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北京市高考文科数学试卷逐题解析
数 学（文）（北京卷）
本试卷共5页 ，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷
上作答无效。考试结束后，将 本试卷的答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）
一、选择题
1. 已知全集
UR
，集合
A{x|x2
或
x2 }
，则
C
U
A



A.


2,2


C.


2,2


B.


,2

U

2,


D.


,2

U

2,


【答案】
C

【解析】
QA

x|x2或
x2

=

,2

U
2,

，
C
U
A

2,2

，故选
C
.

2.

若复数

1i

ai

在复平面内对应的点在第二象限，则实数
a< br>的
取值范围是


A.


,1


C.


1,+


B.


,1


D.


1,+


【答案】
B

【解析】
Q(1i)(ai)a1(1a)i
在第二象限.

a10


得
a1
.故选
B
.< br>
1a0


1

3.

执行如图所示的程序框图，输出的
s
值为




A.

2

3
B.


2
5
C.


3
8
D.

5
【答案】
C

2
【解析】
k0,S1
.
k3
成立，
k1
，
S=2
.
1
3
+1
5
2
=
2+13
S
=
.
k3
成立，
k3
，
k3
成立，
k2
，S
3
3
.
22
2
5
S
k3
不成立，输出
.故选
C
.
3


x3

4.若
x,y
满足

xy2
，则
x 2y
的最大值为

yx



A.

1

C.

5

B.

3

D.

9

【答案】
D

1z
yx
【解析】设
zx 2y
，则，当该直线过

3,3

时，
z
最22
大.

当
x3,y3
时，
z
取得最 大值
9
，故选
D
.
2

1
x
5.已知函数
f(x)3()
，则
f(x)

3
x
A. 是偶函数，且在
R
上是增函数
B. 是奇函数，且在
R
上是增函数
C. 是偶函数，且在
R
上是减函数
D. 是奇函数，且在
R
上是减函数
【答案】
B

1
x
1
xxx
【解析】
f(x)3()()3 f(x)
且定义域为
R
.
33
1
x
y()< br>在
R
上单调递减
f(x)
为奇函数.
Qy3
在
R
上单调递增，
3
x
1
y()
x
在
R
上单调递增.
3
1
f(x)3
x
()< br>x
在
R
上单调递增，故选
B
.
3
6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
A.
60

B.
30

C.
20

D.
10


3

【答案】
D

【解析】由三视图可知三棱锥的直观图如下：< br>SABC
11
V
SABC
35410
，故 选
D
.
32
urr
urr
7.设
m,n
为非零向量，则“存在负数

，使得
m

n
”是
urr
“
mn0
”的
A. 充分而不必要条件
C. 充分必要条件
【答案】
A

urr
urr
【解析】
Q
存在负数

，使得
m

n
， 且
m,n
为非零向量.
urr
urrurrurr

m
与
n
方向相反.

mn|m||n|cos

|m||n|0
< br>urrurr

“存在负数

，使得
m

n
”是“
mn0
”的充分条件.
urr
urrurr
若
mn0
，则
mn|m||n|cos

0
，则
cos

0
.
urr


(,

]
，

m
与
n
不一定反向.
2
urr

不一定存在负数

，使
m

n
.故选
A


B. 必要而不充分条件
D. 既不充分也不必要条件


8.
根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限
M
约为
3
361
，而可观测
M
宇宙中普通物质的原 子总数
N
约为
10
.
则下列各数中与最接近的
N
8 0
4

是

（参考数据：
lg30.48
）



A.

10
33

C.

10
73



B.

10
53

D.

10
93

【答案】
D

361
M3
【解析】
M3
361
，
N10
80
，

80
，两边取对数N10
M3
361
lglg
80
lg3
361lg10
80
361lg38093

N10
M
10
93

N
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9
.在平面直角坐标 系
xOy
中，角

与角

均以
Ox
为始边 ，它们的终边
1
y
sin


关于轴对称.若，则
sin



3
.
【答案】
【解析】根据 题意得





2k

,kZ
1
sin

sin


所以
3
1
3
y
2
10.
若双曲线
x1
的离心 率为
3
，则实数
m

m
2
.

