（0，0），a（4，0），
∴P与O或A重合时，符合条件，
∴m=0或m=4；
综上所述，△PDE的面积不小于1时，m的取值范围是：m=0或m= 4或m≤2﹣
10
或m
≥2+
10
．
考点：二次函数综合题．