【答案】
2

【解析】根据题意得
a
2
1,b
2
m

5


a
2
b
2
c
2

且

c
，解得
m2

e 3


a
11
.
已知
x0,y0
， 且
xy1
，则
x
2
y
2
的取值范围是
.
【答案】


1


2
,1



【解析】
Qx0,y0,xy1

x

0,1


2
x
2
 y
2
x
2
(1x)
2
2x
2
2 x12


1

1

x
2



2


当
x
1
2
时，
x
2
y
2
取得最小值为
1
2
< br>当
x0
或
x1
时，
x
2
y
2
取得最大值为
1


x
2
y
2
的取值范围为


1
2
,1




12.已知点
P
在圆
x
2
y
2
1
上，点
A
的坐标为

2,0

，< br>O
为原点，则
u
AO
uur

u
AP
uur
的最大值为_______.
【答案】
6

【解析】< br>Q
点
P
在圆
x
2
y
2
1
上
设点
P
坐标

x
2
0,y
0

，满足
x
0
y
2
0
1


u
AO
uur

2,0

，
u
AP
uur


xuuuruuur
0
2,y
0

，
AOAP2< br>
x
0
2

2x
0
4


Q1x
uuuruuur
0
1
，< br>2AOAP6

6

uuuruuur

AOAP
的最大值为
6

13.能够说明“设
a,b, c
是任意实数.若
abc
，则
abc
”是假命题
的 一组整数
a,b,c
的值依次为_______.
【答案】
1,2,3

【解析】取
a,b,c
分别为
1, 2,3
不满足
abc
，故此命题为假命题
（此题答案不唯一）

14.某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
( i ) 男学生人数多于女学生人数；
(ii ) 女学生人数多于教师人数；
(iii) 教师人数的两倍多于男学生人数.
① 若教师人数为
4
，则女学生人数的最大值为_______；
② 该小组人数的最小值为_______.
【答案】
6,12

【解析】 ①若教师人数为
4
人，则男生人数小于
8
人，则男生人数最
多为7
人，女生最多为
6
人。
②若教师人数为
1
人，则男生人数少于
2
人，与已知矛盾
若教师人数为
2
人，则男生人数少于
4
人，与已知矛盾
若 教师人数为
3
人，则男生人数少于
6
人，则男生为
5
人，
女生
4
人。
7

所以小组人数最小值为
34512
人
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤
或证明过程。
15.
（本小题
13
分）
已知等差数列

an

和等比数列

b
n

满足
a1
b
1
1
，
a
2
a
4
10
，
b
2
b
4
a
5
.

（Ⅰ）求

a
n

的通项公式；
（Ⅱ）求和：< br>b
1
b
3
b
5
Lb
2n1
.

【解析】（Ⅰ）设

a
n

公差为
d
，

b
n

公比为
q
.
则< br>a
2
a
4
2a
3
10
，即
a
3
5
.
故
a
3
a
1
2d 514
，即
d2
.
a
n
12
< br>n1

2n1(nN
*
)
.
24
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
a
5
9
，即
b
2
b
4
9
，则
b
1
q9
，
q
2
3
.
Q

b
n

为公比为
q
的等 比数列.

b
1
,b
3
b
5
L,b
2n1
构成首项为
1
，公比为
q
2
3
的等比数列.
b
1
b
3
b
5

L
b
2n1

1

13
n

13
3
n
1
(nN
*
)
.

2

16
.（本小题
13
分）

fx3cos2x

已知函数

2sinxco sx
.
3

（Ⅰ）求
f

x

的最小正周期；
8

（Ⅱ）求证：当
x


4
,
4

时，
f

x


.
【解析】（Ⅰ）



f

x

3cos

2x

2sinxcosx
3
 

13

3


cos2x
2sin2x
2


sin2x


3 1
cos2xsin2x
22


sin

2x

3


2





1
2
所以最小正周期
T
（Ⅱ）证明：



2



.
2
由（Ⅰ）知
f

x

sin

2x
3

.








Q
x

,


44





5


2x

,

3

66

当
2x
，即
x时，
f

x

取得最小值

.
364
1
f

x


得证
.
2


1
2

9

17．（本小题13分）
某大学艺术专业
400
名学生参加 某次测评，根据男女学生人数比
例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了
100
名学生 ，记录他们的分
数，将数据分成
7
组：

20,30
，

30,40

，…，

80,90
，并整理得到如
下频率分布直方图：

（I）从总体的
400
名学生中随机抽取一人，估计其分数小于
70
的概率；
（II）已知样本中分数小于
40
的学生有
5
人，试估计总体中分数在区
间

4 0,50

内的人数；
（III）已知样本中有一半男生的分数不小于
70
，且样本中分数不小于
70
的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.
【解析】
（I）由频率分布直方图得：



分数大于 等于
70
的频率为分数在

70,80

和
80,90

的频率之和，
即
0.40.20.6
，由频率估计概率

分数小于
70
的概率为
10.60.4

10

（II）设样本中分数在区间

40,50

内的人数为
x
，则由频率和为
1
得
x5
0.10.20.40.21

100100


解之得
x5



总体中分数在区间< br>
40,50

内的人数为
400
5
20
（人）
100
（III）设样本中男生人数为
a
，女生人数为
b








Q
样本中分数 不小于
70
的人数共有

0.40.2

10060
（人）


分数不小于
70
的人中男生，女生各占
30
人


样本中男生人数为
a303060
（人）
女生人数为
b1006040
（人）


总体中男生和女生的比例为



a
b
3
2
11

18．（本小题14分）
如图，在三棱锥
PABC
中，
PAAB
，
PABC
，
ABBC
，
P AABBC2
，
D
为线段
AC
的中点，
E
为 线段
PC
上一点.

（I）求证：
PABD
；
（II）求证：平面
BDE
平面
PAC
；
（III）当
PA
平面
BDE
时，求三棱锥
EBCD
的体积.
【解析】
（I）
QPAAB
，
PABC
，
A BIBCB




又
AB
平面
ABC
，
BC
平面
ABC


PA
平面
ABC

又
BD
平面
ABC


PABD

（II）在
ABC
中，
D
为
AC
中点




又
ABBC

由（I）知
PABD
，而
ACIPAA
，
PA
，
AC
平面
PAC


BD
平面
PAC

12

BDAC

又
QBD
平面
PAC
且
BD
平面
BDE



平面
BDE
平面
PAC

（III）由题知
PA
平面
BDE






QPA
平面
PAC
，平面
PACI
平面
BDEDE


PADE


QPA
平面
ABC
DE
平面
ABC

又
QD
为
AC
中点
E
为
PC
中点
1

DEPA1
，
ACAB
2
BC
2
22

2
在
ABC
中，
DCAC2

1
2

QBCBA
且
ABC90
o


ACB45
o

DBDC2

1
SDBDC1

BCD
2
11
VSDE

EBCDBCD
33

13

20．（本小题13分）
已知函数
f(x)e
x
cosxx
．
（I）求曲线
yf(x)
在点
(0,f(0))
处的切线方程；
（II）求函数
f(x)
在区间

0,
2

上的最大值和最小值.
【解析】
（I）
f(x)e
x
cosxx


f
'(
x
)
e
x
cos
xe
x
sin
x
1




f'(0)e
0
cos0e
0
sin010

又
Q
f(0)e
0
cos00=1

< br>yf(x)
在点
(0,f(0))
处的切线方程为
y1




x0,


（II）令
g(x)f'(x)ecosxesinx1
，

2

xx





g
'(
x
)
e
cos
xe
sinx
(
e
cos
xe
sin
x
)
 
2
e
sin
x

xxxxx



Q
x

0,



2


sinx0

而
e
x
0


g'(x)0





g(x)
在区间

0,
上单调递减

2


g(x)g(0)0


f'(x)0





f(x)< br>在区间

0,

上单调递减

2

14


当
x

2
时，
f(x)
有最小值
f()e
2
cos
22



2


2

当
x0
时，
f(x)
有最大值
f(0)e0
cos001







19
．（本小题
14
分）
已知椭圆
C
的两个顶点 分别为
A

2,0

，
B

2,0
，焦点在
x
轴上，
离心率为
3
.
2
（Ⅰ）求椭圆
C
的方程；
（Ⅱ）点
D
为
x
轴上一点，过
D
作
x
轴的垂线交椭圆
C
于不同 的两点
M
，
N
，过
D
作
AM
的垂线交BN
于点
E
.求证：
BDE
与
BDN
的面
积之比为
4:5
.


【解析】（Ⅰ）
Q
焦点在
x
轴上且顶点为

2,0


a2

Qe
c3


a2
c3

Qa
2
b
2
c
2

b
2
a
2
c
2
1

x
2

椭圆的方程为：
y
2
1

4

（Ⅱ）设
D

x
0
,0
< br>且
2x
0
2
，
y
M
y
0< br>，则

15

M
< br>x
0
,y
0

，N

x
0
,y
0



k
AM

y
0

x
0
2
QAMDE

k
AM
k
DE
1

k
DE

2x
0

y
0
2x
0
(xx
0
)

y
0

直线
DE
:
y
y
0
< br>x
0
2
Q
k
BN


直线BN
:
y
y
0

x2

x
0
2
2x
0

y(xx
0
)

y
0

y
0
y(x2)

由

x
0
2


x
2
2

0
y
0
1

4
得
24

4
E

x
0
,y
0
55

5
1
Q
S
BDE
BD |y
E
|
2
1
S
BDN
BDy
N
2

1
BDy
E
S
BDE
2

S
BDN
1
BDy
N
2
4
y< br>0
4
5

y
0
5

得证

16

17

18